Derivata di una funzione

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1 Derivata di una funzione Derivabilità e derivata in un punto Sia y = f x una funzione reale di variabile reale di dominio D(f), e sia D(f). Si die he la funzione è derivabile in se esiste ed è finito il seguente limite, he verrà detto derivata di f(x) in : f + h f f f + h f() = lim h 0 h + h Considerato il punto di asissa appartenente al grafio della funzione, la derivata della funzione in è il valore a ui tende il oeffiiente angolare delle orde man mano he si avviina a (sia da sinistra he da destra), dove è un altro punto appartenente al grafio della funzione. In simboli: f = lim m Il rapporto inrementale rappresenta infatti il oeffiiente angolare delle orde, perhé f + h f rappresenta la variazione vertiale, e h la variazione orizzontale del segmento. La ondizione h 0 equivale a dire he tende a. Se la funzione è derivabile in, tale limite rappresenta il oeffiiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto. La derivata della funzione in rappresenta la veloità on la quale la funzione sta variando in. Si die he f x è derivabile a sinistra di se esiste ed è finito il seguente limite, he verrà detto derivata sinistra di f(x) in : f f + h f() = lim h 0 h Si die he f x è derivabile a destra di se esiste ed è finito il seguente limite, he verrà detto derivata destra di f(x) in : f f + h f() + = lim h 0 + h Si può dare alla definizione della derivata sinistra e destra la stessa interpretazione geometria della derivata, limitandosi al aso in ui si avviini a soltanto da sinistra o da destra. Derivabilità in un intervallo Una funzione f x si die derivabile in un intervallo se è derivabile in ogni punto di quell intervallo. Continuità e derivabilità Se una funzione è derivabile in un punto, allora è ontinua in. Le funzioni derivabili sono un sottoinsieme delle funzioni ontinue. Tipi di non derivabilità Se è punto di disontinuità, allora la funzione non è derivabile in. m + m + f = + f + = Disontinua in Non derivabile in f = + f + = m + Disontinua da sinistra in Non derivabile da sinistra in

2 Se in la funzione è ontinua allora si die he è punto angoloso se: f = m + m = f + m se una tra la derivata destra e la derivata sinistra è infinita, e l altra no. m + m + allora si die he è flesso a tangenza vertiale se: m + f = f + = + m + + m f = f + = allora si die he è punto di uspide se: f = + e f + = m + + m m + f = e f + = + Funzione derivata La funzione derivata è la funzione he assoia ad ogni x per ui y = f(x) è derivabile, la derivata della funzione in quel punto. Esistono diverse notazioni per indiare la funzione derivata: y = f (x) y = df dx y = D[f x ] e la funzione derivata alolata in un punto. Derivata delle funzioni elementari D k = 0 D x = 1 y = f () Algebra delle derivate D os (x) = sin (x) D sin (x) = os(x) y = df dx x= y = D f x x= La funzione derivata è un espressione he permette di alolare la derivata della funzione in un qualsiasi punto in ui questa è derivabile. Spesso, on abuso di notazione, si srive «derivata» invee di «funzione derivata». Le funzioni elementari sono derivabili in R (a parte la logaritmia, he è derivabile soltanto per x > 0): D k f(x) = k f (x) D f(x) + g(x) = f (x) + g (x) D f(x) g(x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) D a x = a x ln (a) D log a (x) = 1 x ln a D 1 g(x) = g (x) g 2 (x) D e x = e x D ln(x) = 1 x D f(x) g(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) D f(g x ) = f g x g (x) D a f(x) = D e ln af x = D e f x ln a = a f x f x ln a D f x g(x) = D e ln f x g x = D e g x ln f x = f x g x g x f x + g x f x f x

3 Derivata della funzione inversa Sia y = f(x) una funzione invertibile e derivabile in x 0 D(f), tale he la sua inversa g sia derivabile nel punto y 0 D(g), on y 0 = f(x 0 ). Allora: g y 0 = 1 f (x 0 ) x 0 y 0 y = g(x) m m y = f(x) y 0 x 0 Altre derivate importanti D x n = n x n 1 D 1 x = D x 1 = 1 x 2 D tan x = D D arsin x = D aros x = D x = D x 1/2 = 1 2 x D sin x os x = 1 os 2 x = 1 + tan2 x 1 1 x 2 1 D artan x = x 2 1 x 2 3 x = D x 1/3 = x 2 Limite della derivata La seguente uguaglianza: f = lim f (x) (risp. f x + = lim f (x) ) x + è vera solo se la funzione è ontinua da sinistra (risp. da destra) in. Se la funzione non fosse ontinua in, il limite della derivata potrebbe esistere finito, ma la derivata no: m 1 + m 1 m 1 f = + lim x f x = m 1 f = lim x f x = m 1 Studio della derivabilità di una funzione Data una funzione y = f(x): Se D(f) o è punto di disontinuità, allora la funzione è siuramente non derivabile in. Se D(f ), allora la funzione è siuramente non derivabile in.

