Cenni sui metodi iterativi per sistemi lineari. Analisi Numerica Prof. M. Lucia Sampoli a.a. 2014/2015

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1 Cenni sui metodi iterativi per sistemi lineari Analisi Numerica Prof. M. Lucia Sampoli a.a. 2014/2015

2 Metodi numerici per sistemi lineari Nei metodi diretti la presenza di eventuali elementi nulli nella matrice non può essere sfruttata ai fini di ridurre il costo computazionale e l'occupazione di memoria (aspetti signicativi per sistemi di grandi dimensioni) Infatti la trasformazione di A può introdurre un numero diverso da zero laddove prima c'era uno zero (fill-in) I metodi iterativi sono utili per la risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni con matrici A sparse (il numero degli elementi non nulli è dell'ordine di n)

3 Costruzione di un metodo iterativo Consideriamo il sistema lineare Ax = b con det(a) 0. Introduciamo la seguente decomposizione della matrice A = P N. Allora si ha - - Ax b ( P - N) x b Px Nx b x P 1 Nx P 1 b Il sistema è ricondotto ad un problema di punto fisso. Applichiamo il procedimento delle approssimazioni successive dove B è matrice di iterazione DEF. Il metodo iterativo è chiamato consistente se e solo se g e B sono tali che x=bx+g

4 Convergenza di un metodo iterativo

5 Matrici sparse Il costo di un metodo iterativo è dato dal numero delle iterazioni x costo del prodotto di B per un vettore Quindi l uso dei metodi iterativi è consigliato nel caso di matrici sparse e di grandi dimensioni. Il formato sparse è utilizzato in Matlab per ridurre i costi di memorizzazione della matrice.

6 Formulazione generale (0) x f0 A b (, ) x f ( x, x,..., x, A, b) for n m ( n ) ( n 1) ( n m ) ( n 1) n 1 Il numero di passi da cui dipende la generica iterazione da l ordine del metodo. Quando f i sono indipendenti dall i-esimo passo il metodo è chiamato stazionario, non-stazionario altrimenti. Quando f i dipendono linearmente da x (0), x (m), il metodo è detto lineare

7 Metodi lineari P è non singolare Tale relazione può essere riscritta in termini del residuo r (k) = b - Ax (k) x x P r ( k 1) ( k) 1 ( k) ( k 1) ( k) 1 ( k) 1 x x P Ax P b La matrice di iterazione è B= I P -1 A pertanto P deve essere tale che la sua inversa sia facile da calcolare

8 Metodi lineari classici Sono basati sulla decomposizione dove

9 Jacobi Se gli elementi diagonali di A sono diversi da zero, in ogni equazione possiamo mettere in evidenza l incognita corrispondente: Questo è equivalente a scegliere la decomposizione con P=D

10 Gauss-Seidel Al (k+1)-esimo passo si utilizzano i valori we già calcolati Questo e equivalente alla scelta P=D-E:

11 Successive over relaxation (SOR) Si introduce un parametro reale (diverso da zero) per aumentare la velocità di convergenza B I D E 1 I D F ( ) ( ) [( ) ] Questo è equivalente a scegliere 1 P D E Il metodo è consistente per ωǂ0 e per ω=1 coincide con GS

12 Risultati di convergenza per J-GS- SOR Se A è a diagonale dominante in senso stretto rispetto alle righe allora Jacobi e Gauss-Seidel sono convergenti Se A è simmetrica e definita positiva allora GS converge monotonicamente 2 Se A è tridiagonale ( BGS) ( BJ ) Se A è simmetrica e definita positiva allora SOR converge se e solo se 0<ω<2 SOR diverge se ω 0 or ω 2

13 Criteri di arresto

14 Incremento

15 Residuo

16 Il metodo di Richardson stazionario Come abbiamo già visto, ogni metodo iterativo finora considerato (basato sulla decomposizione A=P-N, e quindi N=P-A) può essere riscritto: La convergenza del metodo è garantita quando ρ(i-p -1 A)<1 Quando questo non succede, seguendo l approccio usato in SOR, si può modificare il metodo introducendo un opportuno parametro α tale che Il metodo così ottenuto è detto Metodo di Richardson Stazionario

17 Convergenza Richardson stazionario Teorema: se P è invertibile, il metodo di Richardson stazionario converge se e solo se 2Re i 1 i 1,..., n 2 dove λ i sono gli autovalori di P -1 A i Teorema: Se P è non singolare e P -1 A ha autovalori reali positivi allora il metodo di Richardson stazionario converge se e solo se 0 < α < 2/λ n, Se P -1 A è simmetrica definita positiva, la convergenza del metodo è monotona rispetto alle norme. Inoltre in questo caso opt 1 1 K ( ) A P 2 P A opt 1 K ( P A) 1 K ( P A) 1 2 2

18 Precondizionatori La matrice P che compare nell espressione del metodo di Richardson si chiama matrice di precondizionamento. P, oltre a non essere singolare, deve essere invertibile con un basso costo computazionale altrimenti il costo complessivo dello schema aumenta eccessivamente. La scelta di P deve essere guidata dalla seguente condizione: L ideale sarebbe avere e quindi P -1 rappresenta un approssimazione dell inversa di A.

19 Precondizionatori di uso comune

20 Il metodo di Richardson non stazionario Possiamo supporre che il parametro di accelerazione α dipenda dall indice di iterazione metodi di Richardson non stazionari x x P k r ( k 1 ) ( k) 1 ( k) La matrice di iterazione al passo k-esimo e data da B I P A 1 k k Possiamo riscrivere il metodo in una forma molto conveniente dal punto di vista computazionale. ( k) ( k) Posto z P 1 r residuo precondizionato x x z r b Ax r Az ( k 1 ) ( k) ( k) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k) ( k) k k

21 Il metodo di Richardson non stazionario -2

22 Il metodo del gradiente

23 Il metodo del gradiente -2

24 Il metodo del gradiente o di massima discesa

25

26 Gradiente precondizionato Se K 2 (A)= λ 1 / λ n è molto grande, la convergenza è molto lenta e non si raggiunge mai il minimo. Un risultato analogo a quello visto sopra vale utilizzando in 1 precondizionatore. In questo caso si sostituisce K2 A con K2 P A Si deve fare l ipotesi che P sia simmetrica e definita positiva ( ) ( ) Un alternativa ancora più efficace consiste nell utilizzare come direzioni di discesa, non più coincidenti con quelle del residuo (direzioni A-ortogonali) gradiente coniugato.

27 Il metodo del gradiente coniugato

28 Confronto tra MG e MGC

29 Metodi a terminazione finita per matrici qualunque

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