TEORIA DELLE COSTANTI ALGEBRICHE

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1 TEORA DELLE COSTANT ALGEBRCHE LBRO d o Magr

2 Copyrght NO MAGR o Magr Vgevao (Pv) coteut possoo essere lberamete copat a scopo d crtca, cofroto e rcerca, sempre ctado l autore e rportado la fote. Edtore: NO MAGR Stampa.

3 L'teresse verso la matematca porta l uomo a effettuare credbl vagg e avveture luogh mperv e scooscut dello spao mmagaro. l matematco è u esploratore dell'mmagaoe, e come og buo esploratore deve dmostrare a se stesso og mometo, d o avere paura d ete e d essuo. Deve essere grado d affrotare co grade coraggo l'goto matematco, sa esso composto da credbl egm che da afferrabl problem. Deve oltre essere capace d etrare qualsas luogo mpervo del pesero, co ua costaa che raseta la maacaltà, e deve affrotare co coraggo qualsas problema dffcle e afferrable che potrebbe metterlo mbarao e farlo setre utle: o mporta se po verrà rcordato pù per le sue scoftte matematche che per rsultat postv. A volte quest vagg elle rego oscure della matematca, portao a stuao d eorm dffcoltà d lavoro e d stress metale; questo caso è ecessaro predere cosderaoe l'potes d fermars u attmo per rposare. fatt quella codoe è dffcle cocretare ache l pù pccolo rsultato. Sotto l'effetto dello "stress" e d stuao che dsturbao la traqulltà della persoa, vee a macare l'teresse per qualsas argometo, ache se ormalmete quest è molto pacevole. Questa è la peggor codoe cu s possa trovare u rcercatore matematco sa esso dlettate come l sottoscrtto, che professosta. E' meglo qud fermars u attmo, per poter rpredere seguto, co pù slaco d prma, l cammo verso uove mete e dreo gote. Soo persoalmete covto che le rcerche matematche sao le esplorao pù teressat che l essere umao possa effettuare el modo reale; e queste esplorao c avvcao sempre pù alla soluoe de mster della creaoe. Questo lbro m ha mpegato quas tutte le sere degl ultm mes. L'uso cotuo del computer m ha provocato ua terrble cervcale, e spesso durate le rcerche, m addormeto sulla scrvaa davat al vdeo: ache perchè durate l goro, l mo lavoro prcpale, che è pù d carattere fsco che tellettuale, m staca molto fscamete. Comuque ache se quest stud m soo costat pareccho dolore e fatca, soo soddsfatto per rsultat otteut, e aturalmete sare dsposto a rfare tutto quello che ho fatto se cò fosse ecessaro. Vorre rgraare partcolar modo ma mogle Lorella e ma fgla lara, per aver mostrato grade sopportaoe e momet cu mostravo poco teresse per loro e molto per la rcerca matematca; e u rgraameto ache a tutt coloro che avrao la paea d leggere questo lbro, e fra quest partcolare vorre rgraare quell che come me, lber da og vcolo tellettuale, hao la passoe per la matematca pura. Magr o Vgevao Maro

4 LE SERE DVERGENT - SECONDO LBRO Nels Herk Abel (uo de pù grad matematc della stora) defì le sere dverget u veoe del davolo. Forse Abel, se avesse avuto a dsposoe u computer, o avrebbe fatto quell'affermaoe. fatt è grae a questo appareccho, che doma orma la vta quotdaa delle persoe egl ultm dece, e utlado l'algortmo d Eulero-Maclaur, s resce a calcolare co facltà, mglaa d costat matematche, collegate alle sere dverget pù ote. l motvo per cu ache l grade Eulero o s sa accorto dell'mportaa che aveva l suo algortmo è dovuto prcpalmete al fatto che a suo temp calcol s facevao a mao! Prma d are a parlare d costat, per le qual el 9 ho prevetvato d scrvere quattro lbr, e prma d trapredere u vaggo questo meadro d formule e umer, è ecessaro dare ua defoe precsa d esse. Ua costate matematca è u partcolare umero reale, che s può otteere portado a lmt estrem ua determata fuoe matematca: ad esempo ua sere, u tegrale mpropro, u lmte, ecc. ecc.. Soltamete la costate umerca (la costate è matematca se l'espressoe è letterale) ha u pccolo valore postvo o egatvo, per u motvo partcolare che è gà stato descrtto el prmo lbro. rapport d tercoessoe fra le vare costat elecate questo lbro, o sarao qu studat, poché quest stud esulao da me teress prmar, e ache perché questo è u compto alquato mpegatvo. questo lbro cercherò d dare ua semplce classfcaoe delle costat algebrche, base al tpo d fuoe studata, sea specfcare l mportaa d ogua d esse. Le costat trgoometrche (o goometrche) sarao oggetto d studo e prossm due lbr: poché l argometo è acora pù vasto d quello delle costat algebrche, e per l quale ho gà scrtto cetaa d page, e descrtto mglaa d costat d og tpo. questo lbro o sarao studate le costat geerate da fuo co umer compless; lasco a vo getl lettor questo compto. Ua semplce classfcaoe delle costat umerche de umer real, può essere quella d dvderle queste tre class: Costat Pure: umer real che o dervao da equao algebrche a coeffcet raoal: come π o γ. Costat Semplc: umer real che dervao da equao algebrche a coeffcet ter o raoal: esempo 7, Costat Baal: umer ter o raoal come 7 o, V soo però altr mod d dstguere le costat, e alcu d quest verrao descrtt e prossm captol.

5 5 CAP - FUNON ANTAGONSTE Data ua sere dvergete d ua qualsas fuoe f( ) cotua lm [ ( )] f () vee spotaeo domadars se essta ua fuoe fa( ), tale per cu lm [ f( )] fa( ) pratca valor umerc della sere e della fuoe fa( ) tedoo, al crescere d a dvetare ugual. È facle vedere che esstoo molte fuo d questo tpo ( effett l loro umero è llmtato). Ad esempo la sere lm ( ) ha u valore umerco perfettamete uguale al valore della fuoe fa( ) ( )( ) 6 Ua sere d questo tpo verrà d seguto chamata: Sere Dvergete Perfetta; e la fuoe fa( ) che eguagla l valore umerco della sere questoe: Fuoe Atagosta perfetta. S può però osservare spermetalmete, che la maggor parte delle sere dverget o hao ua fuoe atagosta che eguagla umercamete la sere questoe, ma besì ua fuoe che approssma a meo u valore umerco la sere stessa: Fuoe Atagosta mperfetta. Questo valore umerco è la cosddetta Costate Numerca. Possamo qud chamare questo tpo d sere: Sere Dvergete mperfetta. C soo po alcue sere, che hao ua fuoe atagosta partcolare, composta dalla sommatora d ft term, la cu somma lmte tede a eguaglare l valore della sere, e che chameremo: Sere Dvergete Specale. La sere lm () log( ) è ua fuoe d questo tpo. No so però dre, se esstao sere dverget che o abbao essu tpo d fuoe atagosta; lasco a vo getl lettor l compto d dare ua rsposta a questo egma. Se due sere dverget dverse fra d loro, hao la stessa fuoe atagosta, la loro dfferea o è ero, o coverge ad ua costate umerca.

6 6 Data ua Sere dvergete mperfetta lm [ f( a,, a,.. a )] () k dces "llary" d questa sere, ua fuoe ella varable, che per og gruppo d valor de coeffcet ( a, a,.., a k) geera ua costate matematca. geere la llary è composta da ua sere (o da tegrale mpropro) e dalla fuoe atagosta della stessa. Possamo qud scrvere o el caso d tegral lm [ f( )] fa( ) () { { lm [ f( )] d fa( ) (5) La costate matematca asce qud come dfferea fra l valore della sere (o tegrale) e l valore della relatva fuoe atagosta. Bsoga però specfcare che o tutte le costat matematche soo geerate questo modo, e d questo vedremo qualche esempo e prossm captol. Se ua determata sere dvergete, possede ua fuoe atagosta, e rsulta che, geere (salvo cas partcolar) la costate geerata dalla llary ha u pccolssmo valore umerco postvo o egatvo. Per ua sere dvergete perfetta possamo qud scrvere per l tegrale mpropro perfetto Per ua sere mperfetta o u tegrale mperfetto lm [ f( )] fa( ) (6) lm [ f( )] d fa( ) (7) lm [ f( )] fa( ) (8) lm [ f( )] d fa( ) (9) dove è ua costate umerca. ( ) è qud la llary d f( ) (coè ua fuoe geeratrce d costat). C possoo essere pù fuo atagoste per ua determata sere? S, per ua determata sere (o tegrale), esstoo fte fuo atagoste dverse fra d loro, che geerao costat d valore umerco dverso. Ad esempo se la fuoe atagosta è 7, è facle vedere che ache fuo del tpo

7 7 587 oppure o portao la llary della sere oggetto alla covergea. Oppure se la fuoe atagosta è log( ), lo è ache 5 log(7 7) / o log( ) / 5 Fuo atagoste dverse d ua stessa sere possoo geerare la stessa costate? Questo problema è per ora avvolto da mstero. La Fuoe Atagosta d Base è la fuoe atagosta che assume la forma matematca pù semplce. La llary che e derva è ua llary d Base( B), e la costate da essa geerata: Costate d Base( B). La Fuoe Atagosta Reale è la fuoe atagosta che rede l calcolo della costate l pù rapdo e precso possble. La llary che e derva è ua llary Reale( R), e la costate da essa geerata: Costate d Reale( R ). questo lbro o verrao dstte tutte le costat per tpo, poché l argometo esula da ostr stud. Per le sere coverget poché s ha Ne derva ch Ad esempo la sere covergete lm [ f( )] lm [ f( )] fa( ) lm fa( ) () lm ( ), forsce la stessa costate della llary lm ( ) log( ), Naturalmete questa è ua propretà caratterstca delle sole sere coverget. Dobbamo però osservare che, la llary reale d ua sere covergete permette l calcolo della stessa, co ua precsoe eormemete superore rspetto al calcolo dretto della sere covergete. E' facle vedere ache che, se s scompoe la fuoe d ua sere covergete due fuo le cu sere sao dverget, ma che abbao la stessa fuoe atagosta ma d sego opposto, la uova sere è pure covergete. Vale ache l dscorso opposto: coè se s hao due sere dverget co la stessa fuoe atagosta, la sere che ha come fuoe la dfferea delle due fuo, è ua sere covergete.

8 8 Tutte le cosderao precedet sulle sere, s possoo applcare ache agl tegral mpropr; e come vedremo questo lbro, molte delle fuo atagoste delle sere dverget delle fuo algebrche, soo le stesse d quelle degl tegral mpropr delle fuoe oggetto. Questo equvale a dre che, data ua sere dvergete e la sua fuoe atagosta, la stessa fuoe atagosta eguagla o dffersce a meo d ua costate dall'tegrale dvergete mpropro della stessa fuoe. La costate geerata dalla llary della sere dvergete è geere dversa dalla costate geerata dalla llary dell'tegrale dvergete mpropro della stessa fuoe; ma bsoga teer presete che quest soo cas partcolar. Possamo qud affermare che ache gl tegral Dverget come le sere, hao ua fuoe atagosta. Gl tegral dverget sarao classfcat Perfett se la loro llary è ero, e mperfett se producoo ua costate umerca, e Specal se la loro llary è composta da ft term, come ad esempo (log x) (log x) dx log[log( x)] log( x).. () log( x)!! TEOREMA FONDAMENTALE DELLE SERE DVERGENT Sa fa( ) ua fuoe composta da u umero fto d elemet. Esste sempre ua sere dvergete, l cu valore s dscosta dal valore della fa( ) per ua costate umerca. Chameremo questa fuoe: Sere Dvergete Prmtva. Poché è molto dffcle dmostrare questo teorema, peso che passerà pareccho tempo prma che esso vega dmostrato o cofutato. Le sere dverget s possoo classfcare due categore prcpal: algebrche e trgoometrche. Lo stesso vale per gl tegral mpropr. questo lbro verrao cosderate solo llary dervate da fuo algebrche. CAP SERE D FRAON D POLNOM. Queste sere hao come fuoe oggetto, ua fraoe composta da due polom, prm fra d loro. tutte le sere polomal che tratteremo questo captolo, escluderemo le sere coteete radcal. Per queste sere l umero ale della varable è d solto lo ero, ma per semplctà o partremo (quas sempre)da. Sere Polomale d prmo grado equlbrata Le sere d frao polomal equlbrate hao come umeratore e deomatore due polom dello stesso grado prm fra d loro. Nel caso pù semplce d due polom d prmo grado, l lmte

9 9 produce la llary d base c c d d lm ( ) () c c c cd cd lm ( ) log( ) d d d d dove ( c, c, d, d ) possoo essere umer ter, o real e [ d d d ]. Ad esempo lm ( ) log 6, π π, lm ( ) (, ) log γ,5585 γ 6, l valore della llary precedete è dato ache da c d c d d d d ψ ( ) () dove ψ è la fuoe dgamma. Questa fuoe che sosttusce la llary sarà chamata: Fuoe Equvalete Della llary. La è data ache da 57 7 ψ ( ) 6, Possamo qud scrvere l'uguaglaa c c c cd cd d lm ( ) [log( ) ψ( )] d d d d d () Dall esempo () e altr che vedremo seguto, s è portat a pesare che essta sempre ua relaoe fra ua qualsas sere dvergete, e ua fuoe d par valore, co u umero fto d term, coteet fuo specal come ( ϕ, π...), che chameremo: Fuoe Equvalete Della Sere ( f ae). Essa è par alla dfferea fra la fuoe equvalete della llary, e la fuoe atagosta della sere. La fuoe equvalete della sere è ache par alla somma della fuoe atagosta e della fuoe che geera la relatva costate. l valore della sommatora d u umero fto d valor ter della varable è c c c cd cd d d ( ) [ ψ( ) ψ( )] d d d d d d (5)

10 La relaoe (5) da orge al Teorema delle sere dverget mperfette Tutte le sere dverget mperfette, l cu svluppo è composto da ua fuoe co u umero fto d elemet, s possoo sostture co ua fuoe atagosta d equlbro f( ψ, ) avete u umero fto d term. Soltato le sere dverget specal, sembrao o godere d queste propretà. Dal teorema precedete s rcava u'altra mportatssma relaoe: Teorema delle llary Og costate umerca geerata da ua llary algebrca (o d dverso tpo), s può calcolare co estrema semplctà e precsoe, attraverso la fuoe equvalete. S evta questo modo l calcolo parale degl elemet della sere, che potrebbe comportare u umero astroomco d operao artmetche (a volte per avere solo poche cfre esatte della costate). Questo aturalmete è u grade rsultato per l'artmetca classca. Equao co sere dverget l teorema delle sere dverget mperfette, permette d avere ache u'altro grade rsultato ell'aals matematca e ell'algebra, poché permette d trasformare le equao elle llary, equao algebrche d pù facle soluoe. fatt sosttuedo alla llary la sua fuoe equvalete, questa s può trattare come ua ormale equaoe algebrca. Ad esempo per quale valore de parametr ( c, c, d, d ) s ha l'uguaglaa c c c cd cd lm [ ( ) log( ) ] (6) d d d d Dalla (6) è dffcle trarre ua soluoe; ma se sosttuamo ad essa la fuoe equvalete cd cd d ψ ( ) d d le soluo soo pù abbordabl. Da questa uguaglaa s trae che quado cd cd coè cd c d d c d (7) c d ad 5 5 lm ( ) Quado è verfcata la codoe (7), samo presea d ua sere dvergete perfetta.

