01CXGBN Trasmissione numerica
|
|
- Fabia Beretta
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 0CXGBN rasmissione numerica parte 3: Spazio dei segnali, rappresentazione vettoriale
2 Lo spazio dei segnali Introduciamo una rappresentazione vettoriale dei segnali della costellazione M Serve a semplificare i problemi in ricezione, dove invece di lavorare con le forme d onda s i (t), è più semplice lavorare con dei vettori. 2
3 Lo spazio dei segnali Procedimento:. Dati i segnali di M si costruisce una base ortonormale B. 2. Si lavora nello spazio dei segnali S generato da B. 3. Ogni segnale di S si può esprimere come combinazione lineare dei segnali di B corrisponde ad un vettore di numeri reali (=coefficienti combinazione lineare) 3
4 Proprietà della base ortonormale Data la costellazione M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } Cerchiamo una base B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } (d m) B = insieme di segnali. ortogonali 2. con energia unitaria 0 b () t b() t dt = 0 when j i j i 2 b t dt = j 0 () 3. in numero d minimo e sufficiente a poter scrivere ogni segnali d di M come combinazione lineare s () t = s b () t s R i ij j ij j= 4
5 Costruzione della base B Data M, come si costruisce B? Per costellazioni semplici, non è difficile trovare la base B In ogni caso, esiste un algoritmo che consente sempre di costruire una base in modo sistematico: Algoritmo di Gram-Schmidt 5
6 Algoritmo di Gram-Schmidt M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } SEP Dato s (t) calcoliamo il primo versore definiamo c () t = s () t normalizziamo b() t c () t = ( se ) E( c ) c () t = 0 b() t = 0 Alla fine dell algoritmo, tutti i b () t = 0 j verranno eliminati 6
7 Algoritmo di Gram-Schmidt Dato s 2 (t), cerchiamo il secondo versore SEP 2 Calcoliamo la priezione sul primo versore definiamo s = s () t b() t dt c () t = s () t s b() t normalizziamo b () t 2 = c 2 () t E( c ) 2 ( se c () t = 0 2 b () t = 0 2 ) 7
8 Algoritmo di Gram-Schmidt s = s () t b() t dt Si noti che: c () t = s () t s b() t se (s 2 (t) è proporzionale a ) e nessun nuovo versore viene trovato c () t = 0 2 b() t b () t = 0 2 se c () t 0 2 (s 2 (t) non è proporzionale a b() (t) t ) b () t 0 e si ottiene un nuovo versore 2 8
9 Algoritmo di Gram-Schmidt Dato s i (t) 3 i m SEP i Calcoliamo la proiezione su tutti i versori costruiti fino a quel momento definiamo s = s () t b () t dt j i ij i j o i c () t s () t s b () t = i i ij j j= normalizziamo b() t i ci () t = ( se ci () t = 0 bi () t = 0 ) Ec ( ) i 9
10 Algoritmo di Gram-Schmidt s ij i j o Si noti che: = s () t b () t dt i c () t s () t s b () t = i i ij j j= se i (s i (t) è ottenibile come combinazione lineare dei versori costruiti fino a quel momento ) e nessun nuovo versore viene trovato se c () t 0 (s i (t) non è una combinazione lineare) c () t = 0 b() t = 0 i i b() t 0 i e si ottiene un nuovo versore 0
11 Algoritmo di Gram-Schmidt SEP Finale Si cancellano tutti i segnali b i (t) () t = 0 Si rinumerano tutti quelli diversi da zero: b i (t) Si ha la base i B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } (d m)
