Introduzione all algebra delle matrici. Appunti a cura di Lara Ercoli

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1 Introduzione all algebra delle matrici ppunti a cura di Lara Ercoli

2 Indice Definizioni 3. Matrici particolari Operazioni con le matrici 8 2. Somma di matrici Proprietà della somma di matrici Prodotto per uno scalare Proprietà del prodotto per scalare Prodotto di matrici Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna Prodotto di matrici (righe per colonne) Proprietà del prodotto tra matrici Trasposta di una matrice Determinante di una matrice 5 3. Calcolo del determinante

3 Capitolo Definizioni Definizione... Chiamiamo matrice m n a coe di m n elementi disposti su m righe ed n colonne. cienti in K una tabella Definizione..2. Indichiamo l insieme delle matrici a m righe ed n colonne fatte di elementi in K con Mat m,n (K) (dove m, n ). La posizione di ogni elemento della matrice è indicata da due indici i e j e ogni elemento di una generica matrice si indica con a i,j dove i= indice di riga con apple i apple m e j= indice di colonna con apple j apple n Gli elementi a i,j appartengono al campo K esiscrive =(a i,j ) 2 Mat m,n (K). La generica matrice di m righe e n colonne è a, a,2... a,n a = 2, a 2,2... a 2,n 2 Mat m,n (K) B C a m, a m,2... a m,n Esempio... Sia = p è una matrice rettangolare con m =2righe e n =3colonne ad elementi in R. Scriviamo 2 Mat 2,3 (R). Gli elementi sono così identificati: a, =, a,2 = p 2, a,3 =3, a 2, = 2, 3

4 CPITOLO. DEFINIZIONI 4 a 2,2 = 5, a 2,3 =. Possiamo scrivere 2 Mat 2,3 (Q)? Perché? Esempio..2. Sia = 9. 9 è una matrice quadrata con m = n = 2 righe e colonne ad elementi in (R). Scriviamo 2 Mat 2 (R). Possiamo scrivere 2 Mat 2 (Q)? E 2 Mat 2 (Z)?. Matrici particolari Definizione... 2 Mat m,n (K) è u n a matrice quadrata se m = n, cioè se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne, e scriviamo semplicemente 2 Mat n (K). Esempio... = B 5 4 7C 2 Mat 3(R) Definizione..2. Se 2 Mat n (K), gli elementi a i,i cioè quelli tali che i = j formano la diagonale principale: = B 5 4 7C Si chiama diagonale secondaria o antidiagonale quella fatta dagli elementi riquadrati: = B 5 4 7C Definizione Mat m,n (K) è u n a matrice nulla e si indica con O se a i,j = 8i, j cioè la matrice O è quella i cui elementi sono tutti nulli

5 CPITOLO. DEFINIZIONI 5 Esempio..2. O = 2 Mat 2,3 (R) Definizione Mat m,n (K) è u n a matrice diagonale D se a i,j = 8i 6= j (cioè se gli elementi al di fuori della diagonale sono tutti nulli) 4 3 Esempio..3. D = 2 Mat 4 (R) B C Osservazione... In una matrice diagonale non si impone che gli elementi a i,i sulla diagonale debbano essere non nulli, ma potrebbe essere a i,i =per qualche i. Definizione Mat m,n (K) è u n a matrice scalare se è diagonale e a i,i = a 8i =,...,n 4 Esempio..4. = B 4 C 2 Mat 3(R) 4 Definizione Mat m,n (K) è u n a matrice identica esiindicaconi se a i,i =e a i,j = 8i 6= j, cioè se è scalare con a =(tutti sulla diagonale principale e altrove). Esempio..5. La matrice quadrata identica di ordine n si indica con I n ed è I n = B Mat n (R). C... Definizione Mat n (K) (quadrata!) è triangolare superiore se a i,j = 8i >j cioè se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.

