Geometria solida. Piani nello spazio Due piani nello spazio e possono assumere due posizioni: 1) I piani e. 2) I piani e sono

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1 Cp. Geometri solid Geometri solid ini nello spzio Due pini nello spzio e possono ssumere due posizioni: 1) I pini e ) I pini e sono sono prlleli: non incidenti: nno in comune nno in nessun punto. comune un distnz tr i due rett r ce pini è il segmento rppresent d essi l intersezione perpendicolre. tr i due pini. ini e semipini Un pino non né inizio né fine: si estende illimittmente. Un semipino origine in un rett e d lì in poi si estende senz fine. ngoloidi e ngoli diedri Si cim ngolo diedro ciscun delle due zone in cui lo spzio è diviso d due semipini venti l rett origine in comune. I due semipini si cimno fcce dell ngolo diedro e l rett si cim spigolo del diedro. Il diedro ce contiene il prolungmento delle due fcce si cim diedro concvo, mentre quello ce non le contiene si cim diedro convesso. In prole povere il diedro concvo è tr i due quello più grnde, mentre il diedro convesso è il più piccolo. ist frontle ist dll lto ngoloide Si cim ngoloide l prte di spzio rccius tr tre o più fcce venti un vertice in comune. 1

2 Cp. Geometri solid Solidi Un solido è un figur geometric ce occup uno spzio tridimensionle. misur dello spzio ce il solido occup è cimto volume. superficie di un solido è l regione ce sepr l zon intern del solido d quell estern. I solidi si possono clssificre in due ctegorie. 1. Solidi superficie curv. poliedri I poliedri loro volt si suddividono in due gruppi 1. poliedri convessi (non nno rientrnze). poliedri concvi (nno lmeno un rientrnz) poliedro Solido superficie curv poliedro concvo poliedro convesso Studieremo solo i poliedri convessi. superficie di un figur solid (poliedro oppure solido superficie curv) è formt dll prte del solido ce sepr l regione intern d quell estern. rti di un poliedro Relzione di Eulero er ogni poliedro vle l relzione di Eulero: f v s Dove f indic il numero delle fcce del poliedro, v il numero dei vertici ed s il numero degli spigoli. I poliedri ce studieremo si suddividono in tre gruppi: 1. i prismi. le pirmidi. i poliedri regolri er comincire studieremo i prismi. Un prism è un poliedro ce lmeno due fcce congruenti (uguli) e prllele.

3 Cp. Geometri solid Questo poliedro non è un prism in qunto non fcce contempornemente prllele e congruenti. Questo poliedro è un prism percé due fcce (FE e DCGH) prllele e congruenti. Questo poliedro non è un prism percé non fcce prllele. Questo è un prism percé due fcce (CDE e FGHIJ) ce sono prllele e congruenti e due fcce congruenti e prllele sono cimte bsi del prism, le ltre fcce sono cimte fcce lterli. Gli spigoli ce formno l bse sono cimti spigoli di bse, mentre gli ltri spigoli sono cimti spigoli lterli. bse di un prism può essere un qulunque poligono. Se l bse è un pentgono vremo un prism bse pentgonle. Se l bse è un tringolo, vremo un prism bse tringolre Se l bse è un prllelogrmmo vremo un prism cimto prllelepipedo. prism bse pentgonle prism bse tringolre I prismi si suddividono in due gruppi: 1. prismi retti. prismi obliqui Nei prismi retti gli spigoli lterli e quelli di bse formno ngoli di 90 e le fcce lterli sono dei rettngoli. Nei prismi obliqui gli spigoli lterli e quelli di bse non formno ngoli di 90 e le fcce lterli sono dei prllelogrmmi. ltezz di un prism è l distnz tr le due bsi. Nei prismi retti l ltezz coincide con uno qulunque degli spigoli lterli.