11 fatt questo caso due polom questoe o soo prm tra d loro, ma soo etramb dvsbl per l M.C.D. che è ( ). S ottee ua secoda soluoe della (6) poedo ψ ( x) dalla quale s rcava la soluoe postva x, e qud d, d Le equao co le sere dverget, hao de comportamet stra, che rcordao partcolare le fuo frattal. fatt se s cerca d rsolverle per successv tetatv umerc, dado a u valore crescete e calcolado la x, c s trova ad avere soluo molto dverse fra d loro per pccole varao della. Rsolvere queste equao è abbastaa facle se s coosce la fuoe equvalete, peccato però, che ad ogg, o s coosca u metodo geerale per trovare la fuoe equvalete d ua llary. Le equao coteet tegral mpropr (o deft) soo geere pù semplc delle equao coteet sere. La soluoe delle equao coteet tegral soo facl da rsolvere se s coosce d quest la fuoe atagosta d equlbro. Ad esempo se voglamo sapere per quale valore d x s ha x 9 e lm ( x ) d log poché s ha lm { x x ( x ) d ( x ) log( x ) log( x ) s passa all equaoe 9 ( x ) x log( x ) x log( x) x log Da questa s calcola x teedo presete che. Passamo ora ad alcue partcolar llary d d d lm ( ) log( ) d d d d co [ d d d ]. 5 lm ( ), log( )

12 lm ( ) log, lm ( ) log, lm ( ) 6log c lm ( ) clog c Sere polomale d prmo grado o equlbrata Le sere d frao polomal o equlbrate hao come umeratore e deomatore due polom prm fra d loro, ma d grado dverso fra d loro. La fuoe oggetto preseta due possbl cas c lm ( ) d d c c d lm ( ) caso: questo s può rcavare poedo ella, c La llary d base produce sempre costat per og tera ( c; d; d) d umer ter e [ d d d ]. 7 lm ( ) log 7 7 s ha ache c c lm ( ) log( ) d d d, c d d d ψ( ) (8) Da queste due relao s rcava l'uguaglaa c c d lm ( ) [log( ) ψ( )] d d d d E per la sommatora d valor ter d s ha c c d d ( ) [ ψ( ) ψ( )] d d d d d (9) La è valda ache se ( c; d; d ) soo umer real.

13 caso La fuoe atagosta della sere c c d lm ( ) () o s può dedurre dalla, poché essa o può essere d. La fuoe atagosta è c c lm ( ) c c c d d d Essedo la dfferea fra la sere e la fuoe atagosta ero, o samo presea d llary, ma d ua sere dvergete perfetta. Questo caso verrà trattato modo pù completo ello studo delle sommatore d ter. Caso partcolare è la Sere armoca rdotta, le cu sere ao co j... 7 j j j Essa produce la llary 7 5 k l( ) lm ( ) k j k j l 8 lm ( ), j 7j 7 e l lmte estremo k l lmlm ( ) k k j k j Geeralado rsultat precedet ad ua sere che da u geerco umero h tero postvo, la fuoe atagosta è la stessa della precedete: 6 h k l( ) lm ( ) k j h k j

14 Abbamo u altra costate legata a umer armoc 9 lm ( ) log, j logj j Sere Polomale d secodo grado equlbrata due polom cosderaoe, soo etramb d secodo grado e prm tra d loro. La fuoe atagosta d questa sere è la stessa per tutte le sere polomal equlbrate. La fuoe atagosta è flueata solo dal prmo coeffcete d og polomo d secodo grado; gl altr coeffcet permettoo soltato d modfcare l valore della costate. 7 c c c c c d c d lm ( ) log( ) d d d d d dove ( c, c, c d, d, d ) soo umer ter, per qual deve essere [ c d d d d ]. Essa forsce ua costate per og quatera d umer postv ( c, c, d, d ). Ad esempo lm ( ) log, lm ( ) log, La 7 è valda ache se la quatera ( c, c, d, d ) è composta da umer real. Ad esempo se ( c π) costate Pgreca, ( c e) costate d Nepero, ( c γ) costate d Eulero-Maschero, d δ costate Fegembaum, ( ) d K costate d Catala, ( ) d µ costate d Ramauja-Solder, ( ) Avremo ua teressate costate ( fgla d pù famose costat), la quale sarà probablmete trascedete π γ π δ π e e K lm ( ) log δ µ δ δ, K La llary reale e equlbrata della sere polomale d secodo grado, è pù complessa della llary d base. Per scrverla abbamo bsogo due page d formule; però questo lbro o verrà mostrata.

15 5 Po per [ a a b ] s ha ( a ) ab b 8 lm blog( ) ( a b) a a b { lm [ 5log( ) ], (9 7) 9 9 (9 7) 9 b lm a b c a a [ a a b c ] [ ( ) log] 7 lm log, Metre la llary reale è b ac a b lm [ ( ) ATAN( ) a b c a a ac b ac b b log( a b c) ] a co [ a ac b a b c ] lm ( ) ATAN( ) log(7 6 5), Naturalmete la fuoe ATAN( ) ella s può toglere, essedo l suo valore ua costate per ; per cu la llary reale s può ache scrvere ' b lm log( a b c) a b c a a [ ( ) ] Sere Polomale d secodo grado o equlbrata Le sere che geerao queste llary, hao u polomo al umeratore d grado dfferete d quello al deomatore. S presetao quattro cas: c c c lm ( c c c ) lm ) ( ) d d ) d c c c lm ( ) lm ) ( ) d d d V ) d d d

16 caso: questa sere geera la llary d base 6 c c c c c( d d) cd lm [ ( ) d d d d c d d ( c d c d ) log( ) d dove [ c d d d ] S ha ache ] cd d( cd cd) d ψ( ) () d d Da otare ella che alla decrescta dell'espoete, corrspode la crescta dell'espoete d d. Vedamo qualche esempo lm ( ), log 5 7 lm ( ) log, lm ( ), log lm ( ) log , lm ( ) log 5, Dalle relao precedet s rcava l'uguaglaa ( ) c c c c c d d c d lm [ ( )] d d d d cd d( cd cd) d ψ [log( ) ( )] d d () Per la sommatora d valor ter della f ( ) s ha () c c c c c( d d) cd ( ) d d d d cd d( cd cd) d d ψ ψ [ ( ) ( )] d d d

17 Caso partcolare della è 7 a b b lm ( ) a b a a a [ log( )] lm ( ), log( ) caso c c c lm ( ) d () Questo caso verrà dscusso el captolo della sommatora d ter. caso: S rcava dalla 7, poedo c c c c lm ( ) log d d d d dove [ c d d d d ] 6 6 lm ( ) log, lm ( ) log 9, Cas partcolar d llary 8 lm ( ) a log( a ) lm ( ) log( 8 ), lm ( ) a log( a ) 5 a 5 lm ( ) log( 8 ), b lm log( ) ( a b) a ( a b) a per [ a a b ] {

18 7 6 lm log( ), ( 7) ( 7) Po 7 c b lm{ log( ) ( b) a a b 7 7 lm{ log( ),79.. ( ) p q p lm{ log( a b c) a b c a co [ a a b c > ] 9 8 lm log(5 7 ) 5, lm{ ( a b)( p q) b q [ log( a b) log( p q)] bp aq a p dove [ a p ( a b) ( p q) ( bp aq ) ] 8 9 lm [ log(5 8) log(7 )] (5 8)(7 ) 5 7, b lm{ ( a b)( p q) ( b p aq) a ( a b) q b( bp aq ) log( p q) log( a b) ( bp aq ) p a.. dove [ a p a b p q bp aq ] per a 6 b p 5 q 9,

19 V caso c lm ( ) d d d co [ d ( d d d ) ] Le sere d questo tpo soo sempre coverget. Ad esempo lm ( ),677.. ( 8) (5) 9 Sere Polomale d tero grado equlbrata. due polom soo etramb d tero grado e prm tra d loro. La llary d base della relatva sere, è sempre del tpo. Ache questo caso la fuoe atagosta d base è flueata solo da prm due coeffcet de polom questoe c c c c c c d c d lm ( ) log d d d d d d { co ( c, c, c, c d, d, d, d ) umer ter (o real), d cu [ c d d d d d ]. Per valor dvers de parametr ( c, c, d, d) s ha la stessa fuoe atagosta, ma valor dvers della costate. Es: lm ( ) log, Cas partcolar soo b b lm ( ) a blog( ) ( a b) a a b ( a b) { ( a ; a b ) lm ( ) [ 5 6log( ) ] (5 ) 5 5 b (5 ), lm ( ) log( a ) a co a postvo lm ( ) log( 8 ),.. 8 {

20 Sere Polomale d tero grado o equlbrata S presetao tre cas col polomo al umeratore maggore d quello al deomatore e tre el caso opposto. c c c c lm ( c c c c ) lm ) ( ) d d d ) d d c c c c c c lm ( ) lm ) ( ) d d d d V ) d d d d c c c lm ( ) lm V ) d d d d ( ) V ) d d d d caso: se [ c d d d d ] la llary d base è c c c c c ( cd cd) cd lm {( ) d d d d d c d c d dc c d d d ad esempo log lm ( ) log, Cas partcolar co a postvo soo 5 lm ( ) ( ) alog( ) a { 5 lm ( ) ( ) log( ) 9, lm ( ) ( ) alog( ) a { a 6 lm ( ) ( ) 7 log( ) 79, caso: per [ c d d d ] la llary è pù complessa d quella del prmo caso, ma pù facle da calcolare del precedete.

21 { c c c c 7 lm ( ) d d c d( c c) dc d d c( d dd 6 d ) d[ c( d d) cd] 6d d[ cd d( cd cd)] cd log d Ad esempo lm ( ) log , lm ( ) log 668, s ha pure 7 d[ cd d( cd cd)] cd d ψ ( ) d d Possamo qud scrvere l uguaglaa { c c c c c lm ( ) d d d c( d dd 6 d ) d[ c( d d) cd] 6d d( c c) dc d d[ cd d( cd cd)] cd d [log ψ ( )] d d (6)

22 E per la sommatora d u umero fto d valor d s ha c c c c c ( ) d d d c( d dd 6 d ) d[ c( d d) cd] 6d d( c c ) dc d [ cd d( c d c d )] c d d d d d [ ψ( ) ψ( )] d d (7) Caso partcolare d llary è a b a ab 6b 8 lm [ ( ) a b a a 6a b a log [ a a b ] ] lm ( ) log, caso c c c c lm ( ) d (8) Verrà dscusso elle sommatore d ter. V caso ( c ; d ; d d d d ) s ha la llary d base 9 c c c c lm ( ) log d d d d d lm ( ) log, Cas partcolar d llary soo

23 b b lm [ log( ) ] ( a b) a a b ( a b) { [ a a b ] lm log( ), (8 ) 8 [ 8 (8 ) ] [ a > ] lm log( a ) a { lm log( 7 ),8.. 7 V caso [ c d ] c c ( ) d d d d (9) produce ua sere che e' sempre covergete. Ad esempo 5 ( ), V caso c ( ) d d d d forsce pure ua sere sempre covergete. Sere Polomale d quarto grado equlbrata. due polom soo etramb d quarto grado e prm tra d loro. La llary d base della relatva sere, è sempre del tpo. Ache questo caso la fuoe atagosta è flueata solo da prm due coeffcet de polom c c c c c lm [ ( ) d d d d d c d cd cd d dove log ( c, c, c, c, c d, d, d, d, d ) soo geere umer ter (ma possoo essere ache real), d cu [ c d d d d d d ]. Essa forsce fuo atagoste dverse per og quatera d umer postv ( c, c, d, d ), esclus alcu cas partcolar. ]

24 Per valor dvers de parametr ( c, c, c, d, d, d ) s ha la stessa fuoe atagosta, ma valor dvers della costate. Esempo lm ( ) log, Sere Polomale d quarto grado o equlbrata. S presetao otto cas: c c c c c lm ( c c c c c ) lm ) ( ) d d d d ) d d d c c c c c lm ( ) ) d d V ) c c c c lm ( ) V ) d d d d d V ) c c c c c lm ( ) d c c c lm ( ) d d d d d V ) c c d d d d d lm ( ) V ) c lm ( ) d d d d d Le prme cque sere producoo cque llary dverse, le altre tre soo sere coverget. caso: è dffcle da rsolvere, poché al crescere del grado del polomo, la dffcoltà d trovare la fuoe atagosta della sere questoe cresce espoealmete. C è da dre però che se è dffcle trovare la llary per la geerca espressoe polomale algebrca, è vece molto pù facle trovare la costate d base relatva ad ua determato polomo cu coeffcet sao ot. Esempo lm ( ) log, Darò spegaoe u prossmo lbro, d come s possa rsolvere questo ultmo problema el caso pù geerale, e u secodo metodo per rsolvere l caso partcolare (coeffcet ot).

25 caso: l calcolo della llary d base d questa sere, è molto pù facle d calcolo quello della sere precedete. Per [ c ; d ; d d d ] s ha 5 c c c c c c lm ( ) d d d d { cd c( d d) d [ ] c d d( d d) 6d d[ c( d d) cd] 6d cd( dd d ) dc( d dd) cdd cd log d lm ( ) log 5, lm ( ) log 5, caso: la llary d base d questa sere è pù facle da calcolare rspetto alle due precedet (ache se dalle dmeso d questa fuoe, sembra vero l cotraro) c c c c c c lm ( ) d d d { dc cd dc d[ c ( c c)] dd( c c) cd 6d d d[ c ( c c)] dd[ c ( c c)] dd( c c) 6cd 6d cd d[ cd d( cdd cd cd )] 5 log d Co [ d c d d ] lm ( ) log,

26 lm ( ) log, S ha oltre cd d[ cd d( cdd cd cd )] d ψ ( ) 5 d d Possamo qud scrvere l uguaglaa c c c c c lm ( ) d d { dc cd dc d[ c ( c c)] dd( c c) cd 6d d d[ c ( c c)] dd[ c ( c c)] dd( c c) 6cd 6d c cd d[ cd d( cdd cd cd )] d ψ 5 [log ( )] d d d () Per la sommatora d u umero fto d valor c c c c c ( ) d d dc cd dc d[ c ( c c)] dd( c c) cd 6d d d[ c ( c c)] dd[ c ( c c)] dd( c c) 6cd 6d c [ ( )] c d d c d d c d d c d c d ψ ψ 5 [ ( d d ) ( )] d d d d () V caso: c c c c c lm ( ) d Questo caso verrà dscusso elle sommatore d ter. Abbamo po gl altr quattro cas, e qual l polomo al umeratore è pù pccolo del polomo al deomatore. V caso: c porta alla llary d base 5 c c c c c lm ( ) log d d d d d d {

27 [ d c d d d d d ) ] 67 9 lm ( ) log, Cas partcolar 6 lm ( ) log( a ) a 5 lm log( 6), a 5 lm log( ),888.. lm ( ) log( ) a 7 8 a lm log( ) ( a ) ( a ) { a 5 lm log( ),9.. ( 5 ) ( 5) 9 a lm log( a ) ( a ) ( a ) { a 5 6,96.. per a V -V-V caso. N dao llary d base, ma sere coverget. Sere Polomale d quto grado equlbrata. due polom soo etramb d quto grado e prm tra d loro. La llary d base della relatva sere, è sempre del tpo ; e ache questo caso la fuoe atagosta è flueata solo da prm due coeffcet de polom 5 c5 c c c c c lm { ( ) 5 d5 d d d d d c d cd cd d 5 5 log dove ( c5, c, c, c, c, c d5, d, d, d, d, d ) soo d solto umer ter (e a volte real), d cu [ c5 d5 d5 5 d d d d d ]. Essa forsce ua fuoe atagosta dversa per og quatera d umer postv ( c, c5, d, d 5).

28 Per valor dvers de parametr ( c, c, c, c, d, d, d, d ) s ha la stessa fuoe atagosta, ma valor dvers della costate lm ( ) log, Sere Polomale d quto grado o equlbrata S presetao dec frao polomal dverse che producoo se llary mportat. c c c c c lm ( ) 5 5 ) d d d d d d ) c c c c lm ( ) 5 d5 d d d d d ) c c c lm ( ) 5 d5 d d d d d V ) c c 5 d5 d d d d d lm ( ) V ) c lm ( ) c5 5 c c c c c 5 d5 d d d d d V ) d d d d d lm ( ) V ) X ) 5 c5 c c c c c lm ( 5 c5 c c c c c ) lm ( ) d d d d V ) d d d 5 c5 c c c c c lm ( 5 c5 c c c c c ) lm ( ) d d X ) d caso: s ha c c c c c c lm ( ) log 5 d5 d d d d d d5 [ c d5 d5 5 d d d d d ] lm ( ) log, l X caso, verrà dscusso seguto ello studo delle sommatore d ter. X caso ( 5 5 ) lm { c c c c c c c c d d d d d d ( ) 5 d d 5d d c5( d d) dc c5(d dd d ) d[ c(d d) cd] d 6d d{ c( d dd d ) d[ c( d d) cd] dc5( d dd d ) d { 5 d dc( d dd 6 d ) d{ c( d dd 6 d ) d[ c( d d) cd] 5 d { d cd d{ cd d[ c d d( cd c d )] c d 6 d 5 5 log

29 co [ c5 d d d ] lm ( ) log 87, V caso: è pù dffcle da trattare rspetto al X caso. La sua llary è 5 c5 c c c c c lm ( ) d d d c5 cd c5(d d) d 6d c5[ d d( d d) d ] d[ c( d d) cd] d c5[ d ( d d) dd( d d) 6 d ] 6d { d c[ d d( d d) 6 d ] d[ c( d d) cd] 6d c5( d d dd d d ) 5 log d { d cd( dd d ) d[ c( dd d )] d( cd cd) 5 d log co [ c5 d d d d ] lm ( ) log, ' 57'' lm ( ) log, lm ( ) log, Ma se veramete vorrete passare dece d ott so, cmetatev co la llary del sesto e settmo caso!

