x Interpolazione polinomiale, la matrice di Vandermonde

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1 4.. INTEROLZIONE 4. Inerpolzione Il problem generle è quello di deerminre un espressione nliic o grfic per un funzione fx) di cui si conoscono un numero finio di puni del grfico x i, y i ). Quindi si cerc un funzione fx) le che fx ) = y ; fx ) = y ; ; fx n ) = y n Si vuole che l fx) si fcilmene clcolbile e che soddisfi le n + eguglinze o precismene o pprossimivmene o modellndosi su di esse secondo un conceo che vedremo più vni. Il problem si pone di solio in uno di quesi due csi I di sono oenui sperimenlmene, per cui fx) è d cosruire. x y x y x y x n y n L fx) è no ed è possibile clcolrl nche in lri puni, m non è fcilmene clcolbile per esempio è l soluzione di un equzione differenzile) o l su espressione è comunque ssi compless. Come deo, le ecniche sono sosnzilmene re: l inerpolzione, l pprossimzione e l modellzione. Ognun di esse h precchie vrini che possono condurre risuli diversi. Cerchimo di dre per or un definizione inuiiv, che poi pprofondiremo, delle re ecniche. Inerpolre signific deerminre un funzione che soddisfi precismene i di. pprossimre signific deerminre un funzione che non soddisfi precismene i di, m se ne discosi il meno possibile. Modellre signific grosso modo deerminre un funzione che nel modo più dolce si inserisc nell poligonle dei di. Nel disegno soo gli sessi di inerpoli, pprossimi e modelli con qulche ecnic. x x x x x 4 x n x x x x x x 4 x n x x x x 4 x n 4.. Inerpolzione polinomile, l mrice di Vndermonde L prim ide è quell di deerminre un polinomio x) = + x + x + + n x n di grdo minore o ugule n. Il polinomio si dirà polinomio inerpolore dei di. Inroducendo i di si oiene: x ) = y + x + x + + n x n = y x n ) = y n + x n + x n + + n x n n = y n Queso è un sisem linere n+) n+) nelle incognie,..., n l cui mrice dei coefficieni è de mrice di Vndermonde dell successione x,..., x n. Ques mrice h deerminne diverso d zero se gli x i sono disini; perno in l cso esise un unico polinomio di grdo minore o ugule n che soddisf i di non è deo che bbi grdo esmene n perché non è deo che si bbi n ). Risolvere il sisem linere non è però conveniene dl puno di vis clcolivo, si per l mole dei coni, si perché l mrice di Vndermonde è pricolrmene sensibile gli errori d rroondmeno vendo un numero di condizionmeno elevo. MNIN

2 4 Esempio 4.: eerminre l prbol y = +bx+cx pssne per re puni x, y ), x, y ), x, y ) x i disini). Si h il sisem linere in, b, c: y = + bx + cx y = + bx + cx y = + bx + cx l cui mrice dei coefficieni è l mrice di Vndermonde x x x x x x Risolvendo il sisem si può rovre il polinomio. Queso è il meodo più elemenre, m non cermene il migliore. Osservimo che per x =, x =, x = l mrice di Vndermonde h già numero di condizionmeno circ Inerpolzione polinomile, il polinomio di Lgrnge Esise un semplicissim formul dovu Lgrnge per deerminre il polinomio in quesione: x) = y x x )x x ) x x n ) x x )x x ) x x n ) + x x )x x ) x x n ) +y x x )x x ) x x n ) + + y x x ) x x n ) n x n x ) x n x n ) È evidene che il polinomio h grdo non superiore n ed è pure evidene il fo che esso soddisf i di. L formul di Lgrnge, benché elegne ed elemenre, non è in generle di uso prico. Il polinomio non è infi scrio in un form che si presi un semplice lgorimizzzione ipo schem di Ruffini-Hörner per clcolre il polinomio in un puno diverso dgli x i. 4.. Inerpolzione polinomile, il polinomio di Newon Esise un lr formul, dovu Newon, per deerminre il polinomio in modo lgorimico ed è l seguene: x) = b + b x x ) + b x x )x x ) + + b n x x )x x ) x x n ) rim di spiegre come si clcolno i coefficieni b i, osservimo che, dopo verli deermini, è fcile clcolre x) in qulunque puno senz sviluppre l formul, in modo simile llo schem di Ruffini-Hörner: ) x) = b + x x ) b + b x x ) + + b n x x ) x x n ) x) = b + x x ) b + x x ) b + + b n x x ) x x n )) ) ec. er quno rigurd i coefficieni b i, un cono non difficile, m lborioso, mosr che essi si possono deerminre ricorsivmene nel modo seguene: b = fx ) b = fx ) fx ) x x b = f[x, x ] f[x, x ] x x b n = f[x n, x n,..., x ] f[x n,..., x ] x n x def = f[x ] def = f[x, x ] def = f[x, x, x ] def = f[x n, x n,..., x ] MNIN

3 4.. INTEROLZIONE 5 I b i si clcolno quindi in modo lgorimico medine un procedimeno deo clcolo lle differenze finie. Ci limiimo l cso in cui gli x i formino un progressione rimeic di rgione cosne d cioè: x x = x + d x = x + d x n = x n + d In queso cso si possono clcolre i b i usndo lo schem y = y ) y y = y ) y y ) y y y = y ) y ) = y ) y y = y ) y ) y ) = y ) y n y n y n = y ) n y n e, come si verific subio, si h: y n ) y n ) b = y ) ; b = y)! d ; b = y)! d ;... ; b n = yn) n! d n = y n) Esempio 4.: eerminimo il polinomio x) di grdo minore o ugule le che: ) =.5) = ) = 4.5) = In queso cso d =.5. Lo schem delle differenze finie unirie è: = 4 4 = = 4= 5 5 = = 5 Si h perno Il polinomio è quindi: b = ; b =!.5) = 4 ; b =!.5) = ; b = 5!.5) = / x) = + 4x ) x )x.5) x )x.5)x ) Se l successione non è psso cosne, lo schem delle differenze finie subisce un semplice modific che non riporimo in ques sede Il reso nell inerpolzione di Newon È evidene l nlogi r l formul di inerpolzione di Newon e l no formul di Tylor. In effei, come il polinomio di Tylor pprossim un funzione con un polinomio vene sesso vlore e sesse derive in un puno x, il polinomio di Newon pprossim un funzione con un polinomio che ssume nei puni x i gli sessi vlori dell funzione. In nlogi ll formul del reso di Lgrnge per il polinomio di Tylor, si h: roposizione Si fx) un funzione coninu nell inervllo [, b], ivi do di derive coninue fino ll ordine n +. Se = x < x < < x n = b è un suddivisione dell inervllo e x) è il polinomio di Newon che inerpol fx) nei puni x i nel senso che x i ) = fx i ) per ogni i), llor, per ogni x [, b] esise un puno ξ nell inervllo [, b] le che: fx) = x) + f n+) ξ) n + )! x x ) x x n ) MNIN

