01CXGBN Trasmissione numerica

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1 0CXGBN rasmissione numerica parte 3: Spazio dei segnali, rappresentazione vettoriale

2 Lo spazio dei segnali Introduciamo una rappresentazione vettoriale dei segnali della costellazione M Serve a semplificare i problemi in ricezione, dove invece di lavorare con le forme d onda s i (t), è più semplice lavorare con dei vettori. 2

3 Lo spazio dei segnali Procedimento:. Dati i segnali di M si costruisce una base ortonormale B. 2. Si lavora nello spazio dei segnali S generato da B. 3. Ogni segnale di S si può esprimere come combinazione lineare dei segnali di B corrisponde ad un vettore di numeri reali (=coefficienti combinazione lineare) 3

4 Proprietà della base ortonormale Data la costellazione M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } Cerchiamo una base B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } (d m) B = insieme di segnali. ortogonali 2. con energia unitaria 0 b () t b() t dt = 0 when j i j i 2 b t dt = j 0 () 3. in numero d minimo e sufficiente a poter scrivere ogni segnali d di M come combinazione lineare s () t = s b () t s R i ij j ij j= 4

5 Costruzione della base B Data M, come si costruisce B? Per costellazioni semplici, non è difficile trovare la base B In ogni caso, esiste un algoritmo che consente sempre di costruire una base in modo sistematico: Algoritmo di Gram-Schmidt 5

6 Algoritmo di Gram-Schmidt M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } SEP Dato s (t) calcoliamo il primo versore definiamo c () t = s () t normalizziamo b() t c () t = ( se ) E( c ) c () t = 0 b() t = 0 Alla fine dell algoritmo, tutti i b () t = 0 j verranno eliminati 6

7 Algoritmo di Gram-Schmidt Dato s 2 (t), cerchiamo il secondo versore SEP 2 Calcoliamo la priezione sul primo versore definiamo s = s () t b() t dt c () t = s () t s b() t normalizziamo b () t 2 = c 2 () t E( c ) 2 ( se c () t = 0 2 b () t = 0 2 ) 7

8 Algoritmo di Gram-Schmidt s = s () t b() t dt Si noti che: c () t = s () t s b() t se (s 2 (t) è proporzionale a ) e nessun nuovo versore viene trovato c () t = 0 2 b() t b () t = 0 2 se c () t 0 2 (s 2 (t) non è proporzionale a b() (t) t ) b () t 0 e si ottiene un nuovo versore 2 8

9 Algoritmo di Gram-Schmidt Dato s i (t) 3 i m SEP i Calcoliamo la proiezione su tutti i versori costruiti fino a quel momento definiamo s = s () t b () t dt j i ij i j o i c () t s () t s b () t = i i ij j j= normalizziamo b() t i ci () t = ( se ci () t = 0 bi () t = 0 ) Ec ( ) i 9

10 Algoritmo di Gram-Schmidt s ij i j o Si noti che: = s () t b () t dt i c () t s () t s b () t = i i ij j j= se i (s i (t) è ottenibile come combinazione lineare dei versori costruiti fino a quel momento ) e nessun nuovo versore viene trovato se c () t 0 (s i (t) non è una combinazione lineare) c () t = 0 b() t = 0 i i b() t 0 i e si ottiene un nuovo versore 0

11 Algoritmo di Gram-Schmidt SEP Finale Si cancellano tutti i segnali b i (t) () t = 0 Si rinumerano tutti quelli diversi da zero: b i (t) Si ha la base i B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } (d m)

12 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P (), t s () t = P ()} t 2 Si costruisca una base ortonormale B. B= b () t =+ P () t 2

13 Esempio Data la costellazione ( f 0 multiplo intero di /) M = { s () t =+ P ()cos(2 t π f t), s () t = P ()cos(2 t π f t)} Si costruisca una base ortonormale B. 2 B= b() t =+ P ()cos(2 t π f0t) Si utilizzi la proprietà 2 x sin 2x cos xdx=

14 Esercizio Data la costellazione M = { s () t =+ AP ()cos(2 t π f t), s () t =+ AP ()sin(2 t π f t)} Costruire una base ortonormale B. 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) 4

15 Costruzione della base Per costellazioni semplici, è spesso possibile costruire una base ortonormale B per ispezione diretta, senza dover ricorrere a Gram Schmidt. È sufficiente trovare d segnali che soddisfano la definizione di base ortonormale. ortogonali 2. con energia unitaria 3. In numero d minimo e sufficiente a poter scrivere ogni segnale di M come combinazione lineare Inoltre la base B non è unica (tuttavia, data una costellazione M, tutte le possibili basi B hanno la stessa dimensione d) 5

16 Esercizio Data la costellazione M = { s () t = 0, s () t =+ P ()} t 2 Costruire una base ortonormale B. B= b () t =+ P () t 6

17 Esercizio Data la costellazione M = { s () t =+ AP ()cos(2 t π f t), s () t =+ AP ()sin(2 t π f t), s () t = AP ()cos(2 t π f t), s () t = AP ()sin(2 t π f t)} Costruire una base ortonormale B. 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) 7

18 Lo spazio dei segnali S Data la base B B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } lo spazio dei segnali S generato da B è d S = a() t = a b () t a R j= j j j (insieme di tutti i segnali che si possono scrivere come combinazione lineare dei versori di B) 8