4 Cp. Geometri solid rism retto bse pentgonle rism obliquo bse pentgonle Un prism retto ce per bse un poligono regolre è cimto prism regolre. I prllelepipedi Come già detto un prllelepipedo è un prism ce per bse un prllelogrmm. Un prllelepipedo è retto se gli spigoli lterli e gli spigoli di bse formno ngoli di 90. Un prllelepipedo è obliquo se gli spigoli lterli e gli spigoli di bse non formno ngoli di 90. Conviene sempre disegnre insieme l solido l su bse percé il solido è disegnto in prospettiv e quest ultim non sempre fornisce un ide precis su come l bse è ftt. rllelepipedo rettngolo Il prllelepipedo rettngolo è un prllelepipedo retto vente come bsi dei rettngoli. nce le fcce lterli sono dei rettngoli ce risultno essere due due congruenti. e tre dimensioni del prllelepipedo rettngolo sono l lungezz, l lrgezz (o profondità) e l ltezz, esse vengono indicte rispettivmente con le lettere, b e c. prllelepipedo retto prllelepipedo obliquo prllelepipedo rettngolo bse del prllelepipedo retto bse del prllelepipedo obliquo bse del prllelepipedo rettngolo 4

5 Cp. Geometri solid Sviluppo dell superficie di un prllelepipedo rettngolo. superficie di un prllelepipedo è dt dll superficie di tutte le sue fcce. Se si immgin di tglire il prllelepipedo lungo gli spigoli indicti nell figur in bsso sinistr con trtto-punto e di disporre tutte le fcce su di un pino, si ottiene lo sviluppo dell superficie del prllelepipedo rettngolo. Spigoli lungo i quli si tgli il prllelepipedo Sviluppo dell superficie Dll immgine ce rppresent lo sviluppo dell superficie si deduce ce l re dell superficie lterle si ottiene clcolndo l re del rettngolo vente come bse il segmento di lungezz b b e come ltezz il segmento. M dll figur si deduce nce ce b b ed llor c re dell superficie totle si clcol ggiungendo ll re dell superficie lterle, l re delle due bsi, cioè olume del prllelepipedo er clcolre il volume di un prllelepipedo bisogn contre qunti cubetti venti ciscuno il volume di 1 cm si possono inserire ll interno del prllelepipedo. Il numero ce si ottiene d questo conteggio fornisce il volume del prllelepipedo misurto in cm c I cubetti contenuti nell figur finco sono 1, il volume è llor di 1 cm. Osservimo ce si ottiene lo stesso risultto se si clcol il volume moltiplicndo tr loro le lungezze delle dimensioni, b e c. Concludimo ce l formul per clcolre il volume del prllelepipedo è bc 5

6 Cp. Geometri solid Digonle del prllelepipedo rettngolo. Clcolo dell digonle d. Considero il tringolo rettngolo D e clcolo l digonle di bse d d b b. Elevndo l qudrto entrmbi i membri, si ottiene per il principio di equivlenz: e poicé rdice qudrt e potenz con esponente due sono operzioni opposte, si ottiene: d b. desso considero il tringolo rettngolo DD e clcolo l digonle d : d d c e ricordndo ce d b c d b, si ottiene: d. Formulrio per il prllelepipedo rettngolo. re lterle c re totle c olume bc c ltezz c c b erimetro di bse re di bse b b digonle d b c Digonle di bse d b c d b c b: b d c b : b c c d b c c b b d b b d b c b c c b 6

7 Cp. Geometri solid Il cubo Il cubo è un prllelepipedo rettngolo vente come bse e fcce lterli dei qudrti tutti congruenti tr di loro. Nel cubo tutti gli spigoli sono congruenti tr loro e vengono indicti con l letter. er il cubo vlgono le stesse formule del prllelepipedo rettngolo e prtire d queste ultime se ne possono ricvre delle ltre molto più semplici. Formulrio per il cubo re lterle 4 Cubo se del cubo re totle 6 olume erimetro di bse re di bse Digonle Digonle di bse 4 d 1, 7 d 1, 41 Formulrio per clcolre lo spigolo 4 d 1,41 Gli esercizi rigurdernno il clcolo dell re dell superficie ed il volume del prism retto. e formule sono uguli quelle già ricvte per il prllelepipedo rettngolo ricordndo però ce l re ed il perimetro dell bse vnno clcolti utilizzndo le formule specifice reltive ll bse del prism. d 1,7 6 Formulrio per il prism retto. re lterle re totle volume ltezz erimetro di bse re di bse ltezz è indict con l letter lle formule del prism bisogn ggiungere quelle per clcolre l re ed il perimetro dell bse ce dipendono dl tipo di poligono ce costituisce l bse del prism retto. 7

