Fondamenti di Astrofisica

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1 Fondamenti di Astrofisica Lezione 5 AA 2010/2011 Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia

2 Misura delle velocità delle stelle Prima di descrivere come si misurano le masse delle stelle è necessario premettere come si misurano le velocità. Decomponiamo velocità in due componenti, una parallela ( vt ) ed una perpendicolare alla linea di vista ( vr ). v t v r La velocità trasversale può essere misurata solo se è noto il moto proprio della stella e la sua distanza d, infatti v t = θ d θ questa misura è chiaramente possibile solo per le sorgenti più vicine. 2

3 Effetto Doppler Per la velocità lungo la linea di vista (radiale) si ricorre all effetto Doppler, in base al quale la lunghezza d onda osservata di un fotone (λ) e quella con cui è stato emesso dalla sorgente (λ0) è λ = λ 0 1+ v r c con v r c dove vrad è la velocità relativa tra sorgente ed osservatore, ovvero nel nostro caso la velocità radiale. La convenzione per il segno di vrad è la seguente: Blue shift v rad spostamento verso il blu (ν, λ ) Red shift spostamento verso il rosso (ν, λ ) Sorgente che si avvicina all osservatore: vrad < 0 λ < λ0 la luce è blue shifted. Sorgente che si allontana dall osservatore: vrad > 0 λ > λ0 la luce è red shifted. 3

4 Misura delle velocità delle stelle Nel caso di una sorgente astrofisica se ne studia lo spettro e si misurano le λoss delle righe di emissione o di assorbimento (osservate); siccome conosciamo le λ0 a riposo (laboratorio) delle transizioni atomiche o molecolari in esame, possiamo ricavare vrad come v r = c λoss λ 0 λ 0 laboratorio osservata laboratorio osservata 4

5 Stelle binarie La misura diretta delle masse delle stelle è possibile solo in sistemi binari o multipli. Osservativamente i sistemi binari hanno la seguente classificazione: Binarie visuali: entrambe le stelle risolvibili; si misurano i moti propri sul piano del cielo e si ricostruiscono orbite attorno al centro di massa (CM). Binarie astrometriche: solo una stella è visibile, il compagno è troppo debole ma è rivelabile per lo spostamento della stella a seguito del moto orbitale attorno al CM del sistema. Binarie a eclisse: stelle non risolte ma piano dell orbita è sufficientemente inclinato rispetto alla linea di vista che una stella, periodicamente, eclissa l altra. Dalla curva di luce (F in funzione di t) si osservano minimi del flusso in corrispondenza delle eclissi. In ogni periodo ci sono due minimi, ed il periodo è la distanza tra due minimi dovuti alla stessa stella. Binarie spettroscopiche: due stelle non risolte ma la cui natura binaria è rivelata dallo spettro. Questo è dato dalla sovrapposizione da due sistemi di righe a velocità diverse lungo la linea di vista. In alcuni casi, come in un sistema stella+pianeta il compagno non si osserva spettralmente ma si osserva la variazione della velocità della stella a seguito dell oscillazione attorno al CM. 5

6 Binarie Visuali

7 Binarie a Eclisse Flux Flux

8 Binarie Spettroscopiche

9 Il problema di Keplero a 2 corpi Nel corso di Fisica I è stato risolto il problema di Keplero a 1 corpo, che si applica in prima approssimazione al sistema Sole+Pianeta. Nel problema ad 1 corpo si assume che un corpo (Sole) abbia una massa molto maggiore dell altro (Pianeta) per cui il primo possa considerarsi fermo. Vediamo come il problema a 2 corpi può essere facilmente ricondotto al problema ad 1 corpo utilizzando un riferimento opportuno. Come per il problema ad 1 corpo, il moto a 2 corpi avviene in un piano, per cui posso scegliere un riferimento xy e considerare i vettori posizione per il corpo 1 e 2. y r 2 2 r r = r 1 r 2 1 r 1 x 9

