UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E AZIENDALI M.FANNO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN ECONOMIA E FINANZA TESI DI LAUREA SONO I DEPOSIT GAMES UN MODELLO POSSIBILE PER FONDI COMUNI DI INVESTIMENTO? RELATORE: CH.MO PROF. BRUNO VISCOLANI LAUREANDA: ROBERTA MANZI MATRICOLA N ANNO ACCADEMICO

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3 Indice Introduzione Deposit games con reinvestimento Introduzione Deposit problems con reinvestimento Cooperazione e deposit games con reinvestimento Deposit games con e senza reinvestimento Due particolari sottoclassi di deposit games Term dependent deposit games Capital dependent deposit games Conclusioni Fondi comuni di investimento Introduzione Classificazione dei fondi comuni Valorizzazione delle quote Il rendimento I costi dell investimento I rischi dell investimento Rimborso dell investimento e distribuzione degli utili Deposit games e fondi comuni di investimento Introduzione Verifica delle ipotesi del modello di Gulick et al. (2010) Caratteristiche del gioco Capital dependent deposit games e fondi comuni di investimento Conclusioni Bibliografia Appendice Giochi cooperativi a utilità trasferibile Giochi di produzione lineare

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5 Introduzione La cooperazione tra individui ha spesso luogo quando questi intravedono l opportunità di trarre benefici dall intraprendere azioni comuni. La teoria dei giochi cooperativi da sempre si occupa di situazioni in cui più soggetti hanno interesse a cooperare sottoscrivendo accordi vincolanti e formando coalizioni allo scopo di massimizzare il payoff congiunto degli aderenti. Utilizzando specifici modelli matematici la teoria dei giochi cooperativi cerca così di trovare soluzioni al problema relativo al come suddividere tra i partecipanti i vantaggi ottenuti dalla cooperazione, soluzioni che siano stabili e che rispondano a determinate caratteristiche di equità. Per primi Borm et al. (2001) e successivamente Gulick et al. (2010) ricorrono alla teoria dei giochi cooperativi per risolvere tale problema allocativo nella situazione in cui più risparmiatori hanno a disposizione capitale da destinare al deposito. La cooperazione tra tali individui, tramite depositi comuni, permette di incrementare il loro ritorno congiunto grazie alle caratteristiche dei depositi, che garantiscono rendimenti più elevati all aumentare della durata e/o dell ammontare di capitale versato, ed inoltre risponde alle esigenze e possibilità di investimento dei risparmiatori. Nella pratica si assiste a tale cooperazione tra investitori nei fondi comuni di investimento, strumenti finanziari nei quali vengono raggruppati capitali di più risparmiatori e investiti collettivamente, come un unico patrimonio di grandi dimensioni, con tutti i vantaggi in termini di possibilità di investimento che altrimenti sarebbero inaccessibili per piccoli investitori privati. In questa tesi si cercherà di verificare l applicabilità del modello di Gulick et al. (2010) alla ripartizione dei profitti dei fondi comuni di investimento tra i sottoscrittori in modo da suggerire una modalità alternativa alla distribuzione proporzionale alle quote, utilizzata attualmente dai gestori, che sia tale per cui nessun partecipante abbia incentivo ad abbandonare il fondo. Nel primo capitolo verrà illustrato il modello dei deposit games di Gulick et al. (2010) in cui essi dimostrano come entrambe le sottoclassi di giochi (i term dependent deposit games e i capital dependent deposit games) hanno core non vuoto. Per questi giochi, cioè, esistono allocazioni tali per cui nessun giocatore ha interesse a staccarsi dalla grande coalizione. Nel secondo capitolo si fornirà un quadro generale dei fondi comuni di investimento, con la descrizione delle principali tipologie e caratteristiche utili al fine dell analisi. 3

6 Nel terzo capitolo si metteranno a confronto i deposit games di Gulick et al. (2010) con il gioco relativo ai fondi comuni di investimento, evidenziando affinità e incongruenze con lo scopo di rispondere al quesito Sono i deposit games un modello possibile per fondi comuni di investimento?. 4

7 1. Deposit games con reinvestimento 1.1. Introduzione Nel corso della loro vita gli individui hanno a disposizione capitale che non destinano al consumo nell immediato futuro. Questo capitale può essere depositato presso una banca al fine di trasferire i redditi nel tempo e, possibilmente, ottenere dei guadagni aggiuntivi. A seconda del tipo di deposito il tasso di rendimento guadagnato su di esso può dipendere dalla quantità di denaro investito, dalla durata del deposito, o da entrambi. Un deposit problem è un problema decisionale in cui un individuo ha a disposizione un certo ammontare di capitale da depositare presso una banca. L obiettivo in termini generali è quello di massimizzare il rendimento del suo investimento. La cooperazione tra gli individui, tramite investimenti comuni, permette di incrementare il loro ritorno congiunto. La necessità di tale cooperazione può sorgere perché, ad esempio, la maggior parte delle banche offre un tasso di interesse più elevato per depositi a più lungo termine. Ciò implica che se un individuo ha a disposizione capitale da investire ora, ma ne necessita nel periodo successivo, mentre l opposto vale per un altro individuo, possono entrambi trarre beneficio dalla cooperazione che permette loro di investire in un deposito a più lungo termine. Una situazione simile si verifica anche quando il tasso di rendimento di un deposito dipende dall ammontare di capitale investito in esso. Sebbene gli individui possano riconoscere i benefici derivanti da una cooperazione nel depositare i propri risparmi, ciò non implica necessariamente che siano anche disposti a partecipare a tale cooperazione. Ciò infatti fa sorgere l ulteriore questione relativa al come allocare i ricavi tra gli individui. Al fine di affrontare questo problema allocativo Gulick et al. (2010) ricorrono alla teoria dei giochi cooperativi. Essi modellano il deposit problem come un gioco cooperativo, chiamato deposit game, ed in particolare indagano circa l esistenza di un allocazione tale per cui tutti i giocatori sono disposti a collaborare e a formare la grande coalizione. Il modello di Gulick et al. (2010) amplia il precedente lavoro sulla cooperazione nei depositi di capitale di Borm et al. (2001). Questi ultimi infatti definiscono un deposito come un ammontare fisso di capitale detenuto presso una banca per un certo periodo di tempo, ed utilizzano una specifica funzione di ricavo che descrive i ricavi di un deposito in un 5