4 Inerpolzione spline L inerpolzione polinomile può non essere conveniene per vri moivi. Il primo è che per un lung serie di di il polinomio risul di grdo roppo lo, il secondo è che l inerpolzione non sempre è soddisfcene. Un modo spesso più efficiene e perciò mggiormene diffuso per inerpolre un serie di di consise nell usre un funzione defini pezzi i cui pezzi sino polinomi di grdo bsso. Ques inerpolzione si dice spline dl nome inglese delle bcchee di legno flessibile use per l inerpolzione meccnic di un serie di di). Si bbi l soli serie di di d inerpolre: escriveremo re ipi di inerpolzione spline. fx ) = y,..., fx n ) = y n con x < < x n Inerpolzione spline linere L più semplice inerpolzione spline è quell medine funzioni lineri. Si può scrivere per ogni i i n) l equzione dell re pssne per i due puni x i, y i ) x i, y i ). L funzione così defini pezzi sugli inervlli [x i, x i ] è evidenemene coninu in [x, x n ] e soddisf le condizioni de. Inerpolzione spline qudric x x x x x 4 x n Scrivimo per ogni i i n) le prbole e cioè le funzioni del ipo y = i + b i x + c i x pssni per i due puni x i, y i ) x i, y i ). Ne esisono per ogni i, quindi n dei n coefficieni sono rbirri. Si può pprofire di queso fo per imporre che le derive prime delle prbole coincidno nei puni x,... x n e quindi l funzione si do di deriv prim. Quese sono n condizioni su n prmeri. Res perno un scel rbirri ed è uso imporre che l prbol dell inervllo [x, x ] degeneri in un re. Si h perno un funzione defini pezzi sugli inervlli [x i, x i ] che è evidenemene coninu e derivbile in [x, x n ] e soddisf i di. L spline qudric non è molo us perché spesso fornisce un risulo slellne e quindi poco soddisfcene. Inerpolzione spline cubic x x x x x 4 x n L più us delle inerpolzioni spline è quell con funzioni polinomili di grdo re in quno consene un clcolo semplice e un pprossimzione più che soddisfcene. Inolre si riesce fre in modo che l funzione si di clsse C. Si scrivono per ogni i i n) le prbole cubiche e cioè le funzioni del ipo y = i + b i x + c i x + d i x pssni per i due puni x i, y i ) x i, y i ). Ne esisono per ogni i i =,..., n), quindi n dei 4n coefficieni sono rbirri. Imponendo che si le derive prime che quelle seconde coincidno nei puni x,... x n si hnno lre n condizioni lineri; rimngono ncor due scele rbirrie ed è uso imporre che l prim e l ulim prbol cubic bbino un flesso rispeivmene in x e in x n spline nurle). vole si dnno due condizioni sulle derive prime in x e in x n spline vincol). Si h perno un funzione defini pezzi sugli inervlli [x i, x i ] che è evidenemene coninu e derivbile due vole in [x, x n ] e soddisf i di. Esise un procedimeno per clcolre in mnier relivmene veloce l spline cubic cui ccenimo brevemene. MNIN

5 4.. INTEROLZIONE 7 L ide bse è quell di fre in modo che le incognie sino solo le derive seconde delle prbole cubiche nei puni x,..., x n. onimo per semplicià di nozione: q = f x ),..., q n = f x n ) Scrivimo l deriv second dell prbol cubic f i x) che congiunge il puno x i, y i ) col puno x i, y i ). È un funzione linere che possimo scrivere così usndo l formul di Lgrnge) in modo d evidenzire i vlori che l deriv second sess ssume nei puni x i : x x i x x i i x) = q i + q i x i x i x i x i f Inegrimo due vole rispeo x e scrivimo opporunmene le due cosni di inegrzione h i e k i oenendo così le f i x): f i x) = q i x x i ) 6x i x i ) + q ix x i ) 6x i x i ) + h ix i x) + k i x x i ) Le due cosni così scrie h i e k i si deerminno imponendo che f i x i ) = y i e che f i x i ) = y i. Svoli i coni si oiene: h i = y i q i x i x i ) x i x i 6 k i = y i q ix i x i ) x i x i 6 Rimngono d deerminre ui i q i. Imponendo che le derive prime coincidno in ui i puni x i i, n) si oiene: yi+ y i x i x i )q i + x i+ x i )q i + x i+ x i )q i+ = 6 + y ) i y i x i+ x i x i x i Quese sono n relzioni lineri r i q i. o che q = q n =, le incognie sono n e l mrice delle n relzioni lineri è ridigonle, per cui l risoluzione del sisem è pricolrmene gevole. Inolre l form delle singole f i x) è pricolrmene d l clcolo con uno schem ipo Ruffini-Hörner. Nel cso pricolrmene frequene in cui gli x i sino in progressione rimeic di rgione d, il sisem nelle incognie q,..., q n è ssocio ll mrice ridigonle simmeric 4d d 6y y + y )/d d 4d d 6y y + y )/d d 4d d 6y y + y 4 )/d... d 4d 6y n y n + y n )/d Il sisem è digonlmene dominne per cui per l su soluzione può essere uso per esempio il meodo di Guss-Seidel. L spline cubic è in un cero senso l miglior funzione di clsse C che inerpoli i di. iù precismene: roposizione Si fx) funzione regolre nell inervllo [, b] con = x, b = x n, le che fx i ) = y i llor l qunià b g x)) dx è minim qulor gx) si l spline cubic nurle. Esempio 4.: Un esempio di cosruzione di inerpolzioni polinomili con splines o lro comporerebbe solo un serie di lunghi clcoli e non srebbe di iuo ll comprensione dei meodi esposi. Ci cconenimo perciò di fornire un grfico elboro l clcolore che illusr vrie MNIN

6 8 inerpolzioni polinomili dell serie di di soo. Nel grfico sono disegni con vri ipo di ro: Lo spline linere che inerpol i di. Lo spline qudrico che inerpol i di il primo ro coincide con quello linere) Lo spline cubico che inerpol i di. Il polinomio di Newon quindi di grdo 4) che inerpol i di. Il polinomio di grdo che pprossim i di i minimi qudri vedi prgrfo successivo). 4 x y pprossimzione i minimi qudri Invece di rovre un polinomio di grdo n che inerpoli n + di, se ne può rovre uno di grdo inferiore che non pssi esmene per i puni di, m se ne discosi per poco nel senso dei minimi qudri. iù precismene non si preende che il polinomio x) di grdo d n soddisfi precismene le eguglinze x ) = y ; x ) = y ; ; x n ) = y n, m ci si cconen che l qunià ) ) ) x ) y + x ) y + + x n ) y n si l minim possibile. Si dimosr che esise unico un polinomio di grdo d < n con ques proprieà ed è deo polinomio che pprossim i di i minimi qudri. Queso modo di pprossimre i di è uso sopruo qundo i di sono fruo di osservzioni sperimenli e quindi soggei probbile errore. ricolrmene noo è il cso in cui il polinomio h grdo, quindi si h l pprossimzione linere i minimi qudri. Ci srebbe molo d dire, m ci cconenimo di riporre l ecnic più semplice per rovrlo nche se non è l più numericmene sbile). Come nel cso di Vndermonde si cerc un polinomio x) = + x + x + + d x d di grdo minore o ugule d. Inroducendo i di si oiene: x ) = y + x + x + + d x d = y x n ) = y n + x n + x n + + d x d n = y n Osservimo che ques vol l mrice dei coefficieni, do che d n, è un mrice rengolre con più righe che colonne e che quindi il sisem x = b è un sisem con più equzioni che incognie MNIN