10 Il problema di Keplero a 2 corpi L equazione di moto per il corpo 2 è M 2 r2 = GM 1M 2 r 2 r r = GM 1M 2 r 3 r r = r 1 r 2 per il III principio della dinamica, per il corpo 1 si ha M 1 r1 = GM 1M 2 r 3 per definizione, il centro di massa del sistema (CM) è quel punto virtuale di coordinate r y r 2 2 r CM 1 R = M 1r 1 + M 2 r 2 M 1 + M 2 r 1 x 10

11 Il problema di Keplero a 2 corpi Differenziando la definizione di CM, ed utilizzando le equazioni di moto per 1 e 2 si ottiene che (M 1 + M 2 ) R = M1 r1 + M 2 r2 =0 ovvero il CM, in assenza di forze esterne o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Possiamo scegliere un riferimento XY di cui il CM costituisce l origine; questo riferimento è inerziale. Y In questo riferimento, per definizione: y 2 R =0 M 1 r 1 + M 2 r 2 =0 M 1 r 1 = M 2 r 2 r 2 r = r 1 r 2 CM r 1 1 X ovvero i corpi 1 e 2 sono sempre allineati con l origine del sistema di riferimento. x 11

12 Il problema di Keplero a 2 corpi Considerando nuovamente il vettore distanza tra 1 e 2 posso scrivere { { r = r 1 r 2 M 1 r 1 = M 2 r 2 r 1 = M 2 M 1 + M 2 r r 2 = M 1 M 1 + M 2 r ovvero sostituendo nell equazione di moto per il corpo 2 (stessa forma che nel riferimento xy) si ottiene M 1 M 2 GM 1 M 2 r = M 1 + M 2 r 3 r definisco la massa ridotta µ = M 1M 2 M 1 + M 2 12

13 Il problema di Keplero a 2 corpi Si ottiene infine µ r = G(M 1 + M 2 )µ r 3 r Il moto dei due corpi 1 e 2 è pertanto equivalente a quello di un corpo di massa μ (massa ridotta del sistema 1-2) nel potenziale generato dalla massa M1+M2 fissa. Siamo pertanto riusciti a ricondurre il problema a 2 corpi al problema ad 1 corpo che sappiamo risolvere, ovvero date le condizioni iniziali sappiamo ottenere da cui possiamo ricavare e r(t) r 1 (t) r 2 (t) 13

14 Orbite in un sistema binario Supponiamo che corrisponda ad un orbita ellittica con semiasse maggiore a e fuoco nell origine del riferimento. Le orbite di 1 e 2 sono anch esse ellittiche con fuoco nell origine e semiassi a 1 = a 2 = r = r(t) M 2 M 1 + M 2 a M 1 M 1 + M 2 a inoltre durante l orbita il punto virtuale di massa ridotta, 1, 2, e l origine sono sempre allineati tra loro. In conclusione, sappiamo risolvere il moto di un sistema binario e, dati i parametri che lo caratterizzano, sappiamo calcolare le orbite delle stelle che lo costituiscono. r 2 Y CM r 1 r M 1 <M 2 X 14

15 Orbite in un sistema binario Nel caso più generale di un sistema binario legato, le orbite sono ellittiche. Tuttavia considerare orbite ellittiche rispetto ad orbite circolare costituisce solo una complicazione geometrica e non aggiunge nulla alla fisica del problema. Pertanto, per evitare che complicazioni matematiche nascondano la fisica del problema ci metteremo nel caso di orbite circolare. Nel caso di orbite circolari, il CM si trova nel centro delle circonferenze e le accelerazioni sono date da Y a i = ω 2 r i ω = 2π T dove ri è il raggio dell orbita ( i=1,2 ), ω la velocità angolare e T il periodo. Per il corpo 1 possiamo quindi scrivere M 1 ω 2 r 1 = GM 1M 2 r 2 v 2 CM r 2 r 1 r v 1 X con r distanza tra i due corpi. 15