6 CPITOLO. DEFINIZIONI 6 a, a,2 a,3... a,n a 2,2 a 2,3... a 2,n = a 3,3... a 2,n B C a n,n Definizione Mat n (K) (quadrata!) è triangolare inferiore se a i,j = 8i <j cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. 2 Esempio..6. = B 2 5 C 3 5 Definizione..9. Data 2 Mat m,n (K), sidicetrasposta di la matrice t (oppure t ) ottenuta da scambiando le righe con le colonne. Esempio..7. Se = 2 3 allora t = B2 C Osservazione..2. Se 2 Mat m,n (K), allora t 2 Mat n,m (K). Osservazione..3. ( t ) t =. Definizione... Si dice che 2 Mat n (K) è simmetrica se = t (cioé a i,j = a j,i 8i, j). Osservazione..4. Condizione necessaria a nché sia simmetrica è che sia quadrata (cioé m= n. Evidente per l Oss...2). Definizione... Sia 2 Mat m,n (K) se m = è u n a matrice riga se n = è u n a matrice colonna Esempio..8. Matrice riga: = 3 5

7 CPITOLO. DEFINIZIONI 7 Matrice colonna: = B 2 C

8 Capitolo 2 Operazioni con le matrici 2. Somma di matrici Possiamo sommare due matrici, B 2 Mat m,n (K) (di uguale dimensione!) eseguendo la somma componente per componente. La matrice + B risultante avrà come componenti a i,j + b i,j con i =,...,m e j =,...,n. + B è d u n q u e d e l l a stessa dimensione di e B. La definizione di somma si estende per un qualsiasi numero n finito di matrici. Esempio Date le matrici = B3 9 C, B = B C, C = B 5 la loro somma è: 9 9 C 2 Mat 3,2(Z), B + C = B3 9 C + B C + B 9 C = = B C = B 6 9 C 2 Mat 3,2(Z)

9 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI Proprietà della somma di matrici Se, B, C 2 Mat m,n (K), allora valgono per la somma tra matrici come definita sopra le seguenti proprietà che rendono (Mat m,n (K), +) un gruppo abeliano:. associativa: ( + B)+C = +(B + C); 2. commutativa: + B = B + ; 3. esistenza dell elemento neutro O tale che + O = ; 4. esistenza dell elemento opposto := ( a i,j ) tale che + = O. Vale inoltre questa proprietà per la trasposizione: la trasposta della somma è la somma delle trasposte cioè ( + B) t = t + B t. 2.2 Prodotto per uno scalare Dati 2 Mat m,n (K) ek 2 K (lo scalare appartiene allo stesso K degli elementi di cui è composta!), si dice prodotto di k per la matrice C = k 2 Mat m,n (K) i cui elementi sono c i,j := k a i,j 8i, jcon i =,...,m e j =,...,n. Esempio Data la matrice = B 6 9C 2 Mat 3(R) e k =3,lamatriceC = k è C = k =3 B 6 9C = B3 3 ( 6) 3 9C = ( 5) = B 8 27C 2 Mat 3(R)

10 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI 2.2. Proprietà del prodotto per scalare Se, B 2 Mat m,n (K) eh, k 2 K allora valgono le seguenti proprietà:. k = k; 2. h (k) =hk ; 3. k ( + B) =k + kb; 4. (k + h) = k + h;. 5. (k) t = k t. Esercizio Si verifichino le proprietà appena enunciate tramite questi esempi: = = = (2 4) 2 = 2 2 = t = Prodotto di matrici 2.3. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna Il prodotto vettore riga - vettore colonna (su vettori con lo stesso numero di elementi!) con elementi in K è così definito: t

