Elementi di matematica - dott. I. GRASSI

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1 Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali rappresentazioni permettono di individuare la posizione di un punto in un piano utilizzando degli assi di riferimento: gli assi cartesiani ortogonali. Essi sono definiti come due rette perpendicolari che si intersecano in un punto detto origine. Per individuare la distanza dagli assi occorre avere un unità di misura e un verso di percorrenza su ognuno dei due assi. Convenzionalmente da sinistra verso destra per l asse orizzontale (l ascissa), e dal basso verso l alto per quello verticale (l ordinata). Asse delle ordinate 4 A 0 Asse delle ascisse Ogni punto nello spazio compreso fra i due assi è identificabile. Ad esempio il punto A è quel punto che ha come valore dell ascissa e come valore dell ordinata 4. Tali valori prendono il nome di coordinate del punto e si possono indicare così: A (,4) La parte di piano compresa tra gli assi cartesiani prende il nome di piano cartesiano. È molto importante prestare attenzione a cosa rappresentino le ascisse e le ordinate: un piano in cui l ordinata rappresenta il prezzo di un bene e l ascissa la domanda dello stesso bene, è diverso da un piano su cui sono individuati il reddito di un consumatore e la domanda di un bene, o di un piano su cui sono indicati due beni differenti. Sul piano cartesiano è possibile disegnare le relazioni esistenti tra l ascissa e l ordinata. Tali relazioni esprimono come varia l ordinata al variare dell ascissa, e viceversa. L ascissa e l ordinata, che generalmente in matematica sono indicate con le lettere e, sono perciò dette variabili La particolare relazione per la quale ad ogni valore di corrisponde uno ed un solo valore di prende il nome di funzione di rispetto a ed è indicata dall espressione: = f () Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché

2 Ad esempio il primo grafico rappresenta una funzione, il secondo no: Esempi di funzione possono essere le seguenti espressioni: = 0 + = 8 = 8 / 574, Tali funzioni sono tutte caratterizzate dal fatto che nessuna delle variabili è elevata ad una potenza diversa da e sono dette funzioni lineari. Nel piano cartesiano esse rappresentano delle rette. In forma generica una retta può essere specificata dall espressione = a + b che prende il nome di equazione esplicita della retta. Tale equazione può anche scriversi in forma implicita ossia: a + b = 0 In ogni caso a prende il nome di intercetta verticale, perché rappresenta il valore della funzione quando incontra l asse delle ordinate. b prende il nome di coefficiente angolare della retta. Esso esprime l inclinazione o pendenza della retta rispetto all asse delle ascisse, e misura come varia il valore dell ordinata al variare del valore dell ascissa. Ad esempio se la retta è = è l intercetta verticale è il coefficiente angolare Si nota che: se = 0 = = 0 se = = 0 + = se = 6 = = Per ogni variazione di (che in matematica si indica con il simbolo ), vi è una proporzionale variazione di ( ). 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché

3 Per individuare il rapporto di proporzionalità considero che prende il nome di rapporto incrementale. Ad esempio se il valore di passa da 0 a 6, quello di passa da 0 a. Il valore del rapporto incrementale sarà: 0 = = = Se il valore di passa da a, quello di passa da a 4. Il valore del rapporto incrementale sarà: 4 = = = Generalizzando è possibile dire che nel caso di una retta il valore del rapporto incrementale è costante e pari al coefficiente angolare della retta stessa. Se considero incrementi di molto piccoli (che in matematica si indicano con l espressione lim 0,che si legge limite per delta che tende a 0), il rapporto prende il nome di derivata. Ossia la derivata è il lim 0 del rapporto incrementale, e nel caso di una retta è costante e pari al coefficiente angolare della retta stessa. Disegnare il grafico di una retta è piuttosto semplice. Dato che nel piano per punti passa una ed una sola retta basta individuare punti appartenenti alla retta ed unirli. Nel nostro esempio sappiamo già che i punti di coordinate (, ) e (6, ) appartengono alla retta: Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché

