Linguaggi di Programmazione Corso C. Parte n.5 Automi a Stati Finiti. Nicola Fanizzi

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1 Linguggi di Progrmmzione Corso C Prte n.5 Automi Stti Finiti Nicol Fnizzi (fnizzi@di.uni.it) Diprtimento di Informtic Università degli Studi di Bri

2 Automi Stti Finiti Dto un lfeto X, un utom stti finiti (FSA) è un qudrupl dove: X è l lfeto d ingresso M = (Q, δ, q 0, F ) Q è un insieme finito e non vuoto di stti δ è l funzione di trnsizione: δ : Q X Q Funzione przile: potree essere indefinit per qulche coppi (q, x) q 0 è lo stto inizile F Q è l insieme degli stti finli o d ccettzione Si può ottenere un funzione δ totle considerndo uno stto q (pozzo) dl qule non si rggiungno stti finli

3 Rppresentzione di FSA Un utom stti finiti M = (Q, δ, q 0, F ) è rppresentile medinte: un grfo detto digrmm di trnsizione in cui: ogni stto q Q è rppresentto d un cerchio con etichett q lo stto inizile q 0 h un rco entrnte liero per ogni q Q ed ogni x X, se q = δ(q, x) llor esiste un rco d q in q etichettto con x x q q un mtrice tvol di trnsizione in cui: sulle righe sono riportti gli stti q i Q, i =,..., m sulle colonne i simoli dell lfeto di ingresso x j X, j =,..., n in ogni csell: q j i = δ(q i, x j ) δ x x 2 x n q 0 q0 q0 2 q0 n q q q 2 q n q m qm qm 2 qm n

4 Linguggi Stti Finiti Dto un utom stti finiti M = (Q, δ, q 0, F ) si definisce per induzione l funzione δ : Q X Q w X, q Q : δ q (q, w) = δ(δ (q, w ), x) se w = λ se w = w x L funzione clcol lo stto di rrivo vendo in ingresso uno stto ed un prol sull lfeto X Un prol si dice ccettt (o riconosciut) d M se, prtendo d q 0 e dt l sequenz di ingresso w, M port d uno stto q finle δ (q 0, w) = q F Il linguggio ccettto (o riconosciuto) d M è dto dll insieme: T(M) = {w X δ (q 0, w) F } Due FSA M e M 2 si dicono equivlenti qundo: T (M ) = T (M 2 ) Un linguggio L su un lfeto X è un linguggio stti finiti (FSL) sse esiste un FSA con lfeto di ingresso X tle che: L = T (M) Risult così definit l Clsse di Linguggi Stti Finiti: L FSL = {L (X ) M L = T (M)}

5 Chiusur Proposizione. L clsse L FSL è chius rispetto l complemento Dim. Si L L FSL su X. Per definizione: M = (Q, δ, q 0, F ) FSA tle che T (M) = L. Considerto L = X \ L e l FSA M = (Q, δ, q 0, Q \ F ) risult che L = T (M) D dimostrre per induzione sull lunghezz delle stringhe: se Si w = λ. Se λ L llor δ (q 0, λ) F per cui δ (q 0, λ) Q \ F e quindi λ L T (M) psso Supponimo di vere w X tle che w = n N e che w = w x con x =. L prol w deve essere suppost pprtenere L T (M) per ipotesi di induzione, vendo lunghezz n Si q = δ (q 0, w )

6 Automi non Deterministici Un utom stti finiti non deterministico (NDA) M = (Q, δ, q 0, F ) Q è un insieme finito e non vuoto di stti q 0 è lo stto inizile F Q è l insieme degli stti finli o d ccettzione δ è l funzione di trnsizione δ : Q X (Q) Per ogni stto e simolo dell lfeto X si h or un insieme di stti successivi possiili in cui trnsitre. Si può definire nche in questo cso l estensione di δ lle stringhe: δ : (Q) X (Q) p (Q) w X δ p (p, w) = q δ (p,v) δ (q, x) se w = λ se w = vx Un prol si dice ccettt (o riconosciut) dl NDA M se, prtendo d q 0 con un sequenz di ingresso w, M trnsit d uno stto finle in lmeno un cmmino δ ({q 0 }, w) F Il linguggio ccettto (o riconosciuto) d M è dto dll insieme: T(M) = {w X δ ({q 0 }, w) F } Due NDA sono equivlenti se generno lo stesso linguggio. Risult così definit l seguente clsse di linguggi: L NDL = {L (X ) M NDA L = T (M)}