8 determinato periodo, dopo il quale non possono più essere effettuati ulteriori depositi. In particolare, non considerano la possibilità di reinvestire i ricavi intermedi. Nel modello di Gulick et al. (2010) invece si assume possibile il reinvestimento (si parla dunque di deposit games con reinvestimento per distinguerli dai deposit games di Borm et al.), pur continuando però a considerare la medesima forma particolare della funzione di ricavo. Le decisioni degli individui vengono valutate durante un numero finito di periodi di tempo. Ogni deposito porterà ad un ricavo non negativo, condizione giustificata dal fatto che, per la natura dei depositi, è sempre possibile risparmiare privatamente denaro senza costi. Si suppone anche che non ci sia alcun rischio di default coinvolto nei depositi. Considerando coalizioni di individui che depositano denaro congiuntamente, il modello cerca di trovare il core del gioco, ossia le allocazioni per la grande coalizione tali per cui nessuna sottocoalizione abbia incentivo a staccarsi. Gulick et al. (2010) individuano due particolari sottoclassi dei deposit games, le stesse considerate precedentemente anche da Borm et al. (2001). Ciascuna sottoclasse è caratterizzata da specifiche proprietà della funzione di ricavo che riguardano la modalità con la quale il ricavo generato da un deposito dipende dalla durata e dall ammontare di capitale dello stesso. Nella prima sottoclasse, definita term dependent deposit games, il tasso di rendimento di un deposito dipende dalla lunghezza del tempo durante il quale l individuo deposita il capitale, mentre l influenza dell ammontare di capitale è assunta costante. Nella seconda sottoclasse, definita capital dependent deposit games, il tasso di rendimento di un deposito dipende dall ammontare di capitale investito in esso, mentre il deposito nell arco di diversi periodi di tempo non comporta alcun beneficio maggiorato per l investitore. In un ulteriore estensione del modello, Gulick et al. (2010) considerano anche la possibilità per gli individui di avere debito dimostrando come tutti i giochi superadditivi non negativi sono deposit games se si permette ai giocatori di avere debito. Non essendo utile al fine della tesi però tale risultato non verrà preso in considerazione Deposit problems con reinvestimento Si consideri un gruppo di individui, ciascuno dei quali ha a disposizione un certo ammontare di denaro da depositare presso una banca durante τ periodi di tempo. Si definisce deposito un ammontare fisso e positivo di capitale c che si trova presso una banca durante un 6

9 numero consecutivo di periodi t 1, t 1 +1,, t 2, con 1 t 1 t 2 τ. L intervallo di tempo durante il quale il denaro viene depositato è chiamato durata del deposito, T = {t 1, t 1 +1,, t 2 }. L insieme di tutte le possibili durate di un deposito è dato da = { T {1,,τ} t 1, t 2 {1,,τ} : T = {t 1, t 1 +1,, t 2 }}. (1) Un deposito con capitale c e durata T = {t 1, t 1 +1,, t 2 } può essere rappresentato come un vettore durante il periodo {1, 2,, τ+1}, in cui all inizio del periodo t 1 un ammontare c viene depositato e all inizio del periodo t 2 +1 l ammontare c viene restituito. Poiché il capitale è reso a t 2 +1è allora necessario espandere il modello includendo l istante τ+1. L insieme di tutti i possibili depositi viene indicato come Δ = {δ R τ+1 c 0, T : δ = c h(t)}, (2) dove la funzione h : R τ+1 rappresenta un deposito di un unità di capitale durante il periodo T = {t 1, t 1 +1,, t 2 }, tale per cui per tutti i t {1, 2,, τ+1} e tutti i T si ha che (3) τ+1 Si assume che esista una funzione di ricavo P : Δ R + che assegna ad ogni deposito δ Δ un ricavo non negativo in ciascun periodo di tempo nell insieme {1, 2,, τ+1}. Per il momento non si considera nessuna specifica formula per tale funzione. Il denaro dovrà essere prima depositato, e solo in un periodo successivo il ricavo potrà essere ottenuto, cioè Ipotesi Per ogni δ = c h({t 1, t 1 +1,, t 2 }) Δ e ogni t t 1 si ha P t (δ)=0. Si assume anche che non vi siano opportunità di arbitraggio: non è possibile ottenere un ricavo infinito utilizzando un ammontare finito di capitale. Il capitale che ciascun individuo ha a disposizione per il deposito può derivare da tre fonti: 1. le sue dotazioni, che sono esogene e consistono nella differenza tra reddito e consumo in ogni periodo di tempo. Nel modello sono indicate con m R τ. 2. il rimborso del capitale precedentemente depositato 3. il ricavo derivante dai depositi. 7

10 Sebbene le dotazioni possano essere negative in certi momenti, si assume che per un individuo in ogni periodo di tempo la dotazione cumulativa sia non negativa, cioè Ipotesi Per ogni t {1,, τ}, si ha. Un deposit problem con periodo finale τ, insieme dei depositi Δ, funzione di ricavo P e dotazioni m viene indicato con (τ, Δ, P, m). Poiché un individuo dispone di dotazioni limitate, esistono solo determinate combinazioni di depositi in cui egli può investire. Un portafoglio di depositi viene definito da una funzione f : Δ N {0}, la quale esprime quante unità di ciascun depisito sono utilizzate. Un portafoglio di depositi che un individuo è in grado di finanziare con le sue dotazioni è detto ammissibile. Si assume che un individuo, in ogni periodo di tempo, investirà nei depositi tutto il capitale a sua disposizione. Tale assunzione ha senso perché le dotazioni di un individuo in un dato periodo sono costituite dall ammontare di capitale disponibile dopo il consumo, perché non esiste un limite superiore all ammontare di capitale che può essere depositato, e inoltre perché il rendimento di ciascun deposito è non negativo. È importante osservare come in questo modello si consideri la possibilità di reinvestire il capitale precedentemente depositato e i ricavi. Inoltre è possibile ottenere una collezione di depositi ammissibili utilizzando lo stesso deposito più di una volta: si può ad esempio aprire due conti presso una banca e depositare lo stesso ammontare in ciascuno di essi. L insieme di tutti i portafogli ammissibili per un vettore di dotazioni m R τ è dato da F(m) = { f : Δ N {0} t {1,, τ} : = + }. La parte sinistra dell uguaglianza della feasibility condition ) rappresenta la variazione netta di investimento nei depositi nel periodo t. Include non solo il capitale richiesto per l investimento in nuovi depositi al tempo t, ma anche il capitale reso nel periodo t, in base alla definizione dei depositi nella (2) e (3). Di conseguenza questa parte dell espressione potrà essere negativa nel caso in cui venga versato meno capitale in nuovi depositi rispetto a quanto restituito dai depositi precedenti. La parte destra dell uguaglianza è composta da due parti. La prima è costituita dalle dotazioni, le quali possono essere negative. La seconda parte rappresenta la somma dei ricavi di tutti i depositi al tempo t, la quale è non negativa. L uguaglianza afferma quindi che la variazione netta di investimento nei depositi è pari alle dotazioni più i ricavi. 8

