Compito di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Elettronica a delle Telecomunicazioni COGNOME: NOME: MATR.: 1. x n

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1 Compito di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Elettronica a delle Telecomunicazioni 17 gennaio 2017 COGNOME: NOME: MATR.: Esercizio 1. Sia f : R R definita da f(x) = 1 4 x x a) Disegnare grafico di f nel piano cartesiano e determinare le sue intersezioni con l asse y = x. b) Studiare al variare del parametro reale α la convergenza della successione: { xn+1 = f(x n ) x 0 = α. c) Sia α 4. Applicando noti criteri di convergenza studiare la convergenza della serie + 1. x n n=0 Esercizio 2. Date le funzioni g(x) = exp(xtanx) cos( x ) h(x) = arctanlog(cosx+sinx), a) determinare sviluppi per x 0 della forma g(x) = ax m +o(x m ) h(x) = bx n +o(x n ), con a e b numeri reali non nulli, ed m e n interi; b) calcolare log g(x) lim x 0+ logh(x).

2 Pisa, 06/02/2017 Seconda prova scritta di Analisi Matematica I Esercizio 1. Sia f : R R la funzione f(x) := (x + x2 2 )e x. (i) Dire quante soluzioni ha l equazione al variare del dato λ R. f(x) = λ (ii) Provare che esiste un unico λ R tale che f(x) = λ ha tre soluzioni x 1 < x 2 < x 3 equidistanziate, cioè tali che { f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = λ (iii) Provare che 0 < λ < 1. x 3 x 2 = x 2 x 1 > 0 Esercizio 2. Dire se è convergente l integrale improprio e in caso affermativo, calcolarlo dt 1 + e 2t 10e3t Esercizio 3. Determinare una costante a 0 e n N tali che tan(sin x) sin(tan x) = ax n + o(x n )) per x 0.

3 Pisa, 23/02/2017 Terza prova scritta di Analisi Matematica I Esercizio 1. Studiare al variare del parametro reale x il comportamento della serie + n=1 4 n e n+1 n 5 2n 3 (1 x2 ) n, determinandone convergenza semplice e assoluta. Esercizio 2. Si consideri la funzione della variabile reale x > 0 g(x) := x 2 x logt 1+t dt. Si dica se esistono, esibendoli in caso affermativo: i) punti di minimo assoluto, ii) punti di massimo assoluto, iii) punti di minimo relativo, iv) punti di massimo relativo. Si calcoli inoltre v) inf x>0 g(x) e vi) sup x>0 g(x). Esercizio 3. Risolvere sul campo dei numeri complessi l equazione 4z 2 2z +1 = 0. Determinare poi per quali valori di z C si abbia 4z 2 +2z +1 R.

4 Quarta prova scritta di Analisi Matematica I Esercizio 1. Sia a un numero reale positivo e b := a log(e a 1). Provare che a. b > 0 b. max(a,b) log2. Esercizio 2. a. Per ogni k N determinare il polinomio P k (x) di grado minore od uguale a k verificante, per ogni x R P k (x) = P k(x) xk k! P k (0) = 1 (Per capire il caso generale può essere d aiuto risolvere prima il problema per k = 1,2.) b. Calcolare il limite lim k + P k (x). Esercizio 3. Sia f(x) = e 1 x e 3 3x. a.) Disegnare un grafico di f mettendone in evidenza gli zeri, i punti critici, gli intervalli di monotonia e convessità. b.) Verificare in particolare che f ha un unico punto di flesso e determinare il più grande intervallo contenente questo punto sul quale f risulti invertibile. c.) Si calcoli la derivata prima di detta funzione inversa nel punto di flesso.

5 Pisa, 04/07/2017 Quinta prova scritta di Analisi Matematica I Esercizio 1. Per α > 0 fissato studiare la funzione f(x) = x α e x definita per x > 0. Stabilire poi quante sono le soluzioni x > 0 dell equazione in funzione dell esponente reale positivo α. sin ( x α e x) = 0 Esercizio 2. Al variare del parametro reale positivo β, studiare la convergenza semplice e assoluta della serie n=1 ( πn n β 2 ) sin. n+1 Esercizio 3. Si consideri la successione (x k ) k definita per ricorrenza a partire dal numero reale positivo γ: { x0 = γ 1 e x k+1 = x x k s 1 k 0 e ds. x k s +1 Si studi l esistenza del limite di x k al variare di γ.

6 Pisa, 25/07/2017 Sesta prova scritta di Analisi Matematica I Esercizio 1. Studiare la convergenza semplice e assoluta del seguente integrale improprio + 1 sin(x+1) x3 +1 dx. Esercizio 2. Calcolare lo sviluppo di Taylor in 0 al quarto ordine delle funzioni Calcolare poi il seguente limite (i) ln(1+xarctanx);(ii) e xarctan( x). lim x 0 ln(1+xarctanx)+1 e x2. 1+2x4 1 Esercizio 3. Sia f : R R definita da f(x) = x2. a) Disegnare grafico di f nel piano cartesiano e determinare le sue intersezioni con la retta y = x. b) Studiare al variare del parametro reale α la convergenza della successione: { xn+1 = f(x n ) x 0 = α. c) (Facoltativo) Sia α = 1 e sia L = lim n + x n nel punto sopra. Applicando noti criteri di convergenza studiare la convergenza della serie + (x n L). n=0

7 Pisa, 15/09/2017 Settima prova scritta di Analisi Matematica I Consegnare il testo e un unico foglio in bella copia, senza la minuta. Le risposte ai quesiti Esercizio 1. Si consideri l integrale I(α) := + 0 x α sin xdx dipendente dal parametro reale α. i. Dire per quali esponenti reali α l integrale converge semplicemente. ii. Dire per quali esponenti reali α l integrale converge assolutamente. iii. Dire per quali esponenti reali α l integrale ha valore positivo. Esercizio 2. Dire se converge la serie numerica π 2 1 arctan n n n=1 Esercizio 3. Determinare tutte le soluzioni complesse dell equazione z 2 z 4iz = 0 e rappresentarle sul piano complesso identificato con R 2. Determinare poi l area del poligono P di R 2 che ha come vertici le soluzioni con parte immaginaria minore od uguale a