Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni

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Adamo Orsini
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1 ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE Continuità e derivabilità Si studi la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco { Si trovi, se possibile, a e b in modo che le seguenti funzioni siano derivabili nel punto a fianco indicato { [a=4; b=-8] { [a=-/; b=-/] y e cos Calcola la derivata delle seguenti funzioni 9 y cotg y e 4 sen 0 cosln y e y ln sen sen ln y e 4 y ln cos cos y sen 5 y cos sen y cos 6 y sen 4 y ln 7 4 y 5 y ln y 6 y e ln 0 5 y 4 7 y sen cos y 5 8 y cos sen y ln 9 y y ln 0 4 y y 4 y sen 4 y y cos 5 e ln y y tg

2 6 e ln y 7 sen cos y sen 8 sen cos y cos 4 ln y arctg 5 ln y arccotg y arcsen ln 6 Ulteriori esercizi ( ) ( )

3 46 56 Retta tangente e normale ad una curva L espressione analitica della retta tangente alla curva nel punto di ascissa è: L espressione analitica della retta normale alla curva nel punto di ascissa è l equazione della retta perpendicolare alla retta tangente nello stesso punto: ESERCIZIO SVOLTO Calcolare l equazione della retta normale alla curva nel punto di ascissa Il punto di contatto ha coordinate La derivata della funzione è Il coefficiente angolare della retta tangente è Quindi, l equazione della retta cercata è: ESERCIZI DA SVOLGERE Scrivere l equazione della retta tangente alle curve nel punto a fianco indicato: 4

4 Stabilire se la funzione { è continua e derivabile nell origine e se esistono punti del grafico in cui la retta tangente è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante. Individuare i punti del grafico della funzione in cui la tangente ha coefficiente angolare pari a - Teorema di De L Hospital Esercizio svolto Calcolare il seguente ite: Il ite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Applicando il teorema di De L Hospital, si ha: Esercizio svolto Calcolare il seguente ite:

5 Il ite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Applicando la regola di De L Hospital, si ha che, poiché : Utilizzando la regola di De L Hospital, calcolare i seguenti iti: ln 0 ln 0 e 0 sen ln e ln ln ln 5 ln sen 0 ln e 6 e 0 sen 8 cos 0 ln 7 e 9 sen 0 8 e 0 cos 0 ln 9 ln sen 0 e 0 ln cos 0 e

6 4 Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f() è continua e quelli in cui è derivabile 5 f sen continua su R; derivabilesu k ; k, k Z 4 f cos 6 continua su R; derivabilesu k ; k, k Z f ln continua su ; ; derivabile su ; 4 f ln continua su ; ; derivabile su ; Teorema di Lagrange Date le seguenti funzioni, verifica che nell intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Lagrange e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema., ;0 y, ;0 y, 0 ; y sen cos 4, 0 ; y sen cos c c c c ; c ; c Teorema di Rolle Data la seguente funzione, verifica che nell intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Rolle e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

7 y, ; 4 c ; c 0; c y, ; 4 c ; c 0; c Teorema di Cauchy Date le seguenti funzioni, verifica che nell intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema. f f, g,, g ;. 6 c 5, ;0. 6 c 5 PROBLEMI Problema n Date le funzioni f e a) calcola le derivate f e g g : e le relative condizioni di esistenza; b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di per i quali le funzioni non sono derivabili precisando se per tali valori le funzioni sono però continue; c) trova gli eventuali valori di per i quali f() e g() hanno tangenti parallele. S: se 0 f g a) ; b) 0 e ; sì; c) f g se 0 Problema n Data la funzione f ce se 0 ln 6 a se b 0 a) trova a, b, c, in modo che f() soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle in ;ln b e determina il punto 0 che verifica il teorema; b) rappresenta graficamente f(); c) determina, se esiste nell intervallo in cui è definita f(), un punto P in cui la tangente è perpendicolare alla retta di equazione 6y 0. S: a) a ; b ; c ; ; c) Pln ;5 0 4

8 PROPRIETA DI MONOTONIA Indica i punti di massimo e di minimo, relativi e assoluti, nelle seguenti funzioni. Nei seguenti grafici indica i punti di flesso, specificando se sono orizzontali, verticali o obliqui e se sono ascendenti o discendenti.

9 Studio delle funzioni Dal grafico in figura deduci:. il dominio della funzione;. le intersezioni con gli assi;. gli intervalli in cui la funzione è positiva e quelli in cui è negativa; 4. i iti agli estremi del dominio e le equazioni degli asintoti; 5. gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente; 6. i punti di massimo e di minimo relativi; 7. i punti di flesso, evidenziando le concavità. Studia e rappresenta graficamente le seguenti funzioni. y ma 0;0 ; min (; 4); F ; ma ;4 ; min 0;0 ; F ; y 4 y 4 4 y 8 5 y funzione pari;min F ; 4 ; ma 0; ; ; funzione pari;min F 7 a : ; min ; ; F 0; 0 77 ; 9 ; ma 0; 8 ; ; 4 9 9

10 6 y 7 a : ; min ; ; F 0;0 y 4 y y funz. dispari; a :, y ; min ; ; ma ; ; F 0;0 9 9 funz. dispari; a :, y ; min ; ; ma ; ; F 0;0 ma ; ;, 5 punti a tangente vertica 0 y 7 6 y 4 y 5 y e 4 y e le ma ; ; 7, punti a tangente verticale a : 4; F ; a : 5; F ; a: y 0; min ; ; ma ; ; e e F ; ; F ; e e : 0; min ; ; ma ; ; e e a y 5 ln y 6 ln y 7 sen y cos 8 cos y sen 9 8 y 0 y F ; ; F ; e e a : ; ma e ; ; F e ; e 6e a : ; ma e ; ; F e ; e 6e min ; ; ma ; ; F0 0;0 ; F ;0 ; F ;0 7 min ; ; ma ; ; F 0 ;0; F ; a : ; y ; y ; min ;0 punto angoloso; min 4;0 punto angoloso a : ; y ; y punto angoloso; min ; min ;0 ;0 punto angoloso Paulo difficiliora

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