11 È necessario fare due osservazioni. Primo, anche se Δ è non numerabile, entrambe le parti dell uguaglianza di cui sopra sono limitate. A t=1 non ci sono ricavi per l Ipotesi 1.1., perciò la parte destra dell uguaglianza è finita. Ciò implica che un portafoglio ammissibile è non nullo per una quantità numerabile di depositi δ Δ con il periodo 1 incluso nella loro durata. Non essendoci opportunità di arbitraggio, è impossibile ottenere un ricavo illimitato con un ammontare finito di capitale. Perciò, anche nel periodo successivo, t=2, il ricavo è limitato, e di nuovo solo una quantità numerabile di depositi che includono il periodo 2 può essere non nulla. Ciò vale per tutti i periodi, cosicché f può essere non nulla solo per un ammontare numerabile di depositi. Dunque la somma è ben definita. Secondo, nella definizione di F(m) sarebbe più naturale considerare la restrizione come una disuguaglianza, + per ogni t. Comunque, senza alcuna perdita di generalità è possibile assumere che l espressione sia un uguaglianza grazie alla non negatività della funzione di ricavo che permette di riportare ogni ammontare di capitale nel periodo successivo senza alcuna perdita. Si definisce ora il problema di ottimizzazione per un individuo. L obiettivo naturale è massimizzare il ricavo totale. Sempre grazie alla non negatività della funzione di ricavo è possibile riportare tutto il capitale disponibile (compresi i ricavi intermedi) al periodo τ+1. L obiettivo naturale diventa così massimizzare il ricavo totale al tempo τ+1. Il capitale totale di un individuo a τ+1 è composto da tre parti: il ricavo dei depositi a τ+1, che è dato da, le dotazioni dell individuo, ed ogni ricavo intermedio. Le ultime due sono entrambe ottenute prima del periodo τ+1, e sono dunque pari al rimborso dei depositi a τ+1. Questo è dato da -. Il segno meno è dovuto alla costruzione dei depositi ed in particolare alla (3). Perciò il capitale totale al tempo τ+1 come funzione di un portafoglio ammissibile f è pari a Π( f ) =. F(m) Si osservi che per due portafogli f F( e g F si ha f + g F( + ) e Π( f ) + Π(g) = = Π(f + g). Dato m R τ, si definisce il massimo ricavo nel periodo τ+1 ottenuto per mezzo del portafoglio ammissibile come F. (4) 9

12 Si assume che per ogni m R τ tale estremo superiore esista. Potrebbe sorgere un problema nel caso in cui fosse infinito, ma ciò per definizione può verificarsi solo in presenza di opportunità di arbitraggio, che in tale modello sono escluse. Si noti che π(m) Cooperazione e deposit games con reinvestimento In un contesto cooperativo, nel quale un gruppo di agenti N = {1,,n} unisce gli sforzi, è possibile per gli individui formare coalizioni e depositare denaro congiuntamente. Se per esempio il fattore di capitalizzazione, definito come il ricavo diviso l ammontare di capitale depositato, è maggiore quando una maggiore somma di denaro viene investita, o quando il denaro è depositato per un più lungo periodo di tempo, potrebbe risultare invitante per gli individui cooperare. In tal modo infatti gli individui potrebbero ottenere più denaro rispetto a ciò che otterrebbero agendo da soli. Si consideri una deposit situation (N, τ, Δ, P, ), in cui l agente i N ha a disposizione per il deposito il vettore di dotazioni m(i) R τ. Il capitale disponibile m(s) per una coalizione S N, S, è dato dalla somma di tutto il capitale a disposizione di ogni membro della coalizione. Perciò per la coalizione S N, S si ha m(s) =. Il massimo ricavo congiunto di una coalizione S N nel periodo τ+1 sarà dunque F. (5) Un deposit game con reinvestimento corrispondente alla deposit situation (N, τ, Δ, P, ), può essere rappresentato dal gioco TU ( transferable utility ) (N,v) con funzione caratteristica v data dalla (5) per ogni S N, S. Per ipotesi v( ) = 0. Teorema Sia (N, τ, Δ, P, ) una deposit situation e sia (N,v) il corrispondente deposit game. Allora (N,v) è superadditivo, cioè v(s T) v(s) + v(t) per ogni S, T N tale per cui S T =. Per la dimostrazione si veda Gulick et al. (2010, p. 791) Tale teorema implica che tutti i giocatori all interno di una coalizione sono almeno in grado di investire negli stessi depositi, ottenendo almeno tanto quanto avrebbero ottenuto 10

13 separatamente. Se S e T sono due insiemi di giocatori disgiunti, cooperando il risultato complessivo non può peggiorare visto che possono scegliere congiuntamente la strategia più opportuna. Non converrà mai quindi scindere una coalizione in una o più sottocoalizioni. La questione che sorge naturale è come dividere il massimo ricavo congiunto tra i giocatori. A tal proposito si analizzano le imputazioni appartenenti al core del gioco corrispondente. Il core di un gioco cooperativo (N, v) è definito come C(v) = {x R N = v(n), S N : v(s)}. Un allocazione appartenente al core è stabile rispetto a deviazioni dalla coalizione, in quanto è vantaggiosa per qualunque coalizione Deposit games con e senza reinvestimento Si mettano ora a confronto i deposit games con reinvestimento di Gulick et al. (2010) e quelli senza reinvestimento di Borm et al. (2001). È possibile dimostrare che Teorema Ogni deposit game senza reinvestimento è un deposit game con reinvestimento. L intervallo di tempo di un deposit problem senza reinvestimento {1,,ρ} è finito. L insieme di tutte le possibili durate di un deposito è dato dalla (1) con τ = ρ. Borm et al. (2001) definiscono un deposito come d = c e(t), dove (T) = (6) per ogni T = { t 1, t 1 +1,, t 2 }, t {1,, ρ}. L insieme di tutti i possibili depositi è dato da D = {d R ρ + c 0, T : d = c e(t)}. La funzione di ricavo è definita da R : D R + con R(0)=0. R(d) rappresenta il ricavo di un deposito d, il quale viene riscosso nel periodo ρ+1. Sia N l insieme di tutti i giocatori. Le dotazioni del giocatore i N sono indicate da un vettore ω(i) R ρ. (i) indica l ammontare totale di capitale a disposizione del giocatore i N per il deposito nel periodo t. Per S N, S, ω(s) =. 11

