Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Corso base verde di matematica

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1 4 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Corso base verde di matematica Seconda edizione

2 lim f ( ) a Limiti della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni lim g ( ) a lim [ f ( ) g ( )] a lim [ f ( ) $ g ( )] lim f ( ) a a g ( ) l! R m! R m! 0 l m l$ m l m l! R l! 0 0 l 0, se, se f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 0 per a 0 per a forma indeterminata 0 0 l! R l! 0, se l 0, se l 0 0 l! R l! 0, se l 0, se l 0 0 m! R m! 0, se m 0, se m 0, se m 0, se m 0 m! R m! 0, se m 0, se m 0, se m 0, se m 0 0 forma indeterminata 0 $, se, se f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 0 per a 0 per a forma indeterminata forma indeterminata forma indeterminata forma indeterminata forma indeterminata forma indeterminata Limiti notevoli lim sen 0 ; lim b e! l. e è il numero di Nepero, un numero irrazionale compreso fra e ( e -, 788 ).

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4 Copright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [9885] I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L acquisto della presente copia dell opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale) possono essere effettuate, nei limiti del 5% di ciascun volume, dietro pagamento alla S.I.A.E del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge aprile 94 n. 6. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. 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Realizzazione editoriale: Coordinamento redazionale: Giulia Laffi Redazione: Giulia Laffi, Francesca Riccioni Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini Progetto grafico: Bblos, Faenza Composizione e impaginazione: Litoincisa Paganelli, Bologna Ricerca iconografica e realizzazione delle aperture di capitolo: Bblos, Faenza Disegni: Graffito, Cusano Milanino Correzione di bozze: T, Bologna Indice analitico: Massimo Armenzoni, Parma Contributi: Stesura delle aperture: Andrea Betti (L inflazione), Daniela Cipolloni (Il prezzo giusto, Un onda anomala), Daniele Gouthier (Non può fare più freddo di così!, Una scatola in cartone) Stesura delle schede di Esplorazione: Chiara Ballarotti (Un limite da disastro), Daniele Gouthier (Logaritmi e decibel), Chiara Manzini (La topologia dei nodi, Frattali), Elisa Menozzi (Chi è il padre del calcolo?) La matematica indispensabile a cura di Andrea Betti Stesura dei testi e degli esercizi del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia Stesura degli esercizi del Recupero: Giuseppe Sturiale Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti Revisioni dei testi e degli esercizi: Chiara Ballarotti, Luca Malagoli, Elisa Menozzi, Monica Prandini Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio Risoluzione degli esercizi: Silvano Baggio, Angela Capucci, Elisa Capucci, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato, Chiara Lugli, Francesca Anna Riccio, Elisa Targa, Ambra Tinti Stesura degli esercizi della precedente edizione: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Cristina Bignardi, Francesco Biondi, Paolo Maurizio Dieghi, Daniela Favaretto, Rita Fortuzzi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Chiara Lugli, Armando Magnavacca, Luisa Morini, Monica Prandini, Daniele Ritelli, Antonio Rotteglia, Renata Tolino, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago, Lorenzo Zordan Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc. Ecel è un marchio registrato della Microsoft Corp L intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone. Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini e Enrico Bergamini. Copertina: Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna Immagine di copertina: Florence Temko, Three Parabolic Wings. Fotografia di Staudinger+Franke Prima edizione: 00 Seconda edizione: marzo 009 Ristampa: L editore si impegna a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio dal 009 ai sensi della legge n. 69/008. File per diversamente abili L editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo indicando il nome e il luogo della scuola: Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio Bologna lineauno@zanichelli.it sito web: fa: 05 9 Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN IS 900:000 Stampa: Grafica Ragno Via Lombardia 5, Tolara di Sotto, zzano Emilia (Bologna) per conto di Zanichelli editore S.p.A. Via Irnerio 4, 406 Bologna Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

5 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Corso base verde di matematica Seconda edizione 4 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

6 SMMARI I numeri nel mondo La matematica indispensabile TERIA VII ESERCIZI IX Chi stabilisce qual è il prezzo giusto? La risposta a pag. 85 Perché il termometro non può scendere sotto lo zero assoluto? La risposta a pag. 9 CAPITL LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ. Le funzioni reali di variabile reale ESPLRAZINE Logaritmi e decibel 84. Le proprietà delle funzioni e la loro composizione LABRATRI DI MATEMATICA Le funzioni e le loro proprietà con Derive 85 Verifiche di fine capitolo 875 Didattica su misura 878 CAPITL I LIMITI. La topologia della retta ESPLRAZINE La topologia dei nodi 887. La definizione di lim f ( ) l " 0 = lim f " 0 =. La definizione di ( ) 4. La definizione di lim f ( ) = l " 5. La definizione di lim f ( ) = " Primi teoremi sui limiti LABRATRI DI MATEMATICA I limiti con Ecel 9 94 Verifiche di fine capitolo 98 Didattica su misura 94 IV Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

