Formulazione delle specifiche. G(s)

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1 Formulazione delle specifiche Formulazione delle specifiche: sistema in retroazione unitaria (1 grado di liberta`) r + e D(s) u - G(s) caratterizzazione della f.d.t. a catena chiusa si fa in genere riferimento alla risposta di un sistema semplice (ad es. del secondo ordine) a segnali canonici (ad es. gradino, rampa,...) comportamento nel dominio del tempo comportamento nel dominio delle frequenze y 1

2 Formulazione delle specifiche Tipiche specifiche di progetto sono fornite in termini di: stabilita` (del sistema a catena chiusa, ma anche del controllore stesso, o di altre f.d.t. di interesse) errore a regime nella risposta a segnali canonici prontezza del sistema capacita` smorzante insensibilita` alle variazioni parametriche e/o disturbi agenti sul sistema Traduzione in termini di valori quantitativi di alcuni parametri 2

3 Formulazione delle specifiche Stabilita` (del sistema in retroazione) margini di stabilita` PM, GM Regime transitorio: prontezza tempo di salita t r capacita` smorzante sovraelongazione M p Regime permanente: errore a regime e r (risposta ad ingressi canonici) tipo Caratterizzazione nel dominio del tempo caratterizzazione nel dominio della frequenza 3

4 Formulazione delle specifiche Prontezza: sistema pronto t r piccolo elevata banda passante B del sistema in catena chiusa Capacita` smorzante: sistema smorzato (ζ grande) M p piccolo massimo di risonanza M r piccolo nella risposta in frequenza PM elevato 4

5 Formulazione delle specifiche Errore a regime: legato al valore della funzione di risposta armonica per ω Tipo: numero di poli nell origine della f.d.t. in catena diretta Sensibilita` alle variazioni parametriche sagomatura della risposta in frequenza Progetto del controllore: determinare il tipo di azione da effettuare tramite D(s) sul processo da controllare G(s) per garantire che a catena chiusa T(s) soddisfi le specifiche Azioni elementari di controllo 5

6 Sintesi di Bode Sintesi di Bode: e` basata sulla formulazione di alcune specifiche del sistema a catena chiusa in termini di caratteristiche del termine in catena diretta L(s)=D(s)G(s) E` detta anche sintesi per tentativi (richiede in genere diverse iterazioni) Specifiche: errore a regime e r,k <ε in risposta all ingresso canonico con trasformata 1/s k+1 (e nullo in per indici <k) margine di fase (per L(s)) PM>PM* pulsazione di attraversamento (per L(s)) ω c =ω* 6

7 Sintesi di Bode Collegamento con il comportamento a catena chiusa: errore a regime e precisione nel sistema retroazionato dipendono dal tipo e dal guadagno del termine in catena diretta: tipo Gradino Rampa Rampa parabolica 1 L(s) = L (s) 1+ L () L () guadagno di posizione 1 1 L(s) = L (s) /s L () L () guadagno di velocita` 2 1 L(s) = L (s) /s 2 L () L () guad. di accelerazione 7

8 Sintesi di Bode M p nel sistema retroazionato e PM di G(s) sono legati tra loro nel seguente modo: PM cresce M p cala Infatti: M p elevata il sistema retroazionato ha poli vicini all asse immaginario e` vicino all instabilita` ha PM piccolo. Nella sintesi di Bode si cerca di ottenere una sovraelongazione soddisfacente agendo su PM Legame tra ω c (L(s)) e B (T(s)): per sistemi regolari si ha che ω c cresce B cresce. Assunzione: PM π/2 8

9 Sintesi di Bode Assunzione: T(jω) monotono decrescente nell intorno di 2πB T(j) T(j) / T(jω c ) T(j2πB) ω c 2πB= ω BW 9

10 Sintesi di Bode Per sistemi regolari: ω c 2πB ω c 5B La specifica su ω c corrisponde ad una specifica su B Specifiche su T(s) Errore a regime Sovraelongazione Banda passante Specifiche su L(s)=D(s)G(s) Tipo+guadagno margine di fase pulsazione di attraversamento Calcolo di D(s) 1

11 Sintesi di Bode Step 1: soddisfacimento della specifica sul tipo e la precisione La specifica e` formulata come e r,k <ε in risposta all ingresso canonico con trasformata 1/s k+1 (e nullo in per indici <k+1) tipo di L(s)=D(s)G(s): h=k se tipo di G(s)=h p <k+1 tipo di D(s)=h D =(k-h G ) K = guadagno di L(s) deve essere tale che e r,k = 1 K ε K 1 e r,k 11