14 Una deposit situation senza reinvestimento viene indicata come (N, ρ, D, R, ). Il valore di una coalizione S N del corrispondente deposit game senza reinvestimento è quindi definita da w(s) = sup { ) l N, d 1,,d l D : t {1,, ρ} : (S)}. Si dimostra quindi che v(s) = sup{ Π( f ) - f F (m(s))} = sup { ) l N, d 1,,d l D : t {1,, ρ } : (S)} =w(s). Gulick et al. (2010, p.792) in tal modo danno prova di come il loro modello sia un ampliamento del precedente modello di Borm et al. (2001). Infatti, pur non considerando la possibilità di reinvestire i ricavi intermedi, i problemi di ottimizzazione dei due modelli coincidono Due particolari sottoclassi di deposit games Esaminando l insieme dei deposit games descritti finora, senza alcuna restrizione alla funzione ricavo P ad eccezione dell assenza di opportunità di arbitraggio e dell Ipotesi1.2.1., riscontriamo che è possibile che il core sia vuoto. Ciò rende difficile trovare una allocazione ideale del ricavo totale tra gli individui delle coalizioni. Gulick et al. (2010, p.791) ne forniscono un esempio. Esempio Si consideri una deposit situation (N, τ, Δ, P, ) con tre giocatori e due periodi. Sia dunque N={1, 2, 3} e τ =2. L insieme dei possibili depositi Δ è dato dalla (2). Si assuma inoltre che ciascun giocatore i N abbia a disposizione le stesse dotazioni =(300,-50). Si noti che soddisfa l Ipotesi L insieme considerato è composto soltanto da due depositi aventi ricavo non nullo. Il primo consiste in un obbligazione a due anni con valore nominale 500 e tasso di interesse pari al 6% per periodo. Il secondo consiste in un obbligazione a due anni con valore nominale 250 e tasso d interesse pari all 1% per periodo. Perciò la funzione di ricavo sarà 12

15 Questa soddisfa l Ipotesi Si determina ora il valore di ogni possibile coalizione. È chiaro come per ogni coalizione composta da due giocatori {i, j} risulti ottimale l acquisto di un obbligazione a due anni con valore nominale 500. I rimanenti 100 a t=1 non possono essere utilizzati per ottenere alcun ricavo, ma possono essere riportati nel periodo successivo (senza interessi). Nel secondo periodo la coalizione ha ancora 500 depositati, 100 riportati dal periodo precedente, dotazioni pari a -100 e riceve un ricavo pari a 30. Questo ricavo intermedio viene poi riportato da t=2 a t=3. Il portafoglio ammissibile ottimale f per ogni coalizione di due giocatori è perciò dato da Il valore di ogni coalizione composta da due giocatori sarà quindi pari a. Si osservi che ogni giocatore i N ha a disposizione un ammontare di capitale insufficiente a depositare 500. Risulta perciò ottimale l acquisto di un obbligazione a due anni con valore nominale 250. I ricavi intermedi nel periodo t=2 vengono riportati nel periodo successivo e la coalizione composta da un solo giocatore avrà così un valore. Per la grande coalizione risulta invece ottimale l acquisto a t=1 di un obbligazione a due anni con valore nominale 500 e di una con valore nominale 250. Il capitale rimanente pari a 150 viene riportato nel periodo successivo senza interessi. Anche i ricavi intermedi nel periodo t=2 vengono riportati a t=3 e la grande coalizione avrà un valore. Per poter costruire le allocazioni x R 3 appartenenti al core per questo deposit game, è necessario che siano soddisfatte una serie di disuguaglianze. Per le coalizioni composte da due giocatori deve essere:, e. Risolvendo si ottiene Per la condizione di efficienza l allocazione x appartenente al core deve anche soddisfare l uguaglianza che risulta però inferiore a. Dunque, il core per questo particolare deposit game risulta vuoto. Si considerano perciò due differenti restrizioni alla funzione di ricavo. Il rendimento sui depositi infatti tipicamente dipende dalla durata dell investimento e/o dall ammontare di capitale investito. Ad esempio, i conti di risparmio presso le banche offrono un tasso di interesse fisso sul capitale depositato. Se l individuo è disposto a depositare il suo denaro per un periodo di tempo più lungo, solitamente la banca offre un tasso 13

16 d interesse più alto. D altro canto, il rendimento di un investimento può anche essere influenzato dall ammontare di capitale investito. Quest ultimo effetto può essere particolarmente rilevante, per esempio, per quanto riguarda gli investimenti in immobili, nei quali è possibile ottenere un tasso di interesse più alto solo se è disponibile una maggior quantità di capitale Term dependent deposit games Nei term dependent deposit games, il tasso di rendimento di un deposito dipende solo dalla sua durata e non dall ammontare di denaro depositato. Definizione Una funzione di ricavo P : Δ R τ+1 + si definisce term dependent se, per ogni t {1, 2,, τ+1}, per ogni deposito δ Δ e per ogni α 0, (αδ) = α (δ), cioè se il ricavo di un deposito è lineare nell ammontare di capitale depositato. Nel caso in cui il ricavo consista nel pagamento di interessi, il tasso di interesse dipende soltanto dalla durata del deposito: maggiore è la durata, maggiore sarà il ricavo. Cioè, per ogni con si ha che per ogni c>0 e per ogni t {1, 2,, τ+1}. Se la sottostante funzione di ricavo è term dependent, allora anche la corrispondente deposit situation e il deposit game vengono definiti term dependent. Si noti che in una term dependent deposit situation, per ogni durata T, ogni l N e ogni c 1,, c l 0, si ha =. Senza alcuna perdita di generalità è possibile assumere che tutti i depositi con stessa durata T possano essere combinati in un portafoglio aggregato di depositi. Perciò, in una term dependent deposit situation le decisioni vengono prese sulla base della durata dei depositi non sull ammontare, in quanto il tasso di rendimento è fisso per ogni possibile durata. Lemma Sia m R τ, f F(m) e λ 0 e sia g(λ δ) = f(δ) per ogni δ Δ. Allora g F(λ m) e Π(g) = λ Π(f). Gulick et al. (2010, p. 793) dimostrano in tal modo come, se consideriamo un portafoglio ammissibile per alcune dotazioni e scaliamo queste dotazioni, il portafoglio composto dai depositi scalati è ammissibile per il nuovo problema, e inoltre il suo rendimento risulta anche scalato allo stesso modo. 14

