Soluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I

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1 Soluzioi degli esercizi del corso di Aalisi Matematica I Prof. Pierpaolo Natalii Roberta Biachii & Marco Pezzulla ovembre 015

2 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x 1 x + 1 π/3.. Dimostrare, mediate la defiizioe di limite, che 3x + 1 lim x 0 x + 1 = Dimostrare che, N 0, 3, vale: 4. Sia A = { x R/ x = > + 1. } 3 si, N. Studiare la limitatezza di A. Determiare gli evetuali sup A, if A, max A, mi A. Giustificare le risposte utilizzado le defiizioi. 5. Sia {a } la successioe defiita da a =. Studiare la limitatezza di {a }. Determiare gli evetuali sup a, if a, max a, mi a. Giustificare le risposte utilizzado le defiizioi. 6. [ Stabilire l ivertibilità della fuzioe f(x) = cos(3x) ell itervallo I = π, ] π 3 3. I caso affermativo determiare l espressioe esplicita della fuzioe iversa di f. 1

3 Soluzioi 1. Per studiare il domiio della fuzioe f(x) dobbiamo imporre che l argometo della radice quadrata o sia egativo e l argometo della fuzioe arccos sia compreso tra 1 e 1. Duque dobbiamo itersecare l isieme delle soluzioi della disequazioe x 1 0 co quello delle soluzioi delle due disequazioi 1 x 1 x+1 1 (è equivalete studiare x 1 x+1 1). I particolare, x 1 0 ha come isieme delle soluzioi l isieme Per trovare, ivece, le soluzioi di S 1 = (, 1] [1, + ). 1 x 1 x si procede co lo studio di u sistema di due equazioi irrazioali. Le due disequazioi soo le segueti: x 1 x e x 1 x La prima disequazioe è equivalete al seguete sistema di disequazioi { x 1 0 x 0 x 1 x che ha come isieme delle soluzioi l itersezioe S 1 [0, + ) R = [1, + ). Le soluzioi della secoda disequazioe soo rappresetate dall uioe delle soluzioi dei due sistemi di disequazioi segueti: { x 1 0 x 0 x 1 x 4x + 4 { x 1 0 x < 0, dove il primo ha come isieme delle soluzioi l itersezioe S 1 [, + ) [5/4, + ) = [, + )

4 e il secodo ha come isieme delle soluzioi l itersezioe S 1 (, ) = (, 1] [1, ). L uioe dell isieme delle soluzioi dei sue sistemi è quidi S 1. A questo puto, il domiio della fuzioe f(x) è dato dall itersezioe degli isiemi delle soluzioi delle due disequazioi ed è, quidi, la semiretta [1, ). Occupiamoci del sego sego della fuzioe f(x). Allora studiamo la disequazioe f(x) > 0, poi l equazioe f(x) = 0 e, per la legge della tricotomia(:=dati due umeri reali x ed y si verifica ua e ua sola delle codizioi segueti: x < y, x = y, x > y), ua volta risolti questi due problemi avremo a disposizioe ache le soluzioi di f(x) < 0. Esplicitamete: ( ) f(x) > 0 arccos x 1 x + 1 π/3 > 0 ( ) arccos x 1 x + 1 > π/3 e, poiché 1/ = cos(π/3), si ha x 1 x + 1 < 1/ (il sego della disequazioe è stato ivertito perché la fuzioe arccos(x) è strettamete decrescete). Duque dobbiamo risolvere la seguete disequazioe irrazioale x 1 < x 1 che è equivalete al seguete sistema di disequazioi e ha come soluzioi l itersezioe { x 1 0 x 1 > 0 4x 4 < 4x 4x + 1 S 1 (1/, + ) (, 5/4) = [1, 5/4). Quidi la fuzioe f(x) è positiva per x [1, 5/4). Ora cerchiamo le x per cui la fuzioe si aulla, quidi studiamo ( ) arccos x 1 x + 1 π/3 = 0. 3

5 Co u discorso del tutto aalogo a quello fatto per risolvere la precedete disequazioe, si trovao le soluzioi dell equazioe equivalete x 1 x + 1 = 1/, che è verificata per x = 5/4. Possiamo, quidi, cocludere che f(x) > 0 se x [1, 5/4) f(x) = 0 se x = 5/4 f(x) < 0 se x (5/4, + ).. Dimostriamo per iduzioe. Verifichiamo iazitutto il passo iiziale: = 3. 3 > Suppoiamo che la relazioe valga per co 3 (ipotesi iduttiva) e dimostriamo che vale per + 1. Questo vuol dire dimostrare la validità di ( + 1) > ( + 1) + 1, cioè di > ( + 1) +. Ma > ( + 1) per l ipotesi iduttiva, quidi la precedete disequazioe diveta [ ] > >, quidi 1. Per = 1,, però, si può verificare che la disuguagliaza risulta falsa (per esempio, per = 4 > + 1), quidi, poiché il passo iiziale vale per = 3, la disuguagliaza risulta verificata Vogliamo dimostrare che ε > 0, δ(ε) > 0 tale che x 0 < δ f(x) 1 < ε. Per fare questo risolviamo f(x) 1 < ε e determiiamo l itervallo delle x i cui questa disequazioe risulta verificata. Tale itervallo ci permetterà di scrivere, i fuzioe di ε, l espressioe del δ cercato (ricordiamo che δ dipede da ε (δ(ε)). Quidi: 3x + 1 x < ε; 4

