Trasformazione della metrica per cambiamenti di coordinate

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1 TERZA ESERCITAZIONE Trasformazione della metrica per cambiamenti di coordinate Consideriamo lo spazio di Minkowski in coordinate cartesiane {x µ } (x, x, x, x 3. La sua metrica è ds (dx + (dx + (dx + (dx 3 g µν dx µ dx ν ( η µν. ( Consideriamo le coordinate polari {x α } (x, r, θ, φ, definite mediante la trasformazione di coordinate x x x µ x µ x (x α : r sin θ cos φ x. (3 r sin θ sin φ x 3 r cos θ Trasformiamo la metrica in coordinate polari. Potremmo ( utilizzare la formula di trasformazione del tensore metrico, che è un tensore : g α β Λµ α Λν β g µν. (4 Tuttavia, per determinare la trasformazione della metrica per un cambiamento di coordinate, esiste un metodo a volte più veloce: è sufficiente sostituire nella ( la trasformazione delle forme di base ω (µ dx µ, dx µ xµ x α dx α (5 che può essere ottenuta differenziando le x µ (x α (nel nostro caso le (3: dx dx dx sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ r sin θ sin φdφ dx sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ dx 3 cos θdr r sin θdθ. (6 Sostituendo nella ( si trova la metrica dello spazio piatto in coordinate polari: dx (dx + dr + r dθ + r sin θ dφ. (7

2 g µν e la sua inversa Data la metrica g µν, definiamo la metrica gli indici alti g µν dalla relazione: g µσ g σν δ µ ν. (8 Per la (8, se associamo a g µν una matrice g (g µν, la matrice associata a g µν sarà la matrice inversa: g (g µν. Notare che, poichè la metrica indici alti permette di innalzare gli indici di un tensore, e cioe g µσ g σν g µ ν dalla (8 segue che g µ ν δ µ ν (9 ovvero la metrica un indice alto e uno basso è sempre coincidente la delta di Kroneker. Innalzamento e abbassamento di indici Consideriamo lo spazio di Minkowski in coordinate sferiche {x µ } (t, r, θ, φ. La sua metrica è ds dt + dr + r dθ + r sin θdφ g µν dx µ dx ν ( r r sin θ La metrica inversa sarà la matrice inversa: Consideriamo il vettore V di componenti e la -forma U di componenti r r sin θ. (. ( V µ (r,,, (3 U µ (,, r, r sin θ. (4 Abbassiamo l indice del vettore V, ottenendo le componenti della -forma ad esso associata: V µ g µν V ν ( r,,, r sin θ. (5

3 Innalziamo l indice della -forma U, ottenendo le componenti del vettore ad essa associato: U µ g µν U ν (,, r, r sin θ. (6 Il prodotto scalare U V può essere calcolato in diversi modi: U V U µ V µ g µν U µ V ν g µν U µ V ν r sin θ. (7 Consideriamo ora lo spazio di Minkowski in coordinate cilindriche {x µ } (t, r, φ, z. La sua metrica è ds dt + dr + r dφ + dz g µν dx µ dx ν (8 r La metrica inversa sarà la matrice inversa: r ( Consideriamo il tensore di componenti T µν Innalziamo il primo indice. T µ ν gµσ T σν. (9 r sin φ r cos φ r r sin φ r cos φ. (. ( r sin φ r cos φ. ( Notare che nel prodotto righe per colonne abbiamo scritto a sinistra la metrica e a destra il tensore T perchè in questo modo l indice sommato (in questo caso σ è affiancato. 3

4 Innalziamo il sedo indice. T ν µ g νσ T µσ T µσ g σν r sin φ r cos φ r sin φ r cos φ r. (3 Notare che nel prodotto righe per colonne stavolta abbiamo scritto a sinistra il tensore T e a destra la metrica perchè in questo modo l indice sommato (in questo caso σ è affiancato. Notare inoltre che T ν µ T µ ν. (4 Calcoliamo ora la traccia del tensore T ; essa può essere calcolata in diversi modi equivalenti: trt g µν T µν g µν T µν T µ µ T µ µ Lunghezze di cammini + sin φ. (5 Sia S la varietà differenziabile data dall insieme dei punti che costituiso la sfera di raggio R, cui associamo le coordinate polari {x µ } (θ, φ definite in e sia < θ < π < φ < π (6 ds R dθ + R sin θdφ g µν dx µ dx ν (7 ( R R sin θ la metrica in essa definita. Determiniamo la lunghezza di un cammino su questa varietà. un cammino C, ovvero una serie nessa di punti sulla varietà. parametrizzazione è detta curva L elemento di lunghezza sulla varietà è (8 Sia dato Una sua λ [, ] {x µ (λ}. (9 ds ds g µν dx µ dx ν (3 4

5 per cui lungo la curva e la lunghezza finita del cammino è s ds dx g µ dx ν µν ds g µν dx µ (3 dx ν. (3 Anche se è necessario parametrizzare il cammino per calcolarne la lunghezza, il valore della lunghezza non dipende dalla parametrizzazione scelta. Nel caso della sfera di raggio R, la (3 diventa ( ( dθ dφ s R + sin θ. (33 Applichiamo la formula (33 ad alcuni casi creti.. Si sideri il cammino in figura. Esso va da (, π 4 a ( π, π 4. Scegliamo Figure : A sinistra rappresentiamo il cammino scelto sulla sfera S, a destra la sua rappresentazione in coordinate polari in R, cioè nel piano (θ, φ. la parametrizzazione λ [, ] (θ (λ, φ (λ: ( π (θ (λ, φ (λ λ, π. (34 4 Indicando. la derivata rispetto a λ, si ha che il vettore tangente è: ( ( θ, φ π,. (35 La lunghezza del cammino è quindi: (π π s R R. (36 5

6 Figure : A sinistra rappresentiamo il cammino scelto sulla sfera S, a destra la sua rappresentazione in coordinate polari in R, cioè nel piano (θ, φ.. Si sideri il cammino in figura. Esso va da (θ, a (θ, π. Scegliamo la parametrizzazione λ [, ] (θ (λ, φ (λ (θ, πλ. (37 Il vettore tangente è: ( θ, φ (, π (38 quindi la lunghezza del cammino è: s R sin θ (π πr sin θ. (39 Se cambiamo la parametrizzazione, ad esempio λ [, ] (θ (λ, φ (λ ( θ, πλ. (4 il vettore tangente diventa ( θ, φ (, 4πλ (4 e la lunghezza del cammino è s R sin θ (4π λ R sin θ 4π λ πr sin θ. (4 Come si vede, la lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. 3. Si sideri il cammino in figura 3. Esso va da (, a ( π, π. Scegliamo la parametrizzazione λ [, ] ( π (θ (λ, φ (λ λ, π λ. (43 6

7 Figure 3: A sinistra rappresentiamo il cammino scelto sulla sfera S, a destra la sua rappresentazione in coordinate polari in R, cioè nel piano (θ, φ. Il vettore tangente è: ( ( θ, φ π, π (44 quindi la lunghezza del cammino è: (π ( s R + sin π ( π π λ R dα + sin α. (45 Questo integrale è piuttosto difficile da risolvere. In generale, a meno di scegliere percorsi semplici, si ottengono facilmente integrali non banali. 7