7 SMMARI Come si stabilisce la potenza di un sisma? La risposta a pag. 97 CAPITL 4 LE FUNZINI CNTINUE E IL CALCL DEI LIMITI TERIA ESERCIZI. Le operazioni sui limiti Le forme indeterminate I limiti notevoli Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto Le funzioni continue I punti di discontinuità di una funzione ESPLRAZINE Un limite da disastro Gli asintoti Il grafico probabile di una funzione LABRATRI DI MATEMATICA Le funzioni continue con Derive Verifiche di fine capitolo 0 Didattica su misura 04 Se l'inflazione diminuisce vuol dire che i prezzi calano? La risposta a pag. 05 CAPITL 5 LA DERIVATA DI UNA FUNZINE E I TEREMI DEL CALCL DIFFERENZIALE. La derivata di una funzione La retta tangente al grafico di una funzione La continuità e la derivabilità ESPLRAZINE Frattali Le derivate fondamentali I teoremi sul calcolo delle derivate La derivata di una funzione composta g ( ) 7. La derivata di [ f ( )] La derivata della funzione inversa Applicazioni delle derivate alla geometria analitica Le derivate di ordine superiore al primo Il differenziale di una funzione I teoremi sulle funzioni derivabili Le applicazioni delle derivate alla fisica LABRATRI DI MATEMATICA Le derivate con Ecel Verifiche di fine capitolo 8 Didattica su misura Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione V

8 SMMARI Come bisogna tagliare un quadrato di cartone per avere il contenitore più capiente di tutti? La risposta a pag. 56 CAPITL 6 L STUDI DELLE FUNZINI TERIA ESERCIZI. Le funzioni crescenti e decrescenti e le derivate I massimi, i minimi e i flessi Massimi, minimi, flessi orizzontali e derivata prima 7 4. Flessi e derivata seconda Massimi, minimi, flessi e derivate successive I problemi di massimo e di minimo Lo studio di una funzione ESPLRAZINE Chi è il padre del calcolo? 55 LABRATRI DI MATEMATICA Lo studio delle funzioni con Ecel Verifiche di fine capitolo 4 Didattica su misura 45 Indice analitico I VI Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

9 I NUMERI NEL MND I NUMERI NEL MND Le scritture usate oggi nel mondo sono : semitiche (araba, armena, cirillica, ebraica, georgiana, greca, latina, mongola, siriana); indiane (bengalese, birmana, cambogiana, devanagari, gujarati, gurmukhi, kannada, laotiana, malaalam, oria, singalese, tamil, telugu, thailandese, tibetana); orientali (cinese, kana, hangul); cherokee, cree, etiopica, maldiviana, tifinagh, i. Con ognuna di tali scritture (alfabeti) si scrivono più lingue diverse: per esempio, con l alfabeto latino si scrivono ben 59 lingue, tra cui la nostra, con l alfabeto cirillico lingue, con quello ebraico e così via. Ad ogni (o quasi) scrittura corrisponde un modo diverso di rappresentare i numeri. Scritture che usano il sistema di numerazione posizionale ggi, per scrivere i numeri, si usa quasi dovunque il sistema decimale posizionale (inventato in India): questo vuol dire che le cifre da a 9 hanno un valore numerico che varia a seconda della posizione all interno del numero ed esiste un ulteriore cifra, lo 0, che serve a riempire le posizioni vuote. Precisamente, contando le posizioni a partire da destra, una cifra rappresenta le unità se occupa la prima posizione, le decine se occupa la seconda, le centinaia se occupa la terza e così via. Per esempio, trecentosette è # # #, ovvero 07. Nonostante la scrittura araba si scriva da destra a sinistra, i numeri si scrivono da sinistra a destra, come in Europa e in India. In mongolo anche i numeri si scrivono in verticale, dall alto verso il basso: la cifra che rappresenta le unità è quindi quella più in basso, quella delle decine è immediatamente sopra ecc. La scrittura cinese è un po più complicata: quando si scrive in verticale, si usa la notazione posizionale dall alto verso il basso, utilizzando le cifre elencate nell ultima riga della tabella. Se invece si scrive in orizzontale, si usa un sistema differente, che combina le cifre da uno a nove con simboli che rappresentano gli ordini di grandezza (decine, centinaia, migliaia ecc.). I simboli per dieci, cento, mille sono,,. Per scrivere, per esempio, ventuno ( # 0 + ), si disegnano i simboli due dieci uno; per scrivere tredici, dieci tre. La scrittura giapponese è analoga alla cinese (anche se cambiano i nomi di tutti i numeri). Nella tabella, nella pagina seguente, sono rappresentate le cifre decimali posizionali in quasi tutte le scritture che le utilizzano. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione VII

10 I NUMERI NEL MND Tabella Cifre decimali posizionali. devanagari (India del nord) gujarati (Gujarat) bengalesi (Bangladesh) gurmukhi (Punjab) oria (rssa) malaalam (Kerala) telugu (Andra) kannada (Karnataka) tibetane birmane thailandesi laotiane (Laos) khmer (Cambogia) mongole * Le varianti (a destra) delle cifre «4» e «6» si usano in Iran, Afghanistan e Pakistan. arabe* cinesi Questa è la targa di una locomotiva della ferrovia dell Hegiaz (Siria e Giordania); grazie alla tabella possiamo decifrare i simboli arabi: Mettiti alla prova Riesci a leggere questi numeri? Per saperne di più Per saperne di più puoi leggere il libro NN LEGITUR Giro del mondo in trentatré scritture, di Marco Cimarosti (Stampa Alternativa & Graffiti). L autore descrive le trentatré scritture che oggi si usano nel mondo mettendo il lettore in grado di capire come funzionano i diversi sistemi di scrittura, di leggerne le parole e riconoscerne i numeri. VIII Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