16 Orbite in un sistema binario Ricordando che r1 = M1/(M1+M2) r si ricava infine ω 2 = G(M 1 + M 2 ) r 3 ovvero la legge di Keplero generalizzata al caso del problema a 2 corpi. Questa legge vale anche nel caso di orbite ellittiche con r sostituito da a distanza massima tra i due corpi ovvero il semiasse maggiore dell orbita del corpo di massa ridotta. Sostituendo ω = 2 π/t si ottiene anche P 2 r 3 = 4π 2 G(M 1 + M 2 ) Un esempio dell utilizzo della legge di Keplero per la stima delle masse è proprio la determinazione della massa del Sole. Se M2 = M, M1 = M, M2 M1 si ha M 2 4π2 r 3 T 2 G = g r 3 T 2 1AU 1yr 16

17 Caso delle binarie visuali In una binaria visuale si possono determinare direttamente le orbite delle due stelle e quindi la distanza di ciascuna dal CM, θ1 e θ2 (angoli). in generale, se le due orbite circolari sono su una piano Y inclinato rispetto alla linea di vista (i=0, face on), si osserveranno orbite ellittiche con semiassi minori θ1 cos i, θ2 cos i Y X r 1 proiezione sul piano del cielo r 2 X piano dell orbita Y i Z vista face on (i=0); XY piano dell orbita vista di taglio 17

18 Caso delle binarie visuali Osservando per una parte sufficientemente lunga dell orbita riesco a determinare θ1 e θ2 e, se d è la distanza del sistema binario, ricordando la relazioni tra r1 e r2 dovuta al fatto che l origine è il CM θ 1 d θ 2 d = r 1 r 2 = M 2 M 1 ovvero θ 1 θ 2 = M 2 M 1 combinato con la III legge di Keplero si ottiene T 2 d 3 (θ 1 + θ 2 ) 3 = 4π 2 G(M 1 + M 2 ) pertanto ho 2 equazioni in due incognite, ovvero, noti θ1, θ2, T e d posso ricavare M1 e M2. 18

19 Esempio di binaria visuale In un sistema binario (Mizar - Grande Carro) si osservano due stelle, quella principale (A), più brillante ed una compagna più debole (B). Mizar A è anch essa una binaria e dalle osservazioni si ricava: separazione massima θ = 3.0 ; angolo parallattico p = 0.1 ; periodo orbitale P = 30 y; la compagna è 5 volte più distante dal centro di massa rispetto alla stella principale. Applichiamo la 3 a legge di Keplero: (M1+M2) P 2 = a 3 (M1+M2) = (3.0 /0.1 ) 3 /30 2 = 30 M Mizar A anch essa è una binaria! J. Benson et al., NPOI Group, USNO, NRL Dalla formula dei piccoli angoli e dalla parallasse trigonometrica: a = Dθ = 1 AU (θ/p) M 1 = 25 M Rapporto tra le masse (centro di massa): M1/M2 = a2/a1 = 5 M 2 = 5 M 19

20 Caso delle binarie spettroscopiche Nelle binarie spettroscopiche non posso misurare θ1 e θ2 ma posso utilizzare l informazione sulla velocità delle stelle lungo la linea di vista. se i, j e k sono i versori degli assi del sistema XYZ centrato sul CM con XY piano dell orbita posso scrivere per la stella 2 r 2 = r 2 (cos φi +sinφj) v 2 = r 2 φ( sin φ i + cos φj) =r 2 ω( sin φi + cos φj) n = (sin ij + cos i k) dove n è il versore che identifica la linea di vista (los, line of sight) ed è diretto dall osservatore alla sorgente La velocità lungo la linea di vista (misurata per effetto Doppler) è pertanto v los,2 = v 2 n = ωr 2 sin i cos φ quando ϕ = 0 l oggetto di avvicina all osservatore e devo avere un blueshift. Analogamente per il corpo 1 v los,1 = v 1 n = ωr 1 sin i cos φ da X Z ϕ i P r 2 v 2 n v 1 = r 1 ω( sin φi + cos φj) 20 Y

