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1 Slide del corso di Controllo digitale Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell Informazione Università di Siena, Dip. Ing. dell Informazione e Sc. Matematiche Parte VII Progetto nello spazio degli stati Gianni Bianchini c Il presente documento è rilasciato nei termini di licenze Creative Commons come indicato su giannibi/teaching 1

2 METODI NELLO SPAZIO DEGLI STATI v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F k Sistema lineare tempo invariante tempo discreto in equazioni di stato x k+1 = Ax k + Bu k ; x k R n y k = Cx k Il sistema in oggetto è eventualmente l equivalente campionato con ZOH P d in equazioni di stato di un impianto P a tempo continuo Ipotesi: lo stato è accessibile, ovvero sono disponibili misure (o stime) di x k ad ogni istante (informazione completa) L obiettivo è progettare una legge di retroazione lineare statica delle variabili di stato u k = F k x k +v k, eventualmente stazionaria (con F k = F costante), in modo da soddisfare determinate specifiche. 2

3 METODI NELLO SPAZIO DEGLI STATI v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F Nel caso di retroazione F costante, il sistema ad anello chiuso è x k+1 = (A+BF)x k + Bv k y k = Cx k Per la definizione stessa di stato, l informazione sull intero stato è la massima informazione disponibile sul sistema Come selezionare il guadagno di retroazione F per garantire stabilità interna? prestazioni? 3

4 RAGGIUNGIBILITA x k+1 = Ax k + Bu k y k = Cx k ; x k R n Data una sequenza di ingresso {u k }, l evoluzione dello stato al passo k a partire dalla condizione iniziale x 0 vale x k = A k x 0 + in forma compatta k 1 A k i 1 Bu i x k = A k x 0 +R k U k dove R k = [B AB... A k 1 B], U k = [u k 1 u k 2... u 0 ] Problema della raggiungibilità. Determinare, quando esiste, un vettore di ingressiu k taledaportareilsistemadaunostatoinizialex 0 adunostatoobiettivo x in k passi, ovvero tale che i=0 x = A k x 0 +R k U k La precedente condizione esprime che x = A k x 0 sia l immagine del vettore U k attraverso la trasformazione lineare R k, dunque il problema ha soluzione se e solo se x A k x 0 R k dove R k = Im[R k ] R n è il sottospazio immagine di R k. Ponendo x 0 = 0 nella precedente, risulta che R k è il sottospazio degli stati x k raggiungibili a partire dallo stato nullo mediante un opportuna sequenza d ingresso ed è detto sottospazio di raggiungibilità in k passi 4

5 RAGGIUNGIBILITA Sia p A (λ) il polinomio caratteristico di una matrice A R n n p A (λ) = det(λi A) = λ n +a n 1 λ n 1 +a n 2 λ n a 0 Lemma (teorema di Hamilton-Cayley). Ogni matrice quadrata A è radice del suo polinomio caratteristico, ovvero risulta A n = a n 1 A n 1 a n 2 A n a 0 I Teorema. Sia R = R n = Im[B AB... A n 1 B]. I sottospazi di raggiungibilità in 1,2,...,n passi sono tali che R 1 R 2... R k... R n = R n+1 = R n+2 =... = R Dimostrazione. Percostruzione,sihaR k = Im[B AB... A k 1 B] Im[B AB... A k B] = R k+1 per ogni k. Inoltre, per ogni k > n, per il teorema di H.C. il vettore A k 1 B è combinazione lineare di B,AB,...,A n 1 B, per cui R k = R n = R. Conseguenza: se uno stato è raggiungibile dallo stato nullo, allora lo è in al più in n passi. Dunque il sottospazio R = Im[B AB... A n 1 B] rappresenta l insieme degli stati del sistema raggiungibili dallo stato nullo con un opportuna sequenza di ingresso, indipendentemente dal numero di passi, ed è detto sottospazio di raggiungibilità del sistema. La matrice R = [B AB... A n 1 B] è detta matrice di raggiungibilità In generale, la successione dei sottospazi R k può diventare stazionaria anche a partire da qualche k < n, dunque dimr = rank[r] n 5

