Teorema del Limite Centrale

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1 Teorema del Limite Centrale Una combinazione lineare W = a 1 X + a Y + a 3 Z +., di variabili aleatorie indipendenti X,Y,Z, ciacuna avente una legge di ditribuzione qualiai ma con valori attei comparabili e varianze finite dello teo ordine di grandezza, all aumentare del numero delle variabili aleatorie tende ad alla ditribuzione normale/gauiana con valore atteo e varianza ripettivamente pari a: a a 1 a 1 y a y a... 3 z a 3 z... Nota: Il cao di più miure della tea quantità fatte da diveri perimentatori cade perfettamente nelle ipotei del teorema. La definizione della deviazione dalla media m = /N 1/ è dimotrabile attravero il teorema del limite centrale

2 Nella maggioranza dei cai (ma non in tutti) facendo un itogramma delle miure acquiite i ottiene una curva a campana detta normale o Gauiana. G,, G,, d Ditribuzione Gauiana o Normale 1 e 1 1 = Valor Medio (vedi proimo lucido) = deviazione tandard (vedi proimo lucido) Si puo dimotrare che l itogramma ha una forma Gauiana quando tutte le orgenti di incertezza hanno un contributo molto piccolo e cauale Eitono tuttavia altre curve che incontreremo nel coro, come ad eempio la Binomiale o la Poioniana Poiche la Gauiana è immetrica attorno al valore medio allora Media = Mediana = Moda

3 Teoremi Nel cao di un numero N finito di miure, ripetibili ed indipendenti, che poano eere decritte da una ditribuzione gauiana allora 1- La migliore tima del parametro è la media G 1,, e 1 1 N N i1 i La migliore tima del parametro è la deviazione tandard del campione N i1 ( i ) N 1 3 L incertezza relativa ul valore di è data da incertezza ul valore di come tima di ( N 1)

4 Incertezza ul valore della Numero Miure

5 Ditribuzione Gauiana o Normale Nell ipotei che i dati miurati i ditribuicano eguendo una curva Gauiana è poibile dare una definizione più quantitativa della deviazione tandard Il 68% delle miure cadrà all interno dell intervallo ; Il 95% delle miure cadrà all interno dell intervallo 1.96 ; il 99.7% delle miure cadrà all interno dell intervallo 3 ; 3

6 Perche il 68% o il 95%? Data una gauiana normalizzata Allora 1,, 1,, 1 d G e G ,, 0.95,, 0.68,, d G d G d G

7 Ditribuzione Gauiana o Normale Queta proprietà è vera ecluivamente per una ditribuzione Gauiana. Per altre ditribuzioni potranno valere, cao per cao, percentuali differenti Per eempio 1 - Poioniana con valor medio <> = 8 e =.8 In un intervallo di più o meno una deviazione tandard cadono il 6% dei conteggi - Poioniana con valor medio <> = 10 e = 3. In un intervallo di più o meno una deviazione tandard cadono il 73% dei conteggi 3 - Poioniana con valor medio <> = 5 e =. In un intervallo di più o meno una deviazione tandard cadono il 74% dei conteggi Nota: Valor medio e deviazione tandard ono definite per un qualiai et di dati, tuttavia olo per il cao della Gauiana è poibile dimotrare il legame con i parametri della ditribuzione tea.

8 Probabilità Integrale ERF Funzione degli errori Come ho fatto a calcolare gli integrali di prima? Come poo fare per calcolare l integrale di una gauiana per altri intervalli di integrazione? Oppure.. più in generale? Come faccio a trovare la probabilità che una data miura 0 faccia parte della ditribuzione tatitica Gauiana che ha valor medio bet e? Il punto di partenza è l integrale parametrizzato bet

9 Probabilità Integrale ERF Funzione degli errori Come ho fatto a calcolare gli integrali di prima? Come poo fare per calcolare l integrale di una gauiana per altri intervalli di integrazione? Oppure.. più in generale? Come faccio a trovare la probabilità che una data miura 0 faccia parte della ditribuzione tatitica Gauiana che ha valor medio bet e? Il punto di partenza è l integrale parametrizzato P Nota : bet bet bet bet G ,, d G',,0 ' - t t bet bet d' t t d d' ' dove 0 e t bet bet Non è una uguaglianza matematica ma una equivalenza dopo un cambio di coordinate. Ricordatevi che una tralazione conerva le differenze 0

