MATEMATICA LEZIONE 2 RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI. (Prof. Daniele Baldissin) RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME

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1 MATEMATICA LEZIONE 2 ARGOMENTI RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI (Prof. Daniele Baldissin) 1) Rappresentazione per elencazione 2) Rappresentazione per mezzo dei Diagrammi di Eulero-Venn 3) Rappresentazione per caratteristica RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME Vediamo, ora, come è possibile RAPPRESENTARE UN'INSIEME, cioè come possiamo individuarlo. Esistono tre metodi differenti per RAPPRESENTARE UNmedesimo INSIEME. 1. Il primo metodo consiste nella RAPPRESENTAZIONE TABULARE o per ELENCAZIONE. 2. Il secondo metodo consiste nella RAPPRESENTAZIONE mediante GRAFICO, cioè utilizzando un DIAGRAMMA DI EULERO-VENN. 3. Il terzo ed ultimo metodo consiste nella RAPPRESENTAZIONE mediante CARATTERISTICA o RAPPRESENTAZIONE INTENSIVA. RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE O TABULARE Con la RAPPRESENTAZIONE TABULARE l'insieme viene individuato ELENCANDO GLI ELEMENTI CHE LO COMPONGONO. Esempio: Immaginiamo di avere l'insieme delle vocali. Con la RAPPRESENTAZIONE TABULARE l'insieme viene definito indicando gli elementi che lo compongono, quindi, nel nostro caso diremo che Tutto ciò viene scritto nel modo seguente: l'insieme A è formato dagli elementi a, e, i, o, u. A = {a, e, i, o, u}

2 che si legge l'insieme A formato dagli elementi a, e, i, o, u. N.B. 1. Un INSIEME viene normalmente indicato con una LETTERA MAIUSCOLA: nel nostro esempio lo abbiamo indicato con la lettera A. 2. Le PARENTESI GRAFFE indicano l'insieme e al suo interno vengono indicati gli ELEMENTI DELL'INSIEME separati, l'uno dall'altro, da una VIRGOLA. Ricapitolando: Vediamo qualche altro esempio: l'insieme dei numeri naturali dispari inferiori a 10 A = {1, 3, 5, 7, 9} l'insieme delle province dell'abruzzo A = {Chieti, L'Aquila, Pescara, Teramo} l'insieme delle cifre che compongono il numero 457 A = {4, 5, 7}. Facciamo ora alcune osservazioni sulla RAPPRESENTAZIONE TABULARE: 1. NON HA alcuna IMPORTANZA l'ordine con il quale vengono indicati gli elementi dell'insieme. Esempio: l'insieme delle cifre che compongono il numero 21 può essere scritto indifferentemente in uno di questi modi: A = {2, 1}

3 A = {1, 2}. 2. Ciascun ELEMENTO dell'insieme va indicato UNASOLA VOLTA. Esempi: l'insieme delle cifre che compongono il numero 211 A = {2, 1}. La cifra 1 va indicata una sola volta; l'insieme delle lettere che compongono la parola ANNA A = {A, N}. Sia la lettera A che la lettera N vanno indicate una sola volta. E' evidente che la RAPPRESENTAZIONE TABULARE di un insieme non è molto pratica nel caso di insiemi formati da molti elementi. Esempio: l'insieme dei numeri dispari inferiori a 100.

4 RAPPRESENTAZIONE CON I DIAGRAMMI DI EULERO-VENN Nella RAPPRESENTAZIONE GRAFICA gli ELEMENTI di un insieme sono rappresentati con dei PUNTI. Per distinguere gli elementi uno dall'altro è possibile scrivere, accanto ad ogni punto, una lettera minuscola che contraddistingue l'elemento. I punti che rappresentano gli elementi dell'insieme sono racchiusi all'interno di una LINEA CURVA CHIUSA e non intrecciata. L'area interna alla linea curva può anche essere colorata per dare maggiore risalto alla figura. Ecco come può essere rappresentato graficamente un insieme: Il grafico che abbiamo disegnato prende il nome didiagramma DI VENN o anche DIAGRAMMA DI EULERO-VEN. La lettera A maiuscola vicino all'insieme indica che quello che abbiamo rappresentato è l'insieme A. Tutto ciò che è compreso all'interno della linea chiusa rappresenta l'insieme. I puntini, all'interno della linea chiusa, contraddistinti dallelettere minuscole, rappresentano gli elementi dell'insieme. Vediamo alcuni esempi di RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN INSIEME.

5 Esempi: l'insieme delle vocali l'insieme dei numeri naturali dispari inferiori a 10 l'insieme delle lettere che compongono la parola ANNA Ricordiamoci sempre che : NON HA alcuna IMPORTANZA l'ordine con il quale vengono indicati gli elementi dell'insieme e che ciascun ELEMENTO dell'insieme va indicato UNASOLA VOLTA.

6 Se vogliamo rappresentare un elemento m che NON APPARTIENE ALL'INSIEME A lo indichiamo con unpuntino ESTERNO rispetto alla linea chiusa che delimita l'insieme. Così:

7 RAPPRESENTAZIONE PER CARATTERISTICA Con la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICAl'insieme non viene individuato elencando gli elementi che lo compongono, bensì INDICANDO una PROPRIETA'posseduta da tutti gli elementi dell'insieme e soltanto da questi. Esempio: Immaginiamo di avere il seguente insieme A = {Chieti, L'Aquila, Pescara, Teramo}. Per poterlo indicare con la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA dobbiamo individuare una proprietà posseduta dai quattro elementi dell'insieme e soltanto da essi. Nel nostro caso la proprietà comune a tali elementi, e solo ad essi, è di essere tutte province dell'abruzzo. Quindi possiamo dire che l'insieme A è formato dalle province dell'abruzzo che si scrive A = {x x è una provincia dell'abruzzo} che si legge l'insieme A formato dalle x tali che x è una provincia dell'abruzzo. Esaminiamo meglio quanto abbiamo scritto. Come è stato detto in una precedente lezione, un INSIEME viene normalmente indicato con una LETTERA MAIUSCOLA: nel nostro esempio lo abbiamo indicato con la lettera A. Le PARENTESI GRAFFE indicano l'insieme e al suo interno vengono indicati gli ELEMENTI DELL'INSIEME tramite unacaratteristica che li contraddistingue e che contraddistingue essi soltanto. La x indica una VARIABILE cioè un GENERICO ELEMENTO DELL'INSIEME e può rappresentare, nel nostro esempio, una delle quattro province dell'abruzzo. Ricapitolando:

8 Il simbolo si legge tale che. A volte, al suo posto troviamo due puntini : anch'essi si leggono tale che. Quindi il nostro insieme poteva essere rappresentato anche nel modo seguente: A = {x : x è una provincia dell'abruzzo} che si legge sempre l'insieme A formato dalle x tali che x è una provincia dell'abruzzo. Vediamo qualche altro esempio: l'insieme costituito dagli allievi del liceo Galieli A = {x x è allievo del liceo Galilei} che si legge l'insieme A formato dalle x tali che x è un allievo del liceo Galilei l'insieme dei numeri naturali minori di 9 che si legge l'insieme A formato dalle x tali che x appartiene all'insieme N dei naturali e x è minore di 9. Nel definire un insieme mediante RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA occorre fare attenzione a che la PROPRIETA' CARATTERISTICA che individua gli elementi dell'insieme non dia luogo ad incertezze. Ad esempio, se dicessi l'insieme delle città più belle dell'italia

9 non avrei individuato con certezza un insieme poiché la qualità dell'essere città più bella dell'italia dipende dal giudizio personale.