Sistemi dinamici LTI del 2 ordine: traiettorie nel piano di stato. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada 1

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1 Sem dnamc LTI del ordne: raeore nel pano d ao Fondamen d Auomaca Prof. Slva Srada

2 x x x Movmeno dello ao x Movmeno dello ao x x = Sema dnamco LTI d ordne AUTONOMO con auovalor qund anocamene able e con un olo ao d equlbro x Ax S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () = (,) < < S può anche raccare l grafco nel pano x -x, la raeora del ema, coè l luogo de pun (x,x ) ad ogn ane, a parre da uno ao nzale x(). Traeora nel pano d ao x() = (x, x ) TRAIETTORIA al crecere d lo ao evolve ulla raeora nel vero della frecca x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

3 ad ogn auovalore (dno) d A è aocao un auoveore reale l auoveore è, nel pano d ao, una rea paane per l orgne con pendenza z / z z = z z x z O z x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 3

4 Propreà d un auoveore. coè le raeore che hanno ao nzale u z rmangono empre u z. Inolre x( ) = e x() Dmorazone Hp. x() z Te x( ) = e x() z x( ) z Ax() = x() x() è oluzone d x Ax ed è z coè Ae x() = = d x ( ) = e x() = e x() = e d =? Ax( ) = x( ) Ae? x() = e e ( x() ) = e Ax() = Ae x() Ax( ) x() e ( Ax() x() ) = = per Hp. x() x x < > x() z x() z O x x x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 4

5 Una raeora che pare da uno ao nzale x() quala, che non a u un auoveore poo empre comporre x ) e x () = x () + x () ( z x z () x( ) = x ( ) + x ( ) () + e z z = e x x () Per crecene, l eponenzale aocaa all auovalore maggore domna ull alra e l movmeno x() ende ad allnear con l auoveore domnane aocao a ale auovalore, coè con l auoveore ul quale l movmeno ha dnamca eponenzale pù lena e a convergere all orgne lungo ale auoveore.8 AUTOVETTORE z.6 aocao a.4. Traeore nel pano d ao z < < AUTOVETTORE domnane aocao a x x

6 Eempo A = 3 5 x() = (.5,.9) =.6 = 3.73 < < S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () Movmeno dello ao x.5 x Movmeno dello ao x.5 x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 6

7 x x S può raccare anche la raeora del ema a parre da x() Movmeno dello ao x Traeora nel pano d ao x() Movmeno dello ao x x x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 7

8 S poono po raccare dvere raeore del ema a parre da dver a nzal x() Traeore nel pano d ao 5 5 z x z Poché l ema è auonomo e anocamene able, quala movmeno ende anocamene all equlbro (,) x Lo ao d equlbro chama n queo cao nodo able Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 8

9 Eempo / 4 3/ 4 A = / 4 9 / 4 x() = (.5,.9) = = 3 > > ema INSTABILE empre con un olo ao d equlbro x = (,) S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () Movmeno dello ao x 5 x Movmeno dello ao x 5 x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 9

10 S può raccare anche la raeora del ema a parre da x() Traeora nel pano d ao 8 Movmeno dello ao x 5 6 x x Movmeno dello ao x 5 4 x x() x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

11 S poono po raccare dvere raeore del ema a parre da dver a nzal x() Traeore nel pano d ao 5 z 5 z x - -5 Poché l ema è nable, quala movmeno ende ad allonanar dall equlbro (,), a meno che x() non a propro (,) -5 x Lo ao d equlbro chama n queo cao nodo nable Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

12 Eempo 3 A = 3 x() = (.5,.9) = 4 = ema INSTABILE empre con un olo ao d equlbro x = (,) S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () Movmeno dello ao x 6 4 x Movmeno dello ao x 6 4 x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

13 x x Movmeno dello ao x Movmeno dello ao x S può raccare anche la raeora del ema a parre da x() Traeora nel pano d ao x.5.5 x() x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 3

14 S poono po raccare dvere raeore del ema a parre da dver a nzal x() Traeore nel pano d ao 8 6 z 4 x z Poché l ema è nable, quala movmeno ende ad allonanar dall equlbro (,), a meno che x() non a propro (,) oppure x() a ull auoveore z, aocao all auovalore negavo x Lo ao d equlbro chama n queo cao puno a ella Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 4

15 Eempo 3 A = 3 x() = (.5,.9), = ± 3 j ema ASINTOTICAMENTE STABILE empre con un olo ao d equlbro x = (, Gl auovalor ono ora comple S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () Movmeno dello ao x.5 x Movmeno dello ao x.5 x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 5

16 x x S può raccare anche la raeora del ema a parre da x() Traeora nel pano d ao.8 x().6.4 x Movmeno dello ao x x Movmeno dello ao x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 6

17 S poono po raccare dvere raeore del ema a parre da dver a nzal x() 5 Traeore nel pano d ao 5 quala movmeno ende a (,) lungo raeore a prale x x Lo ao d equlbro chama n queo cao fuoco able Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 7

18 Eempo 3 A =, = ± 3 j 3 ema INSTABILE empre con un olo ao d equlbro x = (,) Gl auovalor ono empre comple S poono raccare le raeore del ema a parre da dver a nzal x() Traeore nel pano d ao 3 quala raeora allonana da (,) x x Lo ao d equlbro chama n queo cao fuoco nable Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 8

19 Eempo 3 A = 3 x() = (.5,.9), = ± 3 j ema SEMPLICEMENTE STABILE empre con un olo ao d equlbro Gl auovalor ono mmagnar x = (,) S poono raccare grafc del movmeno d x () e d x () Movmeno dello ao x x Movmeno dello ao x x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao 9

20 x x S può raccare anche la raeora del ema a parre da x() Traeora nel pano d ao.5 x().5 x Movmeno dello ao x Movmeno dello ao x x Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

21 S poono raccare le raeore del ema a parre da dver a nzal x() 5 Traeore nel pano d ao 5 x x Lo ao d equlbro chama n queo cao cenro Prof. S. Srada Fondamen d Auomaca Sem LTI ordne: raeore nel pano d ao

22 Eempo A =, = ema ASINTOTICAMENTE STABILE empre con un olo ao d equlbro x = (,) L auovalore è con moleplcà Traeore nel pano d ao Ogn rea per l orgne è auoveore x l quadro delle raeore è dao da ree convergen vero l orgne all aumenare d. Se l auovalore è povo c allonana dall orgne ulle ree x

23 Eempo A =, = ema ASINTOTICAMENTE STABILE empre con un olo ao d equlbro x = (,) L auovalore è con moleplcà ma la marce A non è dagonalzzable Traeore nel pano d ao.5.5 x z ee un olo auoveore a cu endono ue le raeore per andare vero l orgne x 3

24 x = Ax Eemp con de( A) = In u ca v fno ad ora de( A) Non c è pù un unco equlbro < = p equlbro empl. abl > = p equlbro nabl = = A = x z A = x Ô x Ô p equlbro abl u pun del pano x p equlbro nabl u pun dell ae ace

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