SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE:

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1 PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea in Ingegenria Gestionale - Sapienza Universit Roma Canale MZ - Anno Accademico 2017/2018 Docenti: Dott: Salvatore Fragapane Docente Canale AL: Prof. Daniele Andreucci SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE: - Serie Numeriche (1): definizione e successione delle somme parziali; carattere di una serie; serie geometrica e studio del suo carattere; serie telescopica e studio del suo carattere (Es.2); condizione necessaria per la convergenza (con dim.) e controesempio della seria armonica; serie a termini positivi (e non negativi), a segni alterni e di segno qualsiasi; teorema sulla non indeterminatezza delle serie a termini positivi(*); criterio del confronto(*); serie armonica generalizzata; criterio del confronto asintotico(*); criterio del rapporto(*); criterio della radice(*); criterio di Leibniz(*); relazione tra convergenza assoluta e semplice (con dim.) e controesempio; esempi. - Serie di Potenze: definizione di successione di funzioni e di convergenza puntuale ed uniforme; definizione di serie di funzioni e di convergenza puntuale, uniforme, assoluta; definizione di convergenza totale; relazioni tra le varie convergenze, per le successioni e le serie di funzioni (*); differenza tra le convergenza puntuale ed uniforme; serie di potenze; teorema sulla convergenza assoluta di una serie di potenze data la sua convergenza in un punto x 1 x 0 (con dim.); teorema sulle alternative degli insiemi di convergenza per una serie di potenze(*); raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze; criterio di D Alembert (con dim.); criterio di Cauchy-Hadamard (con dim. per esercizio); teorema di Abel(*); teorema di derivazione e di integrazione per una serie di potenze(*); problema della sviluppabilità di una funzione in serie di potenze e teorema(*); serie di Taylor e di Maclaurin; una funzione infinitamente derivabile non è detto che sia la somma della sua serie di Taylor + controesempio; criteri di sviluppabilità in serie di Taylor(*); alcuni sviluppi notevoli (e x, sin x, cos x, log(1+x), arctan x); applicazione degli sviluppi notevoli al calcolo della somma di alcune serie; esempi.

2 FUNZIONI REALI DI PIARIABILI REALI: - Topologia di R n : definizione di intorno circolare; definizione di punto esterno, interno, di frontiera, di accumulazione, isolato; definizione di insieme aperto, chiuso, limitato connesso, convesso; definizione di dominio, di insieme derivato e di frontiera di un insieme; osservazioni; esempi. - Dominio e limiti di funzioni reali di più variabili: definizione di dominio naturale di una funzione; richiami sulle equazioni della retta e delle coniche; disuguaglianza di Young (con dim. fac.); definizione di limite finito e infinito di una funzione in un punto; condizione necessaria per l esistenza del limite (con le rette) (con dim. fac); condizione necessaria e sufficiente per l esistenza del limite (con le coordianate polari) (con dim. fac. caso finito); definizione di limite finito e infinito di una funzione all infinito; teorema sul limite di somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni(*); teorema della permanenza del segno; esempi. - Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto e in un insieme; teorema sulla continuità di una combinazione lineare e del prodotto di funzioni continue(*); definizioni di massimo e minimo assoluti; teorema di Weierstrass(*); teorema di esistenza degli zeri (con dim.); definizione di prolungamento continuo di una funzione; definizione di funzione uniformemente continua; relazione tra continuità e uniforme continuità e controesempio (Es.4); teorema di Heine-Cantor(*); esempi. - Derivate parziali: definizione di derivata parziale rispetto ad x e y di una funzione in un punto; definizione di funzione derivabile e di gradiente; definizione di derivata direzionale di una funzione in un punto; relazione tra derivabilità e continuità e controesempi; definizione di derivate parziali seconde; definizione di matrice Hessiana; teorema di Schwarz (con dim.); definizione di funzione differenziabile; definizione di o-piccolo; differenziabilitiano tangente; relazione tra differenziabilità e continuità (con dim.); teorema del differenziale totale (con dim. fac.); relazione tra differenziabilità e derivabilità parziale (con dim.); relazione tra differenziabilità ed esistenza delle derivate direzionali con formula per il calcolo della derivata direzionale (con dim.); teorema sulla direzione di massima pendenza del grafico di una funzione (con dim.); definizione di funzione di classe C k (A) per k N; definizione di curva nel piano; definizione di funzione composta; teorema di derivazione delle funzioni composte( con dim.); teorema del gradiente nullo (con dim.); necessità dell ipotesi di connessione dell insieme nel teorema del gradiente nullo; formula di Taylor col resto di Lagrange in forma scalare e vettoriale (con dim.); formula di 2

