a monometriche Oxy, l equazione cartesiana di Γ è: y =

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1 Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Tem di: MATEMATICA Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ in A, un rett r pssnte per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con γ, il punto C intersezione di r con t. L prllel per B t e l perpendicolre per C t s intersecno in P. Al vrire di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versier di Agnesi [d Mri Getn Agnesi, mtemtic milnese, (78-799)].. Si provi che vlgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove D è l proiezione ortogonle di B su OA;. Si verifichi che, con un opportun scelt del sistem di coordinte crtesine ortogonli e monometriche Oy, l equzione crtesin di Γ è: y = +. Si trcci il grfico di G e si provi che l re compres fr G e il suo sintoto è quttro volte quell del cerchio γ. PROBLEMA Si f ( ) = + b + c con,b,c numeri reli. Si determinino,b,c in modo che:.. l funzione f si pri;.. f()=;. f( ) d= log Si studi l funzione g ottenut sostituendo d,b,c i vlori così determinti e se ne disegni il grfico G. Si consideri l rett r di equzione y=4 e si determinino, pprossimtivmente, le scisse dei punti in cui ess intersec G, mettendo in tto un procedimento itertivo scelt. Si clcoli l re dell regione finit del pino rcchius tr r e G. Si clcoli g ( ) d d. Si determini l funzione g il cui grfico è simmetrico di G rispetto ll rett r. Pg. / Sessione ordinri $$$$$../

2 N ######/ Second prov scritt Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Tem di: MATEMATICA QUESTIONARIO.. Qunte prtite di clcio dell serie A vengono disputte complessivmente (ndt e ritorno) nel cmpionto itlino 8 squdre?.. Tre sctole A, B e C contengono lmpde prodotte d un cert fbbric di cui lcune difettose. A contiene lmpde con il 5% di esse difettose, B ne contiene 5 con il % difettose e C ne contiene con il % difettose. Si sceglie un sctol cso e si estre cso un lmpd. Qule è l probbilità che ess si difettos?.. Qule è l cpcità mssim, espress in centilitri, di un cono di potem dm? Dre un esempio di polinomio P() il cui grfico tgli l rett y= quttro volte Dimostrre, usndo il teorem di Rolle [d Michel Rolle, mtemtico frncese, (65-79)], che se l equzione: n + n n = mmette rdici reli, llor fr due di esse gice lmeno un rdice dell equzione: n n- +( n ) n n = 6. Si vuole che l equzione + b 7 = bbi tre rdici reli. Qule è un possibile vlore di b? 7. Verificre l uguglinz π = 4 d + e utilizzrl per clcolre un pprossimzione di p, pplicndo un metodo di integrzione numeric. 8. Dre un esempio di solido il cui volume è dto d π d 9. Di un funzione f() si s che h derivt second ugule sen e che f ( ) =. π Qunto vle f( ) f()?. Verificre che l equzione + = mmette tre rdici reli. Di un di esse, quell compres tr e, se ne clcoli un pprossimzione pplicndo uno dei metodi numerici studiti.

3 Problem n L circonferenz, pss per l origine e ed è tngente ll rett t in A. Se Considerimo l il dimetro OA sull sse e il punto O coincidente con l origine degli ssi llor l circonferenz h rggio e centro (, ) llor l circonferenz + y = d cui l circonferenz h equzione + y =. Allor il punto B è il punto di intersezione tr l rett r e l circonferenz + y = + m = ( m ) + = B = + m d cui y = m y = m y = m m yb = + m P = Considerndo che C h cordinte ( m, ) llor d cui + m elimino m si h yp = m P = = = + m y y + + d cui il luogo è =. Ovvimente bbimo trovto un y + y P m = funzione =f(y). Dt l rbitrrietà di scelt degli ssi scmbino gli ssi (simmetri ssile) e ottenimo y = + C.E. qulsisi pprtenente i Reli. Curv sempre positiv e mi null Asintoto orizzontle y=

4 y' = ( + ) che h un mssimo per = Dto che l sintoto è ugule y= L re è ugule d = d = d = rctg = rctg rctg π π d = = π. L circonferenz vendo rggio h l re = + 4 piccol di quell dell curv. è qutto volte

5 Problem n. Se l funzione è pri llor f ( ) = f( ) d cui + b + c= + b + c ; = b b ; ( ) ( = b ) e quindi = b. f() = + b+ c= d cui c=. ( + b + c) d= ; d cui log b b b ( + b + c) d= + c = + c + c log log log log log log d cui considerndo che =b e c=- llor + = e quindi log log log = d cui log log che g ( ) = + C.E. = b = c = + = log log g ( ) = + = sempre positivo e mi null Intersezione con gli ssi: g () = e nessun intersezione con l sse y dividendo per si h log ln ln ln ln ln ln g'( ) = ( e + e )' = lne lne = ln( e e ) = ln( ) = ln d cui e quindi d cui = è un minimo ln ln ( ) ( ) g''( ) = ln ln e + ln e = ln + concvità sempre verso l lto nessun flesso.

