Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui. l ortocentro

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1 La Retta Esercizi Esercizio 6. Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui sono noti due vertici ; 1, 1; e l ortocentro ;. Soluzione 1 Analizziamo il problema ragionando, per semplicità, su un triangolo acutangolo. L ortocentro H è il punto di incontro delle tre altezze. Determiniamo prima l equazione dell altezza AH: : 5 1 Il vertice A ha quindi coordinate ; Determiniamo poi l equazione dell altezza BH: BH : Non avendo sfruttato le coordinate del punto B nel determinare l equazione della retta BH, possiamo utilizzare questo dato per ricavare il valore di k richiesto, imponendo il passaggio della retta BH per il punto B: In definitiva le coordinate del punto A sono: Matematica 1

2 Il grafico reale del problema è sotto rappresentato: Matematica

3 Esercizio 6. Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui sono noti due vertici ; 1, 1; e l ortocentro ;. Soluzione Analizziamo il problema ragionando, per semplicità, su un triangolo acutangolo. L ortocentro H è il punto di incontro delle tre altezze. Le coordinate del punto A si possono ottenere come intersezione dei due lati AB e AC. Determiniamo prima il coefficiente angolare dell altezza BH: Determiniamo poi l equazione del lato AC: Determiniamo prima il coefficiente angolare dell altezza CH: Determiniamo poi l equazione del lato AB: Le coordinate del punto A sono date dall intersezione delle due rette AB ed AC Matematica

4 Esercizio 6. Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui sono noti due vertici ; 1, 1; e l ortocentro ;. Soluzione Siano ; le coordinate del punto A. Determiniamo le coordinate dell ortocentro in funzione di queste coordinate. Determiniamo l equazione dell altezza BH: L altezza BH passa per ;. Pertanto, imponendo il passaggio per tale punto si ha: Determiniamo l equazione dell altezza CH: L altezza CH passa per ;. Pertanto, imponendo il passaggio per tale punto si ha: Risolvendo il sistema fra le due relazioni ottenute si ha: ; Matematica

5 Esercizio 6. Dati i punti ;, 1; e la retta di equazione 10, determina su i punti e tali che il quadrilatero sia un trapezio rettangolo in e in. Calcola poi l area di. Soluzione Il coefficiente angolare della retta AB è: L equazione della retta è: ; 1 ; 1 1 L equazione della retta è: ; ; 1 Le coordinate del punto sono: Le coordinate del punto sono: La misura del lato è: La misura del lato è: La misura del lato è: Pertanto l area del trapezio è: Matematica 5

6 Esercizio 6. Dati i punti 1; 5, 5; e la retta di equazione 5 0 : a. determina un punto su equidistante da e ; b. determina un punto in modo che il quadrilatero sia un parallelogramma; c. calcola l area di. Soluzione 1.a La forma esplicita della retta è Un punto qualsiasi della retta ha coordinate ;. Imponiamo che tale punto sia equidistante dai punti e. ; Essendo i due radicandi positivi 0 perché somma di quadrati, è sufficiente risolvere solo l equazione: Soluzione.a Un punto qualsiasi della retta r ha coordinate ;. Imponiamo che tale punto sia equidistante dai punti e. ; , 0, Matematica 6

7 Pertanto il punto ha coordinate ; Imponendo l appartenenza alla retta 5 0 si ha: Soluzione.a Il punto si può ottenere come intersezione fra l asse del segmento e la retta. L asse del segmento è dato da: cioè: Essendo i due radicandi positivi 0 perché somma di quadrati, è sufficiente risolvere l equazione, elevando ambo i membri al quadrato: Equazione dell asse del segmento AB Sostituendo le coordinate dei punti e si ottiene: Il punto C si ottiene risolvendo il sistema: Soluzione 1.b Le coordinate del punto D si possono ottenere, in maniera semplice, con le formule: Matematica

8 Soluzione.b Il punto è il punto di intersezione della retta con la retta. Determiniamo l equazione della retta : l equazione della retta è : ; Determiniamo l equazione della retta : l equazione della retta è : ; Le coordinate del punto si ottengono risolvendo il sistema: Soluzione 1.c Il quadrilatero è un rombo. Occorre quindi calcolare le misure delle due diagonali L area del rombo è: Matematica 8

9 Soluzione.c Per determinare l area del parallelogramma occorre determinare la misura della base e la misura della relativa altezza Per calcolare la misura dell altezza occorre conoscere l equazione della base : La misura dell altezza è: L area del parallelogramma è Soluzione.c L area del parallelogramma è il doppio dell area del triangolo L area del triangolo poteva essere calcolata anche con la formula: ; ; Matematica 9.