6 RAGGIUNGIBILITA Per il teorema di H.C., il sottospazio R è A-invariante, ovvero x R A x R infatti le colonne della matrice AR per il teorema di H.C. risultano combinazione lineare di quelle di R Il sistema è detto completamente raggiungibile se R = R n ovvero se la matrice R ha rango massimo (rank[r] = n) Se il sistema è completamente raggiungibile, allora per ogni stato iniziale x 0 ed ogni stato obiettivo x esiste una sequenza di ingressi U n che porta lo stato da x 0 a x in al più n passi, cioè tale che x n = A n x 0 +RU n = x Infatti, poiché ogni stato è raggiungibile dallo stato nullo, x A n x 0 è raggiungibile dallo stato nullo per qualunque x e x 0, quindi esiste una sequenza d ingresso U n tale che x A n x 0 = RU n. La proprietà di completa raggiungibilità è invariante rispetto a ogni trasformazione T di coordinate nello spazio degli stati z k+1 = x k = Tz k Ãz k + Bu k y k = Cz k à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT Infatti la matrice di raggiungibilità nella nuova base vale R = [T 1 B T 1 ATT 1 B... ] = T 1 R dunque R ha rango pieno se e solo se lo ha R (T è sempre non singolare). 6

7 DECOMPOSIZIONE DI RAGGIUNGIBILITA La dimensione dello spazio raggiungibile n r = dimr = rank[r] n è detto indice di raggiungibilità Obiettivo: determinare un cambiamento di coordinate nello spazio degli stati x k = T[zk r z r k ], in modo che i primi n r elementi della nuova base siano una base del sottospazio raggiungibile Sia n r < n e si consideri la matrice di cambiamento di base T = [v 1...v nr w nr +1...w n ] dove {v 1,...,v nr } è una base di R, ovvero un insieme di vettori composto dan r colonneindipendentidir, e{w nr +1,...,w n }èunsuocompletamento per ottenere una base di R n. Poiché R è A-invariante, il vettore Av i non ha componenti lungo i vettori w nr +1,..., w n, i. Inoltre poiché Im[B] R, le colonne di B non hanno componenti lungo i vettori w nr +1,..., w n. Pertanto le matrici del sistema nella nuova base à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT hanno la forma à = A r A r r 0 A r ; B = B r 0 ; C = [ C r C r ] Questa forma è detta decomposizione canonica di raggiungibliltà 7

8 DECOMPOSIZIONE DI RAGGIUNGIBILITA x k = Tz k z r k+1 = A r z r k +A r rz r k +B ru k z r k+1 = A r z r k Data la struttura triangolare a blocchi della matrice à della decomposizione canonica, gli autovalori di A (coincidenti con quelli di Ã) sono dati dall insieme degli autovalori di A r (detti autovalori raggiungibili) e di quelli di A r (detti autovalori non raggiungibili) Schema a blocchi del sistema decomposto u k B r z r k+1 z 1 z r k C r A r A r r y k z r k+1 z 1 z r k C r A r 8

9 DECOMPOSIZIONE DI RAGGIUNGIBILITA Teorema. Gli autovalori non raggiungibili non compaiono tra i poli della funzione di trasferimento G(z) di un sistema. Dimostrazione. Poiché la funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni nello spazio degli stati, G(z) = C(zI A) 1 B = C(zI Ã) 1 B 1 [ ] = C r C r zi A r A r r B r 0 A r 0 [ ] = C r (zi A r) 1 B r C r 0 (zi A r ) 1 0 = C r (zi A r ) 1 B r Si osserva quindi che G(z) non ha come poli gli autovalori di A r, si ha allora una cancellazione polo/zero in G(z) per ogni autovalore non raggiungibile Osservando lo schema a blocchi della decomposizione di raggiungibilità, si nota che gli autovalori non raggiungibili corrispondono ai modi della sottomatrice A r, che non sono influenzati dall ingresso. Tali modi evolvono quindi sempre liberamente e non possono comparire nella relazione ingressouscita, ovvero la funzione di trasferimento. 9

10 CONTROLLABILITA Problema della controllabilità. Determinare una sequenza d ingresso U n tale da portare a zero (in n passi) lo stato del sistema a partire da uno stato iniziale x 0, ovvero tale che 0 = A n x 0 +RU n Il problema ha soluzione se e solo se A n x 0 R ovvero se A n x 0 è uno stato raggiungibile. Il problema ammette soluzione per ogni x 0 se e solo se al variare di x 0, lo stato A n x 0 è sempre raggiungibile, ovvero se e solo se Im[A n ] R In questo caso il sistema è detto completamente controllabile Se un sistema è completamente raggiungibile, allora è anche completamente controllabile, infatti banalmente Im[A n ] R = R n Proprietà. Un sistema è completamente controllabile se e solo se gli autovalori non raggiungibili sono tutti nulli. Infatti, poiché l evoluzione dei modi non raggiungibili è libera e non è influenzata dall ingresso, lo stato del sistema può andare a zero in n passi per qualunque stato iniziale in corrispondenza di un opportuno ingresso se e solo se l evoluzione libera della parte non raggiungibile va a zero in tempo finito per qualunque stato iniziale, ovvero se e solo se A r ha autovalori tutti nulli. 10