10 P bet bet 0 G 0,, bet d P t G t,,0 d con t bet 0 P(,, bet ) bet 0 bet 0

11 Sia per eempio t 0.3 P 0.3 G 0.3,,0 d Dobbiamo uare la tabella Quindi P 0.3 G 0.3,,0d Pagina 89 taylor

12 Quindi: Data una miura 0 Data una ditribuzione gauiana con valor medio bet e deviazione tandard Sia t = 0 bet / = 0.3 Allora ho una probabilità pari all area eterna alla gauiana, P G 0.3,,0 d % cioè il 74.9% di probabilità, di trovare una miura uguale o peggiore (cioè più lontana da bet ) di 0. Quindi ho il 74.9% di probabilità che 0 appartenza alla ditribuzione NOTA IMPORTANTE Coa uccede e t=1.96? In queto cao, ho olo il 5% di probabilità di avere una miura uguale o peggiore di 0, quindi 0 è una cattiva miura.

13 0. P(,0, ) t t La probabilità di avere una miura uguale o peggiore di 0 i calcola integrando u tutto l intervallo eterno a partire dal punto in quetione ( 0 ) u entrambi i lati della gauiana

14 Eercizio: Provate a verificare ulle tabelle e è vero che P P P P bet bet bet bet bet bet bet 0 G 0 bet 0 G G,, d G,,0d bet,, d G,,0d bet.58,, d G,,0d G 0 bet ,, d G,,0d bet 0.5

15 Nota importante Nei lucidi precedenti abbiamo definito l oervabile t definita come t bet 0 L oervabile t indica, in queto cao, la ditanza della miura 0 dal valor medio in unità di deviazione tandard Ovviamente il valore dell oervabile t dipende dalla corretta conocenza di bet e della deviazione tandard In una ditribuzione Gauiana, noto il valore dell oervabile t è poibile, in qualiai cao, calcolare la probabilità di avere una miura di valore uguale o maggiore (in modulo) di 0 attravero l uo della proprietà integrale e delle tavole. Nota: La deviazione tandard nella formula di t è quella VERA non quella miurata!

16 Ditribuzione Gauiana Nell ipotei che i dati miurati i ditribuicano eguendo una curva Gauiana è poibile dare un carattere predittivo alla deviazione tandard La proima miura ha il 68 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo La proima miura ha il 95 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo La proima miura ha il 99.7 % di probabilità di cadere all interno dell intervallo ; ; 3 ; 3 La deviazione tandard quindi: E una quantità aociata alla ingola miura E una tima quantitativa della incertezza u una ingola miura E una tima quantitativa della diperione delle ingole miure E una tima della larghezza della ditribuzione di probabilità delle miure NON è una tima dell errore del valor medio ottenuto NON è una tima dell incertezza tatitica preente nel notro valor medio NON dipende dal numero di miure effettuate Che variabile tatitica quantifica l errore/incertezza preente nel valor medio?

17 Deviazione Standard della Media Abbiamo vito precedentemente (e i puo dimotrare con il teorema del limite centrale) che l incertezza a cui è oggetto il valore medio è data dal rapporto della deviazione tandard con la radice quadrata del numero di miure effettuate. Altri nomi della Deviazione Standard della media (SDOM) ono: Errore Standard Errore Standard della Media La Deviazione Standard della media decrece con l aumentare del numero di miure Nell ipotei di: Deviazione tandard della media m Aver effettuato N miure della medeima quantità (miure ripetute ed indipendenti). NON iano preenti errori itematici. C e il 68% di probabilità che il valore vero ia all interno dell intervallo ( bet m ; bet + m ). Il valore bet è etratto atrravero il proceo di media. N Analogamente per il 95% ed il 99.7% di probabilità con 1.96 m e 3 m

18 Per comprendere in maniera intuitiva l origine della deviazione tandard della media Immaginate di avere un numero infinito di dataet compoti ciacuno da N miure di una oervabile fiica. I dati in ciacun dataet i ditribuiranno econdo una data ditribuzione, con un valor medio ed una deviazione tandard Media Dev. Std Media Dev. Std Media Dev. Std Media Dev. Std Media Dev. Std Poo ottenere un numero infinito di valori medi (uno per dataet). Cotruiamo la ditribuzione dei valori medi ottenuti in ciacun dataet. Queta ditribuzione è una Gauiana Queta ditribuzione avrà come valore medio vero Queta ditribuzione avrà come deviazione tandard la deviazione tandard della media di un ingolo dataet