11 LA MATEMATICA INDISPENSABILE TEST LA MATEMATICA INDISPENSABILE anche per entrare all Università Altri test 4 La compagnia telefonica A calcola il prezzo di ogni telefonata sommando a una quota fissa (scatto alla risposta) di euro 0,5 una tariffazione di /4 di centesimo al secondo. La compagnia B, invece, fa pagare una quota fissa (scatto alla risposta) pari a euro 0,5 e poi /5 di centesimo al secondo. Qual è la massima durata al di sotto della quale una telefonata risulta meno costosa se effettuata con la compagnia A? A minuti e 0 secondi B minuti e 0 secondi C minuti e 0 secondi D minuti e 40 secondi E minuti esatti (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 008) + 7 Tutte le soluzioni della disequazione - sono date dall intervallo: 5 5 A. D -. B E. C #. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 007) La sommità di un palo verticale rettilineo di altezza 6 m è collegata con un punto del terreno per mezzo di una fune tesa, in modo che questa formi con la direzione orizzontale un angolo di 0 o. Qual è la lunghezza della fune? A m D 6 m B 8 m E 6 m C 5 m (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 007) Sia un numero reale positivo. Allora 5 log0 è uguale a: A log0 5. D 5( log0 + ). B 5( log0). E 8log0. C 5 log Quanto vale l area del triangolo che ha vertici nei punti del piano cartesiano A = (- ; ), B = (; ), C = (; - )? A 7,5 B 7 C 8 D 6,5 E Nessuno degli altri valori. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 00) Sulla lavagna è scritto il numero. Le sole mosse permesse sono cancellare il numero e sostituirlo con il suo doppio o con il suo quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere dopo 8 mosse? A ( 8 ) 8 B 8 8 C D 8 E 8 (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 000) Il sistema -7 - ) -5-6 è soddisfatto da: A ogni numero reale. B tutti e soli i numeri reali strettamente minori di oppure strettamente maggiori di. 7 C tutti e soli i numeri reali strettamente maggiori di. 7 D tutti e soli i numeri reali strettamente compresi fra e. E tutti e soli i numeri reali strettamente maggiori di. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 00) Per quale dei seguenti angoli vale la relazione sn e ( ) sn e ( )? A = 80 o B = 50 o C = 50 o o D = 70 E Nessuno di questi. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 007) (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 00) Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione IX

12 TEST LA MATEMATICA INDISPENSABILE 9 0 Si consideri la regione R del piano cartesiano costituita da tutti e soli i punti le cui coordinate (; ) soddisfano sia la condizione - # che la condizione # 4. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A L area della regione R è pari a 4. B La regione R è un quadrato con lato di lunghezza. C La regione R ha forma triangolare. D La regione R ha un perimetro di lunghezza pari a. E La regione R ha la forma di un semidisco. (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 00) Quale dei seguenti numeri è uguale a log 5 4 A B C 0 D E 5? (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) Individuare il numero mancante. A 40 B 6 C 44 D 4 E (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) Siano a e b due angoli legati fra loro dalla relazione b = r- a. Quale delle seguenti uguaglianze è vera? A tga+ tgb = 0 B cos a = cos b C sen a+ sen b = 0 D tga = tgb E cos a+ cos b =- (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio 5 cm. Calcolare l area del trapezio, sapendo che la sua altezza è uguale a cm. 45 A cm D 40 cm 7 B cm E 0 cm C 7 cm? In una circonferenza di raggio unitario si vuole inscrivere un triangolo avente un lato uguale al diametro. Si dica quali fra le seguenti possono essere le lunghezze a e b degli altri due lati del triangolo. A a =, b = B a =, b = 5 5 C a D a E a =, b =, b 5 6 =, b 5 = = = (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) Indicato con un angolo la cui misura in radianti può variare tra 0 e r, l equazione sn e + cos = 0 ammette: A due soluzioni. B otto soluzioni. C quattro soluzioni. D una soluzione. E nessuna soluzione. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 006) Sapendo che la seguente frase «Tutti i giovedì lavoro al computer e vado in palestra» è falsa, se ne deduce necessariamente che: A Qualche giovedì non lavoro al computer e non vado in palestra. B Tutti i giovedì non lavoro al computer e non vado in palestra. C Qualche giovedì non lavoro al computer o non vado in palestra. D Tutti i giovedì non lavoro al computer o non vado in palestra. E Tutti i giorni lavoro al computer e vado in palestra. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 000) Siano a e b due numeri reali tali che a e b # 0. Allora: A ab # b. D ab b. B ab $ 0. E ab $ b. C ab b. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 999) X Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