12 Sintesi di Bode Osservazione: se k=, per K elevato e r, = Poiche` K=K D. K G il valore limite per K D e` dato da K D = 1 K G e r,k La struttura del regolatore D(s) e` pertanto D(s) = K D s h D D * (s) 1 1+ K 1 K dove D*(s) e` una f.d.t. con guadagno unitario e priva di poli nell origine 12

13 Sintesi di Bode Step 2: soddisfacimento della specifica margine di fase e pulsazione di attraversamento Si agisce su D*(s), tramite la quale si deve garantire che L( jω c ) =1 Arg L( jω c ) [ ] + π = PM L(s) = D(s)G(s) = D * (s) K D s h D G * (s) = def K D s h D G(s) = D * (s)g * (s) G(s) G*(s) ha gia` tipo e guadagno corretti 13

14 Azioni di controllo Con riferimento a G*(s), definiamo: ω c : pulsazione di attraversamento effettiva ω c : pulsazione di attraversamento richiesta PM: margine di fase richiesto PM =π+arg[g*(j ω c )] (margine di fase disponibile in ω c ) Osservazione: PM NON coincide con il margine di fase di G*(s) che vale π+arg[g*(j ω c )] Osservazione: la specifica su PM e` una disuguaglianza (come quella su e r,k ), quella su ω c e` una uguaglianza Nei problemi: tutte le specifiche considerate come uguaglianze 14

15 Azioni di controllo Phase (deg); Magnitude (db) PM=π+Arg[G*(jω c )] Bode Diagrams ω c ω c PM =π+arg[g*(j ω c )] PM Frequency (rad/sec) 15

16 Azioni di controllo Possibili situazioni: ω c > ω c, ω c < ω c PM > PM, PM < PM Si agisce tramite D*(s) per imporre che ω c = ω c, PM = PM (o PM > PM ) In termini analitici: L( jω c ) = D * ( jω c )G * ( jω c ) =1 Arg[ L( jω c )] = Arg[ D * ( jω c )] + Arg[ G * ( jω c )] = m ϕ π Scelta della rete corretrice in base all azione elementare di controllo desiderata 16

17 Caso 1: ω c > ω c Caso 1: ω c > ω c ω c ω c Azione amplificatrice alla pulsazione ω c Sul diagramma di Bode dei moduli : traslazione verso l alto ΔK 17

18 Caso 1: ω c > ω c Determinazione del fattore di amplificazione ΔK: L( jω c ) = D * ( jω c )G * ( jω c ) =1 M = D * ( jω c ) = G * ( jω c ) <1 D * ( jω c ) = 1 ΔK db = M db = G * ( jω c ) db 1 G * ( jω c ) >1 = G * ( jω c ) db > 1 G * ( jω c ) 18

19 Caso 2: ω c < ω c Caso 2: ω c < ω c ω c ω c Azione attenuatrice alla pulsazione ω c Sul diagramma di Bode dei moduli : traslazione verso il basso ΔK 19

20 Caso 2: ω c < ω c Determinazione del fattore di attenuazione ΔK: L( jω c ) = D * ( jω c )G * ( jω c ) =1 M = D * ( jω c ) = G * ( jω c ) >1 D * ( jω c ) = 1 ΔK db = M db = G * ( jω c ) db 1 G * ( jω c ) <1 = G * ( jω c ) db < 1 G * ( jω c ) 2

21 Caso 3: PM > PM Caso 3: PM > PM (margine di fase insufficiente) -5-1 TextEnd PM ω c ϕ PM Azione anticipatrice alla pulsazione ω c Sul diagramma di Bode delle fasi : traslazione verso l alto 21

22 Caso 3: PM > PM Determinazione del fattore di anticipo ϕ: Arg[ L( jω c )] + π = PM = Arg[ D * ( jω c )] + Arg[ G * ( jω c )] + π PM PM = Arg[ D * ( jω c )] + PM Arg[ D * ( jω c )] = ϕ = PM PM > ϕ = PM PM = PM ( Arg[ G * ( jω c )] + π) 22

23 Caso 4: PM < PM Caso 4: PM < PM (margine di fase sufficiente) TextEnd ϕ PM PM ω c In ω c la G*(s) presenta gia` un margine di fase superiore a quello richiesto situazione migliore di quanto richiesto nella specifica non si operano correzioni di fase ϕ< 23