7 4.. CURVE I BÉZIER E B-SLINE 9 e quindi qusi sicurmene senz soluzioni. L soluzione i minimi qudri è però l unic soluzione del sisem qudro con mrice inveribile T x = T b dove l mrice T è un mrice d d simmeric. Se il polinomio cerco è di grdo, l mrice è e in queso cso l re è l fmos regressione linere spesso us in sisic. 4. Curve di Bézier e B-spline 4.. olinomi di Bézier Se invece di inerpolre o pprossimre i di, voglimo modellre un curv sui di, cosruimo un curv di Bézier. Grosso modo modellre signific deerminre un curv dolce che si inserisc nell poligonle, de poligono di conrollo che inerpol i puni di. Inizimo con le funzioni di Bézier che modellno di del ipo fx ) = y ;... ; fx n ) = y n con x, x, x,... successione di psso cosne; più vni ci svincoleremo d quese resrizioni. olinomio qudrico di Bézier Sino x, x, x re numeri equidisni e y, y, y re numeri qulunque. Chimimo il puno x, y ) e così vi. Esise un e un sol funzione qudric fx) = x + bx + c, il cui grfico è un prbol pssne per e e ngene ll re in e ll re in. In relà sembr srno che esis un prbol che soddisfi 4 condizioni, perché i coefficieni sono solo re, m ciò è dovuo l fo che x è il puno medio r x e x. Se,, sono llinei, l prbol degener in un re. y y y x x x olinomio cubico di Bézier Sino x, x, x, x quro numeri equidisni e y,..., y quro numeri. Esise un e un sol funzione cubic fx) = x + bx + cx + d, pssne per i puni x, y ),..., x, y ) e ngene ll re in e ll re in. L cubic è unic perché i coefficieni sono quro di frone quro condizioni indipendeni e porebbe nche vere un flesso o degenerre in un prbol qudric o in un re. È possibile cosruire llo sesso modo i polinomi di Bézier di grdo n che pssno per n+ puni equidisni nche se non è fcile dre un inerprezione geomeric delle proprieà di quese curve. x x x x x x x x L cosruzione dei polinomi di Bézier viene di solio effeu medine un delle due ecniche segueni: quell nliic i polinomi di Bernsein) o quell grfic l lgorimo di de Cselju). 4.. olinomi di Bézier cosruii medine polinomi di Bernsein Si [, b] un inervllo dell re rele e si n. efinimo i polinomi di Bernsein di grdo n nell inervllo [, b]: efinizione: Gli n + polinomi di Bernsein di grdo n nell inervllo [, b] sono ) n b x) n i x ) i B i x) = i b ) n i =,,..., n MNIN

8 I polinomi di Bernsein di grdo n dipendono dll inervllo [, b] do che: B ) = e B i ) = per i > B i b) = per i < n e B n b) = Essi cosiuiscono un bse per lo spzio polinomi di grdo n, nel senso che ogni lro polinomio di grdo minore o ugule n si può scrivere in modo unico come loro combinzione linere. ricolrmene ineressni sono i polinomi di Bernsein dell inervllo [, ], nche perché gli lri si oengono dilndo quesi ll inervllo [, b]. I polinomi di Bernsein di grdo e di grdo in [, ] sono Grdo : B x) = x) B x) = x)x B x) = x B B B Grdo : B x) = x) B x) = x) x B x) = x)x B x) = x B B B B Osservimo che: B x) + B x) + B x) vle per ogni x) nel cso qudrico. nlogmene: B x) + B x) + B x) + B x) nel cso cubico. Il polinomio di Bézier di grdo n genero di puni x, y ),..., x n, y n ) x i equidisni) è l combinzione linere coefficieni y,..., y n dei polinomi di Bernsein nell inervllo [, b] = [x, x n ] Bezx) = y B x) + + y n B n x) 4.. olinomi di Bézier cosruii medine lgorimo di de Cselju L lgorimo di de Cselju permee di cosruire quni puni si vuole del polinomio di Bézier con un semplice procedimeno grfico che si bs semplicemene sull prmerizzzione segmenri dell re, ovvero quell prmerizzzione ) = + B ) dell re r pssne per due puni e B che fornisce per = e B per =. Comincimo col cso qudrico Si pone il segmeno in corrispondenz biunivoc coll inervllo [, ] in modo che corrispond e, ovvero con l prmerizzzione ) = + ). llo sesso modo nche è poso in corrispondenz con [, ]. Si fiss un numero compreso r e e si considerno sui segmeni e i due puni corrispondeni. Si cosruisce il segmeno che h come esremi quesi due puni chimimolo LM) e lo si pone in corrispondenz biunivoc coll inervllo [, ]. Il puno del segmeno LM corrispondene f pre del polinomio qudrico di Bézier. Fcendo vrire nell inervllo [, ] si oengono ui i puni dell prbol. L M x x x / Esempio 4.4: I due segmeni sono si divisi in 4 pri uguli, ovvero si usno re vlori = /4, /4, /4 compresi r e. I puni sono si chimi,,. I segmeni,, sono posi in corrispondenz con [, ] e sul segmeno viene considero il puno corrispondene = /4, sul segmeno il puno corrispondene = /4, sul segmeno il puno corrispondene = /4. I 5 puni così rovi si ggiungono i due esremi) pprengono l polinomio di Bézier. x x x MNIN

9 4.. CURVE I BÉZIER E B-SLINE roseguimo col cso cubico Come nel cso qudrico, si pongono i segmeni,, in corrispondenz biunivoc coll inervllo [, ] in modo che rispeivmene corrispond, ec. Si fiss un numero compreso r e e si / cercno sui segmeni,, i re puni corrispondeni. Si cosruiscono quindi i due segmeni che x x x x hnno come esremi quesi re puni nell ordine. Come nell second figur si pongono i due segmeni in corrispondenz biunivoc coll inervllo [, ]. queso puno si prosegue come per l lgorimo di de Cselju nel cso qudrico, cercndo sui due segmeni i puni corrispondeni e congiungendoli con un segmeno che v poso in corrispondenz biuni- voc con [, ]. In corrispondenz di queso si h il puno dell cubic di Bézier. Esempio 4.5: Si dividono i li del poligono di conrollo in 4 pri uguli, ovvero si usno re vlori = /4, /4, /4 compresi r e. I puni vengono chimi,,. I 6 segmeni,,,,, sono si divisi in 4 pri, m su ciscuno dei due segmeni è so considero il puno corrispondene = /4 e bbimo i due puni di nome. Su ciscuno dei due segmeni è so considero il puno corrispondene = /4 e bbimo i due puni di nome. Su ciscuno dei due segmeni è so considero il puno corrispondene = /4 e bbimo i due puni di nome. queso puno considerimo il secondo disegno idenico l primo, m dove, per chirezz, sono si elimini i segmeni ec. I segmeni,, sono si divisi in 4 pri, m sul segmeno è so considero il puno corrispondene = /4, sul segmeno il puno per = /4 e sul segmeno quello per = /4. I 5 puni così rovi si ggiungono i due esremi) pprengono l polinomio di Bézier. x x x x ' x x x ' ' ' x x x x ' ' ' ' ' ' ' ' x 4..4 Le curve di Bézier Svincolimoci or dll ipoesi che x, x,... x n sino equidisni. Esise egulmene un curv di Bézier che modell i puni, m non si può preendere ch si un semplice funzione polinomile y = + x + + n x n. Occorre lvorre bidimensionlmene ed esprimere l curv in form prmeric. Si può supporre che le funzioni x) e y) sino definie nell inervllo [, ] e si vuole che ssumno in e in i vlori x, x n e y, y n rispeivmene. { x = x) y = y) MNIN