13 LA MATEMATICA INDISPENSABILE TEST 8 L ombra di un campanile è lunga la metà della sua altezza. Detta a la misura dell angolo formato dal Sole sull orizzonte in quel momento, si può dire che: o o A 45 # a 60 D è notte. B 60 o o o # a E 0 # a 45 C a 0 o (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 006) La condizione cui deve soddisfare il parametro k affinché l equazione 4sen = k abbia soluzione è: 4 4 A k $-. D k #. 4 4 B - # k #. E non c è nessuna limitazione ai valori di k. 4 C k =!. 9 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali, consideriamo le circonferenze c di centro = ( 00 ; ) e raggio, e cl di centro l e raggio. Le circonferenze c e cl si intersecano in due punti. Tra i seguenti punti, quale può essere l? A (-4; - 4) D b ; l B (; 4) E ( 5; - ) C b 9 ; l 4 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) 4 La disequazione # è verificata se e solo se: A # 0 oppure $. B $. C #- oppure $. D $ 0. E è un numero reale qualunque. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) 0 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 006) Lanciando tre volte una moneta non truccata, qual è la probabilità che escano tre croci? 8 A 0 B 0, C D E 8 8 (Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 000) 5 Quale dei seguenti numeri ha logaritmo in base 0 strettamente compreso fra 5 e 7? A D 0-0 B -0-6 E 0-6 C 45 (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) Si considerino le seguenti tre espressioni numeriche: ) log[ sen( 6r )]; ) log[ cos(6 r )]; ) log[ tg (6 r )]. Allora: A la ) ha significato e la ) non ha significato. B la ) ha significato e la ) non ha significato. C la ) e la ) sono entrambe prive di significato. D la ) non ha significato e la ) ha significato. E la ) e la ) hanno entrambe significato. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) Trovare il più grande fra i seguenti numeri. A log 4 5 D log 5 B log 0 85 E log 8 C log 5 (Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 000) 6 7 A parità di perimetro, quale dei seguenti poligoni ha l area massima? A Un rettangolo con un lato quadruplo dell altro. B Un triangolo equilatero. C Un esagono regolare. D Un quadrato. E Un ottagono regolare. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali, il luogo dei punti le cui coordinate (; ) soddisfano l equazione - = è costituito da: A un iperbole. B una coppia di iperboli. C una coppia di circonferenze. D una circonferenza. E una coppia di rette. (Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 00) Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione XI

14 TEST LA MATEMATICA INDISPENSABILE 8 Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette soluzioni reali nelle incognite e. + = a ) - = Si consideri la funzione trigonometrica = tg con 0 # r ( esprime l ampiezza dell angolo in radianti). I valori della funzione, tg, tg r, tg, tg r, disposti in ordine crescente, risultano: 9 A a D a $- B a $ E gni valore di a. C a - (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 008) È data l equazione = 8. L insieme di tutte le sue soluzioni reali è: A {}. B!-, + +. C "- log7, + log7,. D " + log7,. E & - ln 7, + ln 70. r A tg, tgr, tg, tg. r B tg, tg, tgr, tg. r C tgr, tg, tg, tg. r D tg, tgr, tg, tg. r E tg, tg, tg, tgr. (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 006) L espressione ( 0, 05 # 0 ) #( 4 # 0 08 ) : ( 0 0 ) corrisponde a: (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 007) A 00. D 0, # 9. B 0 0. E Determinare i valori del parametro reale a (se esistono) per i quali le seguenti rette r e s risultano perpendicolari: ra : + ( a- 4) + a+ = 0, s: - + 9a = 0. A Per nessun valore di a. B Per a =. C Per a =. D Per ogni valore di a diverso sia da 0 che da 4. E Per - a. (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 006) La curva di equazione + - = 0: A È una parabola con il vertice nel punto ( ; 0 ). B È una parabola con il vertice nel punto ( 0; ). C Non interseca la curva + - = 0. D Interseca la retta = - in due punti. E È una circonferenza con centro sull asse delle ordinate. 4 5 C 0-0. (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 00) L espressione goniometrica sen(9 a) - sen( a) equivale a: A 6 sen( a ). B cos(6 a) sen( a ). C [ sen( a) - sen a]. D [ cos( 6a) - cos( a) ]. E sen(9 a) cos( a) - sen( a) cos(9 a). (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 004) Se il fuoco di una parabola ha coordinate ( 0; - ) e la direttrice ha equazione =, la parabola: A non interseca l asse delle ascisse. B ha asse di simmetria parallelo all asse delle ascisse. C passa per l origine degli assi cartesiani. D non interseca l asse delle ordinate. E ha il vertice nel punto di coordinate (- 0 ; ). (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 004) (Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia, MIUR 00) XII Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

15 CAPITL [numerazione araba] [numerazione devanagari] [numerazione cinese] LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ IL PREZZ GIUST gni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in cambio una certa cifra di denaro. Chi stabilisce qual è il prezzo giusto? La risposta a pag. 85 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

16 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ. LE FUNZINI REALI DI VARIABILE REALE Richiamiamo il concetto di funzione limitandoci a considerare le funzioni reali di variabile reale. A viene anche detto insieme di partenza e B insieme di arrivo. Che cosa sono le funzioni DEFINIZINE Funzione Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Indichiamo una funzione con una lettera minuscola (per esempio f ) e con la seguente notazione: f: A " B, che si legge: «f è una funzione da A a B». In una funzione = f (), è detta controimmagine di. Se a! A la funzione f associa! B, diciamo che è immagine di mediante f e scriviamo: f: 7 oppure = f ( ), che si legge «uguale a f di». Quando non preciseremo il dominio di una funzione, lo considereremo coincidente con R. A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre il sottoinsieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. ESEMPI La funzione f R " R, descritta dalla legge matematica oppure =- +, associa a ogni valore di uno e un solo valore di. Per esempio, per = 4 si ha =- $ 4 + =-. Queste funzioni vengono anche dette funzioni definite a tratti. è detta variabile indipendente, variabile dipendente. Spesso, come nell esempio, una funzione è assegnata mediante un espressione ana litica, ossia mediante una formula matematica. Una funzione può essere anche indicata con un espressione del tipo f (; ) = 0, detta forma implicita, mentre = f () è detta forma esplicita. Per esempio, la funzione = 0 è la forma implicita di =- +. Esistono funzioni, dette funzioni definite per casi, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente. 88 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