30 Sere Polomale d r-esmo grado equlbrata. due polom soo d grado uguale, ma prm tra d loro. La llary d base è dello stesso tpo de cas precedet: etrao goco solo prm due coeffcet de due polom r r- cr cr-... c c lm [ ( ) r r- dr dr-... d d c d co r r- r r- r r- r r r- r c d cd dr log ( c, c,... d, d...) umer ter, forsce ua costate per og quatera ( r, r-, r, r-) c c d d, e [ cr dr r dr dr- r-... d d ]. Ad esempo ] lm ( ) log, Tutt term dal tero po, delle due fuo polomal d grado r-esmo, dvetao sgfcat per la fuoe atagosta. La è valda ache quado ( cr, cr-,... dr, d r-...) soo umer real. Sere Polomale d r-esmo grado o equlbrata. due polom soo d grado dverso e prm tra d loro. abbamo (r) combao polomal, per le qual queste sere geerao llary (r è l grado maggore fra due polom). Fra le llary faclmete calcolabl abbamo la seguete 5 r- cr-... c c c cr- lm ( ) log r r- dr dr-... d d d dr co ( cr- ; dr ; dr r dr- r-... d d ). E evdete che lo studo delle llary de polom d grado r-esmo, comporta dffcoltà d aals co crescta espoeale fuoe d r. La dscussoe geerale su tutte le possbl sere o equlbrate, rchede uo studo partcolarmete mpegatvo, soprattutto per quelle che hao l polomo al umeratore d grado poco dverso d quello al deomatore. l metodo che ho applcato per trovare le llary de cas appea vst (e che descrverò u prossmo lbro), può essere utlato per le frao polomal d qualsas grado; però per polom d grado superore al quto è ecessaro avere u programma d calcolo rapdo, che questo mometo o possedo. E però mportate sapere che è molto pù facle trovare la fuoe atagosta d ua sere polomale d r-esmo grado cu coeffcet soo ot, che quella geerca, ache se la dffcoltà d calcolo della propra llary, cresce al crescere del grado del polomo.

31 Ua sere polomale o equlbrata p p- cp cp-... c c lm ( ) r r- dr dr-... d d () è covergete se [ r p ] CAP - NTEGRAL ALGEBRC MPROPR E FUNON POLNOMAL. Ache gl tegral dverget mpropr, come le sere dverget, geerao costat umerche. Le fuo atagoste d base degl tegral mpropr delle fuo polomal, a volte soo le medesme delle fuo atagoste delle sere dverget de polom questoe. Possamo fare ua classfcaoe degl tegral mpropr delle fuo polomal smle a quella fatta per le sere polomal. Ache per gl tegral mpropr che tratteremo questo captolo, escluderemo quell coteete radcal, e cosdereremo solo polom che sao prm fra d loro. Gl tegral mpropr possoo avere delle llary d Base (la cu rappresetaoe algebrca è la pù semplce possble), e delle llary Real la cu covergea è la pù rapda possble. Vedamo qualche applcaoe sulle frao polomal. tegrale Polomale mpropro d prmo grado equlbrato. L'tegrale polomale equlbrato d prmo grado d ua fraoe algebrca, è relatvo alla fraoe d due polom, ella quale l polomo al umeratore ha lo stesso grado d quello al deomatore. La llary d base d questa fraoe d polom, possede la stessa fuoe atagosta della sere dvergete aaloga: c c c cd cd 6 lm ) d log d d d d [ ( ] dove ( c, c d, d ) soo umer ter, ed è [ d d d ]. La 6 forsce ua costate dversa per og quatera ( c, c, d, d ). Ad esempo lm ( ) d log,7.. 6 La sere della stessa fuoe avrebbe forto la costate 6, La 6 è valda ache se ( c, c, d, d ) soo umer real postv.

32 Esempo: se predamo (, ) c π ( c e, ) (, ) d γ (, ) d µ costate d Ramauja-Solder 6 π π γ π µ lm ( e γ µ ) e d γ γ log 8,76.. La llary reale per gl tegral polomal equlbrat mpropr d prmo grado è c c c cd cd 7 lm ( ) d log( d d) d d d d () [ d d d > ] 7 6 lm ( ) 7 8, log( ) l cu valore è dato ache da cd cd log( d ) d 7 fatt s ha c c c cd cd d d lm ( ) d log( ) d d d d d () tegrale Polomale mpropro d prmo grado o equlbrato. S presetao due cas. caso - S può rcavare dalla () poedo essa c La llary d base è 8 lm ( c ) c d log d d d co [ d d d ]. Esempo lm ( ) d log, La llary reale è c c 9 lm ( ) d log( d d) d d d (5)

33 [ d d d > ] 6 lm ( ) d log (7 ), S ha pure Nel caso precedete c log( d ) d 9 (6) 6 log(), per cu lm ( c ) c log( d d d ) d d d d caso: l'tegrale mpropro è del tpo perfetto c c c c c lm ( ) d d d d tegrale Polomale mpropro d secodo grado equlbrato. due polom cosderaoe, soo etramb d secodo grado. La llary d base, è sempre del tpo (). 5 c c c c cd cd lm ( ) d log d d d d d dove ( c, c, c d, d, d ) soo umer ter, e [ c d d d d ]. Ad esempo lm ( ) d log, Ache la 5 è valda se la quatera ( c, c, d, d ) è composta da umer real. La llary reale dell'tegrale polomale equlbrato d secodo grado è 5 c c c c cd cd lm { ( ) d d d d d d [ c( dd d ) d( cd cd)] log( d d d) d dd d d d d [ ATAN( ) ASN( )] dd d dd (7)

34 e cd cd log( d ) d lm ( ) d log( 7 6 ) [ ATAN( ) [ ASN( )] , log( ), (8) tegrale Polomale mpropro d secodo grado o equlbrato. due polom (umeratore e deomatore), soo d grado dverso. S presetao quattro cas: ) lm ( c c c ) d d d ) lm ( c c ) d d d d c c c ) lm ( ) d d V ) lm ( c ) d d d d Caso - geera la llary c c c c cd cd 5 lm [ ( ) d d d d d cd d( cd cd) log( ) ] d (9) dove [ c d d d ] e 5 cd d ( c d c d) d log( ) d d lm ) d log( ), () 67 log( ), caso: è u tegrale mpropro perfetto 6 lm ( c c c ) c c d c d 6d

35 5 caso: s rcava dalla (9), poedo c 5 c c c lm ( ) d log d d d d dove [ c ; d ; d d d ] lm ( ) d log, La llary reale è c c c 5 lm { ( ) d log( d d d) d d d d cd cd d d d [ ATAN( ) ASN( )] d dd d dd d dd [ c d d d d d > dd d > ] Abbamo c log( d ) d 5 C 7 d 8 d d 67 69, V caso: lm ( c ) d d d d () () Questo tegrale è sempre covergete. tegrale Polomale mpropro d tero grado equlbrato. due polom soo etramb d tero grado. La llary d base, è sempre del tpo (). c c c c c c d c d 55 lm { ( ) d log d d d d d d dove ( c, c, c, c d, d, d, d ) d solto soo umer ter, d cu [ c d d d d d ]. Per valor dvers de parametr ( c, c, d, d) s ha la stessa fuoe atagosta, ma valor dvers della costate.

36 lm ( ) d log, La llary precedete è valda ache se umer ( c, c, c, c, d, d, d, d ) soo umer real. tegrale Polomale mpropro d tero grado o equlbrato. S presetao se cas. ) lm ( c c c c ) d d d d c c c c ) lm ( ) d d d ) lm ( c c c c ) d d 5) lm ( c c ) d d d d d ) lm ( c c c ) d d d d d 6) lm ( c ) d d d d d caso- se [ c d d d d ] la llary d base è c c c c c cd cd 56 lm [ ( ) d d d d d d cd cd ddc cdd log] d ad esempo lm ( ) d log, caso: questo caso è [ c d d d ]. La sua llary d base è c c c c c 57 lm { ( ) d d d d cd cd cd cd cdd d d d[ cd d( cd cd)] cd log d

37 lm ( ) d log 56, La llary reale è c c c c c cd cd 58 lm { ( ) d d d d d cd cd cdd d d[ cd d( cd cd)] cd log( d d) d [ c d d d > ] S ha pure d[ cd d( cd cd )] cd d 58 log( d ) () caso: produce u tegrale mpropro perfetto c c c c c c c c c c c c 6c lm ( ) ( ) d d 6d d 6d V caso s ha la llary d base 59 lm ( c c c ) c d log d d d d d [ c ; d ; d d d d ] lm ( ) d log, V caso: c, d ( ) c c lm ( ) d d d d d () produce u'tegrale covergete. V caso c ( ) d d d d d E pure u'tegrale covergete.

38 8 tegrale Polomale mpropro d quarto grado equlbrato. due polom soo etramb d quarto grado. La llary d base della relatva sere, è sempre del tpo (). Ache questo caso la fuoe atagosta è flueata solo da prm due coeffcet de due polom 6 c c c c c lm [ ( ) d d d d d d c cd cd log] d d dove ( c, c, c, c, c d, d, d, d, d ) soo geere umer ter, d cu [ c d d d d d d ]. Essa forsce fuo atagoste dverse per og quatera d umer ( c, c, d, d ). Esempo 7 La lm ( ) d log, è valda ache se ( c, c, c, c, c d, d, d, d, d) soo umer real. tegrale Polomale mpropro d quarto grado o equlbrato. Come per le sere aaloghe s presetao otto cas: ) lm ( c c c c c ) d d d d d ) lm ( c c c c c ) d d d d ) 5) d d c c c c c lm ( ) d c c c c lm ( ) d d d d d d ) 6) d c c c c c lm ( ) d c c c lm ( ) d d d d d d 7) c c lm ( ) d d d d d d 8) c lm ( ) d d d d d d prm cque tegral producoo llary dverse, gl altr soo coverget. caso E dffcle da calcolare; occorrerebbe u programma partcolare. caso: l calcolo della llary d base d questa sere, è molto pù facle del calcolo della llary del caso precedete. Per [ c d d d d ] S ha:

39 9 6 lm { c c c c c ( ) d d d d c cd cd c( dd d ) d( cdcd) d d d cd( dd d ) d[ c( dd d ) d( cd cd) ] lo g d lm ( ) d log 7, caso: abbamo la llary d base 6 lm { c c c c c c ( ) d d d d cd cd d cd cd cdd d ( c d c d d c d ) c d d d cd d{ cd d[ cd d( cd cd)] 5 log d co [ c d d d ] lm ( ) d log -, lm ( ) d log, La llary reale (5) 6 lm { c c c c c c c d c d ( ) d d d d d cd cd cdd d ( c d c d d c d ) c d d d cd d{ cd d[ cd d( cd cd)] log( d d) 5 d [ c d d d > ]

40 l cu valore s può calcolare ache co cd d [ { c d d c d d ( c d c d )] log( d ) 5...(6) d 6 V caso: è u tegrale mpropro perfetto c c c c c c c c c c c d d d d c ( c c) 5[ c ( c c)] d ) d d 5 lm ( ) d ( 5 6 V caso: c porta alla llary d base c c c c c 65 lm ( ) d log d d d d d d { [ c d d d d d d ] lm ( ) d log, tegrale Polomale mpropro d quto grado equlbrato. due polom soo etramb d quto grado. La llary d base della relatva sere, è del tpo della () c5 c c c c c lm { ( ) d d d d d d d c d 5 5 cd cd log d dove ( c5, c, c, c, c, c d5, d, d, d, d, d ) soo umer ter, d cu [ c5 d5 d5 5 d d d d d ]. Essa forsce ua costate per og quatera d umer postv ( c, c5, d, d 5). Per valor dvers de parametr ( c, c, c, c d, d, d, d) s ha la stessa fuoe atagosta, ma valor dvers della costate, per esempo lm ( ) d log 9995,

41 tegrale Polomale mpropro d quto grado o equlbrato. S presetao dec frao polomal dverse, che producoo se llary mportat. S osserva faclmete che, al crescere del grado del polomo le dffcoltà d trovare le geerche llary delle frao polomal aumetao espoealmete. ) c c c c c lm ( ) d 5 d5 d d d d d ) c c c c lm ( ) d 5 d5 d d d d d ) c c c lm ( ) d 5 d5 d d d d d ) c c 5 5 lm ( ) d d d d d d d 5) c lm ( ) d 5 d5 d d d d d 6) 5 lm ( c5 c c c c c ) d d d d d d 7) 5 lm ( c5 c c c c c ) d d d d d 8) 5 lm ( c5 c c c c c ) d d d d 9) 5 lm ( c5 c c c c c ) d d d ) 5 c5 c c c c c d lm ( ) d caso: s ha c c c c c c 67 lm ( ) d log 5 d5 d d d d d d5 { [ c d5 d5 5 d d d d d ] lm ( ) d log, X caso: è u tegrale mpropro perfetto. c c c c c c c 5c c 5c ( c c ) lm ( ) d [ d 6 d d d c c c ( c c c) c5 5( c c 6 c) c ] 6d d d X caso [ c5 d d d ] lm { c c c c c c c d c c d ( ) d d d 5d d c5d cdd cd d( cd cdd cd ) c5d d d c5d d[ cd d( cd cdd cd )] 5 d 5 d{ cd d{ cd d[ cd d( cd cd)] c5d log 6 d

42 lm ( ) log, V caso è pù dffcle da trattare rspetto al X caso. Dovrà aturalmete essere [ c5 d d d d ]. La sua llary d base è lm { c c c c c c c ( ) d d d d d cd c5d c5( dd d ) d( cd cd) d d c5d( dd d ) d[ c( dd d ) d( cd cd) ] d c5( d d dd d d ) 5 log d { d cd( dd d ) d[ c( dd d )] d( cd cd) 5 d Quella sopra è esatta log lm ( ) d log, tegrale Polomale mpropro equlbrato d r-esmo grado. La llary d base è dello stesso tpo de cas precedet: etrao goco solo prm due coeffcet de polom 7 r r- cr cr-... c c lm { ( ) d r r- dr dr-... d d cr cr-dr crdr- log dr dr dove r r- r r- ( c, c,... d, d...) soo geere umer ter, forsce ua llary dversa per og quatera ( cr, cr- dr, d r-), e r [ cr dr dr dr- r-... d d ]. La 7 è valda ache quado ( cr, cr-,... dr, d r-...) soo umer real. tegrale Polomale mpropro d r-esmo grado o equlbrato. Fra tutte le due ( ) r combao polomal, per le qual queste sere geerao llary dverse, (r è l grado massmo fra due polom) abbamo u tegrale dal quale s può faclmete rcavare la llary d base

43 7 r- cr-... c c c cr- lm [ ( ) d log ] r r- dr dr-... d d d dr r co [ cr dr dr dr- r-... d d ]. CAP V - LLARY PARTCOLARE Per og valore d a tero postvo la llary seguete 7 C lm ( ) alog a ( a )! forsce costat. l valore d C appartee alla successoe umerca a C la quale vee soddsfatta da a j C ( a )! ( ) (7) a j per cu la 7 s può scrvere 7 a j lm [ ( ) alog( ) ( )] a( γ) a a j j j 8 lm [ ( )] log( ), γ 8 lm [ ( )] log( ) γ 5 85 lm [ ( )] log( ),685.. γ 86 lm ( ) [ ] log( ),697.. γ CAP V - SERE DVERGENT PERFETTE Ua sere dvergete è perfetta, come abbamo gà vsto, se esste ua fuoe atagosta fa( ) tale per cu lm [ f( )] fa( ) Soo perfette ad esempo tutte le sere la cu fuoe è u polomo d grado r, co r tero: r r- lm ( cr cr-... c c c) (8)

44 e r- ( cr, c,..., ) c umer ter. Le fuo atagoste d questo tpo soo facl da trovare. Ad esempo ( 5 ) lm (7 8 9) Ache se umer ( cr, cr-,..., c ) soo real la sere (8) è comuque perfetta. Ad esempo dalle frao polomal d r-esmo grado, rcava c c c c c c lm ( ) d d d d c c c c c c c c 6c c lm ( ) d d d 6d d c c c c c c c c c c c c 6c c lm ( ) d d 6d d 6d d c c c c c c 5 c c c c c lm ( ) d 5d d 6d c ( c c ) 5[ c ( c c )] d c d d d 5 c5 c c c c c c5 6 5c5 c 5 5c5 ( c c) lm ( ) d 6d d d c c c ( c c c ) c 5( c c 6 c ) c c 6d d d d 5 Altre sere perfette s ottegoo dalle sommatore multple de polom a espoet ter. Per polom pù semplc abbamo: lm ( j) ( ) j gà osservato Soo perfette ache le sere d tpo r r- lm [( ) ( cr cr-... c c c )] lm [( ) ( ] ) La cu fuoe atagosta è d grado ferore d quella della sere ( )( ) lm ( ) 6