11 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI b b a a 2... a 2 n := a b + a 2 b a n b n 2 K B. C Prodotto di matrici (righe per colonne) b n Date la matrice 2 Mat m,p (K) e la matrice B 2 Mat p,n (K), si dice prodotto righe per colonne di per B la matrice C = B 2 Mat m,n (K) icuielementi c i,j si trovano sommando i prodotti termine a termine della i esima riga di per la j esima colonna di B, o più semplicemente svolgendo il prodotto della i esima riga di per la j esima colonna di B, cioé: b,j b a i, a i,2... a 2,j i,p B. C b p,j := a i, b,j + a i,2 b 2,j a i,p b p,j = P p k= a i,k b k,j Osservazione Si può eseguire il prodotto tra matrici B solo se il numero di colonne di è uguale al numero di righe di B. Esempio Siano, B 2 Mat 2 (R) con = 2 e B = 4. 2 Calcoliamo C = B 2 Mat 2 (R). c, = 2 4 =4 2=2 c,2 = 2 = += c 2, = 2 4 = 2= 2 c 2,2 = 2 = Dunque C = c, c,2 = 2 c 2, c 2,2 2

12 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI 2 Come mostra l esempio la matrice risultante C avrà nella posizione c, il prodotto della prima riga di con la prima colonna di B, nella posizione c,2 il prodotto della prima riga di con la seconda colonna di B e così via. In generale nella posizione c i,j il prodotto della i esima riga di con la j esima colonna di B con i, j =,...,n. Esempio Siano = Mat 2,3 (R) e B = B 2 3 C Mat 3,2 (R). llora: B = B 2 3 C 3 = ( = 2) ( ) = 5+ ( 2) ( ) = Mat 2 (R). 6 3 Esempio Siano = Mat 2,3 (R) e B = B3 5 C 2 4 Mat 3,2 (R). Calcoliamo C = B = Mat 2,3 (R) B3 5 C 4 = ( 4) = Mat 2 (R). +( ) 3+ +( ) 5+ ( 4) 3 5 Osservazione Si può calcolare anche B? Sì, ma si nota immediatamente che Mat 3,2 (R) Mat 2,3 (R) =Mat 3 (R), dunque dev essere B 6= B e il prodotto tra matrici non è commutativo.

13 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI 3 Esercizio Si provi a svolgere il prodotto B con le matrici e B dell esempio e si verifichi che B 6= B. 2 (Soluzione B = B C Osservazione B = O ; = O oppure B = O. Proviamo questa a ermazione semplicemente con un esempio: B = = = Proprietà del prodotto tra matrici. ssociativa (BC) =(B)C; 2. Esistenza dell elemento neutro I tale che I =. Se 2 Mat n K si ha I n = I n = ; 3. ( B) t = B t t ; 4. distributiva a destra e sinistra rispetto alla somma: ( + B) C = C + BC e (B + C) =B + C Osservazione Come già osservato il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa. 2.4 Trasposta di una matrice La trasposta di una matrice 2 Mat m,n (K) è ottenuta scambiando l elemento a i,j con l elemento a j,i 8i, j (scambiare indice di riga e indice di colonna, scambiare righe e colonne). La matrice trasposta di si indica con T 2 Mat n,m (K). Proposizione Per le matrici trasposte valgono le seguenti proprietà : ) ( + B) T = T + B T ;

14 CPITOLO 2. OPERZIONI CON LE MTRICI 4 2) (B) T = B T T ; 2 ) se k scalare (kb) T = k T ; 3) ( T ) T =. Proposizione Se per 2 Mat m,n (K) si ha = T,allora è simmetrica. Proposizione Se 2 Mat n (K) è triangolare superiore (inferiore), allora T è triangolare inferiore (superiore). Definizione Mat n (K) si dice antisimmetrica (o emisimmetrica) se T =.