24 Scelta della rete correttrice Le caratteristiche della rete correttrice sono determinate in base ai valori di: M = C * 1 ( jω c ) = G * ( jω c ) ϕ = Arg D * ( jω c ) ( ) [ ] = PM PM = PM Arg[ G * ( jω c )] + π Quattro possibili situazioni: > < M M>1 M<1 ϕ ϕ> ϕ< 24

25 Scelta della rete correttrice Specifiche su T(s) Errore a regime Sovraelongazione Banda passante Specifiche su L(s)=D(s)G(s) Tipo+guadagno margine di fase pulsazione di attraversamento Calcolo di D(s) Tipo+guadagno Anticipo/ritardo di fase in ω c Amplificazione/attenuazione in ω c 25

26 Scelta della rete correttrice Importante: sia M che ϕ sono determinati in base a G*(s) 1 M = G * ( jω c ) = ϕ = PM Arg G * ( jω c ) ( ω c ) h D K D G( jω c ) G * (s) = K D s h D G(s) ( [ ] + π) = PM Arg G( jω c ) [ ] h D π 2 + π 26

27 Il progetto delle reti corretrici Struttura del controllore: D(s) = K D s h D D * (s) Specifica su tipo ed errore a regime K D, h D D*()=1, D*(s) priva di poli nell origine Specifiche su ω c e PM M, ϕ D*(jω c ) Questa informazione e` sufficiente per determinare univocamente per via analitica G*(s) se essa ha struttura semplice Analizziamo i quattro casi della tabella (M, ϕ) 27

28 Caso M>1, ϕ< Caso M>1, ϕ< : PM < PM (margine di fase sufficiente) ω c > ω c (richiesta amplificazione alla pulsazione ω c ) Compensatore (amplificatore) statico: Osservazione: D*() 1 ΔK D * (s) = M =1 2 >1 si migliora la precisione a regime 28

29 Caso M>1, ϕ< L Arg[L] -π PM ω c ω c ΔK PM 29

30 Caso M>1, ϕ> Caso M>1, ϕ> : PM > PM (margine di fase insufficiente) ω c > ω c (richiesta amplificazione alla pulsazione ω c ) Azione amplificatrice per aumentare ω c Azione anticipatrice per guadagnare PM Rete anticipatrice (amplificatrice) (lead) D * (s) = 1+ Ts, T >, < α <1 1+ αts Osservazione: D*(s) e` completamente specificata da due parametri 3

31 Caso M>1, ϕ> Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] 1/T 1/(αT) φ max x 1/(αT) ω >> 1 αt : o 1/T D * ( jω) db 2log 1 α Frequency [rad/s] ω max φ max < π 2 31

32 Caso M>1, ϕ> ω max φ max 1 1/α Centro della cfr.: 1+ 1 α = 1+ α 2 2α log 1 T + log 1 αt 2 ω max = 1 T α φ max = arctan 1 α 2 α = 1 2 log 1 T 2 α 1 = log T α 32

33 Caso M>1, ϕ> Problema di sintesi: dati ω c, M > 1, ϕ > determinare i parametri α e T di una rete anticipatrice D*(s) tali che D*(jω c ) = M Arg[D*(jω c )]= ϕ D*(s) e` completamente specificata dai due parametri α e T e il problema richiede il soddisfacimento di due condizioni Si possono impostare due equazioni (una dalla condizione sul modulo, una dalla condizione di fase) nei due parametri α e T Condizioni per l esistenza di una soluzione 33

34 Caso M>1, ϕ> Soluzione: il punto Me jϕ deve appartenere al diagramma di Nyquist di D* quando ω=ω c Msinϕ Me jϕ ϕ 1 1/α Mcosϕ Mcosϕ-1: Msinϕ= Msinϕ:1/α- Mcosϕ 34

35 Caso M>1, ϕ> Si ottiene un equazione da risolvere in α M 2 sin 2 ϕ = M cosϕ 1 α = ( ) 1 α M cosϕ M cosϕ 1 M( M cosϕ) Si impone poi che D*(jω c ) 2 =M 2 1+ T 2 ω c 2 1+ α 2 T 2 ω c 2 = M 2 T = 1 1 M 2 ω c α 2 M 2 1 = M cosϕ ω c sinϕ 35