45 e le sere r r- ( dr dr-... d d d) r r- cr cr- c c c lm [( ) (... )] (5 7 ) ( )( ) lm [( ) ] 6 La fuoe atagosta della sere precedete è uguale ma d sego opposto alla fuoe atagosta della sere u umero dspar. Po w lmlm ( j k) [ w ( w )( )] w k j lmlmlm ( jk y) vw ( v )( w )( ) v w v w y k j 8 5 lm ( ), poché l espoete d (-) è sempre lmlmlmlm ( jky x) uvw ( u )( v )( w )( ) u v w E geerale u v w x y k j 6 a a a k k lm lm...lm... [ ( b )] [ a ( a )] a a ak k k j j j k b b b j j E' perfetta ache la sere del tpo cu [ a > ] Per l lm ( ) e( ) lm ( ) j j a a j a j a lm ( ) l( ) a < j a Soo perfette le sere d Taylor? a vo la rsposta. Soo oltre perfette tutte le sere del tpo j lm ( ) ( ) ( ) j [ f( )] Abbamo ache ua partcolare sere dvergete perfetta lm ( ) a arcta( ) a a e la sere a lm ( ) log( a ) A a a B a (9) (5)

46 lm ( ) log( ) E' charo che umer ( A; B ) soo fuoe d a, ma è dffcle trovare la loro rappresetaoe. La (7) s può ache scrvere B B Ba lm ( ) log( a A ) a A A a o B B Ba a lm log( ) A( a ) A A a La sere dvergete r- cr-... c c c lm ( ) d d è perfetta quado s ha l'uguaglaa d x d dove x è la soluoe postva dell'equaoe ψ ( x). La soluoe d questa equaoe s ha per d, d questo caso s ha duque la perfetta uguaglaa della sere co la fuoe atagosta: r- cr-... c c c lm ( ) fa( ) d d Teorem sulle sere perfette Teorema dretto: data la fuoe cotua f( ), se la sommatora ha ua fuoe atagosta f( )] [ fa( ) per la quale è f fa [ ( )] ( ) allora ache la sere avete la stessa fuoe atagosta della sommatora è pure perfetta. Coè lm [ f( )] fa( ) Teorema verso: se f() è ua fuoe cotua la cu sere lm ( f( )

47 è perfetta, coè lm ( f( ) fa( ) 7 allora, ache ua somma parale applcata alla stessa fuoe è perfetta. Coè ( f( ) fa( ) Fra le sere mperfette, assumoo otevole mportaa quelle che forscoo costat co valor prossm allo ero. Chameremo Sere Quas Perfetta, la sere che geera ua costate l cu valore umerco è ferore ad u determato valore (aturalmete da stablre). D coseguea avremo ua llary Quas Perfetta. Se la fuoe cosderaoe dpede da u espoete k che assume valor sempre pù grad, a volte è scotato mmagare che le costat geerate da questa llary, assumao valor sempre pù prossm allo ero. Per cu le sere quas perfette vao msurate base al grado della fuoe. Nasce qud l problema d trovare la pù pccola costate umerca geerata da ua sere la cu fuoe sa d grado k. Ad esempo data la fuoe ella varable c c d d poché s ha l uguaglaa c c c cd cd cd cd d lm ( ) log ψ ( ) d d d d d d la assume valor umerc tato pù pccol, quato more è coè quado le frao soo all crca ugual. Ma ache quado la fuoe ( cd cd ) c d c d d ψ ( ) d assume pccol valor umerc. Questo s verfca se d, d d [,,6,6,5,,,,,,,8,9,,5,7,6,,,,,6,,,,,,5,,,,78,...] d d [,,,,,..] d 8 88 Ad esempo se predamo d 79 d 8

48 lm ( ), log Nel caso d ua sere geerca s tratta d trovare la fuoe equvalete e eguaglarla a ero, po calcolare per qual valor ter delle costat la fuoe è quas ulla. Co la sere quas perfetta s ottee u blacameto quas perfetto tra la sere questoe e la sua fuoe atagosta. S potrebbe addrttura stablre u Gues matematco delle costat quas perfette per og fuoe d grado k. Ad esempo la sere seguete, che verrà descrtta dettaglatamete el prossmo lbro sulle sere trgoometrche, è ua delle sere che maggormete rspeccha la defoe d sere quas perfetta: ( 6 5 7) lm, J 6 ta( ) ta( ) NTEGRAL DVERGENT MPROPR E PERFETT Soo perfett gl tegral mpropr che possedoo ua fuoe atagosta f ( ), l cu valore è umercamete uguale al valore dell tegrale. Alcu esemp d tegral perfett: lm [log( x a )] d log( a ) aatan( ) a ( c ) lm ( ) d log c c lm ( ) d ( a) a a a a ( a ) lm ( a ) d log a 5 lm ( ) d 5 CAP V - SERE DVERGENT (E NTEGRAL) CON RADCAL La fuoe oggetto è del tpo Ad esempo per a postvo s ha r f ( ) a a 7 lm ( a ) log( a )

49 88 lm ( ) log( ) 5, lm ( 5 ) log( 5 ) 7,557.. l tegrale della fuoe precedete è perfetto. Po a a 75 lm ( a ) log( a ) per [ a > ] 9 a lm ( 9 ) log( 9 ) 88, a a 76 lm ( a ) d log( a ) a a log( a) per [ a > ] { 7 7 lm ( 7 ) d log( 7 ) 7, ( a ) 77 lm ( a ) 6 ( 7) lm ( ), ( ) lm ( ), ( ) ( ) 78 lm { a ( ) a a d ( 5) lm ( 5) d, Po ( a ) 79 lm ( a ) ( ) 6 { a 95 8 ( 7 ) lm ( 7 ) ( ) 9,8.. ( ) 8 lm { a ( a ) d a

50 è perfetto. Ma 96 ( 7 ) lm ( 7 ) d 9, ( )( b) b 8 lm ( b) log 8 { ( )( ) lm ( ) log, ( 7) 7 lm 7 log( 7 ) ( 7) 6, b( b) lm { ( b) d 8 b log( b ) 8 7 ( 7) 7 lm ( 7) d log( 7 ) 5, La llary reale è [ 8 b b log( b) ] log( b) lm ( b) d ( b) b b lm ( ) d ( ) log( ) 8 8 8, Po 8 lm { c { [ 6 ( c ) c 5c c ] ( ) lm ( 8),58.. ( ) lm,.. oppure ( c c ) c 85 lm [ c ( 5 6 5c 5c ) ]

51 ( c 98) 7 lm 7 ( 5 ), b lm ( b) d ( b b ) b lm ( ) ( 8) 8, d d(8 d d ) lm{ d 8 d log( d ) 6 [ d (d ) d ] 8 (8 ) lm log( ) 8 6 [ ], { 8 f log( f) log( f ) 6 88 lm ( f ) d (8 f f ) f f 6 76, Po lm ( b) ( b) lm ( ) ( ) 5, lm [{ ( b) d ( b) ] b lm ( 7) d ( 7), lm ( ) ( ) b b b

52 9 lm ( 5) ( 5) 6, a( ) b 9 lm ( a b) a b 6a Co [ a a b > ] ( ) 6 lm ( 9) , ( ) lm [ a b ( ) ] b a b d a a ( 5) lm ( 5) d, Abbamo po ua costate reale 5 lm ( ) 5 8, e ua llary reale [ a a b > ] a 5a 6b 9 lm { ( a b) [ a b 5 5a 6ab 6 b b(6b 5 a ) ] a 6a 9 lm ( ) ( ), ( ) 95 lm [ a ab b a b ( ) ] b a b d 5a 5a (7 5 5) 7 5 lm ( 7 5) d, U'altra llary reale a 5a b 96 lm { ( a b) [ a b a ab 6 b b(5a 6 b ) 6b ] 8a a 5a

53 [ a ( a b) > ] lm ( ) [ ], lm { ( a b) d [(5a a b 5a 6 b ab 8 b ) a b] 5a a b 6, Po ap 98 lm { [( p q) a b] [ a b 5 5 a(p q) 6bp 5 a ( p q) ab (p 8 q) 6b p a 5aq a b( p 6 q) 8ab q b p ] a [ a a b > ] lm [( ) ] ( ), lm [ [( p q) a b] d (ap 5aq pb) 5a 8 b (5aq bp ) ( a b) ] 5a (6 ) ( ) lm [( ) ] d, ap ap bp aq lm { [ ( p q)( a b)] ( ) ap ( bp aq ) ( p q)( a b) log[ a( p q) p( a b)] ap ap

54 cu a p ( a p) > ( a b) ( p q) > Esempo lm [ (7 )(8 6)] (7 )(8 6) log[ 8(7 ) 7(8 6)], Abbamo ache l teressate e volumosa sere { lm [( p q r) a b] { 8a a b a p a [7 a(5p q) bp] a {5 a [5p (q r)] 8 ab (5p 6 q) 6 b p a [5 a ( q r) a b( p q 8 r) ab q 6 b p] 5a r 7 a b( q 6 r) 56a b r ab q 8 b p co [ a a b > ] ( a b) lm { [( p q r) a b] d 5a [5a p a (7aq bp) 5a r abq 8 b p] (5a r abq 8 b p) b 5a (5 67) ( ) lm [( 5) ] d, / La costate dell tegrale è baale qualora b sa tero: coè quado è b r co r,,,,.. Po lm { [( p q r s) a b] d ( a b) [5 a p 5 a ( aq b p ) 5a a (a r abq 8 b p)] [5a s a br ab q 6 b p] ( a b) 5a b (5a s a br ab q 6 b p) 5a

55 ( ] ( ) lm [( ) ] d 5 7, lm ( p q) a b c) { { a b c a a ( p q) a[ b( p q) c p] ( aq bp)( ac b ) b p log( a( a b c) 5 6 a a b) valda per [ a ( a b c) > ( a ab a c) > ] 5 ( aq bp )( ac b ) lm { ( p q) a b c) d 5 6 a a( a b c) a b a b c log ac b a {[8a p a(6 aq bp) a(bq c p) bp] c[ a(bq cp) b p] a ( a ) 6 lm { [ ( a ) ] d a log 6 a a [ (5a ) a ] 8 co [ a ] lm { [ ( a ) ] d [ 8 ( a ) (a 5) 6a (7a 5a ) 6a a (6a a ) 6 a a (8a a ) ]

56 RADC CUBCHE 56 8 lm ( a) ( a ) ( a ) lm ( 5) ( 6) ( 6) 7, lm [ ( a) d ( a) ] a lm ( ) ( ), lm { ( ) ( 7 8 5a a Esempo ( a ) 7a 7a 5 8a 5a a ) lm ( 7) ( ) 9, ( 8) lm { ( a) d a( a a ) a lm ( 5) d 5 ( 5 75), lm { ( a) [ 7 7 ( a) 6 (7a 5) 6a a(9a ) ] lm ( 8) ( ) 6, ( 8) 6 lm [ ( a) d ( a) ] a 8 8

57 57 7 lm ( ) d ( ) 9, a lm { ( a) d ( a) 9 ATAN ( ( a) ) a log{[ ( a) ( a) 8 a π ] log[ ] a ( a) 9 ( a) 5 a 8 8, lm { ( a) [8 8 (a 6 ( a) 5) (7a 6a 5) 6 a (7a 5) a ] lm ( 5) [ ], ( 5) 6 lm [ ( a) d ( a) ( a a 7 9 a )] a a 5, lm [ ( a) ( ( a) 5 6 6a 6a a a ) 6 75 ( 5) 6 5 lm ( 5), ]

58 ( ) 8 lm [ a ( ) ] a a d 58 Po ( ) lm ( ) d, [ a ] ( a b) 9 lm ( a b) a a ( 5) lm ( 5) 8, ( ) lm { a b ( ) b a b d a a ( ) lm ( ) d 8 8 [ a ] ( a b) ( a b) lm [ ( a b) ] 5a 5 { 5 (5 ) (5 ) lm [ (5 ) ], ( ) lm { a b [ ( ) ] b a b d 5a 5a ( ) lm ( ) d, a a 5b a b lm { ( ) [ 7 8 ( a b) a 6ab 7 b b(7b 7 a ) ] 6a 8a [ a a b ]

59 lm ( ) ( ),5.. ( ) ( ) 9 lm [ a ab b a b ( ) ] b a b d 8a 8a 7 (6 5 b ) 5 lm ( 5) d, a a b 5 lm { [ ( a b) ] [ a b 8 5a 8ab 7 b b(7b a ) ] 6a a [ a a b ] lm [ (6 ) ] ( ), (6 ) 7 6 lm { [ ( a b) ] d (5a ab b ) a 8 9 b ( a b) a 8 (8 8b 7) ( ) lm ( ) d, a a 5b 7 lm { ( a b) [ a b a 99ab 7 b b(a 7 b ) 7b ] 98a 66a a [ a a b ] lm ( 5) [ ] 5, ( 5) 9 a b 8 lm { [ a b] d [( a a b a 7 b ab 9 b )] a

60 ( 8b 6b 9 b ) b lm [ 7] d 5, lm { [ ( a b) ] [ 5a 98a a b 5 a (a 5 b) a (a 99ab 7 b ) ab (a 7 b ) b [ a a b ] ] ( a b) lm [ ( ( a b) ) (a 5a b a 7 b 6ab 9 b )] a ( ) ( ) lm ( ( ) ), a lm [( p q) a b] { 5 a ( a b) {8a p 9 a [7 a(p q) 5 b p] a [7 a (p 9 q) 6 ab( p q) 7 b p] 7a q a b( p 6 q) 89ab q 8 b p [ a a b ] [ a(p 7 q) bp ] ( a b) lm { [( p q) a b] d 8a (7aq bp ) b 8a ( 89) (5 7) lm [( ) 5 7] d, [ a(5p 8 q) bp ] ( a b) lm { [( p q) ( a b) ] d a (8aq bp) b a 5

61 ù 5 (5 78) ( ) lm [(7 5) ( ) ] d, lm { [( p q r) a b] 6 a ( a b) { 78a p 8 a [5 a(7p 6 q) b p] a {5 a [7p 9(q r)] 5 ab(p 5 q) 7 b p a {5 a (q 9 r) 5 a b[ p ( q r)] 5ab q 8 b p 5a r 5 a b( q 6 r) 95a b r 5ab q b p [ a a b ] 5 lm [( p q r) a b] d { ( [ a p a 5 ap bp ) 5 a r 5 abq 9 b p ] a [5a r 5abq 9 b p]( a b) ( a b) a ( ) ( 5) lm [( 5 7) 5] d 8 8, RADC QUARTE Co b postvo 6 lm [ ( b) (8 8b 5) b ] 5 lm ( ) (8 9), lm [ ( b) d ( b) ] b lm ( 7) d ( 7) 9, lm ( a b) (8a 5a 8 b) a b a

62 [ a a b > ] 7 lm ( 5) (8 5) 5, ( ) 9 lm [ a b ( a b) d ] b 5a 5a 5 ( 5) lm ( 5) d, lm ( a b) { 7 a ( a b) 5 [a a (5a 6 b) a (5a ab 6 b ) b(5a 6 b )] [ a a b > ] 9 (5 a ab b ) a b lm { ( a b) d 5a 6 9 b 5a ( 8 78) 7 lm ( 7) d 8, lm ( a b) [ { 96 a ( a b) 88a a (7a 8 b) a (585a 56ab 6 b ) ab (65a 6 b ) 8 b ] dove [ a a b > ] ( a b) lm { ( a b) d [(5 a 5a b 585a 8 8ab b )] b 585a