17 È possibile verificare che il core di ogni term dependent deposit game è non vuoto. Per far ciò si ricorre alla nozione di bilanciamento. Un gioco cooperativo (N, v) si definisce bilanciato se v(n) per ogni funzione λ : 2 N R + tale per cui = 1. Il coefficiente, assegnato ad ogni coalizione, rappresenta allora l intensità con la quale i giocatori in S dedicano la propria attività alla coalizione S stessa. In questo contesto dunque, è il massimo guadagno congiunto ottenibile dalla coalizione S quando ogni giocatore ripartisce la propria attività tra le coalizione cui partecipa secondo l intensità. La disuguaglianza afferma semplicemente che il guadagno ottenuto sommando le quote massime in conseguenza di tale ripartizione è minore o al più uguale a quanto ricavato dall insieme di tutti i giocatori (Pederzoli 1994, p.131). La nozione di bilanciamento può venire estesa anche ai sottogiochi di (N, v). Un gioco è detto totalmente bilanciato se ogni sottogioco (S, v S ) è bilanciato, dove per ogni S N, S il sottogioco rispetto ad S è indicato da v S (T) per ogni T S. Lo studio di Bondareva e di Shapley (si vedano Gulick et al. 2010, p.793) assicura che Teorema Sia (N, v) un gioco cooperativo. Allora C(v) bilanciato. se e solo se (N, v) è Gulick et al. (2007, p.793) dimostrano inoltre che Teorema Ogni term dependent deposit game con reinvestimento è totalmente bilanciato. Inoltre i deposit games con reinvestimento abbracciano l intera classe dei giochi totalmente bilanciati non negativi. Si può infatti dimostrare che Teorema Un gioco cooperativo non negativo è totalmente bilanciato se e solo se è un term dependent deposit game con reinvestimento. Borm et al. (2001, p.270) avevano già mostrato come ogni gioco cooperativo non negativo totalmente bilanciato fosse un term dependent deposit game senza reinvestimento, e da qui usando il Teorema anche un term dependent deposit game con reinvestimento. Perciò il Teorema implica che la classe dei term dependent deposit game senza reinvestimento, quella dei term dependent deposit games con reinvestimento e dei giochi non negativi totalmente bilanciati coincidono. 15

18 Pur avendo cosi dimostrato che il core dei term dependent deposit games è non vuoto, sfortunatamente Gulick et al. (2007) non forniscono una metodologia per trovare le sue imputazioni. Il principale problema risiede nell assenza di un algoritmo in grado di risolvere i problemi sottostanti le operazioni di ricerca per le varie coalizioni. Ciò rende difficile capire i valori che scaturiscono dalle coalizioni nei term dependent deposit games. Borm et al. (2001) mostrano come ottenere particolari imputazioni del core costruendo i cosiddetti vettori di Owen. Infatti, essendo i term dependent deposit games totalmente bilanciati e non negativi, possono essere formulati in termini di giochi di produzione lineare, una famiglia di giochi studiata particolarmente da G. Owen. A tal fine, si definisce p R T, A R τ x T e b i R τ, i N rispettivamente come p =, T A = [ T ] e b i = ω i, i N, dove se t T e se t T. Allora si ha v(s) = max {p x x 0, Ax } = max { T : x T 0, } per ogni S N. In termini di giochi di produzione lineare, le dotazioni degli agenti fungono da risorse e i beni che gli agenti producono sono i depositi. Poiché R(αd) = αr(d) si ha che R( ) = R( ) per ogni 0. Perciò rappresenta la quantità di deposito prodotta. Dunque il prezzo al quale ciascuna unità di deposito può essere venduta è dato da = R( ). Nel caso in cui S = N il duale di questo programma lineare sarà dato da min { (N) t τ T : R( )}. 16

19 Ora, se (,,, ) è una soluzione ottima del problema di minimizzazione, allora il vettore di Owen z R N definito da = per ogni i N rappresenta una imputazione del core del corrispondente term dependent deposit game Capital dependent deposit games Nei capital dependent deposit games, invece, l effetto della durata di un investimento è dato costante. Dunque, poiché il depositare per più periodi non produce un rendimento aggiuntivo rispetto all investire più volte per un solo periodo alla volta, è possibile, senza perdita di generalità, limitarsi a considerare depositi che hanno un rendimento positivo solo quando la durata del deposito è di un periodo. Definizione Una funzione di ricavo P : Δ R si definisce capital dependent se per ogni T con T 1 si ha per ogni t {1, 2,, τ+1} e c > 0. Se la sottostante funzione di ricavo è capital dependent, allora anche i corrispondenti deposit situation e deposit game si definiscono capital dependent. Inoltre, si assume che il depositare una maggior quantità di capitale in un certo periodo comporta un maggior rendimento per unità di capitale depositato. Definizione Una funzione di ricavo P : Δ R ha rendimenti di scala crescenti se la funzione è non decrescente rispetto a c per ogni c > 0 e per ogni t {1, 2,, τ+1} e T. Se la sottostante funzione di ricavo ha rendimenti di scala crescenti, allora anche i corrispondenti deposit situation e deposit game si dice che hanno rendimenti di scala crescenti. Sia (N,v) un capital dependent deposit game con rendimenti di scala crescenti corrispondente alla deposit situation (N, τ, Δ, P, ). Per evitare inutili complicazioni, si sostituisce l Ipotesi con una più forte. Ipotesi Per ogni t {1,, τ} e per ogni i N si ha che. Ciò assicura che ogni coalizione effettui davvero un deposito in ogni periodo. Per ogni coalizione S N risulta ottimale realizzare al massimo un deposito ogni periodo con durata di un periodo, e realizzarlo con la maggior quantità di capitale possibile. Si indicano i depositi ottimali per la coalizione S nel periodo t {1,, τ} con, (7) 17