36 Caso M>1, ϕ> Condizione per l esistenza di una rete anticipatrice che risolve il problema: dato che M>1, α > implica che α = M cosϕ 1 M( M cosϕ) > M cosϕ 1> cosϕ > 1 M La condizione e` stringente: se non e` soddisfatta, non esiste una D*(s) della forma assegnata che risolve il problema Poiche M>1, ϕ<π/2 T = M cosϕ ω c sinϕ > 36

37 Caso M>1, ϕ> Si puo` anche determinare α come l unica soluzione positiva dell equazione c( q 2 c + c 1)α 2 + 2q 2 cα + ( q 2 +1 c) = q = tanϕ c = M 2 >1 c > q 2 +1 Effetti positivi dell azione anticipatrice: miglioramento del margine di stabilita` aumento di ω c aumento di B a catena chiusa diminuzione di t r sistema piu` pronto Effetti negativi: peggiora la possibilita` di filtrare rumore sovrapposto al segnale utile 37

38 Caso M>1, ϕ> Esempio: P(s) = Specifiche: tipo h=1, e r,1 <ε=.1=1/1 ω c =8 rad/s 25 s(s + 5)(s +1) PM=45 o Step 1: specifica su tipo ed errore a regime G(s) e` gia` di tipo 1 h D = K v =(guadagno di velocita`)=.5 K D = 1 K v ε = = 2 38

39 Caso M>1, ϕ> Step 2: specifiche su ω c e PM G * (s) = K D s h D Determinazione di M e ϕ: G(s) = 2G(s) = G * ( jω c ) = G * ( j8) =.51e j M = G * ( j8) 2 >1 ϕ = PM π + Arg G * ( j8) 5 s(s + 5)(s +1) PM =-6 o [ [ ]] 45 [ ] = 51 > Rete anticipatrice 39

40 Caso M>1, ϕ> Condizione di esistenza: Determinazione della rete: α = D * (s) = M cosϕ 1 M( M cosϕ) 1+ Ts 1+.21s = 1+ αts 1+.16s cosϕ =.63 > 1 M =.51 =.78 T = M cosϕ ω a sinϕ = s D(s) = s 4

41 Caso M>1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 41

42 Caso M>1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Diagrammi di Bode della rete anticipatrice TextEnd si lavora in prossimita` di ω max Frequency (rad/sec) 42

43 Caso M>1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Margini del guadagno di anello Gm= db (at rad/sec), Pm=45 deg. (at 8 rad/sec) Frequency (rad/sec) 43

44 Caso M>1, ϕ> Magnitude [db] Phase [deg] Frequency [rad/s] Frequency [rad/s] 2πB 13 B 2 ω c =8 5B 1 44

45 Caso M<1, ϕ< Caso M<1, ϕ< : PM < PM (margine di fase sovrabbondante) ω c < ω c (richiesta attenuazione alla pulsazione ω c ) Azione attenuatrice per diminuire ω c Ci si puo` permettere di perdere un po` di PM Rete attenuatrice (ritardatrice) (lag) D * (s) = 1+ αts, T >, < α <1 1+ Ts Osservazione: D*(s) e` completamente specificata da due parametri 45

46 Caso M<1, ϕ< Magnitude [db] Phase [deg] /T 1/(αT) ω min φ min o 1/(αT) ω >> 1 αt : x 1/T D * ( jω) db 2logα Frequency [rad/s] φ min > π 2 46

47 Caso M<1, ϕ< α ω min φ min 1 Centro della cfr.: log 1 T + log 1 αt 2 ω min = 1 T α 1+ α 2 = 1 2 log 1 T 2 α 1 = log T α φ min = arctan α 1 2 α 47

48 Caso M<1, ϕ< Problema di sintesi: dati ω c, M < 1, ϕ < determinare i parametri α e T di una rete attenuatrice D*(s) tali che D*(jω c ) = M Arg[D*(jω c )]= ϕ D*(s) e` completamente specificata dai due parametri α e T e il problema richiede il soddisfacimento di due condizioni Come nel caso della rete anticipatrice: due equazioni nei due parametri α e T stesso approccio per la soluzione condizioni per l esistenza di una soluzione 48

49 Caso M<1, ϕ< Si ottiene: α = M( cosϕ M) 1 M cosϕ condizione per l esistenza: T = 1 1 M 2 M cosϕ 1 = ω c M 2 2 α ω c M sinϕ cosϕ > M La condizione NON e` stringente: se non e` soddisfatta, si puo` scegliere ϕ piu` piccolo in modulo che porta ad un PM maggiore Poiche M<1, ϕ< (sin ϕ<), T> 49