19 Esercizio Data la base B B= b () t =+ P () t Cos è lo spazio dei segnali S? S = insiemedi tuttii segnalicostantinell intervallo[0,[ 9

20 Esercizio Data la base B Cos è lo spazio dei segnali S? 2 B= b() t =+ P ()cos t 2 f0t ( π ) S = insieme di tutti i segnali di tipo coseno con frequenza f 0, fase iniziale nulla, ampiezza qualsiasi e durata [0,[ 20

21 Esercizio Data la base B 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) Cos è lo spazio dei segnali S? S = insieme di tutti i segnali sinusoidali di frequenza f 0 con fase iniziale qualsiasi, ampiezza qualsiasi e durata [0,[ Ricordando che Acos(2 π ft ϑ) = Acosϑ cos(2 π ft) + Asinϑ sin(2 π ft) ( ) ( )

22 Rappresentazione vettoriale Fissata la base B, per ogni segnale a(t) S abbiamo d at () = ab j j() t j= scrittura unica Il segnale a(t) corrisponde quindi in modo unico ad un vettore reale con d componenti (i coefficienti a j della combinazione lineare): at ( ) a= ( a,..., a,..., a) j d 22

23 Rappresentazione vettoriale Dal segnale a(t) al vettore a : at () a j = 0 Proiezione sul versore b j (t) a() t b () t dt j a= ( a,..., a,..., a ) j d 23

24 Rappresentazione vettoriale della costellazione Certamente abbiamo M S Quindi ogni segnale s i (t) S Di conseguenza, ogni segnale della costellazione M corrisponde in modo unico ad un vettore reale con d componenti: s ( t) s = ( s,..., s,... s ) i i i ij id 24

25 Rappresentazione vettoriale della costellazione Dal segnale s i (t) al vettore s i s () t i s = s () t b () t dt ij i j 0 Proiezione sul versore b j (t) s = ( s,..., s,..., s ) i i ij id 25

26 Rappresentazione vettoriale della costellazione s ( t) s = ( s,..., s,... s ) i i i ij id Costellazione M come insieme di segnali Costellazione M come insieme di vettori M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } M = { s,, s i,, s m } 26

27 Rappresentazione vettoriale della costellazione Metodo alternativo, spesso possibile: per ispezione diretta, senza calcolare esplicitamente le proiezioni. Scrivendo s () t = s b() t s b () t +... s b () t i i ij j id d I segnali b j (t) della base sono noti. Esplicitando le espressioni del segnale s i (t), si riesce spesso ad individuare un insieme di coefficienti s ij che soddisfa l equazione. La soluzione è unica. 27

28 Rappresentazione vettoriale della costellazione Lo spazio S è isomorfo allo spazio Euclideo R d (insieme di tutti i vettori con d componenti reali) Lo possiamodisegnarecome unospaziocartesiano Se d=, S R e può essere disegnato come una linea -D Se d=2, S R 2 e può essere disegnato come un piano 2-D If d=3, S R 3 e può essere disegnato come uno spazio 3-D 28

29 Rappresentazione vettoriale della costellazione M = { s,, s i,, s m } La costellazione M, intesa come insieme di vettori, coincide quindi con un sottoinsieme di R d (ovvero un insieme di m punti nello spazio Euclideo R d ) Scriveremo M R d 29

30 Esempio Esempio di costellazione -D (PAM) 0 30

31 Esempio Esempio di costellazioni 2-D PSK QAM 3

32 Energia dei segnali Dato un segnale a(t) S La sua energia è data dalla 2 ( ) ( ) Ea = a tdt 0 Data la sua rappresentazione vettoriale at ( ) ( a,..., a,... a) j d è facile mostrare che (identità di Parseval) d Ea ( ) = a j= 2 j 32

33 Energia dei segnali Infatti, poiché d at () = ab j j() t j= d d d j j j j j 0 0 j= 0 j= 0 0 j= 0 E( a) = a () t dt = [ a b ()] t dt = a b () t dt = a Dove abbiamo usato la proprietà di ortogonalità 0 b () t b() t dt = 0 se i j j i 33

34 Energia della costellazione Data una costellazione con {,...,,..., } d M = s s s R s = ( s,..., s,..., s ) i i ij id i d abbiamo: Es ( ) L energia media della costellazione è definita come: dove P(s i ) è la probabilità di trasmettere s i E i m d = s j= 2 ij = P( s ) E( s ) s i i i= 34

35 Energia della costellazione Sequenze binarie informazione: random ideali Vettori binari v H k equiprobabili Il labeling è un mapping uno-a-uno e: Hk M I segnali della costellazione ( ) Ps i = m si M sono equiprobabili L energia della costellazione è semplicemente: E s m = m i = E( s ) 35 i

36 Energia per bit di informazione Energia media necessaria per trasmettere un bit di informazione mediante M E b = E k S 36

37 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P (), t s () t = P ()} t 2 Disegnare la costellazione. 37

38 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P ()cos(2 t π f t), s () t =+ P ()sin(2 t π f t), s () t = P ()cos(2 t π f t), s () t = P ()sin(2 t π f t)} Disegnare la costellazione Calcolare E s e E b 38

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