21 Caso delle binarie spettroscopiche Siccome il moto è circolare uniforme (ϕ(t) = ϕ0+ωt) le velocità osservate avranno l andamento sinusoidale riportato in figura V V0 +V2 V0 V0 -V1 t0 t0 +T t Nel caso in esame di orbite circolari, gli andamenti sono sinusoidali con ampiezze V1 e V2 (V0 è la velocità sistemica ovvero la velocità del CM lungo la linea di vista). Misurando le velocità di 1 e 2 nel tempo riesco a determinare le ampiezze delle curve ed anche il periodo T. 21

22 Caso delle binarie spettroscopiche Combinando con le espressioni ottenute per le velocità lungo la linea di vista ottengo V 1 = v los,1 (φ = π/2) = ωr 1 sin i V 2 = v los,2 (φ = π/2) = ωr 2 sin i V 1 V 2 = r 1 r 2 = M 2 M 1 sostituendo r1 e r2 nella III legge di Keplero si ottiene anche r 1 = V 1 ω sin i r 2 = V 2 ω sin i ω 2 = G(M 1 + M 2 ) (V 1 + V 2 ) 3 ω3 (sin i) 3 ovvero sostituendo il periodo (M 1 + M 2 )(sin i) 3 = (V 1 + V 2 ) 3 2πG da cui si nota come l inclinazione dell orbita sia un parametro che non posso determinare. T 22

23 Caso delle binarie spettroscopiche Infine eliminando M2 dalle due equazioni precedenti si ottiene che nelle binarie spettroscopiche M 1 (sin i) 3 = V 2 (V 1 + V 2 ) 2 2πG ed analogamente posso ricavare M2. Le masse le ottengo a meno di un fattore (sin i) 3. Se le binarie spettroscopiche sono anche binarie a eclisse allora i 90 ovvero sin i 1 e riesco a misurare direttamente le masse. In effetti combinando le informazioni spettroscopiche con le informazioni dalle curve di luce posso ricavare tutti i parametri del sistema ovvero M1, M2, L1, L2, R1, R2 e i (Ri sono i raggi delle stelle). In molti casi riesco ad osservare lo spettro di una sola stella (l altra è troppo debole). Utilizzando le relazioni precedenti e sostituendo V2 = M1/M2 V1 (M 1 + M 2 )(sin i) 3 = P 2πG V 1 3 T 1+ M 1 M

24 Caso delle binarie spettroscopiche ovvero M2 3 (M 1 + M 2 ) (sin i)3 = P 2πG V 1 3 quindi si riesce a misurare solo quella combinazione di masse e inclinazione. Una semplificazione notevole si ha per M2 M1, per cui si ottiene M 2 sin i 1/3 P V 1 M 2/3 1 2πG questo caso semplificato si applica con ottima approssimazione al caso dei pianeti extrasolari (exoplanets) uno dei campi di ricerca più in voga al momento. In pratica per gli exoplanets rivelo la presenza del pianeta di massa M2 a seguito delle oscillazioni della stella di massa M1 attorno al comune centro di massa. Si noti come per determinare M2 devo conoscere M1, a cui posso arrivare conoscendo il tipo spettrale della stella. 24

25 Caso degli Exoplanets Uno degli scopi più importanti per la ricerca e lo studio degli exoplanets è trovare un pianeta roccioso come la Terra posto nella fascia abitabile attorno ad una stella (la regione in cui H2O può esistere allo stato liquido). Successivamente, si dovrebbe ottenere lo spettro dell atmosfera del pianeta e rivelare acqua e ossigeno (quest ultimo segno della presenza di alghe e/o piante) o anche sostanze prodotte da attività di tipo industriale. Cosa occorre per rivelare un pianeta tipo Giove alla distanza di 1 AU attorno ad una stella tipo Sole? Dalla III legge di Keplero 2π T 2 = G(M 1 + M 2 ) (r 1 + r 2 ) 3 GM 1 r 3 2 per r2 = 1 AU, per orbite attorno a M1 = M, il periodo è T = 1 yr. Combinato con MJ ~ 10-3 M si ottiene 1/3 V 1 M 2 M 2/3 2πG 1 sin i T V g( g) 2/ /3 s 2π = 31 m s 1 c.g.s. 25