63 5 (8 8 ) ( ) lm ( ) d, ( a b) lm ( a b) d [(95 a 5a b 5a 5 7 a b ab 8 b )] b 5a ( ) 5 5 lm ( 5 ) d 7875, lm [( p q) a b] { {a p 7 a ( a b) a [ a(5p 8 q) 6 bp ] a[5 a (5p q) ab (5p 6 q) 6 b p] 5a q 6 a b( p 6 q) 576ab q 56b p [ a a b > ] 5 6 [ a(5p 9 q) bp ] lm { [( p q) a b] d 5a 5 (9aq bp) 5 ( a b) b 5a 8 5 lm [( 6) 5] ( 5), lm [( p q r ) a b ] d { [ a (5 p 65 q 7 r ) ab ( p q ) b p ] 585a 5 (7 a r 5abq b p) 5 ( a b) b 585a 5 5 (8 88) ( ) lm [(7 5) ] d 6, RADC K-ESME Pù geerale abbamo per k > e b postvo

64 k k bk k k 8 lm ( b) b ( k ) lm ( ) 8, k ak bk a( k ) k 9 lm ( a b) a b a( k ) [ a a b > ] lm ( ), k k k k ( a b) k 5 lm [ ( a b) d ] b ( k ) a ( k ) a (6 5) lm ( 6 5) d, lm ( a b) k { k ( a b) k { 6 a k( k )( k ) k k a k ( k ) 6 a k [ a( k )( k ) bk ( k )] a [ a ( k ) (k ) 6 abk ( k )( k ) bk ( k )] b k[ a ( k )( k ) b k ] dove [ a ( a b) > per k par] k k k a b 5 lm { ( a b) d [( k ) a ( k )( k ) a ab k b k ( k )( k ) a k k ] b 57 k 7 [ 7 96] 8 lm ( 8) d 8,

65 5 k lm ( a b) { { ( a b) k a k( k )( k )( k ) a k ( k )(k ) 6 a k ( k )[ a(k ) (k ) bk ( k )] a [ a ( k )(k ) (k ) 6a bk ( k )( k )( k ) b k ( k )] abk [ a ( k )( k )( k ) b k ( k )] b k [ a ( a b > se k è par)] k 65 5 k lm ( a b) d { ( a b) ( k )( k )( k ) a { k [( k )(k ) a ( k ) a b k ab k b ] k k k b ( k )( k )( k ) a k 55 lm ( a b) 7 a k ( k )( k )( k ) { k 7 a ( k )(k )(k ) 7 7 k k (k ) (k ) ( a b) { [ a a k ( k )( k ) (k )( k ) bk (9k )] a k ( k )[ a (k )(k ) (k ) 8abk (k )(k )(k ) 7 b k (k k )] 6a bk [ a ( k )(k )(k )(k )(9k ) 8 abk ( k ) (k )(k )(k ) b k (k 7k k )] a [ a ( k ) (k ) (k ) (k ) 6 a b k ( k ) (k )(k )(k )(9k ) 6 ab k ( k )(k ) (k ) (k ) 7b k ( k )(6k 5k )] 9a b k [ a ( k ) (k ) (k )(k ) a b k ( k )(k ) (k )(k ) b k (6k 5k )] 8ab k [ a ( k ) (k )(k )(k ) b k (k )] 6b k [ a ( k )(k )(k )(k ) 7 b k ]

66 [ a ( a b > se k è par)] 66 k 56 lm ( a b) d k ( a b) { k [( k )(k )(k ) ( k )( k )( k )( k ) a a k (k ) a b k ( k ) a b 6k ab 6k k k 6k b ( k )( k )( k )( k ) a b ] { 57 (a a b) a b c lm { ( a b c) a ac b log{ a( a b c) a b 8a [ a ( a b c) > ] 58 ( ) lm ( ) log{ ( ) 6, ( a b) a b c lm { ( a b c) d a ( ac b ) a( a b c) a b b c log 8 a ac b a ( ) ( )( ) lm ( ) d log 8 6, Po 59 { lm ( a b c) { a a b c 8a a (6a 5 b) a [a a(b c) b ] [ a ( b c) abc b ] c(a 8ac b( b ac ) b ) log( a( a b c) a b) 5 6 a

67 67 dove [ a ( a b c) > ( a ab a c) > ] 6 lm ( ) b( b ac) { a b c log{ 5 6 a ac b [ a( a b c) a b] [(8a ab a c(8ac b ) 8ac b ) a b c ] a b( ac b ) log( ac b ) 5 6 a 6 69 ( )( 6( ) 8 ) lm ( ) log 5 (8 7), k 6 lm { [ ( p q) a b) ] a k( k )( k ) a k p ( k ) 6 a k { a(k k k ( a b) [ k { ) ( p q) p] bk p( k ) a [ a ( k k )( k )[ ( p q) p] 6ab k(k )[ ( p q) p] b k p( k )] a q( k )( k ) a bk ( k )( k )( p 6 q) ab k q(k ) b k p [ a ( a b > se k è par)] k k 6 lm [( p q) a b)] d { k k ap ( k ) aq (k ) bk p ( a b) k[ bk p aq (k )] ( k )( k ) a ( k )( k ) a b k k k

68 Tpo r f ( ) f ( ) 68 S ha ( )( ) 6 lm ( ), lm ( ) d, ( )( ) log lm ( ), log lm ( ) d, ( ) log lm ( ), ( ) log lm ( ) d, (8 8 9) 5log lm ( ), (8 6 9) 5 lm ( ) d log, Po 6 ( ) [ ] lm ( ), lm ( ) d, lm ( ), ( ) [ ] 7 6 lm ( ) d, ( ) log lm ( ), [ ] 7 6 log lm ( ) d, ( ) log lm ( ), ( ) log lm ( ) d,8578..

69 77 6 ( ) lm ( ) log, ( )( ) lm ( ) d log, ( 8) 5 lm ( ) log, Abbamo po ache log 6 lm ( a ) a prm 7 valor delle costat d questo lmte soo postv, restat egatv 8 log lm ( ), lm ( ) log, log lm ( ), lm ( ) log, log 8 lm ( 7 ) 7, log lm ( 8 ) 8,597.. L aullameto della fuoe (9) avvee per u valore dato dalla costate 7 7,798.. Per calcolare esattamete tale valore bsoga rsolvere l equaoe co llary y lm ( y ) log y (5) la cu soluoe s rcava faclmete sosttuedo alla llary la fuoe equvalete. La llary reale della fuoe ( a ) è 6 lm { ( a ) [ alog( a) ( ) a ]

70 Per a postvo abbamo 7 86 lm ( 8 ) [8log( 8) ( ) 8 ], e a 65 lm ( a ) d log log lm ( d ), lm ( d ) log, lm ( d ) log, lm ( d ) log La llary reale dell'tegrale mpropro della fuoe precedete è 9 lm { ( a ) d ( a ) a a log( a ) log( a) Dalla relaoe precedete s rcavao faclmete gl tegral d base. La llary a 67 lm ( a ) log a è smle alla 6 (camba solo l sego davat al logartmo). Solo due valor ter d a (;) producoo valor egatv della llary precedete 9 log lm ( ), lm ( ) log, lm ( ) log, lm ( ) log, lm [ ( 5 ) ] log,578..

71 7 tutt gl altr cas le costat soo postve. Abbamo qud due valor partcolar d a (real) per l quale la llary s aulla. Lasco a vo l compto d calcolarl. La fuoe (9) geeralata alle potee r-esme [ ( R R a ) ] (5) s comporta come la sere armoca, co l'uca dfferea che questa fuoe l espoete R corrspode ella sere armoca all'espoete ( R ). Qud per R e a tero postvo qualsas, la sere coverge sempre. Sarebbe teressate trovare le fuo atagoste de lmt lmlm [ a ( a ) log ] a a lmlm ( a ) log a a ma l operaoe o è tato facle. Vedamo ora alcue sere le cu fuo atagoste hao rapport strett co umer smmetrc (la cu descroe verrà fatta modo esaustvo el prossmo lbro sulle Ode Numerche) 6 ( ) ( ) 68 lm [ ( a ) ] 96 6 ( ) ( ) lm ( ), ( ) 69 lm ( a ) d 6 6 ( ) lm ( ) d, ( ) ( )( ) 7 lm ( a ) 9 ( ) ( )( ) lm ( ), ( ) 7 lm ( a ) d 9 ( ) lm ( 7 ) d, ( ) ( )(6 5 6) 7 lm ( a ) x

72 ( ) ( )(6 5 6) lm ( ) x, ( 5) 7 lm ( a ) d x ( 5) lm ( ) d,5.. x Abbamo po l teressate sere (5) k k lm ( ) che per k produce costat, metre per k produce sere coverget (k tero). Esempo log lm ( ),7.. 8 log lm ( ) d, log lm ( ), log lm ( ) d, lm ( ),786.. covergete lm ( ) d,58.. covergete 5 5 lm ( ), covergete 5 5 lm ( ) d,55.. covergete Poedo ella () k s s ha la sere s s lm ( ) (5) Che per s s comporta qud modo smle alla sere armoca geeralata lm ( ) k j j

73 Ache L'tegrale mpropro s s lm ( ) d 7 per s ha le caratterstche della sere precedete, e della sere armoca. La llary reale dell tegrale lm ( ) d forsce ua costate fuoe d pgreca; ma è l uca fuoe d questo tpo a dare u rsultato del geere. π 6 lm ( ) d fa( ) Po 6 ( )( ) 6 lm ( ), lm ( ) d, ( 5 ) lm ( ), lm ( ) d, ( ) lm ( ), lm ( ) d, ( ) log lm ( ), log lm ( ) d, ( ) log lm ( ), ( 6 5) lm ( ) log, (6 ) lm ( ) d log, ( ) log lm ( ) d,8659..

74 r r Tpo f ( ) ± f ( ) 7 Se a è u umero tero postvo, s ha Ad esempo a 7 lm [ ( j a j) a ] ( w ) (55) j w lm ( j j) ( w ) j w lm ( j j) ( w) 8 9 j w lm ( j j) ( w) j w j w lm ( j j) ( w) lm 5 ( j 5 j) ( w ) j w E evdete che quado ( a ) è u quadrato perfetto, s ha l uguaglaa ( w) ( w) ( w) ( w ) (55) a a a a w w w w e qud valor delle costat adacet, hao le stesse cfre decmal dopo la vrgola: esempo 9 e. per le radc cubche s ha a lm a ( j a j) ( w) j w a lm a ( j a j) ( w) j w E el caso pù geerale, per qualsas valore d a, s ha a k k k k lm a ( j a j) ( w) j w Se a tede ad fto, sappamo dalle formule precedet che: lm ( ) a- ( ) a k k k a k w a w k per cu k k ka k k k lmlm[ a a- ( j a j) ] a ( k ) j

75 Da questo s rcava l lmte pù geerale acora 75 k k lmlmlm ( j a j) l k a j Sappamo che esso s può rappresetare ache come l.. Ecco duque che l catala acora ua volta u rsultato mportate su lmt. Per questo lmte d s-esmo grado possamo scrvere la relaoe a a k k k k lmlm lm...lm (... s- ) lmlm ( ) l k a a as k a j j j a a a j s j j s tpo 75 ( ) r f f ( ) a b (p p q) a lm b ( ) p q p( p q) [ p p q a b > ] 5 (8 ) 5 lm( ) 7 (7 ),57.. a b a b aq bp p( a b) 76 lm { ( ) d [ ATAN( ) p q p p aq bp aq bp bp b ATAN( ) p aq bp p 77 a b ( ) a b a b b lm blog a 8 b 9 [ ( ) ( )] 8 9 ( ) lm( ) 9log( ) 7, oppure a b a b b 78 lm ( ) a b blog( )

76 lm( ) 5 5log( ) 9, a b a b b 79 lm [ ( ) d a b blog( )] [ b > ] b lm ( ) d log( ), Po 8 a b a lm{ ( ) b a b log a b b ( ) a b b [ b a b > ] lm( ) log( ) 6, a b a b a a b b lm d log b [ ( ) ( )] a a b log( a b b) b b 6 lm ( ) d log( ), Po 7 8 a a a lm ( ) a alog( ) lm ( ) log( ),

77 a a a 8 lm [ ( ) d a alog( )] a alog( a a ) ) lm ( ) d 9 log( ), Po 8 a a lm ( ) log( a ) 9 lm ( ) log( ),88.. a a 85 lm [ ( ) d log( a ) ] a a log( ) a per a, Po 86 a a a lm ( ) log( ) a lm ( ) log( ) 7, ( a ) ( a ) lm { a a a a log( ) ( 8 ) ( 8 ) 8 8 lm 8 log( ) 65,

78 La llary d base 88 a lm ( ) a [ ] a 78 lm ( ) 8,.. 5 lm ( ) 5 7,8.. 6 a a 89 lm ( ) d a aatan( ) a a è perfetto Po a a 9 lm ( ) log( a ) per 5 6 a lm ( ) log( ), lm ( ) log( 7 ), lm ( a ) a [ d log( a ) ] a log( a a ) per a 6 7, a a 78 9 ( a ) ( a ) lm{ a a a log( a ) ( ) ( ) lm 86log( ) 5 75,96.. Abbamo la llary d base

79 79 9 lm ( ) a lm ( ), a 79 metre la llary reale è 8 lm { ( ) [ a ( a) a ( a) Po a a log( ) ( a)] a a 95 a b c lm{ ( ) a b c b log( a( a b c ) a b) a c( a b c) b c clog [ a a b c > a( a b c ) > ] 9 Po lm ( ) 7 8 log( ( 7 8) 7) 8( 7 8) 7 6 8log,88.. a b c b 96 lm { ( ) d a b c log( a( a b c) a c( a b c) b c a b) clog b log( a( a b c) a b ) clog[ c( a b c) b c] a b c a a b 7 c 8,

80 97 a b c a b c lm{ ( ) alog( a( a b c) a b) 8 b c c( a b c) b c log [ c a b c > a( a b c) > c( a b c ) > ] lm ( ) 8log( 8(8 7) 6 ) 7(8 7) log, Tpo ( ) ( ) f r f 98 p q ( a b)( p q) aq bp lm { ( ) a b a ap log p( a b) a( p q) [ a p ap > ( a b) p q > ] a b [( a b)( p q) > p( a b) > a( p q) > ] ( 7)( ) 8 lm ( ) log[ ( 7) 7 ( ) ], Cas partcolar 99 b lm { ( ) (a a b) a b a( a b) a a b a log ( ) b a b co [ a b ( a b ) ]

81 lm ( ) ( b) bl( b) b [ b > ] lm ( ) ( b) bl( b) b 7,8.. 8 a b ( ) a b b lm { ( ) a a b log ( a) b [ a a b > ] a b lm { ( ) a b b log [ a b > ] ( a b b) ( ) lm { ( ) log,8.. Po a b a b a b lm { ( ) ( a b) alog a) [ a b > ] [ ( ] lm { ( a b ) a b d sg ( ) { al og [( ( a b ) ] ( a ) sg( ) al og a b a) a b a b 5,

82 { p q 5 lm ( ) {( aq bp )( aq bp ) 5 a b 8 a p a b p q ap ( p q) log[ ( a p) ] aq bp a b a b { a p a [ a( p q) bp ] b( aq bp ) 8 p q p q [ a p a b aq bp > a p > ] a b a b { p q 6 lm [( c d) ] { ( aq bp ) a b 5 8 a p a b p q a( cq dp) bcp] log a p aq bp a b [ [ ( )] ap ( p q) { a cp a { a[ c( p q) dp ] a b a dp ab ( cq dp ) b cp p q p q [ a p a b aq bp > a p > ] a b a b s La llary geerale per > c 7 s c ( s ) c s c c (56) s c s ella quale per s par [ > c ] s c 6 77 ( ) 77 6, l lmte estremo è s c c lmlmlm [ ( s )] c (57) s c s c c

83 Tpo ( ) sf r f ( ) ± f ( ) 8 [ a > ] 8 lm ( ) a a log( a ) a 7 lm ( ) 5log(5 ) 8, lm ( ) d a a log( a ) a [ a > ] a log( a) Alcue costat partcolar 8 lm ( ) [( )log( ) 6( )( ) ( ) log( ) ], lm ( ) [( )log( ) 6( )( ) ( ) log( ) ( )], lm ( ) ( 9 ) log( ),6.. 6( ) 5 5 lm ( ) log( ) ( ( ) 95 8 ), lm ( ) log( ), ( ) 5 ( ) 6 lm ( ) [( ) log( ) ( ) 6 log( ) ( )] 7, ( ) lm ( ) [6 ( )log( )] 6 ( ) log( 6 ) 8 π 8 π 6 ] 5,898..