6 x x + 1 < ε. La disequazioe co il modulo equivale all uioe dei segueti sistemi: Studiamo il sego di S 1 = { x { x < 1 x 0 { x ε(x+1) x+1 < 0 x R 0 < x < { sistema, metre S = x+1 0 x x+1 < ε { x x+1 < 0 x x+1 < ε. x. Allora i sistemi divetao: x + 1 { 1 < x < 0 x ε(x+1) < 0 x+ε(x+1) > 0. x+1 x+1 } ε 1 ε x R è l isieme delle soluzioi del primo } ε < x < 0 1 ε l isieme delle soluzioi del secodo sistema. Questo sigifica che la disequazioe iiziale f(x) 1 < ε risulta valida i S 1 S, quidi per ε < x < ε. 1+ε 1 ε A questo puto, mi{ ε, ε } = ε, duque la disequazioe vale 1+ε 1 ε 1+ε ε per x < e, chiaramete, δ = ε 1+ε 1+ε. 4. Coviee scrivere il geerico elemeto di A el seguete modo: x = 3 si() Poiché, N, 0. < si() < 1, si ha < 3 = 3 si(), N. si < 3, N, da cui segue la limitatezza di A. Dimostriamo che 3 = sup A. Dobbiamo dimostrare che cioè che ε > 0 N / 3 si() ε > 0 N / si() 5 > 3 ε, < ε.

7 I altri termii, occorre far vedere che l isieme S 1 delle soluzioi della disequzioe si() < ε cotiee almeo u umero aturale, qualuque sia il umero ε > 0 fissato. Poiché o siamo i grado di determiare S 1, sfruttiamo la maggiorazioe si() < 1, ε > 0, e determiiamo l isieme S delle soluzioi della disequzioe 1 < ε. Si ottiee ( ) 1 S = ε, + N, che è o vuoto per l illimitatezza N di i R. I coclusioe, basta far vedere che S S 1, i modo tale che ( ) 1 ε, + N S 1 N. Sia S. Allora si ha si( ) < 1 < ε, da cui segue S 1, cioè la tesi. L isieme A o è dotato di massimo assoluto. Dimostriamo ora che il umero 3 si(1) =.986 è il miimo assoluto di A. Ciò si può ituire dal fatto che la sequeza si() tede a 0 al tedere di a. Ovviamete 3 si(1) A, quidi basta far vedere che 3 si(1) è u miorate di A. Teuto coto che si(1) > 0.017, si ottiee che quidi se > 58 si ha ovvero 1 < > si() 3 si() < 1 < si(1), 58.8 > 58, > 3 1 > 3 si(1). Dal cofroto diretto tra i umeri 3. si(), co itero da 1 a 57, si determia il valore miimo per = 1. 6

8 5. Dimostriamo dapprima che la successioe è strettamete crescete, cioè che a < a +1, N. Dalla relazioe risulta < ( + 1) ( + 1) < < che ovviamete è soddisfatta N. Quidi si ha che 0 = mi a. Dimostriamo ora che la successioe è illimitata superiormete. Dobbiamo far vedere che K > 0 N / > K, che equivale a dire che o esiste u miorate per la successioe. L isieme delle soluzioi della disequazioe > K, dove la costate K deve essere iterpretata come umero molto grade, è ( S =, 1 ) ( ) 1 + 4K K, + N ( ) K =, + N, che è o vuoto per l illimitatezza N di i R. Da ciò segue la tesi. 6. La fuzioe f(x) è la composizioe della fuzioe h(x) = 3x e della fuzioe k(t) = cos(t). Notiamo ioltre che se x varia i [π/3, π/3] allora t varia i [π, π]. Sia la fuzioe h(x) che la fuzioe k(t) soo mootòe cresceti egli itervalli appea specificati; quidi ache f(x) lo è, dato che f(x) = k(h(x)). Per trovare f 1(y), dobbiamo trovare sia k 1 che h 1. Ifatti f 1 (y) = h 1 (k 1 (y)). Prima di tutto dobbiamo ivertire k(t) = cos(t) co t [π, π]. La fuzioe cercata o è t = arccos(y), perché questa è l iversa di cos(t) co t [0, π]. La ostra fuzioe si ottiee o riflettedo la fuzioe arccos(y) rispetto all asse t e traslarla di π verso l alto, o riflettedo la fuzioe arccos(y) rispetto all asse y e traslarla di π verso l alto. La fuzioe iversa di h(x) è facile da trovare ed è x = h 1 (y) = y/3. Possiamo cocludere che x = f 1 arccos(y) + π (y) = = arccos( y) + π

9 Figura 1: I rosso: cos(x) i [π, π]. I verde: la sua iversa. I blu: arccos(x). 8