50 Caso M<1, ϕ< Si puo` anche determinare α come l unica soluzione positiva dell equazione Effetti positivi dell azione anticipatrice: diminuzione di B a catena chiusa aumenta l effetto filtrante Effetti negativi: c( q 2 c + c 1) + 2q 2 cα + ( q 2 +1 c)α 2 = q = tanϕ c = M 2 <1 c < 1 q 2 +1 intoduce un ritardo diminuisce PM disponibile 5

51 Caso M<1, ϕ< Esempio: G(s) = Specifiche: tipo h=1, e r,1 <ε=.1=1/1 ω c =2 rad/s 25 s(s + 5)(s +1) PM=4 o Step 1: specifica su tipo ed errore a regime come prima G(s) e` gia` di tipo 1 h D = K v =(guadagno di velocita`)=.5 K c = 1 K v ε = = 2 51

52 Caso M<1, ϕ< Step 2: specifiche su ω c e PM G * (s) = K D s h D Determinazione di M e ϕ: G(s) = 2G(s) = G * ( jω a ) = G * ( j2) = 4.55e j M =.22 <1 G * ( j2) ϕ = PM π + Arg G * ( j2) 5 s(s + 5)(s +1) m ϕ =57 o [ [ ]] 4 [ ] = 17 < Rete attenuatrice 52

53 Caso M<1, ϕ< Condizione di esistenza: Determinazione della rete: G * (s) = 1+ αts 1+ Ts = s s cosϕ =.95 > M =.22 α = M( cosϕ M) 1 M cosϕ =.21 T = M cosϕ 1 ω a M sinϕ = 6.14 D(s) = s s 53

54 Caso M<1, ϕ< Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 54

55 Caso M<1, ϕ< Phase (deg); Magnitude (db) Diagrammi di Bode della rete attenuatrice si lavora in prossimita` della max. attenuazione Frequency (rad/sec) 55

56 Caso M<1, ϕ< Phase (deg); Magnitude (db) Margini del guadagno di anello Gm= db (at rad/sec), Pm=4 deg. (at 2 rad/sec) Frequency (rad/sec) 56

57 Caso M<1, ϕ< Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 2πB 3.65 B.59 ω c =2 5B

58 Caso M<1, ϕ> Caso M<1, ϕ> : PM > PM (margine di fase insufficiente) ω c < ω c (richiesta attenuazione alla pulsazione ω c ) Azione attenuatrice per diminuire ω c ed anticipatrice per guadagnare in PM Rete piu` complessa (due poli e due zeri) Rete a sella (attenuatrice-anticipatrice) (lead-lag) D * (s) = 1+ αt 1 s 1+ T 1 s 1+ T 2 s 1+ αt 2 s T 1 > T 2 >, < α <1 Osservazione: D*(s) e` completamente specificata da tre (e non due) parametri 58

59 Caso M<1, ϕ> Phase deg Gain db /T 1 1/(αT 1 ) 1/T 2 1/(αT 2 ) Frequency (rad/sec) 1/(T 2 ) 1/(T 1 ) x o o x 1/αT 2 1/αT 1 media ω poli =media ω zeri 1 φ = : ω m = αt 1 T 2 π 2 < φ min < φ < φ max < π 2 59

60 Caso M<1, ϕ> ω max ω m m ω min φ max φ min 1 Centro della cfr.: (1+m)/2 m = D * ( jω m ) = 1+ αk α + k k = T 1 T 2 >1; < m <1 6

61 Caso M<1, ϕ> Problema di sintesi: dati ω c, M < 1, ϕ > determinare i parametri α e T 1, T 2 di una rete a sella D*(s) tali che D*(jω c ) = M Arg[D*(jω c )]= ϕ Come nei casi precedenti, si possono impostare due equazioni (una dalla condizione sul modulo, una dalla condizione di fase) che non consentono di determinare univocamente α e T 1, T 2 Si determina una famiglia di soluzioni Condizioni per l esistenza di soluzioni 61

62 Caso M<1, ϕ> Primo approccio: si determina una famiglia di soluzioni in funzione del parametro k = T 1 /T 2 Passi della procedura: imponendo il passaggio del diagramma di Nyquist per il punto Me jϕ si determina m si fissa k noti m e k, si calcola α = km 1 k m imponendo la condizione di modulo C*(jω a ) =M si determina T 2 si calcola T 1 =k T 2 Per ogni scelta di k si ottiene una rete 62