15 Capitolo 3 Determinante di una matrice Osserviamo immediatamente che le matrici rettangolari non hanno determinante. Questa operazione è possibile unicamente per matrici quadrate. Se 2 Mat n (K), indichiamo il suo determinante con oppure con det(). determinante di una matrice è uno scalare k 2 K. Il 3. Calcolo del determinante Se 2 Mat (K) cioè è un singoletto, il suo determinante è il valore del suo unico elemento. Se per esempio = (2) allora = 2; Se 2 Mat 2 (K) il suo determinate è dato dalla di erenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale principale e il prodotto di quelli sulla diagonale secondaria. In simboli se = a c b, allora = ad cb; d Se 2 Mat 3 (K) possiamo calcolarne il determinante con la regola di Sarrus: accostiamo a destra della matrice la prima e la seconda colonna (oppure sotto la matrice la prima e la seconda riga); 5

16 CPITOLO 3. DETERMINNTE DI UN MTRICE 6 sommiamo il prodotto degli elementi della diagonale principale con i prodotti degli elementi delle sue due sovradiagonali; dalla precedente somma sottraiamo il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e i prodotti degli elementi delle sue due sottodiagonali. Esempio 3... Sia = B 2 3 4C, allora: = = 2 = ( 2) + 3 ( ( ) + 2 2) = = = 8; Se 2 Mat n (K) pern 2 è diagonale, triangolare inferiore o triangolare superiore, il calcolo del suo determinante si riduce all eseguire il prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale. se 2 Mat n (K) pern 2 possiamo calcolare il determinante. secondo il teorema di Laplace rispetto ad una qualunque riga oppure colonna della matrice, in questo modo: rispetto alla i-esima riga della matrice: = P j ( )i+j a i,j i,j dove con i,j intendiamo la matrice a cui abbiamo tolto la i-esima riga e la j-esima colonna. rispetto alla j-esima colonna della matrice: = P i ( )i+j a i,j i,j dove con i,j intendiamo la matrice a cui abbiamo tolto la i-esima riga e la j-esima colonna.

17 CPITOLO 3. DETERMINNTE DI UN MTRICE 7 Osserviamo che ( ) i+j indica il fatto che se la somma dell indice di riga e colonna è dispari, cambiamo il segno nella somma, altrimenti lo manteniamo. Esempio Con un esempio vediamo operativamente come trovare il determinante di una matrice quadrata di ordine n 2 seguendo la regola di Laplace. (Il che è molto più facile di quanto sembra). Prendiamo 2 3 la matrice = B 4C dell esempio precedente, così vedremo che 2 2 il risultato sarà lo stesso usando un metodo diverso. Calcoliamo il determinante rispetto alla prima colonna (o rispetto alla seconda riga, perchè nella posizione a 2, compare uno zero, ed i conti si semplificano, dacchè un prodotto si annullerà). Notiamo comunque che una qualsiasi altra riga o colonna va bene (provare per credere!). Si ha: =( ) + ( ) 4 2 +( ) ( ) 3+ ( 2) =2++( ) = 8. Definizione 3... Lo scalare ( algebrico dell elemento a i,j. ) i+j i,j si chiama complemento 2. secondo il metodo di Gauss-Jordan che consiste nel trasformare una matrice 2 Mat n (K) in una matrice triangolare superiore, applicando alle righe (o colonne) le seguenti operazioni: (a) scambiare tra loro due righe (colonne); (b) moltiplicare tutti gli elementi di una riga (colonna) per uno stesso scalare non nullo;

18 CPITOLO 3. DETERMINNTE DI UN MTRICE 8 (c) sommare ad una riga (colonna) un multiplo scalare di un altra; con le segueni avvertenze: (a ) ogni operazione di tipo (a) ha come e etto un cambiamento di segno nel determinante; (b ) per ogni operazione di tipo (b) il determinante risulta moltiplicato per lo scalare; (c ) ogni operazione di tipo (c) non modifica il determinante. Proposizione 3... Valgono per il determinante le seguenti proprietà: = T ; Se ha una riga o colonna nulla, allora =; Se ha due righe o colonne uguali, allora =; Se ha due righe o colonne linearmente dipendenti, allora =; (Teorema di Binet) Se, B 2 Mat n (K) si ha: B = B.