17 PARAGRAF. LE FUNZINI REALI DI VARIABILE REALE TERIA ESEMPI La funzione valore assoluto è definita nel seguente modo: = = ' - se $ 0 se 0 Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l insieme dei punti P(; ) del piano cartesiano tali che è immagine di mediante f, ossia dei punti del tipo P(; f ()). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si determinano mettendo a sistema l equazione della funzione con = 0 (equazione dell asse ) o con = 0 (equazione dell asse ). Figura = + = = { se 0 se < 0 a. Il grafico di = +. b. La funzione valore assoluto. La classificazione delle funzioni Le funzioni esprimibili analiticamente possono essere distinte in funzioni algebriche e funzioni trascendenti. La funzione è algebrica se l espressione analitica = f () che la descrive contiene soltanto, nella variabile, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere: razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in particolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile, la funzione si dice lineare; se il polinomio in è di secondo grado, la funzione è detta quadratica; razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi; FUNZINI algebriche trascendenti irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di = e, = sen radice. Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente. razionali irrazionali = + intere fratte = 5 7 = + Il grafico di una funzione lineare è una retta, mentre quello di una funzione quadratica è una parabola. Figura La classificazione delle funzioni reali di variabile reale della forma = f() e alcuni esempi. Per una funzione algebrica viene definito il grado della funzione, che è il grado del polinomio P(; ) in e della forma implicita della funzione P(; ) = 0. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 89

18 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ ESEMPI La funzione - + = 0, quindi il suo grado è. = - in forma implicita diventa Abitualmente il termine dominio viene anche usato come sinonimo di dominio naturale, in quanto è usuale considerare il dominio naturale come dominio per una funzione. Il dominio di una funzione e lo studio del segno Spesso di una funzione si considera come dominio il sottoinsieme più ampio di R in cui la funzione può essere definita. In questo caso si parla di dominio naturale o campo di esistenza della funzione. ESEMPI La funzione = -4 ha come dominio naturale l insieme dei valori per i quali il radicando dell espressione a secondo membro è positivo o nullo, ossia # - 0 $. Scriviamo sinteticamente: D: #- 0 $. Domini delle principali funzioni Funzione Dominio naturale Funzioni razionali intere: n n = a + a + f + a 0 - n R Funzioni razionali fratte: P ( ) = ( P e Q polinomi ) R esclusi i valori che annullano Q() Q ( ) Funzioni irrazionali: = n f( ) #! R f( ) $ 0-, se n è pari dominio di f(), se n è dispari Funzioni logaritmiche: = loga f( ) a 0, a! #! R f( ) 0- Funzioni esponenziali: f ( ) = a a 0, a! dominio di f() Funzioni goniometriche: = sen, = cos = tg = cotg = arcsen, = arccos = arctg, = arccotg R r R -& + kr0 R -! kr+ [- ; ] R 840 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

19 PARAGRAF. LE FUNZINI REALI DI VARIABILE REALE TERIA È possibile anche studiare il segno di una funzione = f (), ossia cercare per quali valori di appartenenti al dominio il valore di è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo. Per esempio, la funzione = - 6 risulta positiva per, nulla per =, negativa per. I grafici di alcune funzioni La funzione lineare La funzione quadratica = m + q = a + b + c q α c V ( ; b ) b 4ac a 4a m = tgα La funzione esponenziale La funzione logaritmica = a (a > ) = a (0 < a < ) = log a (a > ) = log a (0 < a < ) La funzione seno La funzione coseno = sen = cos La funzione tangente La funzione cotangente = cotg = tg Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 84

20 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ I grafici delle funzioni e le trasformazioni geometriche Le traslazioni P a. Traslazione di vettore parallelo all asse. a = f() = f( a) P' P P' b. Traslazione di vettore parallelo all asse. b = f() = f() + b " v a b = f( a) + b = f() " c. Traslazione di vettore v (a; b). Le simmetrie P = f( ) P = f() P' P = f() P' = f() = f() P' = f( ) a. Simmetria rispetto all asse. b. Simmetria rispetto all asse. c. Simmetria centrale rispetto a. = f() = f( ) = f() = f() d. Simmetria rispetto all asse delle parti del grafico di = f(), con < 0. e. Per 0 il grafico è lo stesso di = f(), per < 0 il grafico è il simmetrico rispetto all asse di quello che = f() ha per > 0. Le dilatazioni m > m < n > n < = f m = f m = nf() = f() = f() = f() a. Dilatazione orizzontale. b. Contrazione orizzontale. = nf() = f() c. Dilatazione verticale. d. Contrazione verticale. 84 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