19 Nota importante La deviazione dalla media è uno trumento molto utile per valutare il numero di miure necearie per ottenere un certo errore. P.e. Devo miurare una oervabile, una tima a priori mi dice che dovrei ottenere come valor medio <> ed una deviazione tandard Se volei una incertezza nel valore medio pari all 1% quante miure dovrei fare? N m m 1% N

20 DEFINIZIONI Deviazione Standard La deviazione tandard è una tima dell incertezza ulla ingola miura, in altre parole è una valutazione quantitativa delle fluttuazioni cauali e quindi di come i diperdono le ingole miure attorno al valore medio. In particolare, nella gauiana, eite il 68% di probabilità che una ingola miura ia all interno dell intervallo ( bet ; bet + ) Deviazione Standard della Media m La deviazione tandard della media è una tima dell incertezza ul valor medio, in altre parole è una valutazione quantitativa di quanto (in aenza di errore itematico) bet è lontano da vero. In particolare, eite il 68% di probabilità che vero ia all interno dell intervallo ( bet m ; bet + m )

21 Nota Importante Voglio conocere il valore di una oervabile attravero una operazione di miura. Ipotizzo che i dati i ditribuicano econdo una gauiana attorno al valore medio Effettuo N miure (indipendenti e ripetibili) dell oervabile. Etraggo il valore medio (la migliore tima del valore vero) Etraggo la deviazione tandard del campione (la migliore tima di ) Etraggo la deviazione dalla media (la migliore tima del mio errore) Etraggo il valore dell oervabile t Poo quindi affermare che ho il 68% (t=1) di probabilità che il valore vero ia nell intervallo ( medio ± m ) o il 99.7% (t=3) che il valore vero ia nell intervallo ( medio ± 3 m ) Tuttavia: t bet 0 per etrarre la deviazione dalla media devo uare la deviazione tandard, che tuttavia non conoco ma di cui ho una tima (la deviazione tandard del campione) non neceariamente corretta. Come poo timare l errore della miura e non conoco il valore vero della deviazione tandard? Se il numero di miure N è piccolo poo apettarmi che il valore della deviazione tandard del campione poa eere molto differente dal valore vero della deviazione tandard

22 Il grafico riporta l andamento della deviazione tandard al variare del numero di miure nel cao di un dado equiprobabile. Il valore vero è indicato dalla linea gialla. Oervate che dopo 3-5 tiri la deviazione tandard del campione può eere molto differente dal valore vero della deviazione tandard Per riolvere queto problema biogna tudiare la ditribuzione dell oervabile t

23 La ditribuzione dell oervabile t è tata calcolata da William Sealy Goet, nel 1905 con lo peudonimo di Student e quindi nella toria paata come Student t ditribution ed data dalla relazione: p( t, n ) 1 n G G n 1 n / / t 1 n n 1/ Dove G indica una funzione matematica peciale (vedi pg. 196 del Bevington). Nella formula l oervabile n indica il numero di gradi di libertà (n = N-1 e dal medeimo et di dati i etrae anche il valor medio) e l oervabile t è data dalla relazione t 0 valor medio etrattodai dati deviazione tandard etrattadai dati P((t,n) indica quindi la probabilità di ottenere un determinato t avendo fatto un numero di miure pari a N

24 Nota: La ditribuzione ha code più lunghe ripetto alla Gauiana tandard All aumentare di N la ditribuzione "t" di Student tende alla Gauiana tandard. f(t) gauiana p=0.1 t di Student (n=) n p= t8 Notate che, nel cao di tre miure (n=) la probabilità di ottenere t con una ditribuzione gauiana è più baa (4.6%) che con la ditribuzione t Student 18.3%. Queto andamento è intuitivo poiché non conocendo il valore vero di devo ridurre la predittività della miura Eempio, una probabilità inferiore al 5% (u un dataet di tre miure) la ottengo con dato che dita circa 4.1 dal valore medio (non )