26 Caso degli Exoplanets si può quindi scrivere V 1 = 31 m s 1 M M M1 M 2/3 1/3 T 1yr Se volessimo rivelare una Terra attorno ad un Sole, basta ricordare che M M quindi si avrebbe V 1 = 31 m s M 10 3 M M1 M 2/3 1/3 T =9.3cm s 1 1yr Sono misurabili velocità così piccole? Spettrografi normali ad alta risoluzione arrivano ad accuratezze dell ordine di λ λ v 10 6 ricordando che c = λ λ si ha v 300 m s 1 ben superiori alle velocità massime di oscillazione della stella attorno al CM. 26

27 Caso degli Exoplanets Esistono però strumenti ottimizzati per avere un alta risoluzione spettrale unita ad un alta stabilità per cui si possono raggiungere accuratezze dell ordine di v 1ms 1 uno strumento di questo tipo è HARPS montato al telescopio da 3.6m dell ESO (La Silla). Con queste accuratezze si possono rivelare facilmente pianeti tipo Giove a piccole distanze da una stella ma siamo ben lontani dal rivelare Terre in fasce abitabili. Quest ultimo è proprio uno degli scopi per la costruzione di ELT. Al momento sono stati scoperti circa 400 exoplanets tutti con masse tipo Giove entro poche AU da stelle di piccola massa ( M ). Recentemente sono stati scoperti il primo pianeta "roccioso" ma anche un pianeta di massa simile a quella della Terra ( 2 M ). Purtroppo nessuno dei due si trova nella fascia abitabile. 27

28 Esempio di Exoplanet Stella HD (d 50 pc) M1 =1.1 M (dal tipo spettrale) ΔV ~ 10 m/s V1 = 86 m/s, T = 3.5 d per cui M2 = 0.7 MJ/(sin i) e r2 = 0.05 AU trovata diminuzione di ~1.5% del flusso della stella a seguito di eclisse da parte del pianeta per cui (sin i) ~ 1. 28

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30

31 Immagine di un pianeta T=2700K ~1/100 T=1240K ~1/30 Stella 2M1207: L ~ L M ~ 35 MJ T ~ 2700 K (nana marrone, non reazioni nucleari ma emette energia per collasso gravitazionale come fanno i pianeti gassosi come Giove o il compagno) Pianeta 2M1207b: L ~ L M ~ 5 MJ T ~ 1240 K Immagine possibile solo perchè la stella è debole e il pianeta è lontano! 31

32 Pianeta in fascia abitabile (Apr 2009) Gliese 581 M3V (3450K) d = 6.3 pc M1 = 0.3 M L = L Pianeta e P = 3.15 d M2 = 1.9 M Pianeta b P = 5.36 d M2 = 16 M H2O vapore H2O ghiaccio Pianeta c P = 12.9 d M2 = 5 M Pianeta d P = 66.8 d M2 = 7 M Masse a meno di (sin i)! Nella fascia abitabile (H2O liquida) ma troppo massiccio per essere roccioso (in base ai modelli di formazione pianeti); gassoso, forse ricoperto da grandi oceani di H2O

33 Pianeta roccioso (Settembre 2009) Stella CoRot-7 G9V (T~5400 K) d ~ 150 pc L ~ 0.4 L M1 ~ 0.2 M Pianeta CoRot-7b M2 ~ 4.8 M r2 ~ AU Transito di Venere sul Sole Provoca diminuzione del flusso della stella di ~1/3000 durante il passaggio davanti alla stella (misurata col satellite Corot) da cui si deduce R ~ 1.8 R ρ ~ 0.8 ρ ~ 4.5 g cm -3 pianeta roccioso! Analogo al transito di Venere sul Sole.

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