3 Taylor col resto di Peano; esempi. - Estremi relativi e assoluti, liberi e vincolati: definizione di punti di massimo e minimo relativi; teorema di Fermat (con dim.) e controesempio; definizione di punto stazionario; condizione necessaria del secondo ordine per massimi e minimi(*); condizione sufficiente del secondo ordine per massimi e minimi(*); classificazione dei punti critici nel caso di Hessiano nullo attraverso lo studio del segno delle funzione; ricerca di massimi e minimi assoluti su un compatto; definizione di forma quadratica; forme quadratiche definite positive e negative, semidefinite positive e negative e indefinite; teorema relazione tra punti stazionari di una certa funzione e autovalori di una matrice simmetrica(*); condizioni necessarie e condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi(*); teorema del Dini o delle funzioni implicite(*); applicazione del teorema del Dini; definizione di funzione k volte differenziabile; definizione di funzione differenziabile con continuità; definizione di curva regolare e regolare a tratti, semplice, chiusa e di sostegno di una curva; definizone di curva di livello; definizione di vincolo e di massimo e minimo vincolato; ricerca di massimi e minimi vincolali nel caso in cui il vincolo sia sostegno di una curva regolare semplice e non semplice (non globalmente esplicitabile); funzione Lagrangiana; teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due dimensioni (con dim.); osservazione sulla generalizzazione del teorema dei moltiplicatori in tre dimensioni e nel caso di più vincoli; esempi. CURVE E FORME DIFFERENZIALI: - Curve di R n : definizione di curva di R n e sue equazioni parametriche; definizione di curva piana, semplice, chiusa e di sostegno di una curva; definizione di curva di classe C k e di curva regolare; definizione di curva di Jordan, regolare a tratti e orientazione di una curva; definizione di curve equivalenti; funzione vettoriale integrabile secondo Riemann; definizione di curva rettificabile; condizione sufficiente per la rettificabilità(*); definizione di curva piana in forma cartesiana; formula per il calcolo della lungezza di una curva in forma parametrica e cartesiana; definizione e formula per il calcolo dell integrale curvilineo; definizione di derivata o velocità di una curva; definione di curva differenziabile e di tangente di una curva; definizione di curva differenziabile; definizione di tangente ad una curva, di vettore e versore tangente, di accelerazione e di versore normale; esempi. -Forme differenziali: definizioni di forma differenziale e campo vettoriale; regolarità di una forma differenziale; integrale curvilineo di seconda specie; proprietà dell integrale curvilineo di seconda specie; forme differenziali esatte; teorema sul calcolo dell integrale 3