25 La pagina 66 del Bevington (e la tabella che egue) indicano il valore dell integrale della ditribuzione della t di Student nell intervallo da 1 = <> - t a = <> + t fiato il valore dell oervabile t e del numero di gradi di libertà. Facciamo un eempio: Vengono fatte n (numero piccolo, -7) miure e i ottiene un valor medio di 5,88 ed una deviazione della media di 0,31 (Il valore atteo è pari a 6.50) Nel cao di una ditribuzione gauiana il parametro t aume un valore pari a t = (6.50-5,88)/0.31 =, in altre parole il valor medio miurato dita due deviazioni tandard della media miurate dal valore atteo. Se la deviazione tandard miurate foe eattamente quella vera (e quindi anche la deviazione dalla media) potremmo dire che eite il 4.55 % di probabilità che la ditanza tra il valore miurato ed il valore atteo ia dovuto alle fluttuazioni tatitiche la miura, tuttavia, ha dato olo una tima, non neceariamente precia, della deviazione tandard. Lo perimentatore NON conoce il vero valore di Queto è il tipico cao in cui è utile la ditribuzione della t Student

26 Quindi: L oervabile t è una variabile tatitica definita come Dove la deviazione tandard tot indica la deviazione tandard vera, quindi non nota a meno di fare infinite miure, della differenza (<> - 0 ) Come per tutte le variabili tatitiche quindi t arà nota con una certa preciione, queta dipende oprattutto dalla preciione con cui i conoce tot Ogni affermazione tatitica che fa uo della variabile t deve tenere conto del fatto che t può avere una ua incertezza, quindi nel cao della tima della probabilità di una gauiana: Se ho un elevato numero di miure - Poo coniderare miurata praticamente uguale alla vera e quindi uare la probabilità integrale della gauiana -Se ho poche miure - E poibile che la miurata ia differente dalla vera, quindi per tenere conto di queta incertezza non devo uare la probabilità integrale gauiana ma la tabella della t di Student t tot 0

27 La tabella degli integrali della ditribuzione t Student riporta che per t = : La tabella ERF mi dice che P(t=) = 4.6% Gradi di Liberta Numero Miure Probabilità che la differenza dal valor medio ia una fluttuazione tatitica (t=) % % % % % % % % infinite Infinite 4.6 % Notate che per un numero infinito di miure i ottengono gli tei riultati della gauiana Notate che il riultato dipende dal numero di miure Notate che la tabella non entra in gioco nel determinare il valore l errore ma - la compatibilità o meno di miure tra loro o vero un valore atteo - l intervallo di probabilità entro il quale ci apettiamo di avere il valor medio

28 La tabella C.8 pg 66 del Bevington

29 Coa biogna fare quando ho poche miure: Eempio: ho 4 Miure che mi hanno dato un valore medio di 5.3 ed una deviazione tandard della media Voglio verificare la compatibilità di queto riultato con un valore atteo di 4.9. La funzione ERF della gauiana ( t ), poiché cotruita con la deviazione tandard del campione non produce le corrette probabilità Etraggo l oervabile t uando la deviazione tandard miurata t tud = ( )/0.17 =.35 Utilizzando la tabella della t di Student trovo la probabilità aociata alla t ottenuta P(eterna,t tud =.35) = = 0.1 Ricavo la probabilità equivalente a 0.1 = 10% con la funzione ERF gauiana P(gauiana-eterna)= 10% -> t gau = 1.64 Eeguo tutti i ragionamenti di compatibilità come e la t ricavata dai miei dati perimentali foe 1.64 Poiché t gau < allora il dato perimentale è compatibile con il valore atteo Ho il 10% di probabilità che la differenza tra la mia miura e il valore atteo ia di origine tatitica e quindi lo accetto Se non avei uato la ditribuzione di Student avrei concluo che non ci foe compatibilità tra il dato perimentale e quello atteo. La baa tatitica invece rende la miure compatibili

30 GDL t gau e t tud = 1 t gau e t tud = t gau e t tud = 3 ~ 0.80 ~ 1.33 ~ ~ 0.86 ~ 1.48 ~ ~ 0.89 ~ 1.57 ~.06 5 ~ 0.91 ~ 1.64 ~.17 6 ~ 0.9 ~ 1.68 ~.6 8 ~ 0.94 ~ 1.75 ~ ~ 0.95 ~ 1.79 ~.48 1 ~ 0.96 ~ 1.8 ~ ~ 0.97 ~ 1.86 ~.63 0 ~ 0.98 ~ 1.89 ~ ~ 0.99 ~ 1.95 ~.87 Morale: Se avete poche miure (i.e. 4 -> 3 GDL) e volete un riultato ad un C.L. 99.7% (a tre igma gauiane) allora la votra t tud deve eere pari a circa 9.. Quindi l intervallo diventa enorme e poco utile. Per avere riultati a 3 igma gauiane biogna fare molte miure