10 Esercizio 6.5 Data la retta di equazione 6 0 : a. scrivi le equazioni delle rette e distanti 1 dal punto 1 ; e parallele a ; b. detta la retta per perpendicolare a, trova le coordinate dei punti, e intersezioni di con, e ; c. determina il punto simmetrico di rispetto a e verifica che appartiene alla retta Soluzione a Il fascio di rette parallele a ha equazione 0 Determiniamo, fra queste, quelle distanti 1 dal punto. 1 ; 1 ; 1 1 ; 6 1 ; 6 1 ; 1 Pertanto le due rette richieste hanno equazioni: Soluzione b La retta t passante per e perpendicolare a si ottiene utilizzando l equazione del fascio di rette passante per P : Le coordinate del punto si ottengono risolvendo il sistema: ; 1. Le coordinate del punto si ottengono risolvendo il sistema: Matematica 10

11 ; 5. Le coordinate del punto si ottengono risolvendo il sistema: ;. Soluzione 1c Le equazioni della simmetria centrale: si ottengono considerando il punto come punto medio del segmento. ; ; ; ; Applicando tali formule si ottiene: ; 5 1 Oppure sostituendo direttamente le coordinate dei punti nelle formule del punto medio: 0 ; 1 1 ; 1 1 Il punto ; appartiene alla retta, infatti: 11 ; ; 1 9 ; 0 1 ; ; ; ; ; ; Matematica 11

12 Esercizio 6.6 Data la retta di equazione 0 determina in modo che : a. passi per l origine; b. abbia coefficiente angolare positivo; c. sia parallela alla retta passante per 1 ; 1, 5 ; d. abbia distanza dall origine minore di 1; e. formi con la direzione positiva dell asse un angolo compreso tra 5 e Soluzione a Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio: Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro, si tratta di un fascio proprio di rette. Per determinare il centro del fascio scriviamo la sua equazione come combinazione lineare di due rette, raccogliendo a fattor comune il parametro : 0 ; 1 0 ; Il centro del fascio si ottiene risolvendo il sistema fra le due rette che formano la combinazione lineare: ; 1 La retta del fascio 0 che passa per l origine è quella che ha termine noto nullo: 0 cioè 0. Il fascio di rette: per 0 si ottiene la retta blue 0 ; per 1 si ottiene la retta nera 1 0 per si ottiene la retta verde 0 per si ottiene la retta rossa 10 ; Rappresentando queste rette si deduce che al crescere di, si ottengono rette che ruotano intorno al centro C in senso orario. Soluzione b La retta del fascio 0 che ha coefficiente angolare positivo si ottiene ponendo 0, cioè 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0. Soluzione c La retta del fascio richiesta deve avere coefficiente angolare uguale a quello della retta Imponendo si ha: ; ; ; ;. Matematica 1

13 Soluzione d Imponiamo che la distanza della retta del fascio 0 dall origine sia minore di 1: ; 1 ; 1 ; ; 9 1 ; 1 0 ; 0 ; Essendo il denominatore positivo, la frazione è negativa quando è negativo il numeratore: a 9 a 0 ; a 9 a ; Essendo 9 a 0 a 9 a a 9 a Risolviamo prima: a 9 a ; a Cioè. Risolviamo poi: a 9 a ; Cioè. Ritornando al sistema a 9 a si ha: a 9 a Matematica 1