8 Cp. Geometri solid Formulri per clcolre l re ed il perimetro dell bse dei poligoni ce costituiscono l bse dei prismi REZIO è un qudriltero vente due lti prlleli cimti bsi b1 b re ltezz è indict erimetro b1 b 1 con l letter per ltezz distinguerl b1 b dll ltezz del prism Somm delle bsi b1 b se minore b1 b se mggiore b b 1 Formule rigurdnti le proiezioni dei lti obliqui sull bse mggiore. Clcolo di H H b b1 K H è l proiezione del lto obliquo D Clcolo di K K b b1 H sull bse mggiore Clcolo di b b 1 H K K è l proiezione del lto obliquo C Clcolo di b 1 b H K sull bse mggiore b b 1 REOGRMMO è un qudriltero vente i lti due due prlleli e congruenti re b b erimetro bse to obliquo b b b ROMO è un qudriltero vente i lti congruenti e le digonli perpendicolri d re 1 d erimetro 4 to del rombo : 4 mggiore, è l Digonle d1 mggiore d digonle minore Digonle minore d d 1 d 1 è l digonle Se il rombo viene ftto ruotre e poggire il lto divent l bse del prllelogrmm. re to d ltezz 8

9 Cp. Geometri solid re erimetro to potem OIGONI REGORI p F n f n F n indic il numero dei lti del poligono. indic l potem del poligono. indic il lto del poligono. f NUMERI FISSI ER I OIGONI REGORI oligono regolre Numero di lti Numero fisso (f) Numero fisso (F) ringolo 0,89 0,45 Qudrto 4 0,5 1 entgono 5 0,688 1,7 Esgono 6 0,866,598 Ettgono 7 1,08,6 Ottgono 8 1,07 4,88 Enngono 9 1,74 6,18 decgono 10 1,59 7,695 Osservzioni sui poligoni regolri Ogni poligono regolre può essere diviso in un numero di tringoli isosceli ugule l numero dei lti del poligono. d esempio se gurdimo il pentgono nell figur finco ci ccorgimo ce esso è suddiviso in cinque tringoli isosceli. I cinque tringoli sono congruenti ed inoltre O O OC OD OE. ltezz di ciscuno dei tringoli si cim potem e tutti i tringoli nno l stess potem. Gli ngoli in figur sono stti clcolti con il procedimento seguente: 60 : Il tringolo O è isoscele percé O O e di conseguenz Si deduce llor ce 108 : 54 9

10 Cp. Geometri solid Se il poligono regolre è un esgono si trov ce ciscuno dei 6 tringoli in cui l esgono è suddiviso è un tringolo equiltero. Inftti ripetendo per l esgono l dimostrzione ce è stt ftt per il pentgono, si ottiene: 60 : Il tringolo O è isoscele percé O O e di conseguenz Si deduce llor ce 10 : 60 In conclusione bbimo trovto ce 60, m un tringolo vente tutti gli ngoli congruenti è sicurmente equiltero ed llor O O Cuneo Il cuneo è un prism bse tringolre poggito su un fcci lterle. Nell figur quest ultim fcci è il rettngolo GE, mentre le due fcce uguli e prllele sono i tringoli C e EGF. er cui per fre i clcoli bisogn tenere conto del ftto ce le bsi sono i tringoli C e EGF, mentre l ltezz è il segmento G. d esempio si vrà C G Solidi di rotzione Un importnte gruppo di solidi superficie curv sono i solidi di rotzione. Un solido di rotzione è il solido ce si ottiene fcendo ruotre di 60 un superficie intorno d un ttorno d un rett cimt sse di rotzione. Solido ottenuto dll rotzione di un rettngolo intorno ll su ltezz Solido ottenuto dll rotzione di un tringolo rettngolo intorno l cteto mggiore. Solido ottenuto dll rotzione di un trpezio scleno intorno ll bse mggiore. 10