12 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P (), t s () t = P ()} t 2 Si costruisca una base ortonormale B. B= b () t =+ P () t 2
13 Esempio Data la costellazione ( f 0 multiplo intero di /) M = { s () t =+ P ()cos(2 t π f t), s () t = P ()cos(2 t π f t)} Si costruisca una base ortonormale B. 2 B= b() t =+ P ()cos(2 t π f0t) Si utilizzi la proprietà 2 x sin 2x cos xdx=
14 Esercizio Data la costellazione M = { s () t =+ AP ()cos(2 t π f t), s () t =+ AP ()sin(2 t π f t)} Costruire una base ortonormale B. 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) 4
15 Costruzione della base Per costellazioni semplici, è spesso possibile costruire una base ortonormale B per ispezione diretta, senza dover ricorrere a Gram Schmidt. È sufficiente trovare d segnali che soddisfano la definizione di base ortonormale. ortogonali 2. con energia unitaria 3. In numero d minimo e sufficiente a poter scrivere ogni segnale di M come combinazione lineare Inoltre la base B non è unica (tuttavia, data una costellazione M, tutte le possibili basi B hanno la stessa dimensione d) 5
16 Esercizio Data la costellazione M = { s () t = 0, s () t =+ P ()} t 2 Costruire una base ortonormale B. B= b () t =+ P () t 6
17 Esercizio Data la costellazione M = { s () t =+ AP ()cos(2 t π f t), s () t =+ AP ()sin(2 t π f t), s () t = AP ()cos(2 t π f t), s () t = AP ()sin(2 t π f t)} Costruire una base ortonormale B. 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) 7
18 Lo spazio dei segnali S Data la base B B = { b (t),, b j (t),, b d (t) } lo spazio dei segnali S generato da B è d S = a() t = a b () t a R j= j j j (insieme di tutti i segnali che si possono scrivere come combinazione lineare dei versori di B) 8
19 Esercizio Data la base B B= b () t =+ P () t Cos è lo spazio dei segnali S? S = insiemedi tuttii segnalicostantinell intervallo[0,[ 9
20 Esercizio Data la base B Cos è lo spazio dei segnali S? 2 B= b() t =+ P ()cos t 2 f0t ( π ) S = insieme di tutti i segnali di tipo coseno con frequenza f 0, fase iniziale nulla, ampiezza qualsiasi e durata [0,[ 20
21 Esercizio Data la base B 2 2 B= b() t = P()cos(2 t π f0t), b2() t = P()sin(2 t π f0t) Cos è lo spazio dei segnali S? S = insieme di tutti i segnali sinusoidali di frequenza f 0 con fase iniziale qualsiasi, ampiezza qualsiasi e durata [0,[ Ricordando che Acos(2 π ft ϑ) = Acosϑ cos(2 π ft) + Asinϑ sin(2 π ft) ( ) ( )
22 Rappresentazione vettoriale Fissata la base B, per ogni segnale a(t) S abbiamo d at () = ab j j() t j= scrittura unica Il segnale a(t) corrisponde quindi in modo unico ad un vettore reale con d componenti (i coefficienti a j della combinazione lineare): at ( ) a= ( a,..., a,..., a) j d 22
23 Rappresentazione vettoriale Dal segnale a(t) al vettore a : at () a j = 0 Proiezione sul versore b j (t) a() t b () t dt j a= ( a,..., a,..., a ) j d 23
24 Rappresentazione vettoriale della costellazione Certamente abbiamo M S Quindi ogni segnale s i (t) S Di conseguenza, ogni segnale della costellazione M corrisponde in modo unico ad un vettore reale con d componenti: s ( t) s = ( s,..., s,... s ) i i i ij id 24