10 queso puno non è più nenche necessrio che gli x i sino ordini né disini, bs che sino disini i puni x i, y i ). Quindi l curv di Bézier, per esempio cubic, vene come poligono di conrollo x, y ), x, y ), x, y ), x, y ) h come rppresenzione prmeric esplici { x) = x B ) +x B ) +x B ) +x B ) y) = y B ) +y B ) +y B ) +y B ) dove i B i ) sono i polinomi di Bernsein cubici nell inervllo [, ]. nche l lgorimo di de Cselju funzion perfemene nel cso generle senz sosnzili vrizioni. y y y y x x x x Qui di seguio lcuni esempi di curve di Bézier cubiche con il loro poligono di conrollo; l qur è ddiriur nod, cos che può cpire se il poligono è inreccio, del reso nche l erz è nod, nche se il nodo cde esernmene ll porzione uile. Ques generlizzzione permee nche di cosruire curve di Bézier nello spzio. Si dovrà ggiungere un erz funzione z), m uo funzion esmene come nel cso plnre. Si eng presene che, menre un curv di Bézier qudric è sempre un rco di prbol e perciò un curv pin gicene nel pino dei re puni del poligono di conrollo, un curv di Bézier cubic può essere un curv sghemb e quindi do di ver orsione ridimensionle se i quro puni del poligono di conrollo non sono complnri Le curve B-spline Se i puni d modellre sono ni non conviene cosruire un curv di Bézier di grdo elevo, m è meglio cosruire diverse curve di Bézier di ordine bsso è il più uso) e rccordrle insieme nel modo migliore possibile. Quese sono le curve B-spline. L eori è ssi vs; ci limiimo i due csi più semplici, le B-spline qudriche uniformi e non uniformi e le B-spline cubiche uniformi e non, vverendo che nche sulle curve non uniformi si possono fre vrizioni di rilievo rispeo ll semplice rzione che segue Le B-spline qudriche L cos più complic è cpire qule uso fre dei di inizili, perché l B-spline modell un serie di puni, senz necessrimene pssre per essi, m rddolcendo il loro ndmeno. Nel cso più elemenre sono ssegni n + puni disini o meglio li che re consecuivi sino disini) che cosiuiscono il cosiddeo poligono di de Boor,, 4,..., n I puni del poligono hnno indici pri. efiniremo or i puni i con i dispri e cosruiremo un B- spline in cui ogni pezzo è un curv qudric di Bézier con poligono di conrollo i, i, i+ il cenrle h indice pri). er cosruire i puni di indice dispri esisono vri crieri. MNIN

11 4.. CURVE I BÉZIER E B-SLINE Cso uniforme Nel cso più semplice porremo: = + = + 4 n = n + n e cosruiremo semplicemene le curve di Bézier con poligono di conrollo i, i, i+ medine i polinomi di Bernsein o l lgorimo di de Cselju. Come vedremo nel cso non uniforme, è possibile prmerizzre u l B-spline medine funzioni che sono pezzi polinomi di Bèzier. L B-spline così cosrui è de B-spline qudric uniforme. L ggeivo uniforme si riferisce l fo che i puni mncni sono presi come puni medi dei segmeni. L B-spline è coninu e di clsse C per cosruzione. ue osservzioni: 4 5 rim Bézier Second Bézier Terz Bézier = n ) m Bézier n n n n - L B-spline qudric h un conrollo semi-locle dei puni diversmene dlle spline qudriche inrodoe nel prgrfo sull inerpolzione, nel senso che cmbindo uno dei i subiscono vrizioni solo due pezzi di Bèzier dell curv e non l iner curv. - L curv non pss per i puni inizili dell spezz. Se si vuole oenere queso, si può gire in due modi: o, come fnno lcuni, fcendo semplicemene coincidere con e n con n e definendo ui gli lri puni come sopr) oppure medine l uso di opporune successioni nodli come vedimo nel seguio. Cso non uniforme e successioni nodli 4 5 Invece di prendere i puni medi dei segmeni ec., si possono prendere lri puni più o meno disni dgli esremi ed vere un curv più o meno derene l poligono di de Boor e quindi più d cere esigenze. Si eng presene che cmbindo un puno si cmbino solo due curve di Bézier dell B-spline, e si mniene quindi un conrollo semi-locle su u l curv. oremmo semplicemene dire qule puno prendimo su ogni segmeno, m conviene inrodurre le successioni nodli, perché più uili per il seguio e indispensbili, come vedremo, nel cso delle B-spline cubiche. Supponimo di vere il poligono di de Boor,,..., n cosiuio d n + puni. Si chim successione nodle un successione non decrescene di n + numeri posiivi u u u n+. er definire i puni,,... si doper l successione nodle nel seguene modo: = u u ) + u u ) u u = u ) + u u ) 4 u Noimo che, se l successione nodle è psso cosne, per esempio < < < <, si rioiengono gli sessi i del cso uniforme. er illusrre grficmene il funzionmeno dell successione nodle, riporeremo l successione su un righello. ec. u u u MNIN