4 Esercizi Disegna le seguenti rette: = = + = 0 = + = 0 Quali sono fra loro parallele? Quali sono fra loro perpendicolari? Quali hanno la stessa intercetta verticale ma differente inclinazione? Indica anche il coefficiente angolare (ossia la derivata) di tali funzioni Es: Un applicazione economica: il vincolo di bilancio In economia il vincolo di bilancio di un consumatore che può acquistare beni è dato dall espressione: p + p = m p e p rappresentano i prezzi dei due beni e m il reddito del consumatore. Le variabili sono quindi in questo caso i due beni e. Esplicitando l espressione rispetto a si ottiene: m p = p p Ponendo m = a e p paragrafo precedente. p = b si ottiene = a b, che è un espressione analoga a quella vista nel p L intercetta del vincolo di bilancio è quindi data da m p e il coefficiente angolare da p p m p Intercetta verticale p p Coefficiente angolare 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 4

5 Chiaramente se si modificano il reddito m o i prezzi dei due beni, il vincolo di bilancio cambia. Esercizi Disegna sul medesimo grafico le seguenti funzioni: 00 = = = = = Sistemi lineari Consideriamo due rette, ad esempio: = + 5 e = 0 Disegnandole si nota che esse si intersecano in uno ed un solo punto appartenente ad entrambe: Per individuare analiticamente tale punto bisogna risolvere un sistema tra le due equazioni: = + 5 =,5 + 5 = 0 = 0 = 7,5 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 5

6 Non sempre questi sistemi (che sono detti sistemi lineari) hanno una sola soluzione: se le rette sono parallele non vi sono soluzioni, ossia le due rette non si intersecano mai, se le rette coincidono vi sono infinite soluzioni. Es: Un applicazione economica: curve di domanda e di offerta La curva di domanda di un bene indica come varia la quantità domandata di un bene al variare del proprio prezzo, la curva di offerta indica come varia la quantità offerta al variare del prezzo. Le variabili sono quindi in questo caso prezzo e quantità. L equilibrio economico è dato dall intersezione fra la curva di domanda e di quella di offerta. Se tali espressioni sono date da: Domanda: p d = 8 q d Offerta: p o = 6 + q o In equilibrio la quantità e il prezzo sono uguali, ossia: p d = p o = p e q d = q o = q L equilibrio economico sarà dato dalla soluzione del sistema lineare formato dalle due espressioni: p = 8 q p* = 9 8 q = 6 + q p = 6 + q q* = p p d = 8 q d 9 p o = 6 + q o q 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 6

7 Esercizio. Risolvi i seguenti sistemi di equazioni lineari: = 00 = = + = 0 + p = 0 q p = q Funzioni non lineari e derivate di funzioni elementari. Si è mostrato che per una retta il coefficiente angolare è costante e coincide con la derivata. Quando si ha a che fare con funzioni non lineari non è più così. Si consideri la seguente curva (che è la rappresentazione grafica della funzione = ) In questo caso ad incrementi uguali di non corrispondono incrementi uguali di, ossia il rapporto incrementale non è costante: l inclinazione cambia in ogni punto e non possiamo quindi ragionare come nel paragrafo. per calcolare la derivata. Per risolvere il problema abbiamo bisogno del concetto di tangente. Una tangente è una retta che tocca la curva in un punto e in quel punto ha la stessa inclinazione della curva. 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 7

8 Ad esempio nel primo grafico la retta non è tangente alla curva, perché pur toccandola solo in quel punto non ne ha lì la stessa pendenza. Nel secondo grafico lo è. Esiste una definizione più precisa di tangente ad una curva in un punto, per la quale dobbiamo utilizzare la nozione di corda di una curva: la corda è un segmento che unisce due punti distinti della curva A e B. La tangente è la posizione limite di una corda della curva al tendere di B a A, ossia per lim 0. B A Α Β B A Β Α A B A B La tangente ad una curva può quindi essere definita come lim 0 di Essa è quindi l inclinazione della curva in quel punto e la sua derivata.. Dato che l inclinazione della curva non è costante, la derivata in questo caso non è costante. Abbiamo quindi bisogno di regole di derivazione di funzioni elementari. 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 8