11 ALLOCAZIONE DEGLI AUTOVALORI x k+1 = Ax k + Bu k ; x k R n, u k R y k = Cx k Si consideri una legge di controllo in retroazione dallo stato statica e stazionaria u k = Fx k +v k Sistema ad anello chiuso x k+1 = (A+BF)x k + Bv k y k = Cx k Sia T una trasformazione che porta il sistema in decomposizione di raggiungibilità (Ã, B, C) e sia F = FT = [F r F r ] la matrice F nella nuova base. La matrice A del sistema ad anello chiuso nella nuova base vale Ã+ B F = A r A r r 0 A r + B r [ ] F r F r = 0 A r +B r F r A r r +B r F r 0 A r Pertanto il controllo modifica solo il sottosistema raggiungibile (e quindi i soli autovalori raggiungibili di A). Il sottosistema non raggiungibile resta inalterato Problema. Determinare una legge di retroazione dallo stato in modo che il sistema ad anello chiuso soddisfi opportune specifiche Sono note le relazioni tra le prestazioni della risposta libera o forzata ed i poli/autovalori (es. deadbeat, specifiche di prontezza/smorzamento) Si tratta di progettare la legge di controllo in modo da posizionare gli autovalori (necessariamente della sola parte raggiungibile) del sistema in modo conforme alle specifiche (allocazione degli autovalori) 11

12 ALLOCAZIONE DEGLI AUTOVALORI Problema. Dato un sistema completamente raggiungibile, ad un solo ingresso, determinare una legge di retroazione dallo stato in modo che gli autovalori λ 1,...,λ n del sistema ad anello chiuso siano pari a valori desiderati Teorema. Un sistema è completamente raggiungibile se e solo se esiste una trasformazione di coordinate T che porta il sistema nella cosiddetta forma canonica di raggiungibilità 0.  = 0 a 0 I n 1 a 1... a n 1 ; ˆB = e tale trasformazione vale T = R a 1 a 2 a a n 2 a n a n = RH dove R è la matrice di raggiungibilità del sistema e a n 1,...a 0 sono i coefficienti del polinomio caratteristico di A p A (λ) = λ n +a n 1 λ n a 0 = det(λi A) La matrice  della forma canonica di raggiungibilità è detta in forma compagna del polinomio caratteristico (detta così perché gli unici coefficienti diversi da 0 e da 1 che compaiono in  sono quelli di p A(λ)) 12

13 ALLOCAZIONE DEGLI AUTOVALORI Si consideri un sistema raggiungibile ed una legge di controllo F. Si porti il sistema in forma canonica di raggiungibilità (Â, ˆB,Ĉ) mediante la trasformazione T = RH. La matrice F nella nuova base vale ˆF = FT. Si ponga ˆF = [ˆf 0 ˆf1... ˆfn 1 ] Sistema ad anello chiuso in forma canonica 0 Â+ˆB ˆF. I n 1 = 0 a 0 + ˆf 0 a 1 + ˆf 1... a n 1 + ˆf n 1 ; ˆB = Polinomio caratteristico ad anello chiuso (invariante rispetto alla trasformazione di coordinate!) p A+BF (λ) = pâ+ˆb ˆF(λ) = λ n +(a n 1 ˆf n 1 )λ n (a 0 ˆf 0 ) È quindi possibile fissare arbitrariamente i coefficienti del polinomio caratteristico (e quindi gli autovalori) del sistema ad anello chiuso scegliendo ˆF = [a 0 d 0... a n 1 d n 1 ] dove p d (λ) = λ n +d n 1 λ n d 0 è il polinomio caratteristico desiderato 13