84 55 6( ) lm ( ) { [5( )log( 6 8 )] 5( ) 6 6 log( 8 ) 8 ( 6 5 8)] 6, lm ( ) { ( ) 5 ( )( ) log( ) ( ) log( ) ( ) log( ) ( ) log( ) ( 5 ), lm ( ) { [( ) log( 8 ) ( ) ( ) log( 6 8 ) 6 8 ( )] 6, ( ) 6 lm ( ) [( ) log( ) ( ) 6 log( ) ( )] 7, ( ) lm ( ) [ ( ) log( ) ( ) 6 6 log( ) 6 6 ] 7, lm ( ) 5,97.. ( ) 6 6( ) log( ) ( 6) lm ( ), ( ) Tpo t f ( ) r s f ± f ± f ( ) ( ) ( )

85 85 c lm { ( ) { c[ a( a b ( a b) a c) b( b c)] [( a c) log( a ( a b) c) ( b c) log( b c )] [ a b a > b > c > ] 6 5 lm ( ) { 5 [ ( 8) ( 7)] log( 5) 9log( 5)],866.. Cas partcolar lm ( ) 6log( ) ( ( ) 6 55),6.. 6 lm ( ) log( ) (6 6( ) ), lm ( ) log( ) (57 98 ( ) ), lm ( ) 6log( ) ( 5 6 ( ) 6 6 5), ' lm ( ) log( ) ( ( ) ),9685..

86 Fuo tpo (58) vf ( ) r s t ± f 5( ) ± f ( ) ± f ( ) ± f ( ) 86 Alcue fuo atagoste soo troppo complesse per essere calcolate co u computer portatle. La sere (6) dà orge a fuo atagoste d questo tpo. Tpo ( ) f r f ( ) f ( ) Abbamo molte sere d questo tpo. Per [ c > ] lm ( ) c ad esempo 67 lm ( ), lm ( ), (59) S ha lmlm ( ) c c c lm [ ( ) d c] c c 69 lm ( ) d 5, c 5 Per c r le costat soo baal. Po per [ c > ] 7 d lm ( ) d[ clog( )] c { 5 lm ( ) [ l( )],899.. d lm [ ( ) d d cdl( c ) ] cdlog( c) c 7 5 lm d l( ),

87 87 Po 5 lm ( ) a b [ a a b ] lm ( ) a b a, Se 6 a b b lm [ ( ) d ] a b a a lm ( ) d 7, b r le costat della 6 soo baal. Pù geerale abbamo d d 7 lm ( ) [ a b clog( c a b)] c a b a { [ a b a b c b ] per a 8 b c 7 d 7 6, d d 8 lm { ( ) d [ clog( c a b) a b] c a b a d [ b c log( c b )] a 75 8 lm ( ) d [5log(5 ) ], Po 9 d d lm ( ) log( c a a) c a c [ c a ] a c d 76, d d d lm [ ( ) log( c a a) ] log( c a a) c a c c a c d 77,

88 d d lm [ ( ) log( a b f c a b c da c f) c a acf bc a c a b a acf bc log( ) a c a b a acf bc ] 88 dove [ f c a b a acf bc f c a b ] lm ( ) log( 7 ) log( ), d d lm [ ( ) log ( c c ) c c d log( c) ] c [ c c ] 79 8 lm ( ) log( ) log( ) 7, d d d lm { ( ) d log[ c c ] log[ c c c c d ( c ) πd ] ATAN c c 9 c d c 7 8, d d lm { ( ) d c ( c ) d c d c log[ c c ] log[ c] [ c ]

89 8 6 6 lm ( ) log[ 5 5 ] log[ 5] 5 (5 ), d d c 5 lm { ( ) d d log[ c c ] c d c d c ( c ) πd c log[ c ] ATAN c 9 d c 7 8, Abbamo [ a > ] 8 6 lm ( ) alog( a ) a lm ( ) log(5 ) 7, lm [ ( ) d alog( a ) ] alog( a) a per a 7 8 7, lm ( ) ( a ) a [ a ] 85 lm ( ) ( ) lm [ ( ) d ( a ) ] a a a 86 6, Se a r co r tero postvo, le costat soo baal. Caso partcolare è po [ c ] 87 lm log( ) c lm log( ),

90 l suo tegrale mpropro è perfetto. Possamo vetare a pacere altre fuo atagoste della. Ad esempo 88 lm log(5 8 9 ) 5, lm log( ), l lmte estremo della è lmlm log( c ) logc a c Abbamo po b lm ( ) blog( ) a c [ c > a c ] Questa fuoe atagosta dpede dal valore d b, ma o da a e c come potrebbe sembrare a prma vsta. Es: 5 9 lm ( ) 5log( ) 7,7.. 7 Po lm [ ( ) log( a( a b c) a b c a a b) ] [ a a b c > a( a b c ) ] 9 lm ( ) log( 9(9 ) 8 ) 9 9,787.. lm { ( ) d log[ a( a b c) a b] a b c a log( ac b ) a 9 lm, d log[ (5 ) ] 5 5 d d p( a b) lm { ( ) d ATAN ( p q) a b p( aq bp ) aq bp d p( aq bp ) pb ATAN( ) aq bp dove [ p q > a b > aq bp > p( aq bp ) > ]

91 9 lm d ATAN[ (5 )], (6 ) (5 ),558 per a 9 b p 7 q d Po lm ( ) log( ), d a d da(b a) 8db lm ( ) a b 6a a b [ a a b ] lm ( ), lm [ d d ( ) ( ) ] d d a b a b b a b a a 96 lm ( ) d ( 7) 8 7, Po d cd 7 lm { ( ) ( c b)log( c c a b a d a b) [ a b ( a b c ) a d ac ] ( c a b) [ a a b c a b ] 97 lm ( ) 8log( ) [ ( 5) 9 ] ( ) 9,79..

92 9 d cd 8 lm { ( ) d ( c b)log( c a b) c a b a d {[ a b ( a b c )] ac a cd d b ( c b)log( c b) (b c ) a a 98 lm ( ) d log( ) ( ), Po d d d da 9 lm [ ( ) a c a c c c log( c a a) ] [ c a > c a ] lm ( ) 5 log(8 5 5), d d d da lm { ( ) d a log( c a a) c a c c c da log( a) c a 5 d c 6,597.. Po lm ( ) log( ),9.. La llary della sere d lm ( ) f c a b occupa ua paga tera. Vedremo l suo svluppo altro lbro. Po lm ( ) a a

93 9 lm, lm [ ( ) d a ] a a lm ( ) d l lmte estremo lmlm a a a a Dall esempo precedete e da molt altr, lmt del tpo lmlm f(, k) fa(, k ) a sembrao produrre solo costat baal; però questo è da dmostrare. Po lm [ ( ) lm ( ) a a a, lm [ ( ) d a ] a a E qud u tegrale perfetto. Per abbamo la costate 5 lm ( ) d, Po [ d ] lm ( ) lm ( d) { l log,9.. lm log,5.. ( )

94 [ d > ] 6 lm d log[ ( d) d] ( d) { log( d) 9 8 lm d log[ ( ) ], ( ) l lmte estremo della 5 è 9 lmlm l ld, d ( d) Po 7 a b c lm [ ( ) a b c a b log( a( a b c) a b) ] a [ a a b c > a( a b c ) > ] lm [ ( ) log( ( 7 5) 7 5 7),8.. 8 a b c lm ( ) d a b c a b log( a( a b c) a b) a c b log( ac b) a a a b 7 c 5, Po

95 9 ( a b)( p q) lm{ ( a b)( p q) ap bp aq log p( a b) a( p q) ( ap ) 95 [ a p ap > ( a b)( p q) > p( a b) > a( p q ) > ] ( 7)( ) 85 lm log[ ( 7) ( 7)( ) p ( ) ( ) ], ( a b)( p q) aq bp lm{ d ( a b)( p q) ap ( ap ) ( ) log ap( a b)( p q) ap aq bp log[ abpq aq bp ] aq bp bq ap ( ap) ( )( ) 5 lm d log ( )( ) 5 ( )( ) 6 86, Caso partcolare 5 a lm { ( ) [ a b ( a b) 5 5a 8b 5a ab 6b a b(5a 8 b ) 6b ] a 5 a [ a ( a b ) > ] lm ( ) ( ),877.. ( ) 5 5 5

96 5 lm [ ( ) d (a ab 8 b ) a b 5a 5 6 b a b] 5a 5 lm ( ) d (75 ) 5, Po 6 lm ( ) ( ) log( ), lm ( ) log, lm { 5 ( a b)( p q) 8 ( ap ) ( a b) ( p q) { (a q abpq b p )log[ ap ( a b)( p q) ap aq bp] ap( a b) ( p q) ap { a p ap [ a( p q ) bp ] (a q abpq b p ) bq ( aq bp ) dove [ a p ap > ( a b)( p q) > ap ( a b)( p q ) > ] Po 8 lm ( ) log( ) log( ), lm ( ) log( ), Po 5 lm { ( ) 5 a b c 8 a ( a b c) { (ac b ) a b c log( a( a b c) a b) a[ a a ( a b) (ac b ) bc ]

97 [ a a b c > a( a b c ) > ] 97 e a b 55 lm [ ( ) d a b c a b c a b ac log( a( a b c) a b) 5 8 a b ac b c log( ac b) 5 8 a a 56 d a d lm { ( ) log( g a a) 5 g a g { d[ g( g 6 a) a 6 g ( g a ) g g (a g ) a ] ] [ g g a g a a > ] Caso partcolare c 57 lm c log( c ) c lm log( ) 5,559.. c 58 lm ( ) d c log{ [ ( c ) ] c c ( c ) c c ( 7 )( 6 ) lm ( ) d 6 log, c 59 lm ( ) c log( c ) c c

98 lm ( ) log( ) 79,65.. c 98 Per r la sere seguete r lm r ( a ) è covergete a 5 r 7, Ache la llary d base r lm log( ) r r r r r ( a ) ra a porta agl stess rsultat a 5 r 7, Po 6 a b b lm ( ) log( ) a b b a b b [ b > a b > ] 8 5 lm ( ) log( ), a b b lm [ ( ) d log( )] a b b 6 log( a b b ) b lm ( ) d log( ), Abbamo po 6 lm { log( ap( a b)( p q) ( a b)( p q) ap ap aq bp ) ( a b)( p q) [ a p ( a b)( p q) > ap( a b)( p q ) > ]

99 99 7 lm log( 6( )( ) 5), ( )( ) 6 ( )( ) 6 lm { d log( ap( a b)( p q) ( a b)( p q) ap ap aq bp ) log( apbq aq bp) ap a 5 b p q 8, Po 9 ( a ) 6 lm ( ) a a ( ) a 6 ( 5 ) lm [ ( ) 5 5 ( ) 77, ( ) 65 lm [ a ( ) ( ) ] a d a a ( 5 ) lm ( ) d ( 5) 8, a a ( a ) 8a lm ( ) a a ( a ) lm [ ( ) 9 8 ( 8 ) 5, ( ) 67 lm [ a ( ) d ( a ) ] a a È qud perfetto. vece per a la questoe è dversa. Ad esempo ( ) lm ( ) d ( 8) 6, Po

100 a 5 5a 6b 68 lm { ( ) [ a b ( a b) a ab 8 b b(5a 8 b ) 8b b ] 8a a 5a 5a [ a a b > ] lm ( ) 5, ( 5) a b 69 lm [ ( ) d (5a 6a b 8ab a b 5a b 6 b )] 5a 7 lm ( ) d (5 8), Po a 7 lm [ ( ) d ] a ( a ) a 7 ( 5 ) lm { b ac b ( ) 7 a b c 6 a log[ a( a b c) a b] a ( a b c) { 6 5 8a 6 a ( a b) a (a ab b ) a [ a (5b c) 6abc b ] (a c 8a c ab c 5 b ) 6 bc (5b 7 ac ) c (6ac 5 b ) [ a a b c > a( a b c ) > ]

101 7 8 8 lm { ( ) [ 896a 5 7 a b a ( a b) a (6a 8 b) a (5a 5ab b ) 5 5 a b (65a 7ab b ) 5 a (a a b 576ab 56 b ) 8 a b (9a 8a b 56 b ) a b (8b 7 a ) 8 ab (56b 8 a ) 768 b ] [ a a b > ] 5 7 lm log( a ) ( a ) a { lm log( 9 ),97.. ( 9 ) 9 L tegrale che segue per è perfetto. per ATAN( ) ( a ) 7 lm { d a ( a ) 8 a ( a ) 8a ATAN( ) a a 8 a ( a ) 8a a 9 6, lm log( a ) a ( a ) a { lm log( 7 ), ( 7 ) 7 76 a log( ) ( a ) lm { d a a ( a ) 8 a ( a ) 6a log( ) ( a )( a a ) a 8 a (a ) 6a

102 a 8, Po 9 77 lm ( a ) a ( a ) { lm, ( 5 ) ( 5 ) L tegrale della fuoe precedete 78 lm { [ ] d ( ) ( a ) a a è perfetto. Po lm ( ) log( ) ( 5) (8 5), lm ( ) log( ) log( ) ( ), ( ) lm ( ),895.. lm ( ) d, lm ( ) log( ), lm [ ( )] log( ) ( 8 8( ) ), lm [ ( )] log( ) (8 ( ) 7 6), Po d 79 lm ( ) d[ c c log( c )] c [ c ] 7 { 7 lm ( ) [ 8log( )] 56,876..

103 d 8 lm [ ( ) d d ( c) c dlog( c ) ] c c dlog( c) 8 lm ( ) d 6 ( 6) 8log( )] 8, Po per [ a > ] 8 lm ( ) a 9 lm ( ), e lmlm ( ) ( a ) a a 5 8 lm ( ) d ( a) a a lm ( ) d ( ), Po d d 8 lm { ( ) [c log( a b c) ( a b) c a b a d c a b] ( c a b) [ a c a b ] lm ( ) [log( ) ( ) 8 ] 5, ( ) d c d 8 lm { ( ) d log( a b c a b a d c) c) [ ( a b) c( a b)] a c d d log( b c) b( b c) a a

104 Per d a 6 b 5 c 5, partcolare s ha la llary d base 85 lm ( ) ( a b) a b a [ a a b ] 5 lm ( ) ( ), e la llary reale 86 a b ( a b) lm ( ) a b a a b 5 5 (5 ) lm ( ) 5 5, lm [ ( ) d ( a b) ] b a b a a 55 lm ( ) d ( 5), Po 56 log[( a b) b ] log{( a b) [ b( a b)] b lm ( ) d a b b b [( a b) b ] log{( a b) b [( a b) b ] ata ATAN { { log{( a b) [ b( a b)] b b b b b b b Vedamo ora ua llary reale 89 6 a a (5a b) 9b lm ( ) a b a a b [ a a b ] lm ( ),

105 ( )( ) 9 lm [ a b a b ( ) ] b d a b a a ( 6)(5 ) lm ( ) d, lm { ( ) [5a a b 6 a ( a b) 6 a (5a b) a (5a 9ab 7 b ) ab (5a 7 b ) b ] [ a a b ] lm ( ), ( ) 8 (5 6 9 )( ) 7 9 lm [ a ab b a b ( ) ] b d a b a a Po 6 ( 6) lm ( ),597.. ( ) 6 ( 6) 6( ) log( ) lm ( ),67.. ( ) 6 8 lm ( ) log( ), lm ( ) [ ( ) ], lm ( ) { ( 5 )( ) ( )( ) log[ ( 5 ) ) ] ( 5 )( 5 )log[ ( 5 ) ) ] ( 5 ) log( ) ( ),5.. Passado alle radc quarte, abbamo 9 lm ( ) ( a b) a b a

106 [ a a b > ] 65 lm [ ( ) (5 5) 5 5 5, lm [ ( ) d ( a b) ] b a b a a lm ( ) d ( 8), Po 95 d d lm { ( ) [ c ( c c a b 6 a( c a b) a b)log( c a b) c ( a b) c a b c a b 8a a 8 b] [ a c a b a b ] 67 lm ( ) [9( ) log( ) 8( ) 8 ( ) 8 9 ] 6, d d 96 lm { ( ) d [ ( a b) c a b a c d c a b 6 c a b] log( c a b) a d b c d ( b 6c c b) log( c b) a a 68 lm ( ) d ( 5) log( 5) 7, a a (a 8 b) b lm ( ) a b a a b [ a a b > ] 69 lm ( ),

107 98 ( ) ( ) ( ) ( ) lm [ a b a b ( ) ] a b a b d a b a a 7 (9 ) ( ) 7 lm ( ) d, Po 99 lm { ( ) a b 696 a ( a b) 5 [a a (77a 8 b) a (59a 88ab b ) 8 ab (77a b ) 8 b ] [ a a b > ] lm ( ), ( ) lm [ ( ) d (a ab b ) a b a 7 8 ( a b) ] a b lm ( ) ( 8)( ) 77, Po lm ( ) log( ) log( ) [5 5 ( ) ], lm ( ) log( ) (8 7 6 ( ) ),57.. Abbamo po alcue llary d fuo coteet la radce k-esma: ak k( a b) a lm ( ) k k a b a( k ) a b

