Esercizi svolti sui limiti

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1 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare sin(). Soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo per : sin() sin() sin() a questo punto, ponendo y, dato che otteniamo y sin y y sin() y sin y y.

2 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos. Soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo per ( cos ): cos cos cos cos cos cos sin cos poiché risulta abbiamo ( ) sin sin ; cos cos ( ) sin cos.

3 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos sin(). Soluzione. Riscriviamo il ite in questo modo: cos sin() ( cos ) ( cos ) cos sin() sin() sin() dal momento che risulta cos sin() abbiamo cos cos ; sin() sin().

4 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos. Soluzione. Il numeratore è una differenza di cubi, per cui abbiamo: cos ( cos )( cos cos ) cos ( cos cos ) cos ( cos cos ) poiché risulta abbiamo cos ; ( cos cos ) cos ( cos cos ).

5 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare sin () cos(). Soluzione. Riscriviamo il ite in questo modo: sin () cos() sin () sin () cos() cos() dal momento che 9 ( ) sin() ( ) cos() abbiamo sin() ; ( ) cos() 9 ( ) sin() ( ) cos()

6 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos(). Soluzione. Portiamo la dentro la radice, facendo molta attenzione al fatto che, trattandosi di un ite per,la è negativa: cos() cos() moltiplichiamo e dividiamo dentro la radice per : cos() cos() cos() ( ).

7 Esercizi svolti sui iti Esercizio. Calcolare cos(). Soluzione. Portiamo la dentro la radice, facendo molta attenzione al fatto che, trattandosi di un ite per,la è negativa: cos() cos() moltiplichiamo e dividiamo dentro la radice per : cos() cos() cos() ( ).

8 Esercizi svolti sui iti Esercizio 8. Calcolare ln( ) ( cos( ) ) sin. Soluzione. Riscriviamo il ite nel modo seguente: 9 9 cos( ) ln( ) sin cos( ) ln( ) sin 9 9 cos( ) ln( ) sin 9 9 cos( ) ln( ) sin 9 9 cos( ) ln( ) sin 9 9.

9 ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: otteniamo. a questo punto, sostituendo di nuovo, ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: 7 7, otteniamo sostituendo di nuovo ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: nuovo, otteniamo 9 9. sostituendo di 9 ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore: 9 9 a questo punto possiamo sostituire di nuovo, ottenendo. Il ite è oppure ; per determinare il risultato è sufficiente studiare il segno del denominatore in un intorno destro di (si osservi che si tratta di un ite destro): in tale intorno il segno del denominatore è positivo, quindi la frazione è negativa (si tenga presente che a numeratore c'è ) per cui possiamo scrivere. ) Calcolare. Soluzione. Sostituendo otteniamo ; possiamo quindi semplificare la frazione algebrica scomponendo il numeratore e il denominatore:, ottenendo così. a questo punto basta sostituire di nuovo

10 ) sol. ) sol. ) sol. ) sol. ) sol. ) sol. 7) sol. 9 8) 9) 8 sol. 7 sol. ) 7 9 sol. 8 ) sol. 7 ) sol. ) sol. ) sol.

11 ( )

12 ( )