12 4 I segmeni del poligono di de Boor ndrnno messi in corrispondenz biunivoc con i soosegmeni del righello nel seguene modo: Il segmeno con l porzione [u, u ] del righello, il segmeno 4 con l porzione [u, ] del righello e così vi. nliicmene ciò equivle prmerizzre l re nel seguene modo u u u u u u u 4 u u u u ) = + u u u ) Ques prmerizzzione di f oenere per = u e per = u. Su 4 si oiene in modo nlogo per = u e 4 per = e così vi per gli lri segmeni i i+. Il segmeno viene d vere un puno inermedio corrispondene u, il segmeno 4 un puno inermedio cosrrispondene u ec. Quesi puni, come si vede in figur, sono i puni,,... e ciò chirisce il significo geomerico delle formule sopr che definiscono i i dispri. L B-spline vri cmbindo l successione nodle. L vrizione di un elemeno dell successione nodle h effeo solo su re curve di Bézier dell curv un o due se simo gli esremi). Se u = u, llor = e l curv pss per il primo puno del poligono. In generle però è bene che nell successione nodle non ci sino coincidenze fuori dgli esremi perché quese cusno puni ngolosi nell B-spline e comunque u i roppo rvvicini cusno bruschi cmbimeni di curvur. L lgorimo di e Cselju nel cso qudrico non uniforme L successione nodle funge nche d prmero per l prmerizzzione dell curv risulne nel senso che ogni puno dell inervllo [u, u n ] escludendo cioè gli esremi) fornisce un puno dell B-spline in modo nlogo ll lgorimo di e Cselju per le Bézier qudriche. er esempio se si sceglie un nell inervllo [u, u ] queso deermin un puno dell prim Bézier dell B-spline nel seguene modo: Si considerno i due puni corrispondeni [u, u ]: uno nel segmeno che è in corrispondenz con [u, u ] e uno nel segmeno 4 che è in corrispondenz con [u, ]. Il segmeno che h come esremi i due puni e che chimimo LM) viene or messo in corrispondenz con l inervllo [u, u ]. In corrispondenz di su LM si deermin un puno dell B-spline. u L u M u u u u 4 u 5 u L M 4 4 u u u Fcendo vrire nell inervllo [u, u ] si oengono ui i puni dell B-spline compres r e, fcendolo vrire in [u, ] si oengono i puni compresi r e 5 e così vi Le B-spline cubiche Le B-spline qudriche dnno risuli bbsnz soddisfceni e, grzie ll flessibilià d dlle successioni nodli, si dno fcilmene mole esigenze. Ciononosne, vengono use molo più spesso le B-spline cubiche, si per l mggiore flessibilià, si per il fo che le prbole sono curve pine. Se si vuole un curv nello spzio non necessrimene gicene su un pino, il rccordo r curve pine nei puni di giunzione può risulre ssi brusco. Le cubiche invece sono curve che possono essere doe di orsione e quindi svilupprsi con coninuià nello spzio. MNIN

13 4.. CURVE I BÉZIER E B-SLINE 5 Nell rzione che segue, i puni del poligono di de Boor non sono necessrimene nel pino e possono quindi vere un erz coordin z. Come di inizili sono ssegni i segueni n + puni disini o meglio li che re consecuivi sino disini) che cosiuiscono il poligono di de Boor. d, d, d,..., d n, d n Cosruiremo un B-spline cosiui d n curve cubiche di Bézier ognun delle quli h un poligono di conrollo, B, C, col secondo e erzo puno siui sui segmeni d i d i+. I puni dei poligoni di conrollo ndrnno sceli con cuel se si vuole fre in modo che l B-spline risulne si di clsse C. Queso rende l cosruzione più compless che nel cso qudrico. Cso uniforme d Second Bézier Nel cso più semplice divideremo i segmeni d i d i+ in re pri uguli. oi considereremo i segmeni che hnno esremi due puni consecu- rim Terz ivi delle divisioni e li divideremo Bézier Bézier d 4 in due pri uguli. L B-spline srà cosiui dlle d curve di Bézier cubiche che hnno come puni di conrollo quesi. L figur dovrebbe chirire quli sono i poligoni di d d 5 conrollo. L curv così cosrui è de B-spline cubic uniforme. L ggeivo uniforme si riferisce l fo che i puni dei poligoni di conrollo sono presi con suddivisioni uniformi dei segmeni del poligono di de Boor. L B-spline è coninu e di clsse C per cosruzione. Si può dimosrre che, se i puni i sono cosruii come sopr, e cioè dividendo in re e in due pri uguli, è nche di clsse C. Osservimo che l curv non pss per nessuno dei puni del poligono di de Boor ed è nche lonn dgli esremi. Esise un cosruzione lerniv che consene di fr pssre l curv per gli esremi del poligono, mnenendo l clsse C. Ques cosruzione privilegi gli esremi del poligono, quindi è bene chimre il poligono, d, d,..., d n, d n, n Il primo lo d d viene diviso in due pri e non in re e così pure l ulimo. I puni esremi e n fnno pre del poligono di conrollo delle Bézier esreme. er il reso uo è come nel cso sopr. L figur dovrebbe chirire l cosruzione. Cso non uniforme d rim Bézier d d d Second Bézier Terz Bézier n Ulim Bézier Invece di dividere i segmeni d i d i+ in re pri e i segmeni inermedi in due, si possono fre lre scele e oenere un modellzione divers con un conrollo semi-locle. Si eng però presene che scele csuli dell suddivisione dei vri segmeni possono fr sì che l B-spline risulne non si più di clsse C e le curve non di clsse C, pur non vendo spigoli, d d 4 MNIN

14 6 risulno spesso sgrdevoli per il fo che il rggio di curvur dell curv vri bruscmene nei puni di giunzione e, nel cso di curve spzili, cmbi di colpo il pino osculore. Queso viene evio dll uso di un successione nodle che consene di effeure modifiche mnenendo l clsse C. Se il poligono di de Boor è d,..., d n, l successione nodle è un successione non decrescene di n + numeri posiivi u u u n+. efiniremo quindi i puni di conrollo delle Bézier cubiche usndo gli u i. L cosruzione è noevolmene più compless che nel cso qudrico. L illusreremo medine un semplice poligono di de Boor di quro verici. I quro verici per pricià srnno denoi, B, C, nziché d, d, d, d Come nel cso qudrico useremo un righello che ripori l successione u, u,..., u 5. e che useremo per prmerizzre i re li. B C rmerizzimo: il segmeno B medine [u, ] il segmeno BC medine [u, ] il segmeno C medine [u, u 5 ] B u C u u u u u u u 5 u u u 5 B u u C u M N u u Or considerimo i puni dei li B, BC, C oenui per u e esclusi quelli esremi). bbimo 4 puni che chimimo L, M, N, come nell prim figur soo. nliicmene L = u ) + u u )B M = u )B + u u )C ec. u u Considerimo i due segmeni LM, N che vnno prmerizzi rispeivmene medine l inervllo [u, ] e l inervllo [u, ] come nell second figur soo. u u B B C M u N B C C u5 u L u u u L u u5 N L M B C B C B C B C u u u u 5 u u u u 5 Fissimo l enzione sul puno oenuo su LM per = u e su quello oenuo su N per = second figur sopr). MNIN