4 curvilineo di forme differenziali esatte(*); condizioni equivalenti all esattezza(*); definizione di forma differenziale chiusa; condizione necessaria per l esattezza (con dim.) + controesempio (Es.4); definizione di omotopia; definizione di insieme semplicemente connesso; condizione sufficiente per l esattezza nei semplicemente connessi(*); teorema sull uguaglianza dell integrale curvilineo su curve omotope(*); definzione di rotore di un campo vettoriale; defizione di campo irrotazionale; metodo per costruire un potenziale; esempi. EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI: a 2 t+b 2 y+c 2 ) - Equazioni differenziali del primo ordine: definizione si soluzione locale di un equazione differenziale; definizione di problema di Cauchy; definzione di soluzione massimale; equazioni differenziali del secondo ordine e riconducibilità al primo ordine (con dim.); teorema di esistenza di Peano(*); risoluzione di equazioni differenziali ( ) del ( primo ) ordine: a variabili separabili e ad esse riconducibili (del tipo y y = g, y a = g 1 t+b 1 y t a 2 t+b 2 y ( (fac.) e y a = g 1 t+b 1 y+c 1 (fac.)), autonome, equazioni lineari, di Bernoulli, esatte; definizione di funzione lipschitziana; relazione tra derivabilità, lipschitzianità e continuità(*); definizione di funzione localmente lipschitziana rispetto ad y uniformemente rispetto a t; relazione tra derivabilità parziale e locale lipschitzianità (con dim.); teorema di esistenza e unicità locale(*); osservazione sulla regolarità delle soluzioni(*); integrale generale di un equazione lineare del primo ordine (con dim.); teoremi di esistenza e unicità globale; intervallo massimale di esistenza; teorema sulla dipendenza continua(*); definizione di soluzione di equilibrio o stato stazionario; definizione di stato stazionario stabile, asintoticamente stabile e instabile; diagramma delle fasi; criterio di stabilita/instabilità(*); esempi. - Equazioni differenziali del secondo ordine: forma di un equazione differenziale lineare del secondo ordine; l operatore che definisce l equazione è lineare(*); problema di Cauchy per un equazione lineare del secondo ordine; teorema di esistenza e unicità della soluzione(*); struttura dell integrale generale(*); teorema sulla dimensione dello spazio delle soluzioni(*); matrice Wronskiana; condizione sufficiente per l indipendenza delle soluzioni(*); risoluzione di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti: omogenea e non omogenea; metodo di somiglianza; metodo delle costanti di Lagrange; equazione di Eulero; equazioni autonome; esempi. - Sistemi lineari di equazioni differenziali del primo ordine: definizione di siste- 4

5 ma lineare di equazioni differenziali; la combinazione lineare di soluzioni è ancora una soluzione(*); Lemma che dà una condizone necessaria e sufficiente per l indipendanza delle soluzioni (con dim.); teorema sulla base dello spazio delle soluzioni (con dim.); definizione di funzione localmente lipschitziana nelle ultime N variabili; teorema di esistenza locale(*); teorema che garantisce l unicità (*); disuguaglianza gi Gronwall (con dim.); integrale generale di un sistema; forma vettoriale dell integrale generale; matrice risolvente e matrice di transizione; lemma su come ottenere matrici risolventi a partire da una nota(*); teorema sull unicità della matrice di transizione e sulla scrittura della soluzione tramite essa (con dim.); sistemi a coefficienti costanti; teorema sull esponeziale di una matrice(*); teorema sulla forma della soluzione e della matrice di transizione di un sistema a coefficienti costanti (con dim.); autovalori e autovettori m-generalizzati; calcolo per l esponenziale di una matrice nel caso di autovalori reali e complessi; metodo risolutivo di un sistema differenziale lineare; equazioni differeziali di ordine n; sistemi non omogenei e teorema sulla forma dell integrale generale (con dim.); soluzioni massimali con teoremi e lemmi correlati(*); definizione di dipendenza continua; teorema sulla dipendenza continua(*); sistemi autonomi; definizione di punto di equilibrio; lemmi correlati(*); definizione di punto di equilibrio stabile, asintoticamente stabile e instabile; teorema sulla stabilità nel caso di sistema a coefficienti costanti (con dim.); definizione di orbita; teoremi correlati(*); esempi. NOTE: - I libri di testo consigliati sono indicati nel diario delle lezioni; - Il programma non è ancora definitivo ed è ancora in fase di completamento; - Le dimostrazioni dei teoremi comntrassegnati con (*) posso essere omesse. - La dicitura fac. a fianco di un dimostrazione o di un argomento indica che esso è facoltativo; di conseguenza, ai fini della prova scritta, sarà considerato come non facente parte del programma. 5