14 ALLOCAZIONE DEGLI AUTOVALORI Calcolo della matrice di retroazione nella base originaria F = ˆFT 1 = ˆF(RH) 1 = [a 0 d 0... a n 1 d n 1 ](RH) 1 Metodo alternativo: formula di Ackermann F = [ ]R 1 p d (A) dove p d (A) = A n +d n 1 A n d 0 I Scilab 1. F=-ppol(A,B,P) Allocazione autovalori dove P= [λ 1... λ n ] è il vettore degli autovalori ad anello chiuso desiderati Per problemi di piccole dimensioni, si può impostare direttamente l equazione p A+BF (λ) = p d (λ) conf = [f 0 f 1... f n 1 ]erisolverenelleincognitef 0,...,f n 1 uguagliando i polinomi coefficiente a coefficiente Importante. Se il sistema non è completamente raggiungibile, i metodi visti possono essere impiegati per l allocazione degli autovalori del solo sottosistema raggiungibile. Gli autovalori del sottosistema non raggiungibile non possono mai essere cambiati! 14

15 STABILIZZABILITA Problema della stabilizzazione. Determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato statica stazionaria che renda il sistema ad anello chiuso asintoticamente stabile La soluzione è un caso particolare del problema di allocazione degli autovalori Se il sistema è completamente raggiungibile, il problema ha soluzione sotto forma di retroazione statica dello stato, poiché in questo modo è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori ed in particolare renderli asintoticamente stabili Se il sistema non è completamente raggiungibile, il problema ha soluzione solo se gli autovalori del sottosistema non raggiungibile, che non sono modificabili, sono già asintoticamente stabili Un sistema è detto stabilizzabile se i suoi autovalori non raggiungibili sono asintoticamente stabili Una matrice di retroazione che stabilizza un sistema definito dalle matrici A e B si dice che stabilizza la coppia (A,B) 15

16 ALLOCAZIONE AUTOVALORI: SPECIFICHE Si possono seguire i criteri usati nella sintesi diretta Sistema ad anello chiuso con poli dominanti complessi coniugati con smorzamento e pulsazione naturale corrispondenti alle specifiche di transitorio I poli rimanenti possono essere allocati per soddisfare ulteriori specifiche Possono essere posti in zero, in modo che la loro dinamica si esaurisca in un tempo finito, o comunque in posizione stabile non dominante Inseguimento di un riferimento r k a gradino L allocazione degli autovalori non tiene conto di eventuali requisiti di inseguimento di segnali a regime! Sieffettuaunascalaturadelriferimentocherendapariaunoilguadagno in continua ad anello chiuso r k u k x k+1 x K B z 1 k C y k A F 16

17 INSEGUIMENTO DEL RIFERIMENTO Legge di retroazione dallo stato modificata u k = Fx k +Kr k Sistema ad anello chiuso x k+1 = (A+BF)x k + BKr k y k = Cx k Per un riferimento a gradino unitario, a regime (il sistema ad anello chiuso deve essere asintoticamente stabile!) tutte le variabili tendono a valori costanti, pertanto si ha x = (A+BF)x + BK y = Cx Imponendo y = 1 ed eliminando x si ottiene K = 1 C(I (A+BF)) 1 B Nota. I (A+BF) è invertibile se, come dev essere, non ci sono autovalori ad anello chiuso in z = 1 Questo approccio garantisce errore a regime di inseguimento al gradino nullo ma non tiene conto dell errore dovuto ad eventuali disturbi d k r k u k x k+1 x k K B z 1 C y k A F 17

18 RETROAZIONE DALLO STATO CON AZIONE INTEGRALE d k r k e k 1 q k u k x k+1 x K B z 1 k _ z 1 C y k A F x k+1 = Ax k +B(Fx k +Kq k +d k ) q k+1 = q k +e k = q k y k +r k = q k Cx k +r k Lo stato ψ k del sistema complessivo è dato dall insieme di x k e dello stato q k dell integratore, ψ k = [x k q k]. In forma compatta il sistema si scrive dove A aug = ψ k+1 = (A aug +B aug F aug )ψ k + Bd k A 0 C 1, B aug = B 0 r k [ ], F aug = F K Si supponga d k = d (disturbo costante) e r k = r (riferimento a gradino). Se sisceglief aug (ovverol insiemedif ek)inmododastabilizzareasintoticamente la coppia (A aug,b aug ) (risolvendo quindi un problema di allocazione degli autovalori di dimensione n + 1) allora gli errori a regime di inseguimento e dovuto al disturbo sono nulli per il principio del modello interno (infatti si realizza un anello internamente stabile con un integratore a monte dell entrata del disturbo) Lo schema funziona anche se il disturbo costante entra in un altro punto del sistema a valle dell integratore 18