20 dove è definita come. (8) Per l Ipotesi , per ogni t {1,, τ} e per ogni S N si ha che. Il corrispondente portafoglio ammissibile ottimale per la coalizione S N sarà quindi dato da τ (9) Con il seguente Teorema Gulick et al. (2010) mostrano come ogni deposit game (N,v) ha un population monotonic allocation scheme (pmas). Secondo Y. Sprumont (si vedano Gulick et al. 2010, p.795) un allocation scheme con R S per ogni S N, S Ø si definisce pmas per un gioco cooperativo (N, w) se soddisfa l efficienza e la monotonicità. soddisfa l efficienza se, per ogni S N, S Ø, e la monotonicità se per ogni U S e i S vale che. Si noti che se è un pmas, allora per ogni S N, S Ø appartiene al core del gioco ristretto a S e quindi il gioco è totalmente bilanciato. Per la dimostrazione del Teorema Gulick et al. (2010) ricorrono a tre lemmi. Il primo lemma fornisce una formula esplicita per i valori di coalizione in termini di depositi ottimali per le coalizioni, come indicato nelle formule (7) e (8). Questo lemma non richiede rendimenti di scala crescenti e vale per tutti i capital dependent deposit games. Lemma Per ogni S N, si ha che. Il secondo lemma afferma che coalizioni più ampie ottengono rendimenti più alti, cioè che l ammontare ottimale depositato,, ed il tasso di rendimento sono entrambi monotoni rispetto ad S. Lemma Per ogni t {1,,τ} e S U N, 18

21 e anche per ogni j, t {1,,τ}. Il terzo lemma fornisce la costruzione di pesi per ogni giocatore in una coalizione, i quali vengono utilizzati per determinare come dividere il ricavo di una coalizione tra i suoi membri. Si costruisce quindi uno schema di pesi con R. Questi pesi rappresentano, per ogni periodo di tempo e per ogni giocatore all interno di ogni coalizione, quanto grande è il suo contributo relativamente al capitale totale della coalizione in quel momento. Per ogni S N, i S e t {1,,τ}, si definisce. (10) Lemma Per ogni t {1,,τ} e S N,. (11) Inoltre per ogni S U N con i S,. (12) Teorema Ogni capital dependent deposit game con reinvestimento che ha rendimenti di scala crescenti ha un population monotonic allocation scheme. Questo sarà indicato da e definito come per ogni S N, i S. In particolare, Gulick et al. (2010) evidenziano come Y. Sprumont nella sua ricerca dimostra che tutti i giochi non negativi totalmente bilanciati hanno un population monotonic allocation scheme. Perciò la classe dei capital dependent deposit games con reinvestimento e con rendimenti di scala crescenti forma un sottoinsieme proprio dei deposit games con reinvestimento, e questi giochi sono ovviamente totalmente bilanciati. 19

22 1.6. Conclusioni La cooperazione tra individui sorge quando questi scorgono l opportunità di trarre benefici dal riunire le proprie forze. In un deposit game le coalizioni sono formate da giocatori che uniscono i loro capitali al fine di avere l accesso a nuove opportunità di investimento e quindi rendimenti maggiori. Se tali benefici sono trasferibili tra gli individui, ad esempio attraverso il denaro, sorge un problema di allocazione: i ricavi derivanti dai loro investimenti dovranno infatti essere divisi tra i giocatori. Qui lo scopo della teoria dei giochi cooperativi è quello di risolvere tale problema. Il modello di Gulick et al. (2007) rende più realistica la precedente ricerca sui depositi di capitale prendendo in considerazione la possibilità di reinvestire i ricavi intermedi. Vengono considerate due specifiche sottoclassi di deposit games, denominate term dependent deposit games in cui il tasso di rendimento è fisso per ogni durata, e capital dependent deposit games in cui la durata di ciascun deposito è esattamente un periodo. È stato dimostrato come ogni term dependent deposit game possiede un nucleo non vuoto. Ciò vale anche per i capital dependent deposit games i quali inoltre hanno un population monotonic allocation scheme (PMAS) nel caso in cui la funzione di ricavo presenti rendimenti crescenti di scala. 20

23 2. Fondi comuni di investimento 2.1. Introduzione Per poter effettuare investimenti redditizi riducendone i rischi connessi è necessario possedere le competenze tecniche, avere a disposizione un cospicuo patrimonio al fine della diversificazione e, infine, il tempo necessario per monitorare l investimento. I fondi comuni di investimento, assieme ad altri strumenti finanziari analoghi, rientrano fra gli Organismi di Investimento Collettivo del Risparmio (OICR), così come definiti dalla vigente normativa. Il loro compito consiste nel raggruppare somme anche esigue di più risparmiatori e investirle collettivamente, come un unico patrimonio di grandi dimensioni. Ciò consente di realizzare una diversificazione degli investimenti difficilmente ottenibile direttamente dai singoli investitori, con tutti i vantaggi in termini di riduzione del rischio. L investimento viene tutelato attraverso una serie di controlli, alcuni interni alla società di gestione (SGR), altri svolti da soggetti esterni ed altri ancora esercitati dalle autorità di vigilanza (si veda Consob 2002, p.12-14). Tutti i sottoscrittori inoltre partecipano agli utili (o alle perdite) in proporzione al numero di quote possedute, avendo così pari diritti. Tre sono i soggetti che partecipano alla gestione di un fondo: 1. il collocatore (solitamente una banca o una Società di Intermediazione Mobiliare) il quale, raccolte le somme da investire, cura le procedure per la sottoscrizione (negoziazione e collocamento di prodotti di risparmio gestito) e svolge la funzione centrale di assistenza ai risparmiatori nelle scelte di investimento. 2. la società di gestione (SGR) la quale gestisce le somme raccolte secondo una politica di investimento predefinita e nell interesse esclusivo dei risparmiatori. Per operare deve ricevere l autorizzazione della Banca d Italia (sentita la Consob). 3. la banca depositaria la quale custodisce materialmente il patrimonio (denaro e titoli) del fondo. Il patrimonio viene così sottratto alla disponibilità della società di gestione ed affidato ad un soggetto terzo. Ciò rappresenta una garanzia per l investitore. La banca depositaria inoltre verifica che tutte le operazioni disposte dalla SGR siano conformi alla normativa ed al regolamento di gestione del fondo Classificazione dei fondi comuni Esistono differenti tipologie di fondi comuni di investimento, ciascuna con proprie caratteristiche e modalità di funzionamento. 21