14 Soluzione e Ricordiamo che: 5 1 e 60 Il coefficiente angolare del fascio è: Occorre risolvere le disequazioni: 1 1 Risolviamo prima: ; 0 ; Dal prodotto dei segni si ottiene: 0 0 ; Risolviamo poi: 1 ; 1 0 ; Dal prodotto dei segni si ottiene: 0 0 ; Ritornando al sistema 1 0 si ha: 0 0 X Da cui si ottiene: Matematica 1

15 Esercizio 6.9 Sono dati i punti ; 1, 1 ; 1 e 1 ;. Determina le coordinate del punto, simmetrico di rispetto alla retta, e l area del quadrilatero. Soluzione 1 Per determinare le coordinate del punto, simmetrico di rispetto alla retta è sufficiente imporre che: 1. Il punto medio del segmento appartenga ad ;. La retta sia perpendicolare alla retta. Determiniamo innanzitutto l equazione della retta AB: 1 ; 11 1 ; 1 ; ; 10 Siano ; le coordinate del punto P richiesto. Il punto ha quindi coordinate: ;. La condizione di appartenenza di alla retta si traduce in: 1 0 ; 1 0 ; Il coefficiente angolare della retta è Il coefficiente angolare della retta PC è La condizione di perpendicolarità si traduce in: Risolvendo il sistema fra le due condizioni si ha: Pertanto il punto richiesto ha coordinate 1 ;. L area del quadrilatero è uguale al doppio dell area del triangolo. Pertanto occorre calcolare la misura della base e dell altezza del triangolo Il punto ha quindi coordinate: ; 0 ; L area del quadrilatero è uguale a Matematica 15

16 Soluzione Per determinare le coordinate del punto, simmetrico di rispetto alla retta è sufficiente determinare: 1. le coordinate del punto. esprimere come punto medio del segmento Determiniamo innanzitutto l equazione della retta AB: 1 ; 11 1 ; 1 ; ; 1 0. Determiniamo poi l equazione della retta, come retta passante per e perpendicolare ad. 1 ; 1 ; 1 ; 1 0. Le coordinate del punto si ottengono: ;. Esprimendo come punto medio del segmento si ottiene: ; 5 Matematica 16

17 Esercizio 6.8 Siano dati i punti ; 1, 1 ; 1 e ; e la retta di equazione 0. a. Verifica che il triangolo è rettangolo in. b. Trova un punto su in modo che il quadrilatero sia un trapezio avente e come basi. c. Calcola l area del trapezio trovato. Soluzione a Per verificare che il triangolo è rettangolo in è sufficiente verificare che il coefficiente angolare del lato è l opposto del reciproco del coefficiente angolare del lato Soluzione b Le coordinate del punto si possono ottenere come intersezione fra l equazione della retta e la retta passante per e parallela ad. La retta passante per il punto e parallela ad ha equazione: ; 1 1 ; 1 ; 5 ; Le coordinate del punto si ottengono quindi risolvendo il sistema: ; 11 Soluzione c Per calcola l area del trapezio occorre determinare le misure delle basi e dell altezza L area del trapezio è pertanto: Matematica 1

18 Esercizio 9.18 Rappresenta graficamente la funzione di equazione: 1. A. Determina le coordinate dei punti,,, del grafico dato, le cui ascisse sono soluzioni dell equazione 560 B. Individua il punto D tale che il quadrilatero sia un trapezio isoscele. C. Calcola il perimetro e l area del trapezio. D. Verifica che congiungendo i punti medi dei lati si ottiene un rombo che ha l area uguale alla metà di quella del trapezio. Soluzione cioè: 1 Studiamo i segni dei due valori assoluti: Pertanto si ha: Il cui grafico è: cioè: Matematica 18

19 Soluzione A ; = Le cui soluzioni sono: 1 1 ; B1 ; 1 C ; Soluzione B Dall esame del grafico si ha: 1 ; 8 ; Pertanto il punto D ha coordinate: ;. Soluzione C Il perimetro è: L area è: 0. Soluzione D Per dimostrare che il quadrilatero è un rombo è sufficiente dimostrare che ha tutti i lati congruenti Matematica 19

20 Per determinare l area del rombo determiniamo le misure delle diagonali: 5.. L area del rombo è: Matematica 0

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