63 Caso M<1, ϕ> Le formule che si ottengono sono le seguenti (applicando nell ordine i passi della procedura): α = m = M(cosϕ M) 1 M cosϕ km 1 k m x = C + C 2 4α 2 k 2 2α 2 k 2 T 2 = x ω a T 1 = kt 2 M < cosϕ k arbitrario purche C = M condizione stringente di esistenza k > 1 m 2 ( α 2 + k 2 ) 1 α 2 k 2 1 M 2 63

64 Caso M<1, ϕ> Esempio: G(s) = Specifiche: 25 s(s + 5)(s +1) tipo h=1, e r,1 <ε=.1=1/1 ω c =5 rad/s PM=6 o Step 1: specifica su tipo ed errore a regime G(s) e` gia` di tipo 1 h D = K v =(guadagno di velocita`)=.5 K c = 1 K v ε = = 2 64

65 Caso M<1, ϕ> Step 2: specifiche su ω c e PM G * (s) = K D s h D Determinazione di M e ϕ: G(s) = 2G(s) = G * ( jω c ) = G * ( j5) =12.65e j M =.8 <1 G * ( j1) ϕ = PM π + Arg G * ( j5) 5 s(s + 5)(s +1) PM =19 o [ [ ]] 6 [ ] = 41 > Rete a sella 65

66 Caso M<1, ϕ> Condizione di esistenza: Determinazione della rete: m = cosϕ =.7125 > M =.8 M(cosϕ M) 1 M cosϕ =.53 k = 2 > 1 m =18.94 D * (s) = 1+ αt 1 s 1+ T 1 s 1+ T 2 s 1+ αt 2 s = s s s s 66

67 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 67

68 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 68

69 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) TextEnd Bode Diagrams Gm=24.3 db (at rad/sec), Pm=6 deg. (at 5 rad/sec) Frequency (rad/sec) 69

70 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 2πB 8.5 B 1.35 ω c =5 5B

71 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 71

72 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 72

73 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 73

74 Caso M<1, ϕ> Secondo approccio: si scompone il problema di sintesi in due sottoproblemi. sintesi della parte attenuatrice-ritardatrice D* r (s) e sintesi della parte anticipatrice D* a (s) D*(s)= D* r (s) D* a (s) Si decide a priori il contributo di fase negativa (ritardo) φ r introdotto in ω c da D* r (s) La pulsazione ω c si deve collocare dove φ r e` piccolo (in genere -6 o < φ r <-3 o ) e l attenuazione e` circa quella asintotica (2logα) Assieme alle specifiche, cio` consente di determinare con la tecnica gia` vista prima D* c (s) e poi D* r (s) Per ogni scelta di φ r si ottiene una rete 74

75 Caso M<1, ϕ> Parte attenuatrice-ritardatrice D* r (s): D * r ( jω c ) = 1+ jω cαt 1 db 1+ jω c T 1 db Arg D * r ( jω c ) [ ] = φ r 2logα M db = D * ( jω c ) db = D r * ( jω c ) db + D a * ( jω c ) db Parte anticipatrice C* a (s): D * a ( jω c ) = 2log M 2logα D * db a ( jω c ) = M α Arg[ D * a ( jω c )] = ϕ φ r Si risolve per α e T 2 con la tecnica vista per le reti anticip. 75

76 Caso M<1, ϕ> Condizione per l esistenza della soluzione D* a (s): M 2 < 1 1+ q 2 q = tan(ϕ φ r ) Parte anticipatrice D* r (s): rimane da determinare T 1 [ ] = φ r = Arg 1+ jω cαt 1 Arg C r * ( jω c ) 1+ jω c T 1 tanφ r = ω c T 1 (α 1) 1+ αω 2 2 c T 1 T 2 ( 1 αω 2 c tanφ ) r + (1 α)ω c T 1 + tanφ r = = arctan ω c T 1 (α 1) 1+ αω 2 2 c T 1 Condizione: deve esistere T 1 > T 2 > 76

77 Caso M<1, ϕ> Phase (deg); Magnitude (db) Diagrammi di Bode delle reti a sella Frequency (rad/sec) 77

78 Conclusioni Osservazioni generali: una volta determinato D(s), e` necessario verificare che il sistema in catena chiusa sia stabile talvolta non si riesce a soddisfare le specifiche utilizzando una sola rete correttrice cascata di piu` reti possono essere necessari, a posteriori, piccoli aggiustamenti dei parametri per soddisfare le specifiche di progetto 78