Differenze divise. Polinomio di interpolazione nella forma di Newton. Proprietà. Se n=0. Simmetria. Ricorsività. Abbiamo un solo punto

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1 Differenze divise Polinomio di interpolazione nella forma di Newton Se n=0 Abbiamo un solo punto Se n = 1 Abbiamo 2 punti Il polinomio cercato è la retta passante per i due punti Proprietà Simmetria Differenza divisa relativa ai nodi Se si sta interpolando una funzione si ha e si indica come Ricorsività Ordine 2 Ordine m Ordine 0 1

2 Tabella delle differenze divise Esercizio Calcolare la differenza divisa di ordine 3 rispetto ai punti dove sono gli stessi dell esercizio precedente e Polinomio di interpolazione nella forma di Newton Esempio (lo stesso di prima) Si dimostra che il polinomio è il polinomio di interpolazione della funzione nei nodi 2

3 Osservazioni Si può costruire in modo ricorsivo: dove è il polinomio di interpolazione di grado k sui k +1 nodi e dove è il polinomio di interpolazione di grado k+1 sui k +2 nodi Vantaggi della rappresentazione di Newton Aggiungere un nodo, cioè cercare il polinomio di interpolazione di grado superiore, comporta l aggiunta di una riga della tabella delle differenze divise; Il polinomio può essere valutato mediante lo schema di Horner; La complessità computazionale è la metà rispetto alla rappresentazione di Lagrange. Dimostrazione (1) Per induzione su n mostriamo che Dimostrazione (2) Definiamo i polinomi Per n=1 è banale Supponiamo che sia vero per n-1 Per induzione su k mostriamo che è il polinomio di interpolazione di f relativamente ai punti Per k=0 è banale Supponiamo che sia vero per k Per definizione è di grado k+1 Si ha anche che 3

4 Dimostrazione (3) Chiamiamo il polinomio di interpolazione relativo a e hanno lo stesso coefficiente del termine di grado k+1 ma è di grado k Complessità computazionale Costruzione della tabella delle differenze divise Valutazione del polinomio tramite una variante dell algoritmo di Horner Osservazioni In generale, se è un polinomio di grado non superiore ad n, allora Altrimenti il polinomio di interpolazione assume valori diversi dalla funzione. Funzioni diverse possono avere lo stesso polinomio di interpolazione. Analisi dell errore di interpolazione 4

5 Errore di interpolazione Si ha che ma in generale Se dimostra che si Dimostrazione Grafico dell errore Definiamo 5

6 Stima dell errore Fattori che influiscono sull errore La regolarità della funzione ; Il numero di punti su cui si interpola e quindi il grado del polinomio di intepolazione; La funzione che dipende solo dai punti Possibili strategie per minimizzare l errore 1. Aumentare il numero di punti Significa aumentare il grado del polinomio di interpolazione 2. Rendere la quantità più piccola possibile. significa cercare i nodi che rendono la funzione più piccola possibile Primo caso E vero che se aumentiamo il grado del polinomio noi rendiamo più piccolo l errore? La risposta è NO 6

7 Controesempio Funzione di Runge 7

8 Teorema di Faber Quindi non si può affermare che aumentando il grado del polinomio di interpolazione la funzione venga approssimata con più accuratezza Definizione di norma infinito di una funzione 8

9 Secondo caso Cerchiamo di rendere minima la quantità Osservazione Nell esempio di Runge si osserva che la zona critica è in prossimità degli estremi dell intervallo. Siccome dipende solo dagli x i, dovremo individuare un opportuna scelta dei nodi L idea è di scegliere una distribuzione di nodi più fitta vicino agli estremi Nodi di Chebychev Partizione uniforme della circonferenza Proprietà dei nodi di Chebychev Si dimostra che, se dove nodi di Chebychev, allora sono i e tra tutte le possibili distribuzioni di nodi questo è il minimo valore possibile per 9

10 Ottimalità dei nodi di Chebychev Scegliendo i nodi di Chebychev si rende la quantità più piccola possibile Estensione dei nodi di Chebychev Abbiamo definito i nodi di Chebychev in [- 1,1] Li possiamo definire in qualunque intervallo [a,b] Segue che errore di interpolazione dipende dalla funzione dal numero dei nodi Polinomi di Chebychev Sono polinomi di grado crescente definiti in [-1,1] Per n=0 Per n=1 10

11 Formule ricorsive Osservazione Zeri dei polinomi di Chebychev Il coefficiente della x di grado massimo per il ploinomio di Chebychev di grado n è 11

12 Teorema Osservazione Il polinomio ha le seguenti proprietà: È di grado n; È monico (il coefficiente di del polinomio è proprio ); Si annulla negli n zeri di Chebychev Conclusione Il polinomio è monico. Per il teorema precedente si ha Dimostrazione(1) Per rendere più piccola possibile dobbiamo scegliere come nodi gli zeri dei polinomi di Chebycev. In questo caso si ha anche 12

13 Dimostrazione(2) Teorema di Bernstein Sono n+1 cambi di segno in [-1,1] r(x) ha n radici in [-1,1] Assurdo perchè r è di grado al più n-1 Esempio di Runge Ortogonalità dei polinomi di Chebychev I polinomi di Chebychev hanno un altra notevole proprietà: Si utilizzano in altri ambiti (vedi corso Analisi Numerica 2) 13

14 Esercizio Esercizio Quale dovrebbe essere il grado del polinomio di interpolazione della funzione cos(x) in [0.3,0.6] sui nodi di Chebychev per avere un errore inferiore a e e-005 Nodi di Chebychev e e

15 Polinomio di Taylor Si può derivare dal polinomio di interpolazione nella forma di Newton quando tutti i nodi precipitano in un unico punto. Si definiscono le differenze divise con argomenti coincidenti Polinomio di Taylor di grado n centrato in Stima dell errore Si dimostra che se Si ha che Osservazioni Se Tutta l informazione usata per l approssimazione è concentrata in un punto L approssimazione è buona solo vicino ad 15

16 Osservazioni Il polinomio di Taylor centrato nel punto 0 si dice polinomio di Mac Laurin Esempio Polinomio di MacLaurin della funzione seno L errore commesso è Si vuole determinare l intervallo in cui il polinomio di Taylor di grado 5 approssima la funzione seno entro una tolleranza di Esercizio L intervallo cercato è 16

17 Interpolazione di Hermite Si fissano i valori del polinomio e della sua derivata Si definisce il polinomio di grado 2n+1 Proprietà Analoghe alla base di Lagrange Resto di interpolazione Si dimostra che Segue che 17

18 Calcolo del polinomio di Hermite Si dimostra che si può scrivere nella forma Dove le differenze divise si calcolano con la tabella 18