6 Evidentemente le soluzioni per cui g ( ) = + = 4 sono due (simmetriche). Considerndo z ( ) 4 = + pplico il metodo di bisezione nell intervllo [ ] z() 4.5 = + = <, z() = + = >, inftti n b m f fb fm f*fm -,5 4,5,5 -,75,5 -,5,5 -,88,79,5,75 -,88,5 -,9,774,75,875 -,9,5 -,596,9 4,875,975 -,596,5,948 -,54 5,875,975,965 -,596,948,5 -,9 6,875,965,8965 -,596,5 -,5,7 7,8965,965, ,5,5 -,67 8,E-5 =.898 e dto che l funzione è pri = = 4 d cui 4 + = = ± 4 = ± : d cui β = log ( + ) e α = log ( ) = log ( + ) β α β β + + d = + d = = log log + log log ( 4) ( 4) 4 4log ( ) 4 log( + ) =,6= 5, log

7 d ponendo = t si h che ln d = dt, + = e ln t d= dt t dt t dt = rtgt cost rtg cost = + = + t + t + t ln ln ln ln ' = y' = 8 y d cui 8 y = + d cui y = ( + ) + 8 Quesito n Dto che le squdre sono 8. Ogni squdr può incontrre ltre 7 squdre per tutte le 8 squdre llor le prtite srnno 8 *7=6 Quesito n 5 5 p = + + =,67 Quesito n Vol = d cui = π ( 4 ) Vol ' π ( 4 ) VA=dm VH = AH 4 = e quindi Vol = π 4 = π = π dm 6 = 7 7 π cm Quesito n 4 = 4 d cui Un polinomio che incontr l sse in 4 punti può essere y = ( )( + )( )( + ) fcendo un trslzione il polinomio richiesto è y = ( )( + )( )( + ) + Quesito n 5 n n Nell Ipotesi che il polinomio f ( ) = + n mmett due rdici e llor il n n polinomio ( che è l su derivt) f '( ) = n + n +... per il terorem di Rolle pplicto ll intervllo [, ] dto che f( ) = f( ) = mmetterà un rdice c (, ).

8 Quesito n 6 Si vuole che l equzione + b 7 = bbi tre rdici reli. Per vere tre rdi reli deve intersecre tre volte l sse. Questo si può ottenere vendo un mssimo positivo e un minimo negtivo. Allor derivndo y = + b 7 ottengo che y' = + b per per nnullsi necessrimente deve vere b<. Prendendo per esempio b=- ottengo che y' = = ( 4) soluzioni - (m)e (min) Che sostiendo y = 7 mi dnno f ( ) = 8+ 7= 9 f () = 8 7 = ovvero i mssimi e minimi richiesti Poiché b =± per b b f( ) = b 7> ( b) ( b) f( ) = + 7> ( b) > 7 ( b) > ( b) > = 44 b < 6, per tli vlori, e per b = è sicurmente f( ) <.

9 Quesito n 7 L uguglinz π = 4 Dividendo l intervllo [, 4 ] ottendo n f,8,99,66667,9797,5,9476 4,,9 5,46667,857 6,5,8 7,58,7464 8,666667,698 9,75,64,8,5964,96667,5496,5 d d è presto dimostrt dto che ( ) + rcont + π π = 4 = 4 rctn = 4 4 b = = =, 5 e quindi ottengo che n 4 s = ( f( ) + f( ) + f( ) + f( ) ) =, S = ( f( ) + f( ) + f( ) + f( 4) ) =, s+ S Fcendo I = =,78588 questo numero per 4 mi d l integrle richiesto I =, =,44547 Come si vede non è un buon metodo di pprossimzione ci sono voluti pssi. Se io uso quest formul I = ( f( ) + 4 f( ) + f( ) +... f( n ) + 4 f( n ) + f( n) ) Ossi l somm i gli indici dispri moltiplicti per 4 e gli indici pri moltiplicti per due.. più il b vlore inile e finle. Per = diviso n N. f,5,9476,76476,5,8,6,75,64,56 4,5,5 b, 5 = = =, 5 I = ( +, ,6 +,56 +,5 ) =,7859 che moltiplicto per 4 n 4 I =,7859 4=,456 (precisione in solo 4 pssggi di 4 cifre)

10 Quesito n 8 Secondo l formul dei soli di rotzione ttorno ll sse y = π ( ) π f ( d ) se io prendo l funzione d rppresent il solido ottenuto dll rotzione dell funzione ttorno ll sse e delimito di pini = e = Quesito n 9 f ''( ) = sin( ) f '( ) = sin( ) d+ cos t = cos + cos t f '() = + cost = d cui cost= llor f ( ) = ( cos( ) + ) d= sin+ +cost Allor π π π f( ) f() = sin + + cos t ( + cos t) = + π Quesito n f ( ) = + mmette tre soluzioni perché f '( ) = = ( ) h soluzioni =- e = che sono minimo e mssimo. f ( ) = + + = > f () = + = < per i teoremi di continuità mmette sicurmente tre soluzioni. =.475 n A b m f fb fm f*fm,5 - -,75 -,75,5,5 -,75,6565,6565,5,5,75,6565 -,75 -,77 -,9,5,75,5,6565 -,77,98,478 4,5,75,475,98 -,77,969,87

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