21 ESPLRAZINE LGARITMI E DECIBEL TERIA ESPLRAZINE Logaritmi e decibel Le scale logaritmiche Sono utili per misurare grandezze che variano molto rapidamente, perché permettono di «comprimere» su un intervallo più piccolo i possibili valori di una grandezza (per esempio l intensità di un suono), rendendoli più facili da trattare log Inoltre, usando i logaritmi, riusciamo a trasformare una dipendenza non lineare in una lineare. Supponiamo che una grandezza dipenda da una grandezza secondo la legge = a, dove a è una costante positiva. Il grafico di questa legge è una parabola. Passando ai logaritmi e applicando le loro proprietà, otteniamo: log = log (a ) " log = log a + log. Il grafico di questa legge (se consideriamo log e log come nuove variabili) è una retta: le due quantità dipendono l una dall altra in modo lineare. I decibel Il timpano è una membrana che reagisce a variazioni di pressione. Il suono è un onda che propagandosi nell aria produce queste variazioni. L intensità effettiva di un suono è l energia associata all onda sonora che attraversa un unità di superficie nell unità di tempo e si esprime in watt/metro (W/m ). Il campo di udibilità è un intervallo di intensità sonore il cui limite inferiore, o soglia del silenzio, vale 0 - W/m e corrisponde all incirca al rumore provocato da una zanzara a metri di distanza. La soglia del dolore è invece il limite superiore dell intervallo. Vale W/m ed è la massima intensità sonora che siamo in grado di sopportare: andando oltre, al suono si sostituisce una sensazione di dolore. Il campo di udibilità occupa ordini di grandezza, quindi è comodo rappresentarlo con una scala logaritmica. In questa scala l unità di misura è il decibel (db). Il livello di intensità percepita I db misurato in db è legato all intensità effettiva I di un suono in W/m da una relazione logaritmica: I IdB = 0 log, I0 dove I 0 è la soglia del silenzio (presa come riferimento) a cui è attribuito il valore di 0 db. Questo implica che a una piccola differenza (per esempio 0 db) tra il livello di intensità di due suoni percepiti, come il fruscio del vento tra le foglie e un mormorio, corrisponda una grande differenza (di un fattore 0) tra le intensità effettive. Attività Fai una ricerca su altre applicazioni della funzione logaritmo. Cerca nel web: logaritmi applicazioni, ph definizione, scala Richter, magnitudo Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 84

22 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI E LA LR CMPSIZINE Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive In modo equivalente, possiamo dire che una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia! & f ( )! f ( ). DEFINIZINE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B si dice: iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPI = 4 + = + 4 Figura a. La funzione = è sia iniettiva sia suriettiva perché a ogni valore scelto sull asse corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull asse. La funzione è quindi biiettiva. b. La funzione = + 4 è suriettiva se si considera come insieme B quello degli tali che 4, ma non è iniettiva perché, scelto nel codominio un diverso da 4, esso è l immagine di due valori distinti di. Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotòne DEFINIZINE Funzione crescente Una funzione = f () di dominio D R si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f: D " D I D, I, < f( ) < f( ) f( ) f( ) I D 844 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

23 PARAGRAF. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI E LA LR CMPSIZINE TERIA ESEMPI La funzione = - 4 è crescente nell intervallo I = [0; + [. = 4 4 I = [0; + [ Figura 4 Un esempio di funzione crescente per $ 0. Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) # f ( ), otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato, o anche non decrescente. Si può anche dire che la funzione è debolmente crescente. ESEMPI La funzione = f( ) = se # se - se $ * è crescente in senso lato in R (figura 5). = = = I = ] ; + [ = Figura 5 Un esempio di funzione crescente in senso lato in R. DEFINIZINE Funzione decrescente Una funzione = f () di dominio D R si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f: D " D I D, I, < f( ) > f( ) f( ) f( ) I D Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) $ f ( ), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o anche non crescente. In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiungere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto. In questo caso la funzione si può anche dire debolmente decrescente. DEFINIZINE Funzione monotòna Una funzione di dominio D R si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. FUNZINE MNTÒNA FUNZINE CRESCENTE FUNZINE DECRESCENTE Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 845

24 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ Una funzione f monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. Infatti, se f è monotòna in senso stretto, allora per ogni! si ha f ( ) f ( ) oppure f ( ) f ( ); quindi risulta f ( )! f ( ), cioè f è iniettiva. ESEMPI La funzione = sen è monotòna in senso stretto nell intervallo ; r ; r - E e in tale intervallo è iniettiva. Invece, la stessa funzione non è monotòna in 60; r@, dove non è iniettiva. Le funzioni periodiche Se f è periodica di periodo T, allora non è iniettiva, perché e + kt hanno la stessa immagine. Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo T, T, 4T, Il periodo minore è anche detto periodo principale ed è quello che di solito è considerato come periodo della funzione. DEFINIZINE Funzione periodica Una funzione = f () si dice periodica di periodo T, con T 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f () = f ( + kt). f() T In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo. ESEMPI = sen e = cos sono funzioni periodiche di periodo r. = tg e = cotg sono funzioni periodiche di periodo r. Le funzioni pari e le funzioni dispari f( + T) + T f() = f( + kt), k DEFINIZINE Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se! D, allora -! D. Una funzione = f () si dice pari in D se f (- ) = f () per qualunque appartenente a D. f: D " D, D f( ) = f() ESEMPI La funzione = f () = 4 - è pari perché, sostituendo a il suo opposto -, si ottiene ancora f (): f (- ) = (- ) 4 - = 4 - = f (). In generale, se una funzione ha espressione analitica contenente soltanto potenze della con esponente pari, allora è pari. Verifica invece che la funzione = 4 - non è pari perché, sostituendo a il suo opposto -, non si ottiene f (). 846 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