31 Eercizio: Uno tudente miura l accelerazione di gravità, g, cinque volte con i eguenti riultati 9.90 m/ 9.60 m/ 9.50 m/ 9.70 m/ 9.80 m/ Trovare il valor medio, la deviazione tandard e l errore ulla miura di g. Calcolare con che probabilità la differenza tra il valore miurato e quello atteo poa eere ricondotta ad una fluttuazione tatitica (uate un limite di confidenza del 0%). Fate queto conto uando la proprietà integrale della gauiana e con le correzioni date dalla ditribuzione della t di Student

32 In queto cao l oervabile t = ( )/0.08 = 1.33 Secondo l integrale Gauiano ho una probabilità del ( ) = 18.4 % che la differenza tra la miura ed il valore atteo ia una fluttuazione tatitica. Secondo la ditribuzione di tudent la probabilità è di circa 6.7 % Morale: la miura è compatibile entro un intervallo di confidenza del 0%

33 Eercizio Dopo aver miurato la velocita del uono v molte volte, uno tudente conclude che la deviazione tandard v è pari a 10 m/. Aumendo che tutte le incertezze iano cauali, lo tudente puo raggiungere una preciione deiderata facendo un numero ufficiente di miure e mediando. Quante miure ono necearie per avere un errore ulla velocità del uono pari a 3 m/? Quante miure ono necearie per avere un errore ulla velocità del uono pari a 0.5 m/? / 10 / 3 m m m N m m N / 10 / 0.5 m m m N m m N

34 ESERCIZI Provate a fare gli eercizi 4.15, 4.16, 4.17

35 Attenzione L errore finale u una qualiai quantità non puo eere di molto inferiore alla enibilità trumentale. Altrimenti arebbe poibile raggiungere preciioni NON fiiche emplicemente ripetendo le miure più e più volte indipendentemente dallo trumento utilizzato. Eempio: Vogliamo miurare la lunghezza di un tavolo con un metro a natro con tacche da 1 mm. La enibilità trumentale è di circa 0.5 mm. Eeguendo 9 miure otteniamo un valor medio di 178. mm con una deviazione tandard di 1. mm. La deviazione della media è di 0.4 mm dello teo ordine di grandezza della enibilità trumentale. Non ha il minimo eno fare più miure, tanto l errore ul valor medio non potrà eere ridotto in maniera ignificativa. queto anche e la matematica ci dice che miurando volte potremmo ottenere una preciione di mm (del decimilleimo di millimetro).

36 Eempio: Vogliamo miurare la poizione di una maa appea ad una molla con un enore ad ultrauoni con la enibilità di 0.5 millimetri. A caue di tutte le influenze eterne la maa non è mai ferma ma ocilla leggermente in tutte le direzioni. Quete ocillazioni cauali rendono ovviamente la miura meno precia. Eeguendo 9 miure otteniamo un valor medio di 67. mm con una deviazione tandard di 3. mm. La deviazione della media in queto cao è di 1.1 mm, valore uperiore (più che doppio) alla enibilità trumentale. In queto cao, potrebbe eere utile arrivare a circa 50 miure. In queto modo la deviazione dalla media arebbe 0.45 mm. In queto cao l effetto delle fluttuazioni cauali è dominante ripetto alla enibilità trumentale. Effettuare più miure, quindi, giova per aumentare la preciione della miura.

37 Livello di confidenza Abbiamo vito che nel cao di un numero infinito di miure ripetibili ed indipendenti che i ditribuicano econdo una gauiana il 68 % dei dati perimentali deve cadere all interno di una deviazione tandard. In altre parole abbiamo un livello di confidenza che, eeguendo una miura più volte, nel 68% dei cai il riultato cadrà entro una deviazione tandard. Speo, ma non empre, i ceglie la deviazione tandard, un livello di confidenza del 68%, come riferimento. Ovviamente queto non vale per una ditribuzione poiionana o piatta. Per ditribuzioni non gauiane i fa il vicevera, i dice [ 1, ] al 95% C.L. Queto ignifica che il 95% delle miure cadono nell intervallo [ 1, ] In generale quando la miura è molto più piccola dell errore (eempio 0. ± 1) anche e la ditribuzione è gauiana i ua il livello di confidenza - ad eempio [-11.8, 1.] 68% C.L.

38 E tutto Chiaro? Dovrete aver chiari i eguenti argomenti: Deviazione tandard della media Differenza tra la deviazione tandard e la deviazione tandard dalla media Gauiana Ditribuzione di t di Student Errore minimo Livello di Confidenza

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