11 Cp. Geometri solid Cilindro retto cilindro obliquo Cilindro retto (l ltezz condott dl centro dell bse superiore l il piede nel centro dell bse inferiore) Cilindro obliquo (l ltezz condott dl centro dell bse superiore non l il piede nel centro dell bse inferiore) Si cim cilindro retto il solido ottenuto dll rotzione di un dimensione del rettngolo intorno d un su dimensione. rti del cilindro. Si cim genertrice il lto del rettngolo ce ruotndo di 60 disegn e quindi gener il cilindro. e circonferenze ce delimitno superiormente ed inferiormente il cilindro si cimno bsi. Il cilindro potrebbe essere immginto come in prism vente come bse un circonferenz per cui per il cilindro vlgono le stesse formule dei prismi. isogn però ricordre ce il perimetro di bse v sostituito con l lungezz dell circonferenz. Cilindro equiltero Nel cilindro equiltero, il qudriltero DE è un qudrto. Il cilindro equiltero l ltezz ugule l doppio del rggio. r Clcolo dell re dell superficie lterle e totle. Ricordo lcune formule vlide per l circonferenz ed il cercio: C r e r rto dlle formule vlide per i prismi: C r r 11

12 Cp. Geometri solid Formulrio per il cilindro re lterle re totle C volume ltezz r ungezz dell circonferenz re di bse rggio Solidi composti r r r r r r C r C C r r r r ltezz è indict con l letter ed il rggio con l letter r Un solido composto è formto dll unione di due o più solidi, considerimo due prismi retti sovrpposti in modo ce 1. l bse del solido posto in lto si più piccol di quell del solido posto in bsso. l bse del solido posto in lto si intermente contenut in quell del solido posto in bsso r Immgine delle bsi Il solido in bsso è indicto con il numero 1, mentre, il solido in lto è indicto con il numero Il volume del solido composto si clcol ddizionndo i volumi 1 re dell superficie lterle si clcol ddizionndo le due superfici lterli 1. er clcolre l re dell superficie totle osservimo ce: 1) ll re dell superficie lterle vnno ggiunte ) l re del qudriltero CD b) le due ree scure in figur ) le ree scure in figur sono equivlenti ll re dell bse dell figur 1 1

13 Cp. Geometri solid Concludimo llor ce l re dell superficie totle si clcol ggiungendo ll re dell superficie lterle due volte l re dell bse del solido numero 1: 1 1 M poicé 1 1 Si deduce ce l formul d utilizzre è 1 1 Formulrio olume re lterle re totle 1 1 Solidi concvi 1 Un solido concvo è un solido vente un rientrnz, per lcuni solidi concvi come quello in figur è fcile clcolre il volume e l re dell superficie. Fig. 1 Fig. Fig. Il volume si clcol sottrendo dl volume del solido 1, il volume del solido : 1. re dell superficie lterle si clcol con l stess formul dei solidi sovrpposti, nce l re dell superficie totle si clcol con l formul dei solidi sovrpposti: 1 1. Inftti, si può vedere ce l re del contorno rosso e del qudrto rosso in fig.1 sono congruenti ll re dell bse del solido numero 1. 1

14 Cp. Geometri solid irmide pirmide è un poliedro limitto d un poligono detto bse e d tnti tringoli qunti sono i lti del poligono, venti tutti un vertice in comune. Il vertice, di solito. È indicto con l letter. ltezz è il segmento condotto dl vertice perpendicolrmente ll bse. Il punto in cui l ltezz se dell pirmide intersec l bse è cimto piede dell ltezz. Il nome di un pirmide è legto ll form del poligono ce ne è l bse, un pirmide vente come bse un tringolo si cim pirmide bse tringolre, un pirmide vente come bse un pentgono si cim pirmide bse pentgonle e così vi. Clssificzione delle pirmidi Un pirmide può essere rett, obliqu o regolre Un pirmide per essere rett deve soddisfre due requisiti: 1. si deve poter inscrivere un circonferenz nell su bse. il piede dell ltezz deve coincidere con il centro dell circonferenz inscritt irmide rett bse qudrngolre irmide bse qudrngolre non rett (obliqu) Un pirmide obliqu è un pirmide per l qule non vle lmeno uno dei due requisiti riciesti ffincé l pirmide si rett. Un pirmide regolre è un pirmide ce oltre ce essere rett come bse un poligono regolre Ricord ce un pirmide regolre bse qudrngolre è un pirmide rett vente come bse un qudrto. 14