9 Va prima notato che esistono diverse notazioni per indicare la derivata di una funzione. Nel caso la funzione sia del tipo =f() le seguenti notazioni indicano tutte indifferentemente la derivata della funzione:, d d,, f ( ), f, D Derivata di una funzione costante: = k = 0 essendo costante nessuna variazione di determina variazioni di. Derivata di una funzione lineare: = a + b = a Derivata di una funzione potenza: = a n = n a n Derivata di una funzione logaritmo: = log = Ad esempio se = = 0 = = 5 = = 5 = 5 5 = = = N.B. E utile ricordare che ogni frazione può essere espressa come una potenza con esponente negativo. Ad esempio è equivalente ad, 0 = 0 e più genericamente A n = A Tutto ciò rende più agevole il calcolo della derivata nel caso in cui ci si trovi di fronte ad una frazione: basterà applicare semplicemente la regola di derivazione delle potenze. n 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 9

10 0 Ad esempio per derivare sarà sufficiente prima esprimerlo come 0, dopodiché applicando la regola di derivazione delle potenze si otterrà 0 = 0 4 Analogamente è utile ricordare che la funzione radice può essere espressa come una potenza con esponente una frazione. Ad esempio è equivalente ad, 5 5 = e più genericamente n n =. Anche in questo per derivare basterà applicare la generica regola di derivazione delle potenze. Le funzioni elementari si possono combinare fra loro, ad esempio attraverso le operazioni elementari. Somma algebrica di funzioni: la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate Moltiplicazione fra funzioni: = f ( ) g( ) = f ( ) g( ) + g ( ) f ( ) Ad esempio se: = + 7 = 6 = log( ) = log( ) + Ovviamente è possibile utilizzare le stesse regole di derivazione per derivare funzioni in o più variabili. Ad esempio se si ha f(,)=5 è possibile derivare sia rispetto a che rispetto a : f (, ) = 5 e f (, ) = 5 Se la funzione è f(,)=, le derivate saranno f (, ) = f (, ) e = 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché 0

11 Esercizi Deriva le seguenti funzioni o combinazioni di funzioni: = = = = = log = = log f (, ) = (deriva rispetto ad entrambe le variabili) f (, ) = log + log (deriva rispetto ad entrambe le variabili) f (, ) = (deriva rispetto ad entrambe le variabili) f (, ) = (deriva rispetto ad entrambe le variabili) f (, ) = + (deriva rispetto ad entrambe le variabili) 4 Massimo e minimo di una funzione In economia spesso ci si trova di fronte a problemi di massimizzazione o minimizzazione : ad esempio il consumatore vuole massimizzare il proprio livello di utilità, le imprese massimizzare i profitti e minimizzare i costi ecc.ecc. Una curva che presenta un massimo è ad esempio la seguente: Y* X* Che inoltre il più delle volte presentano dei vincoli. 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché

12 Dove il punto di coordinate (X*, Y*) rappresenta il massimo della funzione, ossia il punto in cui il valore della funzione è il più grande. Se analizziamo la curva, noteremo che essa ha pendenza positiva (sarà crescente) per valori di minori di X*, mentre ha pendenza negativa (sarà decrescente) per valori di superiori rispetto a X*. Il valore X* è proprio quello in cui la pendenza passa da positiva a negativa, ossia in cui la pendenza è pari a zero. Dato che la pendenza di una curva si determina calcolandone la derivata prima, in X*, ossia nel punto di massimo, la derivata prima sarà pari a zero. Lo stesso discorso può essere riproposto per calcolare il minimo di una funzione. Es: Un applicazione economica: la massimizzazione del profitto di un monopolista. Consideriamo un mercato monopolistico, caratterizzato dalla funzione di domanda lineare P = 00 Q in cui un impresa opera con costi nulli. L obiettivo dell impresa sarà, ovviamente, massimizzare i propri profitti (che si indicano con la lettera greca π ), dati dai ricavi meno i costi. I ricavi si calcolano moltiplicando il prezzo per la quantità. In questo caso: π = P Q CT = ( 00 Q) Q 0 = 00Q Q Per calcolare il massimo di questa funzione occorre quindi derivarla rispetto alla variabile Q ed uguagliare a zero tale derivata. π 00 = 0 00 Q = 0 Q = = 50 Q Il profitto è massimo quando l impresa produce 50 unità del bene e, per quel livello di produzione è pari a π = 00Q Q = = 500 A distinguere i punti di massimo da quelli di minimo saranno poi le condizioni sulla derivata seconda. 006 Iacopo Grassi. E consentita la riproduzione totale o parziale delle dispense, la loro diffusione ad uso personale degli studenti, purché

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