24 Il primo criterio di classificazione dei fondi riguarda la struttura, che distingue i fondi aperti da quelli chiusi. La particolare struttura dei fondi aperti consente di sottoscrivere quote, o chiederne il rimborso, in ogni momento. Il loro patrimonio, infatti, non è fissato in un ammontare predefinito, ma può continuamente variare, in aumento a seguito di nuove sottoscrizioni o in diminuzione in caso di rimborsi. Sono dunque fondi a capitale variabile: ogni risparmiatore può, cioè, decidere quand è il momento giusto per investire o per vendere e il valore del singolo patrimonio viene calcolato giornalmente in base ai prezzi di mercato dell intero portafoglio ed al numero di quote esistenti in quel preciso giorno. Quelli chiusi hanno invece un patrimonio predefinito, che non può variare a seguito di nuove sottoscrizioni e rimborsi e che è diviso in un numero predeterminato di quote. Le quote, quindi, possono essere sottoscritte, nei limiti della disponibilità, solo durante la fase di offerta (prima che il fondo inizi ad operare), ed il rimborso avviene solo alla scadenza. La diversa struttura è funzionale alle differenti politiche di investimento. Ai fondi chiusi sono riservati investimenti poco liquidi e di lungo periodo. In questi casi, infatti, è necessario che il gestore possa fare affidamento sulla stabilità del patrimonio del fondo per un certo periodo di tempo, stabilità che potrebbe essere pregiudicata ad esempio da un ondata di rimborsi. I fondi aperti, invece, investono generalmente in azioni, obbligazioni e altri strumenti quotati che possono essere negoziati sul mercato in qualsiasi momento. Pertanto questa tipologia di fondi non necessita di un patrimonio particolarmente stabile, in quanto eventuali esigenze di liquidità possono essere fronteggiate vendendo i titoli in portafoglio. Un ulteriore classificazione, elaborata da Assogestioni (l associazione italiana delle società di gestione del risparmio), si propone di raggruppare i fondi che presentano caratteristiche omogenee per quanto riguarda i titoli oggetto di investimento ed i relativi mercati di riferimento. Ciò permette agli investitori di orientarsi tra numerosi prodotti offerti sul mercato, consentendo una prima analisi sia per quanto riguarda la composizione dei portafogli, sia per il profilo di rischio degli stessi. Per la società di gestione tale classificazione implica la possibilità di verificare le proprie scelte di gestione rispetto alla concorrenza. I fondi si distinguono così in: fondi azionari i quali investono principalmente in azioni e, generalmente, si caratterizzano per un alto grado di rischio, che aumenta con il crescere del livello di specializzazione a causa della minor diversificazione. La specializzazione può 22

25 essere connessa sia all ambito geografico degli emittenti e dei mercati, sia al particolare settore in cui operano gli emittenti. Si passa così dai meno rischiosi, gli internazionali globali che possono investire in tutto il mondo e in qualsiasi settore, a quelli più rischiosi, specializzati in determinati mercati e che offrono quindi una minor possibilità di diversificare. Il loro obiettivo è il conseguimento di plusvalenze patrimoniali nel medio - lungo periodo. fondi obbligazionari che investono prevalentemente in titoli di Stato e obbligazioni. Il loro rischio solitamente risulta minore rispetto a quello dei fondi azionari. Vengono raggruppati in base alla valuta di denominazione dei titoli in portafoglio e alla loro durata media finanziaria. Presentano, generalmente, ridotte oscillazioni nei valori della quota ed hanno l obiettivo di ottimizzare i rendimenti sui capitali investiti. fondi bilanciati i quali investono sia in azioni che in obbligazioni, permettendo di attutire eventuali perdite delle prime con l andamento in genere costante e prevedibile delle seconde. Si distinguono in bilanciati obbligazionari, bilanciati bilanciati e bilanciati azionari, con un livello di rischio crescente in base alla percentuale di azioni e obbligazioni presenti in portafoglio. fondi liquidità o monetari i quali investono in strumenti del mercato monetario a brevissimo termine (quali titoli di Stato a 3 e 6 anni e pronti contro termine), con una durata media finanziaria non superiore ai sei mesi. Vengono raggruppati in base alla valuta di denominazione, al merito creditizio dell emittente e alla duration del portafoglio. Non è ammessa la copertura del rischio di credito. L obiettivo principale dei fondi monetari è, quindi, quello di preservare il valore del capitale e offrire liquidità giornaliera. Rappresentano un alternativa alla liquidità di conto corrente, permettendo infatti di recepire un piccolo interesse (in linea con il rendimento del BOT). Non sono strumenti di investimento speculativi e consentono di poter parcheggiare la liquidità in eccesso con un rischio basso e con un rendimento generalmente positivo anche nei brevi periodi di tempo. Come ogni tipo di investimento, però, non può essere garantito un rendimento certo. fondi flessibili, la cui politica di investimento può continuamente variare in relazione all andamento dei mercati finanziari. Non definiscono il mercato e/o il settore in cui investono, ma cercano di cogliere le migliori opportunità. L attenta individuazione degli obiettivi finanziari da parte dei risparmiatori permette loro di stabilire l orizzonte temporale, la propensione al rischio e le aspettative di rendimento, al 23