108 8 [ k > a a b ( a b > sekèpar )] 75 lm ( ), k k k k k ( a b) k b lm [ ( ) ] k a b a( k ) a( k ) 7 7( 6) 76 lm ( ), Abbamo po 6 lm { ( ) k k a b a ( k )( k ) a b) { a k( k ) a[ a( k )( k ) bk ] b k [ a a b ( a b > se k è par )] lm ( ), ) k k k[( k ) a kb] ( a b) lm { ( ) d k a b a ( k )( k ) k k k b ( k )( k ) a 5( 5)( ) 78 lm ( ) d 5 Po 5 lm { ( ) k k ( a b) k a b { 5, a ( k )( k )( k ) a k ( k )(k ) 6a k ( k ) [ a(k )(k ) bk ( k )] a [ a ( k )(k ) (k ) 6abk( k ) (k )( k ) b k ( k )] abk [ a ( k )(k )(k ) b k ( k )] b k

109 [ a a b ( a b > se k è par )] lm ( ) d k a b k k k[( k )( k ) a k( k ) ab k b ]( a b) ( k )( k )( k ) a k b ( k )( k )( k ) a ( 5)( 5) lm ( ) d, k k Questa fuoe preseta otevol dffcoltà al calcolo 7 k lm ( ) log k r 8 6 lm ( ) log,7.. 7 CAP V - Sere armoca specale 8 lm ( ) log k La fuoe atagosta o dpede da k, ma forsce ua costate dversa per og valore d k (sa tero che o). Per [ k ;] abbamo 8 8 lm ( ) log,76.. lm ( ) log,5.. e l lmte estremo lmlm ( ) log k k γ Sere Partcolar Abbamo la llary d base

110 8 lm ( ) log,7.. La llary reale d questa sere dvergete è vece molto pù complessa della precedete 8 ( )[ ( )] lm ( ) log {( )[ ( )], lm ( ) d ( ) log{( 8)[ ( ) ],.. Po ( ) lm ( ) log, lm ( ) d log, ( )( ) lm ( ) log,666.. ( ) 89 lm ( ) 5 log, ( )( )( ) 5 lm ( ) log, ( ) ( ) lm ( ) log, ( )( )( 6 ) 7 lm ( ) log, ( ) ( 6 ) lm ( ) log, ( )( )( ) 9 lm ( ) log, ( ) ( )( ) lm ( ) 5log, ( )( )( )( 9 5) lm ( ) log,96.. geerale, se h è la potea della varable, la fuoe atagosta d questa sere è h e la sua llary h h ( ) log

111 h h 9 lm ( ) h( ) log h h 97 Po ( ) ( ) ( ) lm ( ) log[ ( ) ], ( a) lm ( ) ( ) a a a a 7 98, ( ) ( ) lm [ a ( ) ] a d a a a 99 ( 7) lm ( ) d, a lm { ( ) log( ( a) ) a 8 { { ( a)[ ( a)( a ( a) a) ( )] [ ( a) a] [ a a > ] ( a) ( a) lm ( ) d a 8a a a log( ( a) ) log( a) 8 8 [ a a > ] ( ) ( ) lm ( ) d log( ( ) ),

112 { lm ( ) { ( 5 a 7 a ( a) a 56 88a 5 a ) a a { [ ( a) ) a(6 5 a a ) ] 6 (6 5 ) (5a 8) a (5a ) a 6 ( a a ) [ a a > ] { 5 5 ( a a ) a lm [ ( ) d ] a 5a a 5 5 ( 8) lm ( ) d, Po [ ( )] ( ) ( ) lm ( ) ( 7) 8 log[ ( ) ], lm ( ) log[ ( ) ] [( ( ) 5 5) ( ) 8 ( )( )], Tpo f ( ) s f r f ± f ( ) ( ) ( ) 6 lm { ( ) { a a a a { a [ (a 5) 8 a ] ( 5) 5[ ( a) a] [ a a > ]

113 7 lm { ( ) { a a 8a a { a [6 (a 5) 6a a ] a 5 (5 a 5 5 a) [ a a > ] 8 lm ( ) [ ( a b )] a b) ( a b) [ a b a b ] { Ad lm { ( ) [ 78] 7, ) 7 5 lm ( ) [ 86], b) la llary reale è 9 lm { ( ) [ ( a) a b ( a b) ( b) ] 6 lm ( ) [ ( 7) ( 5) ] 7 5, a 7 b 5 6 lm ( ) [ ( 5) ( ) ] 5 7, Po lm { ( ) d [ ( a) ( b) ] a b ( a b) ( a b ) ( a b) 8 lm ( ) d [ ( ) ( ) ] 5,

114 lm ( ) [ ( a) ( b) ] a b ( a b) [ a b ] 9 { lm ( ) [ ( ) ( ) ], lm { ( ) d [ ( a) ( b) ] a b ( a b) ( a b ) ( a b) lm ( ) d [ ( ) ( ) ] ( ), Po ( a b p q) lm { ( ) a b p q a p aq bp ( aq bp a p p q) log[ ( a p) ( a p) b q a p a b aq bp a p a b aq bp ] [ a p a b p q ( a p) b q ] [ a p a b aq bp ] e a b 5 a 7 b p 7 q p q,95.., lm { ( ) ( a a b ( a b) b) [ alog( a ) b ( a b) log( b )] [ a > b > a b ] a b lm { ( ) ( 7) [ log( ) log( 7 )],59.. 7

115 5 5 lm ( ) ( a b) a b ( a b) a b log( a ) log( b ) ( a b) ( a b) [ alog( a) blog( b)] ( a b) 7 6 lm ( ) ( 7 6) log( 7 ) log( 6 ) 7 6 6, lm{ ( ) { ( ) a b 8( a b) [ a ( ) b ( )] (a )log[ a ( ) ] (b ) log[ b ( ) ] [ a b a > b > ] a b 5 5 7, ( a b 7 lm{ ) { ( ) 8( a b) a b 6 [ a ( ) b ( )] (a )log[ a ( ) ] (b ) log[ b ( ) ] 8( a b) [ a b (a ) log( a ) (b ) log( b ) ] ( lm ) { ( )[ ( ) ( )] 8 7log[ ( ) ] log[ ( ) ], Po 8 d lm ( ) a p d( )( a p ) [ ] 6( a p) [ a > p > a p ] 5 5( )( ) 7 lm ( ),

116 6 l seguete tegrale per è perfetto. per 8 e d d 9 lm ( ) d ( a p) a p ( a p) [ ] d ( a p) ( a p) lm ( ) d ( 7 ), d lm ( ) a p d( )( a p ) [ ] 6( a p) [ a > p > a p ] ( )( ) 9 lm ( ), Ache l seguete tegrale per è perfetto. Per abbamo d d lm [ ( ) d ( a p) ] a p ( a p) d ( a p) ( a p) 5 5 lm ( ) d ( ) 5, Po d lm ( ) a p d(6 5)( a p ) ( a p) [ a > p > a p ] (6 5)( 7 6 ) lm ( ), Ache l seguete tegrale per è perfetto. Per abbamo d d lm ( ) d ( a p) a p 5( a p) [ ] d ( a p) 5( a p)

117 7 lm ( ) d ( 5 ), Po d lm ( ) a p d(8 8 5)( a p ) [ ] [ a > p > a p ] 68( a p) 7 7 (8 8 5)( 5 ) lm ( ), (5 ) Ache l seguete tegrale per è perfetto. Per abbamo d d 5 lm [ ( ) d ( a p) ] a p 7( a p) d ( a p) 7( a p) lm ( ) d ( 5 ), Po l ecceoale sere dvergete co [ a > p > a p a b > p q > a b p q ] 6 ( ) lm { q b aq bp ( ) 5 a b p q ( a p) ( b q) log { [ ( a p) ( a b) aq bp] ( a p) b q [ ( a p) ( p q) aq bp ] ( a p) ( a b) aq bp 6 ap ( a p) ( a b p q) { a b { p a b [ a ( a p) a(q b) bp ] [ a q ap ( b q) bp ] p q ap ( p a) ap [a a(p q) p(b p q)] aq [ aq p(b q)]

118 8 Po 7 6 d 6 b 6b lm [ ( ) d ( ) a b a a a 6db 6 log( a b) a ] [ a a b a 6 b > ] a b d lm ( ) 6 ( ) log( ) 8,95.. per [ a b d ] abbamo lm ( ) 6 6log( ),57.. d d 8 lm { ( ) d 6 (a ab 6 6 b ) a b a 6db 6 6db log( a b)] log( b) a a lm ( ) d 5 [ ] log( )] 66, Po lm ( ) log( ), ( ) 9 6 lm ( ) 6log( ) ( ) 7( ) , Tpo f 5 ( ) r s t f ± f ± f ± f ( ) ( ) ( ) ( ) Queste llary soo molto complesse, e ache per la fuoe pù elemetare

119 a b c 9 s devoo scrvere tere page d formule. Rmadamo ad altr scrtt la loro classfcaoe. CAP X - RADC D POLNOM Alcue d queste fuo producoo llary abbastaa semplc; ua d queste è k k k- k- 9 [ k- k- lm ( a a... a a ) ( ak- k) kak- ( k ) a k- log k k Per k k - k [ ak- ak a a > a se k èpar e k > sempre ] La fuoe atagosta d questa llary è flueata solo dal grado della radce e dalle prme due costat del polomo ( ak-, a k-) ; le altre costat determao solo la rapdtà della covergea della sere. Esempo lm ( ) 86 log 5, Nel caso sa [ ak- a k- ] la fuoe () perde l logartmo ( ) lm ( a... a a ) k k k- k- 7 7 lm ( 8 ),6.. Abbamo po lm ( ) log k k k- k- ak- ak-... a a k k - k [ ak- ak a a sempre ] e k k - k [ ak- ak a a > se k è par ] lm ( ) log,86.. lm ( ) log, ]

120 Pù complesse soo le llary delle sere s k k - k ak- ak- - a a lm (... ) per le qual bsoga utlare l algortmo geerale, la cu formulaoe verrà descrtta ell ultmo captolo. Po [ a > ] o ache 5 J lm j a a 6 ( ) J lm j 5 5 6, J 6 lm j a ( a ) J lm j 5 ( 5) 6, lm [ ( j a) d ( a ) ] a j 6 lm ( j 5) d (5 ) 7, j Abbamo la llary d base [ c > d > ] 5 j c c d lm[ ( ) log] J j d 7 j 7 lm( ) log,86.. J j La llary reale è pù complessa, ed è j c d c 6 lm ( d)( c) J j d ( d ) c log ( ) c d d { ( ) [ d > c c d ( d) c ( ) > ] c d d 8 j 7 ( ) 7 lm ( )( 7) log ( ) 6,86.. J j ( )

121 Po j c 7 lm [ ( ) d ( c )( d ) ( c d)log( c j j d ] d ) cd ( c d)log( c d) c 7 d 9, S può estedere l rsultato a frao della forma j c j c ( c c) ( d d) 8 lm ( ) log J j d j d [ d > d > c c ] j 9 j 7 95 lm( ) log 5,.. J j 8 j 68 Pù geerale se ( c, c,..., ck d, d,..., d k) soo umer ter postv, s ha k k cs s f df j c j c... j ck 9 lm ( ) log J j d j d... j dk k [ d > d >... d k > d > d >... d k > ] j j 5 j lm( ) log,797.. J j j j c c 5 c d d d,797.. La llary reale della sere precedete è otevolmete complessa. CAP X - RADCAL MULTPL r r Tpo f ± f Questo tpo d fuo forsce delle teressat costat. 8 6 log lm j j, J 8 6 log lm ( j j) d j, j 6

122 La costate reale della sere precedete è lm ( j j) ( ) ( ) log( ),8.. 8 J ed è charamete pù complessa d quella d base. S ha pure e 5 6 lm ( j j) ( ) ( ) log( ),9.. 8 J 9 ( ) 9 lm ( j j) log[ ] 6 log{ 9 9 ], Po b a 5 lm { ( a b ) [8(b ab b a ) 5 b ] [ a > b a b > ] 7 lm ( ) ( ) 5, lm ( 7 5 ) ( ) , lm ( a b ) d (b ab a ) b a 5 5b 8a 5b 9 lm ( ) d (7 ), 59.. costate baale 5 5 lm [ ( a b ) (b ab ν 5b a ) b a b a] dove [ b a ν ( ) ] b 5 lm ( 7 5 ) ( ) ,

123 5 lm { ( a b ) ( a b ) a ab a b b a b a 8 a log[ a( a b ) a b] 5 [ a a b > ] 5 { lm ( a b c) (a b 8a 6a 8ac b) a b c a b( b ac) log[ ab ( a b c ) a b b ] 5 8 a [ a b a b c > ] Tpo f r f r ± f (6) 55 lm { a b ( ) [(b 8ab c b a b 6a 5 b ) ] c [ b c a b > ] Po 56 [ b a b > ] a b a b lm { ( ) [ b 6b 8 ( a b ) ]

124 Tpo r f ± f r f a b b a a 57 lm ( ) b a alog [ ( )] [ a b > b a > b a a > ] 5 lm( ) log,8.. a b b a a 58 lm ( ) d b a alog [ ( )] ( ) ( b a) alog b a a 5 Po lm ( ) d 5 5log( ), a b (8 ) a b lm a b log[ a a ] { ( ) [ a b > a b > a b a > ] 5 e 5 (8 ) lm( ) 8log( ), lm ( ) log, 8.. ( ) lm ( ) d 7 log( 9 6 7) 9, La llary della sere seguete a b c p q lm{ ( ) occupa pù d ua paga; vedremo l suo svluppo altro scrtto. Tpo Le pù semplc soo: f f f ± f r r (6)

125 ( ) lm ( ),68.. lm ( ) log( ), lm ( ) log( ), lm { ( ) c a b b ( c a b ) { c ( a c )( c b a)log( c a b ) c ( c a)( c a b )log( a c) c a b )[ b (a c )] b b (c a) 8a ac b [ b c a b a b ] La fuoe atagosta della sere c a b è molto grade, l suo svluppo occupa pù d ua paga d questo lbro; ma acor pù grade è quella della fuoe c a b Esse verrao dscusse altr scrtt. Tpo r f ± f r 5 f f ± f r r (6) ache queste fuo hao llary molto complesse. La pù semplce d esse è

126 6 a b c d lm { ( ) { ( ad bc )( ad bc ) 5 a c 6 c( a b) a( c d) log ac (ac ad bc) ad bc a b c d abcd ( ad bc) a b c d [ a c ad > bc > c d > a b > ] e [ c( a b) > a( c d) > ] r s t Tpo f ± f f (6) lm { ( ) { ( ) 5 6 a b c b c a { log [ a ( b c) b c] ( b c) ab a c b c a ( b c) b c a [ a ( b c) [ a ( b c) b c] ( b c) 8a ( b c)] b c 6 a ( b c) a { [ a c > b c > a b c > b c ] e [ a ( b c) b c > ] CAP X - SERE CON FRAON CONTNUE Molto teressat soo ache lmt lm[ ( j ) l ] γ, j j

127 lm[ ( j ) dj l ] j ( ) lm [ ( j ) l], j j j lm [ ( j ) dj l, ] j j ( ) lm [ ( j ) l],967.. j j j j lm [ ( j ) dj l], j j j Se l umero d frao è llmtato (fraoe cotua), avremo 6 ( ) lm [ ( j ) log( ) ], j j j j j... j 6 lm [ ( j ) dj log( ) ],799.. j j j j... j Po ( ) lm [ ( j ) ],69.. j 65 j lm ( j ) dj j 66 ( ) lm [ ( j ) ],68.. j j j 67 lm [ ( j ) dj, ] j j...

128 68 ( ) lmlm [ ( j ) ],5.. r j j j... j.. r j r j 8 Po 69 lm [ ( ) ], lm [ ( ) ], lm [ ( ) ], lm [ ( ), lm { ( ),8.. 5 lm [ ( )], lm { ( ), lm { ( ),7997..