15 Cp. Geometri solid utte le considerzioni ce fremo comprese le formule ce otterremo per il clcolo dell superficie e del volume pirmide srnno vlide solo per le pirmidi rette (e quindi nce per le pirmidi regolri visto ce sono nc esse delle pirmidi rette) Sviluppo dell superficie di un pirmide rett Se si immgin di tglire un pirmide rett lungo gli spigoli lterli e si dispone l pirmide su di un pino, si ottiene lo sviluppo dell superficie dell pirmide rett. Considerimo come esempio un pirmide rett bse qudrngolre. Dllo sviluppo dell superficie lterle, si vede ce le ltezze dei 4 tringoli ce formno l superficie lterle nno tutte l stess lungezz. e 4 ltezze congruenti vengono cimte OEM Il clcolo dell superficie lterle consiste nel clcolre l re dei 4 tringoli venti tutti qunti l stess ltezz cimt potem, si otterrà così: 15

16 Cp. Geometri solid D DE E D DE E re totle si ottiene ggiungendo ll re lterle quell dell bse er disegnre un pirmide rett è necessrio disegnre il cercio inscritto ll bse, indicre i punti in cui l circonferenz tocc gli spigoli di bse (punti di tngenz). oi si disegn uno dei rggi ce colleg il centro dell circonferenz con uno dei punti di tngenz, si disegn il segmento ce colleg il punto di tngenz con il vertice dell pirmide. Il segmento così ottenuto è l potem dell pirmide. Infine si disegn l ltezz ce colleg il vertice dell pirmide con il centro dell circonferenz inscritt. ltezz, l potem ed il rggio di bse formno sono i lti di un tringolo rettngolo e per essi si può pplicre il teorem d itgor. r r r.il volume di un pirmide si clcol con l formul pirmide è esttmente 1 Il rggio del cercio inscritto è cimto nce potem di bse e si clcol con l formul: r. Questo percé il volume di un del volume di un prism vente l bse e l ltezz congruenti quelli dell pirmide. (Si può dimostrre prendendo un pirmide ed un prism con l stess bse e l stess ltezz e riempiendoli di sbbi si vedrà ce il prim contiene volte più sbbi rispetto ll pirmide). 16

17 Cp. Geometri solid Formulrio re lterle re totle re di bse volume ltezz erimetro di bse potem r Rggio r r r r r Il cono retto Il cono retto è un solido di rotzione ottenuto d un rotzione di 60 di un tringolo rettngolo intorno d uno dei suoi cteti, l ipotenus del tringolo ce ruotndo disegn il cono retto è cimt genertrice del cono. Nel cono retto in nlogi con l pirmide rett, il piede dell ltezz coincide con il centro dell circonferenz Il cono retto potrebbe essere immginto come un pirmide rett vente come bse un circonferenz per cui le formule ttrverso cui si clcolno l superficie ed il volume dell pirmide ce bbimo ottenuto per il cono possono essere pplicte l cono retto, ricordndo però ce l re dell bse si clcol con l formul r e ce l posto del perimetro di bse bisogn considerre l lungezz dell circonferenz ce si clcol con l formul C r 17

18 Cp. Geometri solid rti del cono In nlogi con l pirmide, l genertrice viene cimt potem ltezz, l potem ed il rggio di bse formno sono i lti di un tringolo rettngolo e per essi si può pplicre il teorem d itgor. r ; r r Formulrio re lterle re totle re di bse volume ltezz Circonferenz C r r r r C potem r Rggio r r r C r r r C C r r r Cono retto equiltero Nel cono retto, il tringolo è un isoscele. Nel cono retto equiltero il tringolo è equiltero e l potem è ugule l doppio del rggio. r 18