15 4.. CURVE I BÉZIER E B-SLINE 7 Or è possibile, come nel cso qudrico cosruire l curv di Bézier che h come poligono di conrollo i puni segni nell figur lo. Osservimo solo che, se l successione nodle è psso cosne, si rioiene il cso uniforme, con suddivisione dei re segmeni B, BC, C in re pri uguli e dei due segmeni LM, N in due pri uguli. Nell figur ccno vedimo queso procedimeno poro vni per un poligono di 6 verici BCEF e quindi con un successione nodle di 8 numeri u,..., u 7. L B-spline conseguene è cosiui d re curve di Bèzier. Sono in evidenz i due puni di giunzione delle re curve. L B N C Q M B S E L C R B L u B M M N N C u Bézier C u Bézier T E F F Bézier u 6 T u 5 u 5 E Q R S u u u u 5 u 6 u 7 er concludere vedimo un esempio con poligono di de Boor di 5 verici e un successione nodle u,..., u 6 in cui u = u = u. Queso f sì che l curv pssi per il primo puno del poligono di de Boor. er il reso bbimo scelo che l successione nodle si di psso cosne. Fondmenlmene si rirov l cosruzione lerniv del cso uniforme ceh permee di fr pssre l B- spline per il primo verice del poligono. u =u =u u =u u u Bézier Bézier u =u u =u =u u 5 u 5 u 6 L lgorimo di e Cselju per le B-spline cubiche non uniformi Invece di cosruire le curve di Bézier di i loro poligoni di conrollo, può essere più conveniene prmerizzre l curv, come nel cso qudrico. Riprendimo quindi il cso del poligono BC dl momeno in cui sono si rovi i puni L, M, N,. rmerizzeremo l curv con un prmero che vri nell inervllo [u, ] dell successione nodle. Sceglimo [u, ] e riporimolo su ui i segmeni che sono si posi in corrispondenz con queso inervllo. Ci sono 5 inervlli [u, ], quindi fissimo l enzione sui 5 puni corrispondeni. I re puni su B, su LM e su BC risulno llinei e così pure i re su BC, su N e su C. Queso è conseguenz di un fmoso eorem geomerico, noo come Teorem di Menelo. MNIN

16 8 B u C M N u u u u u u L N L M B C B C u u u u 5 Considerimo dunque le due ree e ponimole in corrispondenz rispeivmene con gli inervlli [u, ] e [u, ] dell successione nodle. Sempre medine il eorem di Menelo, si può dimosrre che i puni inermedi per ques prmerizzzione degli inervlli sono proprio quelli che corrispondono rispeivmene u e. Su quesi segmeni individuimo ncor un vol il puno compreso r u e er concludere considerimo l ulimo segmeno che h come esremi i due puni e ponimolo in corrispondenz con l inervllo [u, ]. Su queso segmeno individuimo il puno compreso r u e. Queso è finlmene un puno dell B-spline. u B u u u C u B C B u u u u C 4..8 Cenno sulle curve di Bézier rzionli Le B-spline cubiche così definie degenerno corremene in ree o in prbole se i puni del poligono sono disposi in mnier pricolre, per esempio se sono llinei, m non possono mi rppresenre corremene un rco di circonferenz o di ellisse per il semplice moivo che né circonferenze, né ellissi mmeono un prmerizzzione medine funzioni polinomili, menre le prmerizzzioni delle curve di Bézier sono polinomili essendo combinzione linere di polinomi di Bernsein. Ques è l rgione per cui spesso vengono uilizze le curve B-spline rzionli che sono pezzi curve di Bézier rzionli. ccennimo brevemene quese ulime. er definire un curv di Bézier rzionle di ordine n occorrono un poligono,,..., n e un successione di numeri posiivi w,... w n dei pesi. L curv h rppresenzione prmeric ) = w B ) + + w n n B n x) w B ) + + w n B n x) dove i B i sono i polinomi di Bernsein di ordine n. Osservimo che, per le proprieà dei polinomi di Bernsein, il denominore vle se ui i pesi sono, per cui in queso cso si oiene l soli curv di Bézier. ssegnndo opporunmene i pesi si riesce fre derire più o meno l curv i verici del poligono oenendo spesso risuli più flessibili di quelli delle curve di Bézier semplici e riuscendo per esempio descrivere rchi di coniche diversi dlle prbole nel cso di curve di Bézier qudriche. Senz enrre nei degli mosrimo due esempi. MNIN

17 5.. INTEGRZIONE E EQUZIONI IFFERENZILI 9 Sul poligono sono se cosruie le curve di Bézier qudriche rzionli con pesi [ ] [ ] [ 4 ] rispeivmene. L prim è l più disne d ed è l curv di Bézier normle quindi un prbol), l second è l medin ed è precismene un quro di ellisse inserio nel poligono di conrollo, l erz derisce l puno cenrle del poligono di conrollo ed è un porzione di iperbole. L curv con pesi [ ] coincide con quell di pesi [ ] nche se con divers prmerizzzione. Sul poligono sono se cosruie le curve di Bézier cubiche rzionli con pesi [ ] [ ] [ 5 ] rispeivmene. L prim è l medin ed è l cubic di Bézier normle. L second è l più bss ed è un rco di ellisse, l erz derisce l secondo puno del poligono di conrollo. 5. Inegrzione ed equzioni differenzili È un cpiolo ssi vso dell nlisi numeric, nche perché le equzioni differenzili sono uno srumeno essenzile in molissime quesioni. Ci limiimo i csi più semplici illusrndo ecniche che comunque sono bbsnz niche, nche se il loro sudio h ricevuo enorme impulso con l vveno del clcolo uomico. Il problem è che di rro è possibile risolvere le equzioni differenzili in modo eso e quindi i meodi numerici sono qusi sempre indispensbili. 5.. Richimi sugli inegrli Il più semplice problem differenzile è il seguene: un funzione f) defini in un puno e in un suo inorno desro, sinisro o comprendene ), e un numero y, deerminre un funzione y) defini in un inervllo comprendene il numero le che y = f) y ) = y L funzione y) è de primiiv di f). Come è ben noo, il eorem fondmenle del clcolo inegrle fornisce l soluzione del problem: roposizione Se f) è inegrbile in un inorno di, llor y) = y + f)d Il problem è quindi quello di clcolre l inegrle. Se l primiiv y) è ricvbile medine le noe ecniche di inegrzione indefini, llor l proposizione fornisce semplicemene l no formul f)d = y) y ) È noo che in moli csi y) non è clcolbile elemenrmene. In lri csi lo è, m l su espressione è comunque compless, per cui ci proponimo di ricvre degli lgorimi numerici per il clcolo dell inegrle definio. 5.. Inegrzione numeric: formule di Newon-Coes Voglimo clcolre numericmene l inegrle definio b f)d dove f) è un funzione coninu nell inervllo [, b] m bserebbe coninu ri e limi). MNIN