25 PARAGRAF. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI E LA LR CMPSIZINE TERIA Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all asse. Infatti, se il punto P(; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P l(- ; ). Pertanto, le coordinate di P l, pensate come ( l; l), soddisfano le equazioni della simmetria rispetto all asse : l =- ) l = a f( a) = f() f(a) a a D, f(a) = f( a) Figura 6 Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse. DEFINIZINE Funzione dispari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se! D, anche -! D. Una funzione = f () si dice dispari in D se f(- ) = - f() per qualunque appartenente a D. f: D " D, D f( ) = f() ESEMPI La funzione = f () = + è dispari perché, sostituendo a il suo opposto -, si ottiene - f (): f (- ) = (- ) + (- ) = - - = - ( + ) = - f (). Una funzione con espressione analitica contenente solo potenze della con esponente dispari è una funzione dispari. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. Infatti, se il punto P(; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P l(- ; - ). Pertanto le coordinate di P l, pensate come ( l; l), soddisfano le equazioni della simmetria centrale avente come centro l origine: l =- ) l =- Verifica che la funzione = f () = + non è dispari perché sostituendo a il suo opposto - non si ottiene - f (). a f( a) a f(a) Figura 7 Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. a D, f(a)= f( a) Una funzione che non sia pari non è necessariamente dispari (e viceversa). Per esempio, la funzione = f () = + non è né pari né dispari. Infatti: f (- ) = (- ) + (- ) = -! - f () /! f (). -f () = - -. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 847

26 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ La funzione inversa DEFINIZINE Funzione inversa Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f - da B ad A che associa a ogni di B il valore di A tale che = f (). A A =f () f biiettiva f B =f() B Se una funzione ammette inversa, si dice che è invertibile. ESEMPI La funzione = f( ) = ha come dominio R, ma per renderla biiettiva dobbiamo considerare come dominio un insieme più ristretto, quello dei numeri reali positivi o nulli, cioè prendiamo $ 0. In casi come questo parliamo di restrizione del dominio per l invertibilità della funzione. La sua funzione inversa, = f - () =, Figura 8 Il grafico della funzione = e della sua inversa =. è definita associando a un numero quel valore che, elevato al quadrato, dà il numero stesso. Per esempio, perché: f - (9) = 9 =, = = = 9 = f () =. Per rappresentare la funzione f - insieme alla funzione f, scambiamo le variabili nell espressione della funzione inversa, considerando: =. Il grafico di una funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Sfruttando questa proprietà, conoscendo il grafico di una funzione possiamo disegnare il grafico della sua inversa. Le funzioni monotòne in senso stretto sono biiettive se si considera come insieme di arrivo il loro codominio. Quindi esse ammettono sempre la funzione inversa. 848 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

27 PARAGRAF. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI E LA LR CMPSIZINE TERIA Il grafico delle funzioni inverse La funzione esponenziale e la funzione logaritmica La funzione logaritmica è l inversa della funzione esponenziale (e viceversa). Sono entrambe funzioni strettamente monotòne e quindi biiettive. = = a = = a = log a a > = log a 0 < a < Le funzioni goniometriche e le loro inverse Poiché le funzioni goniometriche sono periodiche, e quindi non biiettive, è necessario effettuare una restrizione del dominio, in modo che risultino essere biiettive. a. Considerata la funzione seno nel dominio [ ; ], la funzione arcoseno ha dominio D = [ ; ] e codominio C = [ ; ]. = arcsen = = sen = arccos = = cos b. Considerata la funzione coseno nel dominio [0; ], la funzione arcocoseno ha dominio D = [ ; ] e codominio C = [0; ]. = = arctg = arccotg = = tg c. Considerata la funzione tangente nel dominio ] ; [, la funzione arcotangente ha dominio D = e codominio C = ] ; [. = cotg d. Considerata la funzione cotangente nel dominio ]0; [, la funzione arcocotangente ha dominio D = e codominio C = ]0; [. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 849

28 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ g % f si legge «g composto f». g(f ()) si legge «g di f di». Le funzioni composte Date le due funzioni f A " B e g B " C, con g % f o = g(f ()) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni di A l immagine mediante g dell immagine di mediante f. A g f B C Figura 9 g(f ()) è l immagine che si ottiene con g di f(), ossia l immagine mediante g dell immagine di che si ottiene mediante f. f f() g g(f()) Nella definizione, l insieme di arrivo della prima funzione coincide con il dominio della seconda. Questo perché, per comporre due funzioni, occorre che il risultato della prima funzione sia un valore per il quale si può determinare l immagine tramite la seconda funzione. In generale, g % f è definita se il codominio di f è contenuto nel dominio di g: C f D g. In generale si ha g % f! f % g, ossia la composizione delle funzioni non è commutativa. ESEMPI Consideriamo le funzioni f e g da R a R: f () =, g() = +. La funzione composta g % f è data da: Per esempio, g(f (5)) = g(5) = 6. Per esempio, f (g(5)) = f (6) = 6. = g(f ()) = g( ) = +. Se consideriamo invece f % g, otteniamo: = f (g()) = f ( + ) = ( + ). Se si compone la funzione f con la sua inversa f -, si ottiene la funzione identità che associa a ogni elemento di un insieme se stesso: f (f - ()) = f - (f ()) =. A f B z f f f 850 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione

29 PARAGRAF. LE PRPRIETÀ DELLE FUNZINI E LA LR CMPSIZINE TERIA Le principali funzioni trascendenti La funzione esponenziale La funzione logaritmica 0 < a < a > = log a a > a = = a 0 < a < Ha come dominio tutto R e come codominio, se a!, R +, ossia il suo grafico sta tutto «sopra» l asse. Il grafico: non interseca l asse ; interseca l asse in (0; ). Se a, è una funzione sempre crescente; se 0 a, è sempre decrescente; se a =, è costante e vale. La funzione seno Ha come dominio R +, come codominio tutto R. Il grafico: interseca l asse in (; 0); non interseca l asse. Se a, è una funzione sempre crescente; se 0 a, è sempre decrescente. La funzione coseno = sen = cos Ha come dominio tutto R e come codominio[- ; ]. È una funzione dispari, in quanto sen (- ) = - sen. È una funzione periodica di periodo r: sen = sen ( + kr), con k! Z. È crescente in : r ; r - D, è decrescente in : r ; rd. La funzione tangente Ha come dominio tutto R e come codominio [- ; ]. È una funzione pari, in quanto cos (- ) = cos. È una funzione periodica di periodo r: cos = cos ( + kr), con k! Z. È crescente in [- r; 0], è decrescente in [0; r]. La funzione cotangente = tg = cotg Ha come dominio l insieme R privato dei valori (con k! Z) e come codominio tutto l insieme R. È una funzione dispari in quanto tg (- ) = - tg. È una funzione periodica di periodo r: tg = tg ( + kr), con k! Z. È crescente in D r ; r - :. r + kr Ha come dominio l insieme R privato dei valori kr (con k! Z) e come codominio tutto l insieme R. È una funzione dispari in quanto cotg (- ) = - cotg. È una funzione periodica di periodo r: cotg = cotg ( + kr), con k! Z. È decrescente in ]0; r[. Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione 85

30 TERIA CAPITL. LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ IL PREZZ GIUST Chi stabilisce qual è il prezzo giusto? Il quesito completo a pag. 87 Tutto quello che acquistiamo, un paio di scarpe, la benzina o un pacco di pasta al supermercato, ha un certo prezzo. Questo tende al prezzo «giusto» per acquirenti e venditori seguendo una legge di mercato. Il prezzo di un bene sale o scende a seconda che esso sia più o meno richiesto (domanda) e più o meno presente (offerta) sul mercato. Vale anche il contrario: la domanda e l offerta possono variare in funzione del prezzo. La curva di domanda Più un bene o un servizio è economico, maggiore sarà la quantità richiesta dai consumatori. Più è caro, meno saranno quelli disposti a spendere una somma astronomica. Sotto questo aspetto la domanda è quindi una funzione continua e decrescente del prezzo della merce. Il grafico in figura mostra la curva di domanda in funzione del prezzo. Si tratta ovviamente di un modello semplificato. In un contesto reale, la domanda è funzione anche di altre variabili, come il tipo di bene, il reddito del q d quantità domandata quantità domandata della merce q d = f(p) La quantità domandata della merce aumenta come effetto della riduzione del prezzo. p prezzo prezzo della merce consumatore o il prezzo di prodotti concorrenti. La curva di offerta Anche l offerta, la quantità di merce messa in vendita, è una funzione matematica per la quale assumiamo il prezzo come variabile indipendente e la sua quantità come variabile dipendente. L offerta ha un andamento diverso dalla domanda: la correlazione tra la merce in vendita e il corrispettivo prezzo è opposta. Mettendosi nei panni del produttore, il cui fine è massimizzare il profitto, se una merce ha un prezzo più alto, il guadagno per lui sarà maggiore vendendone una quantità superiore. Viceversa, se il prezzo diminuisce, il produttore sarà disincentivato a vendere il prodotto e ne produrrà di meno. L offerta è quindi una funzione crescente del prezzo di vendita, come si può vedere nel grafico in figura. Qual è il prezzo ideale per soddisfare le esigenze di consumatori e venditori? Si dice che il mercato è in equilibrio quando, per un dato prezzo, la quanq o quantità offerta q o = f(p) quantità offerta della merce La quantità offerta della merce aumenta come effetto dell incremento del prezzo. p prezzo prezzo della merce tità domandata dai consumatori è uguale alla quantità offerta dalle imprese. Pertanto, non vi sono né eccedenze di merce nei negozi né richieste insoddisfatte da parte dei consumatori. Graficamente, il punto di equilibrio corrisponde al punto in cui la curva di domanda incontra la curva di offerta. Il punto di intersezione delle due funzioni determina il prezzo giusto, né troppo alto né troppo basso, per mantenere il mercato in equilibrio. q quantità curva di offerta equilibrio di mercato curva di domanda p prezzo Quando il prezzo di un bene si allontana dal prezzo di equilibrio, subisce oscillazioni che lo riportano al valore ideale. Infatti, un prezzo più elevato del prezzo di equilibrio farebbe arrivare sul mercato più merce di quanta i consumatori sono disposti ad acquistare, lasciando invenduta gran parte della produzione; pertanto, per incrementare le vendite, le imprese cercherebbero di abbassare i prezzi. Al contrario, un prezzo più basso del prezzo di equilibrio porterebbe i consumatori ad acquistare più merce di quanta ne producono le imprese e queste ne approfitterebbero aumentando i loro prezzi. 85 Bergamini, Trifone, Barozzi CRS BASE VERDE DI MATEMATICA - Vol.4 Zanichelli 0 Seconda edizione