Il teorema di Goursat

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1 CAPITOLO 8 Il teorema di Goursat. Premessa Sia f una funzione assegnata in un disco B: per rappresentarla con il Teorema di Rappresentazione di Cauchy é stato sfruttato che, R B risultato conseguito sotto le ipotesi. L importanza dell ipotesi () f C (B), f analitica z B risiede nella costruzione seguente: scelto un punto z 0 = (x 0, y 0 ) B definiamo per ogni altro punto z = (x, y) B F (z) = f(s)ds Π essendo Π : (x 0, y 0 ) (x, y 0 ) ((x, y), Tenuto conto della ()si ha anche F (z) = f(s)ds Π 2 essendo Π 2 : (x 0, y 0 ) (x 0, y) (x, y) Derivando l una o l altra espressione di F si riconosce che F C (B) F é analitica F (z) = f(z)

2 2 8. IL TEOREMA DI GOURSAT Le condizioni F C (B), F analitica z B implicano che F e tutte le sue derivate F [n] si rappresentano con il Teorema di Rappresentazione di Cauchy F [n] (z) = n! F (ζ) dζ, n = 0,, 2,... 2πi (ζ z) n+ Tenuto presente che f(z) = F (z) ne segue e quindi e tutto quello che ne segue... C f(z) = 2πi C F (ζ) (ζ z) 2 dζ f C (B), f analitica z B 2. Teorema di Morera Il seguente teorema di Morera ( ) esprime esattamente quanto accennato nella premessa. Teorema 2.. Sia f(z) continua nell aperto Ω: se γ per ogni curva chiusa contenuta in Ω allora f(z) é analitica. Dimostrazione. Scelto w 0 Ω consideriamo la funzione F (w) = w w 0 f(z)dz si tratta di una funzione ben definita, infatti gli integrali f(z)dz γ(w 0,w) dipendono, per l ipotesi fatta solo dagli estremi della curva di integrazione. F (w) é analitica e riesce f(z) = F (z) quindi f coincidendo con la derivata F di una funzione analitica é analitica anch essa.

3 3. IL TEOREMA DI GOURSAT 3 Osservazione 2.2. Il Teorema di Morera é rimasto, ed é citato col suo nome italiano nella letteratura internazionale, non tanto per la genialitá delle condizioni proposte quanto perché costituisce lo strumento standard per riconoscere che il limite di una successione di funzioni analitiche uniformemente convergente é una funzione analitica. Ricordiamo che, nell ambito reale, il limite di una successione uniformemente convergente di funzioni C puó non essere C : si pensi ad una successione di funzioni molto regolari approssimanti, ad esempio, la x. Vedi Ahlfors pag Il teorema di Goursat Teorema 3.. ( Goursat ) Sia f(z) analitica nell aperto Ω: sia R Ω un rettangolo, allora f(z) dz = 0 Dimostrazione. Sia R Ω un rettangolo con i lati di lunghezze M. Indichiamo con η(r) = f(z) dz se dividiamo R dimezzando i lati in quattro rettangoli uguali 4 R = R R 2 R 3 R 4 η(r) = η(r k ) La ovvia disuguaglianza 4 η(r) η(r k ) η(r) 4 max η(r k ) k k= detto k 0 l indice per cui si ha il massimo si ha η(r) 4 η(r k0 ) Indicato come R il rettangolo R k0 si ha quindi 4 η(r) η(r ) Ripetiamo su R la precedente suddivisione in quattro parti: si perviene ad un rettangolo, che chiamiamo R 2 tale che Il nome di Goursat ( ) é rimasto a questo risultato per la semplicitá della dimostrazione. k=

4 4 8. IL TEOREMA DI GOURSAT 4 η(r ) η(r 2 ) Sia {R n } la successione di rettangoli che si costruiscono con il procedimento precedente: si tratta di una successione di rettangoli chiusi e limitati, incapsulati, non vuoti. Riesce 4 n η(r) η(rn ) Sia z 0 k= R k e sia C z0 un cerchio di centro z 0 e raggio δ ε tale che f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + r(z), Per n sufficientemente alto riesce r(z) ε z z 0 z C z0 e si ha R n C z0 η(r n ) = f(z)dz = n (f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + r(z))dz n Tenuto presente che (f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ))dz = 0 n η(r n ) = r(z)dz n Tenuto conto che ne segue r(z)dz ε 2 M 2 4M n n 2 = ε 4 2 n 4 n η(r n ) ε n η(r) ε 4 2 In altri termini non puó che essere η(r) = 0 ovvero

5 5. LA FORMULA DI TAYLOR 5 4. Un estensione Sia f analitica nel disco B privato di un numero finito di punti z k nei quali tuttavia riesca lim ζ z k (ζ z k )f(ζ) = 0 allora 2 continua a valere il teorema di Goursat, cioé riesce, R B f é prolungabile sui z k per continuitá, la funzione prolungata a tutto B é C (B) e analitica. 5. La formula di Taylor Sia f analitica in B: la funzione f(z) f(a) F (z) = z a é analitica in B privato del punto a riesce lim z a (z a)f (z) = 0 quindi F é prolungabile in modo analitico. Sia f (z) il suo prolungamento per continuitá: in a non puó che essere f (a) = f (a). Ovvero f(z) = f(a) + f (z)(z a) Riapplicando lo stesso procedimento alla f (z) si ha f (z) = f (a)+f 2 (z)(z a) f(z) = f(a)+f (a)(z a)+f 2 (z)(z a) 2 Riapplicando lo stesso procedimento alla f 2 (z) si ha f 2 (z) = f 2 (a) + f 3 (z)(z a) f(z) = f(a) + f (a)(z a) + f 2 (a)(z a) 2 + f 3 (z)(z a) 3 ecc. ecc. 2 Per la dimostrazione vedi Ahlfors, Teor. 3 pag.