129 lm { ( ), lm { ( ), Per u umero qualsvogla d frao ( ), s ha 5 6 lm ( ).. La fuoe atagosta è la stessa sa che la fraoe cotua esame abba u umero par d frao, che dspar (ache se l loro umero è llmtato). l lmte estremo della llary per u umero llmtato d frao coverge alla costate 79 5 lm [ ( ) ], Se predamo cosderaoe le radc cubche, per u umero qualsvogla d frao (fraoe cotua fta), s ha 6 lm ( ).. Lasco a vo l compto d calcolare la costate geerata dalla fraoe cotua

130 8 lm ( ).. [...] Per le radc quarte 5 65 lm [ ( ) ] 5.. Lasco sempre a vo l compto d calcolare la costate geerata dalla fraoe cotua 8 5 lm ( ) Per la geerca potea k, e u qualsvogla umero d frao ( ) s ha k k k k k k k k 66 lm ( ) k k k k k.. k lm [ ( ) ], Supersere del prmo Orde Ua supersere d prmo orde è la somma d d ( d ;;;..) frao cotue fte, d cu ogua che segue ha u elemeto pù d quella precedete. Qud la prma è data solo dalla varable j, po l umero d varabl j aumeta d u utà ad og fraoe che segue, fo ad arrvare all ultma che ha d varabl j e ( d ) frao. lm ( ) { [ j] j lm { [ j ( j )] ( ) log, γ j j

131 lm { [ j ( j ) ( j )] ( ) log,85.. j j j j lm { [ j ( j ) ( j ) ( j )] ( ) log, j j j j j j j 5 lm { [ j ( j ) ( j ) ( j ) ( j )] ( ) log, j j j j j j j j j j j lm { [ j ( j )... ( j )] ( ) 5log,675.. j j j j j j j 7 lm { [ j ( j )... ( j )] ( ) 6log, j j j j j j j j 88 lm { [ j ( j )... ( j )] ( ) 7log,79.. j j j j j j j j j 89 9 lm { [ j ( j )... ( j )] ( ) 8log,779.. j j j j j j j j j j Se d è l umero d varabl j dell ultma fraoe, s ha la llary

132 9 lm { [ j ( j ) ( j )... ( j )] j j j j j j j... j.. d ( ) ( d )log La 9 è valda sa per d par che per d dspar, ache se le due fuo par e dspar crescoo modo dverso. No è oto se l lmte della llary precedete per d assume u valore fto (o addrttura due valor: uo per d par e uo per d dspar) o è dvergete. Supersere del secodo orde Ua supersere del secodo orde è la somma d p supersere del prmo orde, d cu ogua che segue ha ua fraoe cotua fta pù d quella precedete. Qud la prma è data solo dalla varable j, po l umero d frao aumeta d u utà ad og somma successva, fo ad arrvare all ultma che ha p varabl j e ( p ) frao. Soo del tpo lm ( ) log { [ j ] j lm { { j [ j ( j )] ( ) log γ j j 9 { { j [ j j ] [ j j j ] j j j lm ( ) ( ) ( ) ( ) log, j j 9 { lm j j ( j ) j ( j ) ( j ) j j j j j { [ j ( j ) ( j ) j ] 5 ( ) 6log,65.. j j j j j j se p è l umero d elemet che compoe ua supersere del secodo orde, allora la llary è 9 { {[ j] [ j j ] [ j j j ]... [..] j j j lm ( ) ( ) ( ) j j p( p ) p( p ) ( ) log

133 E' charo che esstoo supersere d orde superore al secodo e d gradea qualuque, ma l calcolo delle costat da loro dervate, dveta pù complesso, soprattutto per le dmeso d queste fuo. E possble oltre studare altre supersere, sosttuedo la varable j co altre fuo (ad esempo la k j ), ma lasco al lettore questo compto. Frao Ultracotue Data la fuoe f ( j) f( j) f( j) f( j)... f( j)..... f( j) (6) Se f ( j ) vee serta fte volte al posto d f( j ) s ottee ua fraoe ultracotua. l rsultato d questa operaoe teratva, dveta teressate per ostr stud, quado f( j ) è u valore umerco. Ad esempo se f( j ) s ottee 5 f ( j ) che è l umero aureo. questo caso s ha ua fraoe ultracotua d grado ero. Sosttuedo f ( j ) al posto d f( j ), s ottee f ( j ) Rpetedo pù volte l operaoe s ottee la successoe d valor f ( j) f ( j) f 5( j) f 6( j) f 7( j) f 8( j) f 9( j) f ( j) f ( j) f ( j) f ( j)... f ( j) f 5( j) f 6( j) f 7( j) f 8( j) e al lmte estremo per, la fuoe probablmete coverge verso l umero Ultraaureo f( j ) 6,... U buo programmatore può faclmete vedere se è verfcata questa codoe o se occorre trodurre la fuoe log.

134 E charo che s può applcare ella fuoe precedete, al posto d j, u valore costate oto, ad esempo π. Come chameremo questa uova costate: Ultrapgreca! Per avere altre costat, s può ad esempo sostture a j altre fuo. CAP X - FUNON SPECAL Fuoe Del per umer atural. Se è u umero aturale, a u umero tero ( a ), e ε u umero reale (,,,,... ) < ε a s ha la fuoe (65) D el ( ) ε ε a a a a La fuoe D el( ) produce la successoe umerca seguete Del (66),...,,,, ( a- ), (a),(a),(a),...(a-) (a),(a),(a),...(a ),..,,,...,,,,...,,,,...,.. Questa fuoe geera solo utà o er. Le utà s rpetoo alla dstaa d a umer. La fuoe D el( a) assume valore per uguale k a ( k,,,...) metre per tutt gl altr valor d vale ero. Per spostare l utà ella successoe (66) d u posto, e avere la successoe Del (67),...,,...,, ( a- ), (a),(a),(a),...(a-),,,...,,,,...,... ε s utla Del( ) ε a a a a Per spostare l utà avat d r post co < r < a (,,,,... ) (68) D el ( ) r r ε r r ε a a a a Potremo chamare r vettore umerco. Per avere ua successoe d uo e ero a due valor

135 Del... (69) 5 s poe ella (65) a < ε (7) Se a co ero D el( ) ε Del... (7) S ha (7) D el( ) ε Le successo D el( a) soo utl molt camp d lavoro, fra quest, lo studo delle costat geerate dalle sere alterate, che vedremo el cap. XV. Ma l utltà prcpale della fuoe D el( a) s trova prcpalmete u campo della matematca che s chama Teora Dell'terferaoe (TD), che ho deato govetù, ma della quale per ora o ho pubblcato rsultat. La TD è ata dalla ecesstà d semplfcare le formule che operao sugl ter. pratca s cerca d rdurre pù formule ad ua sola. Ad esempo se esste per u dato problema, ua formula per umer par e ua per umer dspar, s cerca d creare ua che sa valda per tutt umer atural. questo lbro m lmterò a dare solo alcu acce della TD, per la quale passato ho fatto molt stud. Essa sarà dscussa per esteso uo de prossm lbr che rguardao u argometo per l quale ho dedcato vet a della ma vta: la Teora Delle Ode Numerche e Atumerche. questa teora propogo u uovo metodo geerale per affrotare alcu problem matematc. Vedamo alcue applcao della TD. S vogla trovare ua fuoe P( ) che per par da u valore tero m, e per dspar m (). Per rsolvere questo problema, assocamo ad m la successoe (69) e a m la (7) P m m... (7) avremo

136 Ps m m ( ) ( ε ) ( ε ) 6 S vogla po trovare ua fuoe che rpeta modo cotuo tre cfre dverse fuoe d, come fgura (7). Assocamo alla successoe tre altre successo dervate dalla (68), d cu la prma al umero m, la secoda a m e la tera a m P m m m (7) Ps m m m ( ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) Possamo estedere l problema e trovare ua fuoe d per ua successoe rpettva d a cfre dverse fra d loro. Esempo P.. (a-) a (a)(a)(a)(a).. (a-) m m m m a a a Ps( ) m ε m ε... ma ε a a a a a a Che s può ache scrvere a j j Ps( ) [ m( j ) ( ε )] j a a ( ) ( ) ( ) Può dars che questa formula possa essere ulterormete semplfcata, ma certo o è compto facle. Per avere ua successoe smlare alla (66) ella quale valor () s alterao a valor d (-) ( )..( )..( ).. S procede così. amo a raddoppare gl er raddoppado a co la fuoe...

137 (75) vertamo po co - D D elω( ) elω ( ) ε a a ε a a 7 ( )..( )..( ).. Sfasado l posto delle utà egatve e posoadole sulla metà degl er s ha la successoe co a a ε DelΩ ( ) a a da cu sommado questa co la successoe (75) otteamo la successoe cercata ε a a ε DelΩ ± ( ) (76) a a a a ( )..( )..( )..( ).. Per spostare le utà mateedo varata la loro dstaa, utlamo l vettore r r r ε a r a r ε DelΩ ± ( ) a a a a Se r è postvo le utà s spostao a destra lugo la retta della successoe, se r è egatvo s spostao a sstra. Per og varaoe d r multpla d a, la successoe rtora ad essere la stessa. Per a s ha ε ε D el ± ( ) ( ) coè la successoe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. Fuoe Del per umer real Se la varable R è u umero reale, e voglamo otteere la successoe.. modo tale che sao rspettat lmt

138 8 < R b b < R b b < R b b < R b b < R 5b 5b < R 6b 6b < R 7b 7b < R 8b Suddvso cascuo u tervallo b. La successoe questo caso vee prodotta da R R R ε b b b ε ( ) D el( R) (77) Se a è u tero, e R e b umer real, co la fuoe D ela( R) R R b b ε a a < ε a (78) s ha la successoe R / B,,,...,( a- ), (a),(a),(a),...(a-), (a),(a),(a),...(a ),.. Del,,,...,,,,...,,,,...,.. Tutte le fuo appea vste hao delle fuo corrspettve el campo della trgoometra (coè che dao gl stess rsultat); ma a dfferea d queste soo molto pù semplc. Ad esempo la successoe,,,,,5, 6,7,8, 9,,, t( ),,,,,,,,,,,, 5,... vee descrtta a paga 9 del lbro: Le sequee de umer ter (edtrce Hoepl), dalla fuoe d P. Barry, π ( k) π t( ) { ( k )cos[ ] 6 k per la quale ( ; k) soo ter. Ma s può però otteere la stessa successoe co la semplce fuoe U altra successoe d P. Barry t( )

139 π ( k) π t( ) {( k )cos [cos( ) ( ) ] k geera la successoe de umer dspar rpetut quattro volte 9,,,,,5, 6,7, 8, 9,,,... t( ),,,,,,,, 5, 5, 5, 5, 7,... Ma forse è pù semplce utlare t( ) A volte duque, basta studare problem co u'altra ottca, per arrvare a soluo pù semplc e rsultat pù teressat. Questa partcolartà della matematca c rvela qual è la sua atura: la semplctà. Se ora operamo u cotesto pù geerale, e voglamo realare la successoe de umer atural rpetut a volte,,,,..,( a ), a, ( a ),...(a ), ( a), ( a ),..., (a ), t( ),,,,...,,,,...,,,..., la formula è t( ) a Per la successoe de umer par (rpetut a volte),,,,..,( a ), a, ( a ),...(a ), ( a), ( a ),..., (a ), t( ),,,,...,,,..., 6, 6,... 6, S ha t( ) ( ) a Per la successoe de dspar (a volte),,,,..,( a ), a, ( a ),...(a ), ( a), ( a ),..., (a ), t( ),,,,...,,,..., 5, 5,... 5, abbamo t( ) a Fuoe ERF Uo de poch cas cu la fuoe d base è uguale alla fuoe reale è quello della fuoe ERF: 9 lm [ ERF( ) ],

140 95 e lm [ ERF( ) ] erf( ) π, log lm [ ERF( )],96.., ( ), / erf( ) lm[ ] lm, ERF( ) 99 log lm [ ERFC( )],96.., Fuoe Dgamma 69 lm [ ψ( a )] log[( a )!] log a { 5 lm [ ψ( ) ] log(!) log, lm [ ψ( ) ] log[( )!] log,56.. lm [ ψ(7 ) ] log[( 7 )!] log, lm [ ψ( )] alog[( )!] log a a { lm [ ψ( )] 5log[( )!] log, Vedamo ora alcue costat che o dervao da sere o tegral a 7 lm [ ψ ( )] ( γ) a { 5 5 lm ψ ( ) ( γ) 8, lm ψ ( ) ( γ) 8, Co a umero reale s ha

141 7 lm ψ( a ) log 56 lm ψ( ) log 5, lm ψ( ) log, { 7 lm ψ( ) log a { Fuoe d Fboacc 58 φ log lm, Fboacc( ), dove φ 5 è la seoe aurea. 59 log lm φ, log[ Fboacc( )] log dove logφ, / Fboacc( ) lm, lm 5 / ( ) Fboacc Fboacc [ ( )], lm 5 / ( ) Lucas Fboacc [ ( )], lm, / ( ) [ ( )] Pell Fboacc 5 / Pell( ) lm { [ Fboacc( )], Fuoe d Lucas 55 lm ( φ ) Lucas( ) ,

142 dove 5 φ 56 log lm log[ Lucas( ) ] log φ, / Lucas( ) lm, Fuoe d Eulero 58 log lm [ EULER( )],77.., log lm log[ EULER( )],9956.., / Euler(/ ) [ ] log lm,7.. a 7 lm [ Euler( )] { 7 lm[ Euler( ) ], Fuoe d Pell 5 log lm, Pell( ), log lm,66.. log Pell( ) log( ) 5 / Pell( ) lm, Fuoe Catala() 55 / Catala( ) lm [ ],

143 Fuoe Bell() 56 / Bell( ) lm [ ], Fuoe potea (/ ) lm [( ) ] (/ ) lm [ ], ,5.. Fuoe eta() ζ( ) 59 lm [ e ] e ζ( ) 5 lm ζ( ) 75 lm [ { ] a a , Po la llary Ad esempo 76 ζ( ) 5 lm [ ζ( ) ] ζ ( ) ζ( ) 5 lm [ ] ζ ( ) ζ( ) 5 lm[ ] ζ ( ) ζ( ) 5 lm[ ] ζ ( ) ζ( ) 55 lm[5 ] 5 Po lm ζ( ) ζ ( ) ζ( ) lm [ a ] a, , , , , , lm ζ[ Γ( )], {

144 58 Γ( ) lm ζ( ) 57, Parto Parts() 59 lm log[ Parts( x)] π log, x 5 / Parts( ) lm [ ], Numer Prm log lmlog { [ p( x )],..,57.. x Sere Armoca Geeralata La sere armoca geeralata ha el pao cartesao questo grafco s ( ) L area sottesa dalla curva el pao postvo è 5 lm { [ ( )] ds s s,77.. Fuoe parte tera lm a b c { log lm log, metre c a

145 5 5 lm( ) log, lm( ) log,55.. Vedamo ora altre costat o dervate da sere o tegral. Fuoe Superespoeale (Spe) La fuoe ( R )... ) R ( R) lm ( R ) (79) per u umero llmtato d espoet ( ), verrà detfcata seguto, come Fuoe Superespoeale Complessa (Spec). Per questa fuoe sa la base ( R ) che gl espoet ( R, R,... R ), soo umer real. Ad esempo se R dove N soo umer atural (esclusa l utà), e N cosderamo u umero dspar d potee (base esclusa), s ha lm ( ) ( )...( ) ( ) 55, Per u umero par d potee lm ( ) ( )...( ). 56, Al posto della successoe de umer atural ella precedete Spec, s possoo utlare molte altre successo. Se sete teressat a studare queste fuo, provate le successo d Nel Sloae dell OES. Naturalmete peso che o le proverete tutte, poché ad ogg metre scrvo, soo all crca 5.! Se però questo accadesse, avremmo u eleco d 5. uove costat. Se ella fuoe (79) gl espoet soo ugual alla base, s ha la Fuoe Superespoeale Baale (Speb)... R R R (8) Utlamo ua semplce aotaoe per dcare l umero d potee d ua fuoe Speb. Per espoet (base esclusa) s ha l uguaglaa

146 6 R R R... lm( R ) La curva della fuoe Speb el pao cartesao, preseta due fgure dverse a secoda che sa sa par o dspar. La due curve el pao egatvo soo molto complesse e qu o verrao studate. Nel pao postvo la fuoe è molto semplce e teressate. Per umer real x, co x >, , la curva è detca per qualsas valore d. Per valor d x compres fra < x <,669.. la curva assume due forme dverse a secoda che sa par o dspar. Per dspar la fuoe vale uo per x, ed è decrescete fo al valore d x, 669.., dove s cotra co la curva avete par. Per par la fuoe vale ero per x, ed è crescete fo al valore x, l grafco per la fuoe Speb per dspar è smle a quello della fuoe 5 x x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^ l cu grafco è rappresetato dalla fgura (8) x (8) (8) Per par l grafco è smle al grafco della fuoe (8) 6 R x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x l valore e x, e

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