18 4 L ide bse è sempre quell di sosiuire f) con un polinomio di grdo n pssne per n + puni dell inervllo [, b] e quindi di usre l primiiv del polinomio che è clcolbile elemenrmene, vverendo che, in genere, non è necessrio esplicire il polinomio per clcolre l re soes. second del grdo uso e del crierio di scel dei puni si possono vere numerosissimi meodi di inegrzione numeric. Se r gli n + puni ci sono gli esremi si prl di meodo chiuso. Se gli n + puni sono sceli dividendo l inervllo in pri uguli, le formule ricve sono dee formule di qudrur di Newon-Coes. Ci limieremo ques ulimo cso ed esmineremo in deglio i csi n =,,. Meodo del rengolo o di Cuchy) n = ) Il polinomio h grdo è cioè un cosne, quindi v scelo un solo puno dell inervllo, per esempio il puno. Quindi f) è sosiui dll funzione cosne y = f) e noorimene b f)d = f)b ) re del rengolo). Benché il meodo si grossolno e bnle, vedremo poi l su conropre nel cso di un equzione differenzile qulunque. Osservimo solo che, se invece di scegliere il puno si sceglie il puno medio dell inervllo + b)/, si oiene un formul ssi simile ll successiv e in moli csi più precis. Meodo del rpezio o di Bézou) n = ) Il polinomio h grdo e h come grfico un re, quindi vnno sceli due puni dell inervllo che, nel cso chiuso di Newon-Coes sono i due puni, b. Quindi f) è sosiui dll funzione che rppresen l re pssne per i puni, f)) e b, fb)). L inegrle di ques funzione f) + fb) è l re del rpezio in figur che vle b ) Meodo di Cvlieri-Simpson n = ) Il polinomio h grdo e h come grfico un prbol, quindi vnno sceli re puni dell inervllo, che, nel cso chiuso di Newon-Coes sono, +b, b. Quindi f) è sosiui dll funzione che rppresen l prbol p) pssne per re puni. Un cono non difficile nche se lborioso b mosr che p)d = b ) ) + b f) + 4f + fb) 6 che è l clssic formul di Cvlieri-Simpson. ccennimo un semplice cosruzione dell formul di Cvlieri-Simpson: l re soes dll prbol è l differenz o l somm se l prbol h concvià verso il bsso) dell re f) + fb) del rpezio b ) e dell re del seore prbolico che come è noo è )) f) + fb) + b b ) f. qui con un semplice clcolo l formul. f f) + fb) È possibile ricvre formule nloghe per n > e per lre scele dei puni per i quli pss il polinomio, m normlmene non ci si spinge olre il grdo due. Rilevimo solo che in diversi csi meodi peri e con scel non uniforme dei puni possono essere più convenieni dei meodi chiusi ipo Newon-Coes. +b +b +b +b b b b b MNIN

19 5.. INTEGRZIONE E EQUZIONI IFFERENZILI Meodi generli di Cuchy, Bézou, Cvlieri-Simpson Non essendo convenieni le formule di Newon-Coes per n >, l prssi usule consise nel suddividere l inervllo [, b] in ni sooinervlli in ciscuno dei quli viene pplico uno dei re meodi esposi, enendo presene che, se = x, x,..., x n = b è un suddivisione dell inervllo, si h b f)d = x x f)d + x x f)d + + xn x n f)d Supponimo che l divisione dell inervllo si uniforme e ponimo h = x i+ x i. Nei re meodi cii Cuchy, Bézou, Cvlieri-Simpson) le formule divenno: n = Medine il primo meodo, come inegrle di f) si oiene proprio l inegrle definio medine l definizione originle di Cuchy, cioè, come somm delle ree di plurirengoli. b f)d n n fx i ) x i+ x i ) = h fx i ) i= i= Nell definizione di inegrle più spesso us, quell di Riemnn, il puno in cui si clcol f non è il primo puno di ogni inervllo, m un qulunque puno ξ i inerno ll inervllo [x i, x i+ ]. n = Medine il meodo dei rpezi, l inegrle pprossimo di f) si oiene come somm delle ree di rpezi. In pric si inegr lo spline linere di f). b n fx i ) + fx i+ ) f)d x i+ x i ) = = h i= ) fx ) + fx ) + + fx n ) + fx n ) n = Medine il meodo di Cvlieri-Simpson l inegrle pprossimo di f) si oiene come somm delle ree soese d prbole. L funzione form d prbole è coninu, m non è lo spline qudrico dell funzione nei puni x i, si perché vengono uilizzi nche i puni medi, si perché non è deo si do di deriv prim. b f)d h = h 6 n i= 6 fx ) + 4f fx i ) + 4f x + x xi + x i+ ) + fx ) + 4f ) ) + fx i+ ) = x + x 5..4 L errore nelle formule di inegrzione numeric ) ) + + fx n ) + fx n ) Nurlmene è imporne spere quno il vlore clcolo con le formule nimeriche si discosi dl vero vlore dell inegrle. È possibile dre un vluzione dell errore commesso solo nel cso in cui l funzione f) preseni un cer regolrià. Senz ddenrrci nei pricolri, ci limiimo fornire le vluzioni per le formule di Bèzou e Cvlieri-Simpson. MNIN

20 4 L errore nelle formule di Bèzou Nel cso semplice, cioè di un solo rpezio nell inervllo [, b], si dimosr che: Se f) è do di deriv second coninu, esise un puno ξ dell inervllo, b) le che l errore è in modulo ugule b ) f ξ) Nel cso generle di suddivisione dell inervllo in sooinervlli di mpiezz h, esise un puno ξ dell inervllo, b) le che l errore è in modulo ugule b ) h f ξ) Quindi è possibile mggiorre l errore se è possibile mggiorre l deriv second di f) nell inervllo, b) e si può render piccolo quno si vuole l errore diminuendo l mpiezz h dei sooinervlli. L errore ende zero l endere zero di h con ordine di infiniesimo pri. L errore nelle formule di Cvlieri-Simpson Nel cso semplice, cioè di un sol prbol nell inervllo [, b], si dimosr che: Se f) è do di deriv qur coninu, esise un puno ξ dell inervllo, b) le che l errore è in modulo ugule b ) 5 88 f IV ) ξ) Nel cso generle di suddivisione dell inervllo in sooinervlli di mpiezz h, esise un puno ξ dell inervllo, b) le che l errore è in modulo ugule b ) h 4 f IV ) ξ) 8 È quindi possibile mggiorre l errore se è possibile mggiorre l deriv qur di f) nell inervllo, b) e si può render piccolo quno si vuole l errore diminuendo l mpiezz h dei sooinervlli. L errore ende zero l endere zero di h con ordine di infiniesimo pri 4. Un osservzione: lcuni esi dnno formule di Cvlieri-Simpson e mggiorzioni differeni, m solo perché considerno come mpiezz h, non quell degli inervlli [x i x i+ ], m l loro meà, viso che l funzione v clcol nche nei puni medi. 5. Equzioni differenzili 5.. Richimi sul problem di Cuchy Il clssico problem differenzile di Cuchy si può enuncire così: eerminre un funzione y) defini in un inervllo comprendene il numero le che y = f, y) y ) = y L differenz col problem dell inegrzione s nel fo che f è un funzione di due vribili e dipende nche dll funzione y, nziché solo d. Esisono vrie condizioni sufficieni sull funzione f, y) che ssicurno l esisenz e unicià di un soluzione del problem. Un delle più semplici è l seguene nche se in relà spesso bsno condizioni ssi meno resriive). roposizione 4 Se f, y) è coninu in un dominio rengolre = {[, b ] [y, y b ]} con, b ) e y y, y b ) e inolre nche l funzione f/ y esise ed è coninu e quindi limi in, llor y) esise ed è unic in un inorno di. Se f è un funzione elemenre, in lcuni csi specili esisono vrie ecniche vribili seprbili ec.) per deerminre esplicimene y). Ci occuperemo invece del cso in cui y non si deerminbile esplicimene o comunque l su espressione si compless. In quesi csi l soluzione v clcol in modo pprossimo medine ecniche numeriche. MNIN