19 Cp. Geometri solid sfer e l superficie sferic sfer è un solido di rotzione ottenuto dll rotzione di 60 di un semicercio intorno l suo dimetro. Si cim sfer lo spzio ce il semicercio occup durnte l rotzione. semicirconferenz ce limit il semicercio durnte l rotzione gener un superficie curv cimt superficie sferic. e prti di un sfer sono il suo centro (indicto dll letter C) ed il rggio indicto dll letter r. Il rggio dell sfer è il segmento ce connette il centro dell sfer con un qulunque punto dell superficie sferic re dell superficie sferic e volume dell sfer re dell superficie sferic si clcol con l formul S 4 r 4 Il volume dell sfer è r Formulrio dell sfer Superficie S 4 r olume 4 r Rggio S r r 4 4 Solidi regolri (solidi pltonici) Un poliedro si dice regolre se tutte le sue fcce sono poligoni regolri congruenti tr loro e tutti i diedri e gli ngoloidi sono rispettivmente congruenti tr di loro. r tutti i poliedri esistenti ne esistono solo 5 ce sono regolri. Essi sono: il tetredro regolre, l esedro regolre o cubo, l ottedro regolre, il dodecedro regolre e l icosedro regolre. I 5 poliedri regolri sono riportti nell figur in bsso e per ogni solido è indict l tern (F,S,) dove F = numero delle fcce, S = numero degli spigoli e = numero dei vertici. etredro Cubo o Esedro Ottedro Dodecedro Icosedro (4,6,4) (6,1,8) (8,1,6) (1,0,0) (0,0,1) (immgini e prte del testo Il tetredro regolre è limitto d 4 tringoli equilteri congruenti. Il cubo o esedro regolre è limitto d 6 qudrti congruenti ottedro regolre è limitto d 8 tringoli equilteri congruenti. Il dodecedro regolre è limitto d 1 pentgoni equilteri congruenti. icosedro regolre è limitto d 0 tringoli equilteri congruenti. 19

20 Cp. Geometri solid re dell superficie e volume di un poliedro regolre re dell superficie totle di un poliedro regolre si clcol moltiplicndo l re di un fcci per il numero totle delle fcce: n ( n indic il numero delle fcce, ed indic l re di un fcci) F Il volume si clcol moltiplicndo l lungezz di uno spigolo per un numero fisso indicto dll letter ( indic l lungezz di uno spigolo) Numeri fissi per il clcolo del volume: oliedro regolre Numero fisso Formulrio per i poliedri regolri etredro 0,118 Superficie totle n F Cubo 1 re di un fcci F : n Ottedro 0,471 olume Dodecedro 7,66 Spigolo icosedro,18 F lcuni minerli nno l form di un solido pltonico d esempio l pirite può cristllizzre come un cubo oppure come un ottedro Cubo (immgini e prte del testo ottedro eso specifico Il peso specifico è il peso di un unità di volume del solido stesso. unità di volume solitmente è un oppure un dm o nce un m. Un indic lo spzio occupto d un cubo vente il lto di un cm e definizioni simili nno le ltre unità di volume. cm cm Il peso specifico si clcol prtire dll seguente formul: ps Formule inverse: ps ps unità di misur del peso specifico dipende dll scelt dell unità di volume e perciò potrà essere: 0

21 Cp. Geometri solid g cm oppure Kg dm o nce t m bell di lcuni pesi specifici (. g cm cciio 7,86 lluminio,7 Ferro 7,8 cqu 4 C 1 cqu di mre 1,0 Olio d oliv 0,76 ) cus dell strtificzione prodott dll forz di grvità, se si sovrppongono due sostnze venti peso specifico diverso e ce non si mescolno, l sostnz con il peso specifico più bsso ndrà posizionrsi l di sopr di quell con il peso specifico più lto. 1

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