7 Esempio Dto l NDA ({S, S 2, A}, δ, S, {A}): S A δ S {A, S 2 } {S, S 2 } S2 S 2 {A} A {A, S 2 } {A} Supponendo di vere l string w =. δ ({S }, ) = q δ({s },) δ(q, ) δ ({S }, ) = q δ({s },) δ(q, ) δ ({S }, ) = q δ({s },λ) δ(q, ) δ ({S }, λ) = {S } δ ({S }, ) = δ({s }, ) = {A, S 2 } δ ({S }, ) = δ(a, ) δ(s 2, ) = {A} = {A} δ ({S }, ) = δ(a, ) = {A, S 2 } e siccome A F : Quindi M ccett w δ ({S }, ) F = {A}

8 Esempio (continu) lettur di lettur di lettur di A A A S S2 S2 non legge tutt l prol non rriv in uno stto finle

9 Equivlenz tr FSA e NDA Teorem. Le clssi L FSL e L NDL sono equivlenti. Dim. L FSL L NDL : M = (Q, δ, q, F ) FSA. Definimo l NDA M 2 = (Q 2, δ 2, q 2, F 2 ) sullo stesso lfeto di ingresso X, dove: Q 2 = Q δ 2 : Q 2 X (Q 2 ) q Q 2 = Q x X δ 2 (q, x) = {δ (q, x)} q 2 = q F 2 = F Per induzione sull lunghezz delle prole che: T (M 2 ) = T (M )

10 L NDL L FSL : Si M = (Q, δ, q 0, F ) NDA Algoritmo di costruzione dell FSA equivlente M = (Q, δ, q 0, F ):. Q = (Q) 2. q 0 = {q 0 } 3. F = {p Q p F } 4. δ : Q X Q q = {q, q 2,..., q k } Q x X : δ (q, x) = δ ({q, q 2,..., q k }, x) = k j= δ(q j, x) = q q δ(q, x) Occorre or dimostrre che T (M) = T (M ) per induzione sull lunghezz dell prol w se w = 0, w = λ λ T (M ) δ (q 0, λ) F δ (q 0, λ) = δ ({q 0 }, λ) = {q 0 } = δ(q 0, λ) = δ (q 0, λ) m {q 0 } F δ (q 0, λ) F quindi λ T (M) psso Si w = v T (M ) cioè δ (q 0, v) F () Per ipotesi di induzione δ ({q 0 }, v) = δ (q 0, v) (2) δ (q 0, v) = δ ({q 0 }, v) = δ (δ ({q 0 }, v), ) (2) = δ (δ (q 0, v), ) = q δ (q 0,v) δ(q, ) M, per definizione, δ (q 0, v) = q δ (q 0,v) δ(q, ) Pertnto: δ (q 0, v) = δ (q 0, v) e quindi, trmite l () δ (q 0, v) F

11 Esercizi. Costruire un FSA che ccetti questo linguggio: L = {w {, } w h un numero pri di e dispri di } 2. Costruire un FSA che ccetti questo linguggio: L = {w {, } w αβ, α, β {, } } 3. Trsformre in FSA questo NDA: 0 q0 0 q

12 Esercizio. Costruire un FSA che ccetti questo linguggio: L = {w {, } w h un numero pri di e dispri di } Soluzione: Si M = (Q, δ, q 0, F ) FSA Q = {q 0, q, q 2, q 3 } dove q 0 stto per un numero pri di e di q stto per un numero pri di e dispri di q 2 stto per un numero dispri di e pri di q 3 stto per un numero dispri di e di funzione di trnsizione δ definit: δ(q 0, ) = δ(q 3, ) = q 2 δ(q 0, ) = δ(q 3, ) = q δ(q, ) = δ(q 2, ) = q 3 δ(q, ) = δ(q 2, ) = q 0 q 0 stto inizile F = {q } q0 q q2 q3

13 Esercizio 2. Costruire un FSA che ccetti questo linguggio: L = {w {, } w αβ, α, β {, } } Soluzione: Si M = (Q, δ, q 0, F ) FSA Q = {q 0, q, q 2 } dove q 0 stto per prole non contenenti due o più consecutive e terminnti con q stto per prole non contenenti due o più consecutive e terminnti con q 2 stto pozzo per prole contenenti due o più consecutive funzione di trnsizione δ definit: δ(q 0, ) = q δ(q 0, ) = δ(q, ) = q 0 δ(q, ) = δ(q 2, ) = q 2 q 0 stto inizile F = {q 0, q } q0 q q2

14 Esercizio 3. 0 Trsformre in FSA questo NDA: 0 q0 q Soluzione: Si M = (Q, δ, q 0, F ) FSA Q = {, {q 0 }, {q }, Q} {q 0 } stto inizile F = {{q }, Q} funzione di trnsizione δ definit: {q0} 0 {q} 0 {q} Q 0 0 Con q stto pozzo ggiunto per definire un funzione di trnsizione totle