4 Se D(f) è un punto di raordo e f è ontinua in, allora la funzione è derivabile in se e solo se: lim f x = lim f x x x + e sono finiti. Se D(f) è un punto di frontiera, ovvero se la funzione è definita solo in un intorno sinistro (risp. destro) di, e f è ontinua in, allora la funzione è derivabile da sinistra (risp. da destra) se esiste finito il limite lim f x (risp. lim f x x + ) x In tutti gli altri punti appartenenti al dominio della derivata, se la funzione è somma, prodotto, quoziente o omposizione di funzioni derivabili, allora la funzione è derivabile. E opportuno studiare la ontinuità di una funzione prima di studiarne la derivabilità, in modo da esludere dallo studio i punti di disontinuità (dal momento he la funzione non è in questi derivabile). E possibile dedurre il tipo di non derivabilità he la funzione presenta in un punto di ontinuità ma non derivabilità a partire dal alolo del limite sinistro e destro di f (x) per x tendente a. Condizione di tangenza del grafio di due funzioni Siano f x e g(x) due funzioni ontinue e derivabili in un intorno di. I grafii delle due funzioni sono tangenti in se e solo se: f = g() f = g () f = g() Equivale a rihiedere he i grafii passino per un punto in omune, e he lì abbiano la stessa inlinazione (in modo da avere una retta tangente in omune). g(x) f(x) f = g ()

5 unto stazionario I teoremi del alolo differenziale Un punto D(f) si die stazionario per la funzione f se: f = 0 Un punto stazionario può essere: di massimo se in un intorno di : f è resente per x < e f è deresente per x > di minimo se in un intorno di : f è deresente per x < e f è resente per x > di flesso a tangenza orizzontale se in un intorno di : f è resente per x < e x > f è deresente per x < e x > Se la funzione è ostante in un intorno di, allora non riade in nessuna di queste ategorie. Teorema di Rolle Sia f x una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo [a, b]. Se: 1) f x è ontinua nell intervallo [a, b] 2) f x è derivabile nell intervallo ]a, b[ 3) f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto ]a, b[ tale he f = 0. Se la funzione rispetta le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto stazionario (ovvero un punto in ui la retta tangente al grafio della funzione è orizzontale). Se le ipotesi del teorema di Rolle non sono rispettate, nulla si può dire riguardo all esistenza di tale punto. Teorema di Lagrange Sia f x una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo [a, b]. Se: 1) f x è ontinua nell intervallo [a, b] 2) f x è derivabile nell intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto ]a, b[ tale he f = m AB Se la funzione rispetta le ipotesi del teorema di Lagrange, allora esiste un punto in ui la retta tangente al grafio della funzione è parallela al segmento AB. Se le ipotesi del teorema di Lagrange non sono rispettate, nulla si può dire riguardo all esistenza di tale punto. = f b f(a) b a f a = f(b) rimo orollario del teorema di Lagrange (Teorema della monotonia) Sia f x una funzione ontinua e derivabile in un intervallo I. f x > 0 x I f è resente in I f x < 0 x I f è deresente in I f x = 0 x I f è ostante in I Dal segno della derivata di una funzione è possibile dedurne la monotonia. f(b) f(a) A a a A f = 0 m AB b b B f = m AB B

6 Seondo orollario del teorema di Lagrange Siano f x e g(x) due funzioni ontinue e derivabili in un intervallo I. f x = g (x) x I f e g differisono per una ostante in I Se due funzioni hanno la stessa derivata in ogni punto di un intervallo allora esiste una ostante k R tale he g(x) = f(x) + k, ovvero in quell intervallo i loro grafii si ottengono uno dall altro tramite una traslazione vertiale. Teorema di De L Hospital Siano f x e g(x) due funzioni definite in un intorno di. Se: 1) f x e g(x) sono ontinue e derivabili in un intorno di (eetto al più ) a k g x f(x) b 2) g x 0 in un intorno di (eetto al più ) 3) x lim f x g x = 0 0 4) Esiste lim Allora: x f x g x lim x f x g x = x lim f x g x = lim x f x g x Teorema della onavità Sia f x una funzione ontinua e derivabile due volte in un intervallo I. f x > 0 x I f ha onavità rivolta verso l alto in I f x < 0 x I f ha onavità rivolta verso il basso in I In un intervallo in ui la derivata seonda è positiva il grafio della funzione «ride», mentre quando è negativa il grafio della funzione «piange». La derivata seonda di una funzione in un punto rappresenta inoltre la urvatura della funzione in : maggiore è il valore della derivata seonda (in valore assoluto), maggiore è la urvatura della funzione. unto di flesso Un punto D(f) si die di flesso per una funzione f derivabile in un intorno di se f ambia onavità in. Ciò aade se: f = 0 e f (x) ambia segno in Teorema delle derivate suessive Sia f x una funzione ontinua e derivabile n volte in un intorno di D(f). Se f = 0 è punto stazionario Se f > 0 è di minimo Se f < 0 è di massimo Se f = 0 si derivi fino a trovare f n 0 * Se n è pari e f (n) > 0 è di minimo Se n è pari e f (n) < 0 è di massimo Se n è dispari e f (n) > 0 è di flesso or. as. Se n è dispari e f (n) < 0 è di flesso or. dis. * Se f n = 0 per ogni n > 2, allora f è ostante in un intorno di.