21 5.. EQUZIONI IFFERENZILI 4 Osservimo innnziuo che il problem di Cuchy y = f, y) senz l condizione inizile su y ), se h soluzione, ne h in generle infinie che cosiuiscono un fmigli di funzioni pssni per ognun delle coppie i, y i ) di puni inerni l dominio. L osservzione è fondmenle perché l soluzione r che roveremo srà in qulche modo un medizione r mole di quese soluzioni. y Esise un funzione y) pssne per, y ) e le r y che f, y ) si il coefficiene ngolre dell re r r e nlogmene esise un funzione y) pssne per y, y ) e le che f, y ) si il coefficiene ngolre dell re r e così pure per, y ) 5.. Il meodo di Eulero Il meodo più semplice è quello di Eulero che è nche ll bse di meodi più rffini. Si fiss un psso h che può nche essere negivo) e quindi si considerno diversi puni prire d : = + h = + h... L equzione differenzile ci fornisce il coefficiene ngolre dell soluzione in che è y ) = f, y ). L ide è quindi di sosiuire l soluzione y) con l re pssne per, y ) di coefficiene ngolre f, y ) che chimimo m e che h quindi equzione y = y + m ) Queso nell inervllo,. er spere come è f l funzione negli inervlli successivi clcolimo l funzione linere in : y = y ) = y +m ), quindi nell inervllo [, ] considereremo un lr re, quell pssne per, y ) con coefficiene ngolre m = f, y ). y y y coeff. ngolre m coeff. ngolre m soluzione con y ) = y soluzione Si bdi che comunque il puno, y ) in generle non ppriene ll soluzione del problem originle, m l grfico di un lr funzione dell fmigli dell equzione differenzile. Mn mno che l lgorimo prosegue è possibile che ci si llonni sempre di più dll soluzione del problem originle. Osservimo che se il problem di Cuchy è semplicemene {y = f) ; y ) = y } l soluzione forni dl meodo di Eulero è il meodo di Cuchy per gli inegrli definii con l suddivisione,, Il meodo di Eulero qudrico Il meodo di Eulero consise in pric nel sosiuire y) l su linerizzzione, ovvero il suo sviluppo di Tylor rreso l primo ordine in che è fornio diremene dll funzione f, y). qui nsce l ide di sosiuire y) il suo sviluppo di Tylor rreso un ordine superiore, per esempio due. Esplicimene, se y ) = fy, ), llor, usndo noe formule di derivzione delle funzioni compose, l su deriv second è esprimibile in funzione delle derive przili di f ovvero si h y ) = df d, y ) = f + f y y = f + f y f. Quindi l funzione qudric che rppresen il primo psso del meodo di Eulero qudrico è y = y + f, y ) ) + ) f, y ) + f y, y ) f, y ) ) MNIN

22 44 i qui è possibile ricvre per = il prossimo puno, y ) d cui ricomincire l lgorimo. In pric comunque il meodo è scrsmene uso perché il clcolo delle derive przili può porre formule ssi complesse e vengono preferii meodi che fnno uso di ree come quelli esposi di seguio I meodi di Eulero generlizzi L ide bse dei meodi esposi qui di seguio è quell di sosiuire l linerizzzione semplice di y) con un funzione ugulmene linere che eng però già cono del compormeno dell funzione nei puni successivi, cioè ed evenuli lri precedeni o successivi. In generle prendo dll formul elemenre di Eulero m y = y + f, y ) ) si scelgono due numeri posiivi c, c li che c +c = e l formul viene così modific ) y = y + ) c f, y ) + c f, y ) y m y pendenz medi soluzione Quindi l funzione linere h un pendenz medi r quell no in e quell clcol in dopo il primo psso del meodo di Eulero. Vri ccorgimeni suggeriscono i pesi c e c d usre. y m 5..5 Il meodo di Heun Si r del meodo di Eulero generlizzo in cui c = c = /. Quindi, come sopr ) f, y ) + f, y ) y = y + f, y ) ) y = y + ) Quindi l lgorimo procede con l coppi, y ). Si noi che l pendenz dell re è l medi delle due pendenze clcole in e in, m l nuov re non è l biserice delle due. Osservimo ncor che se il problem di Cuchy è semplicemene {y = f) ; y ) = y } l soluzione forni dl meodo di Heun è il meodo di Bézou per gli inegrli definii con l suddivisione,, Il meodo di Eulero modifico L formul di Eulero può essere uleriormene generlizz in queso modo y = y + ) c f, y ) + c f ) ) + h, y + b h f, y ) con c + c = e c = / ; bc = /. Quindi si h un medi pes r l pendenz clcol in e quell clcol in qulche puno compreso r e. I prmeri c, c,, b sono ui d scegliere con vri crieri suggerii dll esperienz. Il cosideo meodo di Eulero modifico us l formul precedene semplicemene con c = ; c = e = b = / y = y + )f + h, y + h ) f, y ) Quindi per deerminre l nuov coppi, y ) si f uso del vlore di f, y) clcolo nel puno medio r e. MNIN

23 5.. EQUZIONI IFFERENZILI Il meodo di Runge-Ku Esisono diversi meodi dei di Runge-Ku che fnno uso di vrie medie delle pendenze in, e in puni inermedi. Quello illusro di seguio è il meodo clssico di Runge-Ku di ordine 4. Si f uso del puno medio r i primi due puni dell suddivisione m = +. Si inizi come nel meodo di Eulero con l re pssne per, y ) di coefficiene ngolre m = f, y ). L re è y = y + m ). Si rov il puno y in cui l re h sciss m, ovvero m y = y + m m ). Si clcol il vlore di f, y) nel puno m, y), quindi si pone m = f m, y). Si prosegue con l re pssne per, y ) ques vol di coefficiene ngolre m. L re è y = y + m ). Si rov il puno y in cui l re h sciss m ovvero y = y + m m ). Si clcol il vlore di f, y) nel puno m, y) quindi si pone m = f m, y). y y y m soluzione m ncor un vol si consider l re pssne per, y ), m con coefficiene ngolre m, cioè l re y y = y + m ) Ques ulim vol si rov il puno y in cui l re m h sciss non m ), ovvero y = y + m ). Si clcol il vlore di f, y) nel puno, y) quindi si pone m = f, y). Si osservi che sono si clcoli i numeri m i in quro diverse funzioni dell fmigli di soluzioni dell equzione differenzile y = f, y). Si definisce come primo psso del meodo di Runge-Ku l re di equzione y = y + m + m + m + m ) 6 e il primo vlore dell soluzione pprossim dell equzione differenzile srà y = y + m + m + m + m ) 6 opodiché si clcolerà y in llo sesso modo, usndo il puno inermedio r e. er erminre osservimo ncor che se il problem di Cuchy è semplicemene il problem inegrle {y = f) ; y ) = y }, l soluzione forni dl meodo di Runge-Ku è il meodo di Cvlieri-Simpson per gli inegrli definii con l suddivisione,,..., di cui Runge-Ku clssico può essere quindi considero un generlizzzione. m m m MNIN