26 fine di effettuare una più adeguata scelta di investimento. Questi elementi definiscono il profilo finanziario dell investitore (detto anche profilo rischio-rendimento). L orizzonte temporale rappresenta il periodo di tempo durante il quale l investitore è disposto a rinunciare alle proprie disponibilità finanziarie, o a parte di esse, e ad investirle, al fine di conseguire un rendimento coerente con gli obiettivi prefissati. Se l orizzonte temporale è di breve periodo, l investimento dovrebbe tendenzialmente caratterizzarsi per un basso livello di rischio e tendere così soprattutto alla conservazione del capitale: il breve lasso temporale, infatti, non consentirebbe di recuperare eventuali perdite. Rispondono a tali esigenze i cosiddetti fondi liquidità o i fondi obbligazionari a breve termine. Al contrario, se l orizzonte temporale è di lungo periodo, risulta ragionevole accettare rischi più elevati al fine di accrescere il valore del capitale investito: quanto più è lungo il proprio orizzonte temporale tanto maggiore può essere il rischio assunto, in quanto aumenta la probabilità di compensare eventuali perdite dovute ad andamenti avversi dei mercati. Nel caso in cui si disponga periodicamente di una piccola somma di denaro e di un orizzonte temporale di lungo periodo, è possibile investire un determinato importo a scadenze prefissate in fondi comuni di investimento attraverso la sottoscrizione di un piano di accumulo detto PAC. L acquisto delle quote di un fondo, infatti, può avvenire con due diverse modalità: Piano di Investimento di Capitale (PIC): le quote vengono acquistate attraverso il versamento in un unica soluzione dell intero capitale disponibile. L ammontare investito deve essere almeno pari al minimo richiesto dal regolamento di gestione e indicato nel prospetto informativo. È adatto ad investitori che al momento della sottoscrizione dispongono già di un certo capitale iniziale. Piano di Accumulo del Capitale (PAC): il sottoscrittore ripartisce nel tempo l investimento attraverso una serie di versamenti periodici di uguale importo, ad eccezione del primo che normalmente è maggiore. In genere non vi è una scadenza determinata per i versamenti, quanto piuttosto un vincolo relativo all importo massimo accumulabile ed al taglio minimo del versamento effettuabile. La flessibilità e la consistenza delle somme da investire rendono i PAC alla portata degli investitori anche più piccoli, mitigando tra l altro i rischi legati alla scelta del momento in cui effettuare l investimento: investendo una prefissata somma di denaro nello stesso fondo ad intervalli regolari, infatti, il PAC tendenzialmente 24

27 permette di neutralizzare nel tempo gli andamenti del mercato di riferimento. Per contro, le elevate commissioni d ingresso in un PAC incidono prevalentemente sulle prime rate, cosa che potrebbe portare chi si trova nella condizione di dover estinguere anticipatamente il piano di accumulo a pagare commissioni più elevate, se rapportate percentualmente all'effettivo investito, di chi, invece, avrà portato a termine il piano Valorizzazione delle quote La procedura di valorizzazione delle quote sottoscritte è descritta nel prospetto informativo e disciplinata nel regolamento di gestione. Al momento della sottoscrizione il risparmiatore sottoscrive un modulo e lo consegna al soggetto collocatore insieme ad un mezzo di pagamento. La SGR potrà valorizzare le quote solo dopo aver ottenuto notizia certa della volontà di sottoscrivere, cioè dopo aver ricevuto il modulo dal soggetto collocatore (o un estratto telematico dello stesso) con tutte le informazioni fornite dal risparmiatore. I soggetti collocatori devono trasmettere la domanda di sottoscrizione ed eventualmente i mezzi di pagamento entro e non oltre il giorno successivo a quello della sottoscrizione. Contestualmente all emissione di quote del fondo è necessario che nel patrimonio del fondo stesso entri il relativo controvalore. A tal fine, il mezzo di pagamento deve essere versato nel conto corrente del fondo ed aver maturato i giorni di valuta, così da far parte del patrimonio ed essere utilizzato dal gestore per acquistare titoli. Nel momento in cui entrambe queste condizioni (notizia certa e valuta del mezzo di pagamento) risultano soddisfatte l investimento potrà essere valorizzato al valore che la quota avrà in quel giorno (Consob 2002, p.49-51). La valutazione di tutti i diversi strumenti finanziari e disponibilità monetarie si basa quindi su precisi istanti temporali che usualmente coincidono con i singoli giorni. Il valore complessivo così ottenuto, al netto di spese e tassazione, viene suddiviso per il numero delle quote in circolazione, ottenendo in tal modo il valore unitario della quota. Quest ultimo fornisce agli investitori l esatta conoscenza del valore del proprio investimento Il rendimento Numerosi sono i soggetti interessati a valutare la performance realizzata dai fondi comuni di investimento. Gli investitori vogliono conoscere il rendimento raggiunto dalle somme affidate al gestore e quelli potenziali necessitano delle informazioni utili alla selezione del gestore. A loro volta i gestori verificano i risultati conseguiti rispetto all andamento del mercato e ai rendimenti ottenuti dai concorrenti. I responsabili delle società di gestione sono poi interessati a conoscere l abilità dei propri gestori al fine di valutarne l attività svolta. 25

28 Da ciò nasce quindi la necessità di un calcolo dei rendimenti che risponda alle specifiche esigenze dei vari soggetti. Gli indici di rendimento elaborati dalla matematica finanziaria sono lo strumento principale per poter valutare la redditività di un investimento finanziario. Questi misurano l incremento percentuale realizzato dal capitale investito nell arco di un periodo determinato. I rendimenti sono facilmente calcolabili in assenza di prelievi o versamenti successivi dei clienti. In questo caso, supponendo che tutti i proventi D (incassi di cedole e dividendi) ricevuti come remunerazione del capitale investito inizialmente V(t 0 ) siano percepiti alla fine del periodo (T), l indice di rendimento è determinato come dove V(T) rappresenta il valore finale del capitale, cioè V(t 0 ) corretto per le eventuali plusvalenze o minusvalenze ottenute nel periodo (t 0, T). Tale indice è espresso in termini relativi quindi non dipende dalla scala di misura in cui è espressa la ricchezza investita, ottenendo così lo stesso risultato indipendentemente dall ammontare di capitale investito. Poiché gli indici di rendimento a capitale costante sono funzione della durata T del periodo di investimento, nel confronto tra investimenti è necessario convertirli in una base temporale di riferimento comune, generalmente posta pari all anno. Indicando con τ la durata dell investimento espressa in frazioni d anno, nel caso della capitalizzazione semplice il rendimento annuo R A si ottiene come Nel caso di capitalizzazione composta invece Tale rendimento a capitale costante è però un indicatore che non si adatta bene al calcolo del ricavo dell investimento in presenza di flussi monetari per sottoscrizioni e rimborsi delle quote che solitamente caratterizzano i fondi comuni, indipendentemente dall abilità del gestore. Gli investitori sono interessati al rendimento depurato da queste distorsioni dei flussi di cassa, i quali, non potendo essere previsti dai gestori, li espongono al rischio di veder 26