Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 31 Gennaio 2018 Soluzioni Scritto

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1 Calcolo I - Corso di Laurea i Fisica - Geaio 08 Soluzioi Scritto Data la fuzioe f = 8 + / a Calcolare il domiio, puti di o derivabilità ed asitoti; b Calcolare, se esistoo, estremi relativi ed assoluti. Tracciare u grafico qualitativo della fuzioe. Svolgimeto. Il domiio di defiizioe è tutto R i quato l argometo della radice è sempre maggiore o uguale a zero. La fuzioe è cotiua i quato prodotto e composizioe di fuzioi cotiue. Ioltre è ache C i quato prodotto e composizioe di fuzioi C, ad eccezioe dei puti i cui si aulla l argometo del modulo o della radice: = 8, i questo puto l esisteza della derivata adrà studiata separatamete. No ci soo asitoti obliqui. Ifatti si osservi che per ± si ha f = 8 + / = / + o ossia la fuzioe è u ifiito di ordie / e quidi o può avere asitoti obliqui. Tuttavia si ha che f = 8 + / = / + o ± +. Studiamo la mootoia della fuzioe adado a studiare il sego della derivata. Per 8 si ha f = sego /. Studiamo il sego spezzado il modulo. Per > 8 f = / = / ossia f 0, > , > 8 > 8 i quato le radici del poliomio si secodo grado soo 8± 6 che soo miori di 8. Per < 8 si ha f = = + 6 / 8 + / quidi da cui segue per < 8 f 0, 8 6 f 0, < , < 8, 8 + 6, f < 0,, , 8

2 Riassumedo f < 0,, 8 6 descrescete > 0, 8 6, 8+ 6 crescete < 0, 8+ 6, 8 descrescete > 0, 8, + crescete. quidi la fuzioe ha u mi relativo i = 8 6 ; u ma relativo i = 8+ 6 ; mi assoluto i = 8 si osservi che f8 = 0. Per quato riguarda l esisteza della derivata i = 8, per 8 + metre 8 f = f = = 65 / 8 / 65 + o = 65 / 8 / 65 + o. Quidi per il corollario del teorema di Lagrage f +8 = + e f 8 =, ossia = 8 è ua cuspide. Il grafico della fuzioe

3 Studiare la covergeza semplice ed assoluta, al variare di R, della seguete serie =!. Calcolare la somma della serie = + +. Svolgimeto. Si tratta di ua serie di poteze cetrata i = 0. Applichiamo il criterio del rapporto: a + +! +! + lim = + a + + =!! + + = + e Quidi per il criterio del rapporto per < e la serie coverge assolutamete; per > e la serie o coverge. Studiamo il comportameto della serie ei casi i cui il rapporto da ossia = ±e. Si vede facilmete che i tutte e due i casi la serie o coverge. Applicado la formula di Stirlig si ha! e = e π e + o = π + o + quidi i etrabe i casi = ±e la serie o soddisfa la codizioe ecessaria della covergeza: si oti che per = e si ha! e +, metre per = e si ha! e =! e. La serie = + + si ricoduce facilmete alla somma di ua serie geometrica. Osservado che + = + si ha = = = = k= = = 8 k=0 8 = 8 = = k 8 8 k+ = /8 = = 44. k=0

4 Calcolare al variare del parametro α [0, + il limite l + l + e l + 6 si/ lim /5 cos α Svolgimeto. Si tratta di ua forma idetermiata 0 0 ad eccezioe del caso α = 0 i cui il limite è 0. Approssimiamo la fuzioe a umeratore per 0 +. Si osservi che fermadoci al tero ordie dello sviluppo delle fuzioi si ha l + l + e = l + l / + l + e = l + l / + l + e = l + / Ora e = + + / + /6 + o da cui e + e + / + o + e = o + e + o e. che, sostituedo ella espressioe di sopra e trascurado i termii di ordie maggiore o uguale a 4, porta l + l + e = l o = l o = l 4 + o. Quidi per quato riguarda il umeratore si ha l + l + e l + 6 si/ = l 4 + o l 6 si/ + o 6 si/ = 4 + o i quato 6 si/ è u o. Per il deomiatore si osservi che I coclusioe + /5 cos = o + + o = o f = l + l + e l + 6 si/ + /5 cos α = 4 da cui per 0 + si ha f 0, α [0, ; f 4 α 0 α + o 7 0, α = ; f, α >. 7 4

5 4 Studiare l itegrabilità i seso improprio ell itervallo, + della fuzioe e calcolare l itegrale + f d. f = + Svolgimeto. Si tratta di u itegrale improprio i quato il domiio o è limitato e la fuzioe i = o è defiita. Itegreabilità i =. Si osservi che per + la fuzioe è defiitivamete di sego costate e che f = + + o = / quidi per + la fuzioe è itegrabile per cofroto asitotico co la fuzioe /. Itegreabilità a +. Per + la fuzioe è defiitivamete di sego costate e f = 5 + o = + o. 4 Quidi per + la fuzioe è itegrabile i seso improprio per cofroto asitotico co la fuzioe 4. I coclusioe la fuzioe è itegrabile i seso improprio i, +. Co la sostituzioe = t, dt = d si ha + d = t t + t dt e sostituedo uovamete u = t, u + = t, dt = udu si arriva a u + u u + u du = + u + u du Scompoimao i fratti semplici osservado che il deomiatore ha radice co molteplicità e due complesse e coiugate: da cui si ottegoo le relazioi + u + u = A + u + B + u + Cu + D u + B = /, A + C = 0, A + B + D =, /8 = A/ + B/4 + C + D/ L ultima relazioe è equivalete = 4A + C + B + 4D sostituedo la prima e la secoda ell ultima relazioe si ha = + 4D D = 0 che sostituita ella terza A = / e C = /. Quidi + u + u du = = + u + l + u = 4 l u + + u + u u u + + u lu + + cost 4 + u + cost 5

6 dove il modulo el logaritmo o è stato messo i quato u 0, +. Quidi ua primitiva ella variabile u è la fuzioe F u = u 4 l + + u + u Ora quidi + lim F u = u 0 +, lim F u = 0 u + + = lim F u lim F u = u + u 0 + 6

7 5 Si cosideri la fuzioe f, y := y l y. a Determiare il domiio di defiizioe e studiare la differeziabilità di f. b Determiare gli estremi liberi di f. c Determiare l equazioe del piao tagete al grafico di f i,. Svolgimeto. Il domiio di defiizioe della fuzioe è il sottoisieme aperto di R defiito D f := 0, + R. La fuzioe è di classe C D f. Le derivate parziali vedere sotto di ogi ordie soo fuzioi cotiue el domiio. Calcoliamo i puti critici impoedo l aullameto del gradiete: y l + y yl + 0 f, y = = = l y l y 0 L equazioe associata alla prima compoete ha come soluzioi: y = 0 e = /e. Sostituedo y = 0 ella prima si ha =. Sostitueto = /e ella secoda si ottiee y = e. Ci soo quidi due puti critici, 0 e /e, /e. Calcoliamo la matrice Hessiaa y/ l + H f, y = l + Quidi H f, 0 = 0 che ha determiate uguale a. Questo implica che l Hessiaa ha due autovalori di sego opposto:, 0 è u puto di sella. Metre / 0 H f /e, /e = 0 La matrice Hessiaa è i forma diagoale co autovalori egativi defiita egativa: /e, /e è u massimo relativo. Si osservi che f, = L equazioe del piao tagete i, è z = f, + f,, y = + y. 7