25 Rappresentazione vettoriale della costellazione Dal segnale s i (t) al vettore s i s () t i s = s () t b () t dt ij i j 0 Proiezione sul versore b j (t) s = ( s,..., s,..., s ) i i ij id 25
26 Rappresentazione vettoriale della costellazione s ( t) s = ( s,..., s,... s ) i i i ij id Costellazione M come insieme di segnali Costellazione M come insieme di vettori M = { s (t),, s i (t),, s m (t) } M = { s,, s i,, s m } 26
27 Rappresentazione vettoriale della costellazione Metodo alternativo, spesso possibile: per ispezione diretta, senza calcolare esplicitamente le proiezioni. Scrivendo s () t = s b() t s b () t +... s b () t i i ij j id d I segnali b j (t) della base sono noti. Esplicitando le espressioni del segnale s i (t), si riesce spesso ad individuare un insieme di coefficienti s ij che soddisfa l equazione. La soluzione è unica. 27
28 Rappresentazione vettoriale della costellazione Lo spazio S è isomorfo allo spazio Euclideo R d (insieme di tutti i vettori con d componenti reali) Lo possiamodisegnarecome unospaziocartesiano Se d=, S R e può essere disegnato come una linea -D Se d=2, S R 2 e può essere disegnato come un piano 2-D If d=3, S R 3 e può essere disegnato come uno spazio 3-D 28
29 Rappresentazione vettoriale della costellazione M = { s,, s i,, s m } La costellazione M, intesa come insieme di vettori, coincide quindi con un sottoinsieme di R d (ovvero un insieme di m punti nello spazio Euclideo R d ) Scriveremo M R d 29
30 Esempio Esempio di costellazione -D (PAM) 0 30
31 Esempio Esempio di costellazioni 2-D PSK QAM 3
32 Energia dei segnali Dato un segnale a(t) S La sua energia è data dalla 2 ( ) ( ) Ea = a tdt 0 Data la sua rappresentazione vettoriale at ( ) ( a,..., a,... a) j d è facile mostrare che (identità di Parseval) d Ea ( ) = a j= 2 j 32
33 Energia dei segnali Infatti, poiché d at () = ab j j() t j= d d d j j j j j 0 0 j= 0 j= 0 0 j= 0 E( a) = a () t dt = [ a b ()] t dt = a b () t dt = a Dove abbiamo usato la proprietà di ortogonalità 0 b () t b() t dt = 0 se i j j i 33
34 Energia della costellazione Data una costellazione con {,...,,..., } d M = s s s R s = ( s,..., s,..., s ) i i ij id i d abbiamo: Es ( ) L energia media della costellazione è definita come: dove P(s i ) è la probabilità di trasmettere s i E i m d = s j= 2 ij = P( s ) E( s ) s i i i= 34
35 Energia della costellazione Sequenze binarie informazione: random ideali Vettori binari v H k equiprobabili Il labeling è un mapping uno-a-uno e: Hk M I segnali della costellazione ( ) Ps i = m si M sono equiprobabili L energia della costellazione è semplicemente: E s m = m i = E( s ) 35 i
36 Energia per bit di informazione Energia media necessaria per trasmettere un bit di informazione mediante M E b = E k S 36
37 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P (), t s () t = P ()} t 2 Disegnare la costellazione. 37
38 Esempio Data la costellazione M = { s () t =+ P ()cos(2 t π f t), s () t =+ P ()sin(2 t π f t), s () t = P ()cos(2 t π f t), s () t = P ()sin(2 t π f t)} Disegnare la costellazione Calcolare E s e E b 38
0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliSpazi vettoriali euclidei.
Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti
DettagliQuesta viene trasmessa sul canale (wireless o wired). In questo corso, modellizzeremo il canale di trasmissione come un canale Gaussiano bianco
Canale di trasmissione Dati una costellazione M un labeling binario e è possibile associare alle sequenze binarie di informazione u da trasmettere una forma d onda s(t). Questa viene trasmessa sul canale
DettagliSoluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 11: modulazione 2-PAM
0CXGBN Trasmissione numerica parte : modulazione 2-PAM PARTE 2: Modulazioni Numeriche 2 Modulazioni: introduzione Per ogni modulazione considereremo: Caratteristiche generali Costellazione (insieme di
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliEsercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva)
Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva) Esercizio 1 Siano v e w due vettori non paralleli.sapendo che v è un versore e che v w =3 trovare l espressione di tutti i vettori
DettagliVETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 10: Interferenza intersimbolica
CXGBN rasmissione numerica parte : Interferenza intersimbolica Interferenza intersimbolica Data una costellazione monodimensionale, ad esempio con baricentro nell origine, abbiamo visto che lo spettro
DettagliMiglior approssimazione in spazi euclidei
Miglior approssimazione in spazi euclidei 15 gennaio 2009 1 Introduzione astratta Sia E uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno (, ) (talvolta un tale spazio è detto euclideo, cf. [7, p.148]),
DettagliSerie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N:
Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N: S N (x) = N n=0 (a n cos (nx) + b n sin (nx)), a n, b n R (periodiche
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 6: calcolo delle probabilità I
01CXGBN Trasmissione numerica parte 6: calcolo delle probabilità I 1 Probabilità di errore BER e SER Per rappresentare la bontà di un sistema di trasmissione numerica in termini di probabilità di errore
DettagliEsercizio 2. Consideriamo adesso lo spazio di funzioni V = {f : [0, 1] R}. Dire quali dei seguenti insiemi di funzioni sono sottospazi.
1 Esercizi 1.1 Spazi vettoriali Studiare gli insiemi definiti di seguito, e verificare quali sono spazi vettoriali e quali no. Per quelli che non lo sono, dire quali assiomi sono violati. x 1, x 2, x 3
Dettagli2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.
Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1
Dettagli(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.
1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).
DettagliVolumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014
Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014 1 Definizioni In uno spazio euclideo reale V di dimensione n siano dati k n vettori linearmente indipendenti e sia Π := Π(v 1 v 2... v k ) il parallelepipedo generato
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliProdotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali
CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5
Dettaglivettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **
Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 18: modulazioni m-psk
01CXGBN Trasmissione numerica parte 18: modulazioni m-psk 1 Modulazioni m-psk: caratteristiche 1. Modulazioni in quadratura modulazioni in anda-passante. Costellazione i-dimensionale: m segnali, equispaziati
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliEsercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3.
Esercizi. Soluzioni.. Siano dati i vettori,, R. (i) Far vedere che formano una base di R. (ii) Ortonormalizzarla col metodo di Gram-Schmidt. (iii) Calcolare le coordinate del vettore X = 5 Sol. (i) Usiamo
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
DettagliProdotto scalare. Piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in R n. Piani nello spazio. 19 Dicembre 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio 2
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
Dettagli1 Sistemi di riferimento
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliSpazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari
Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile 2006 1 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo
DettagliEsame di geometria e algebra
Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,
DettagliProdotto scalare e norma
Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliComplemento ortogonale e proiezioni
Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali
DettagliEsercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI
Esercitazione: 16 novembre 009 SOLUZIONI Esercizio 1 Scrivere [ ] equazione vettoriale, parametrica [ ] e cartesiana della retta passante 1 per il punto P = e avente direzione d =. 1 x 1 Soluzione: Equazione
DettagliSoluzioni delle Esercitazioni VIII 21-25/11/2016. = lnx ln1 = lnx. f(t)dt.
Esercitazioni di Matematica Esercitazioni VIII -5//6 Soluzioni delle Esercitazioni VIII -5//6 A. Funzione integrale. La funzione integrale di f nell intervallo [, ] è per definizione F() = dt con [,].
DettagliSpazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale
Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi vettoriali normati Uno spazio Vettoriale V si dice NORMATO se è definita su V una norma, cioè una funzione che verifica: v 0 e v = 0 v = 0 λv = λ v λ R(o
DettagliFormulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010
Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,
DettagliEsercizi svolti. delle matrici
Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5
pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
DettagliElettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 2
Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it
DettagliUn quaternione è un numero complesso con quattro componenti anziché due. Si scrive così :
Un quaternione è un numero complesso con quattro componenti anziché due. Si scrive così : Q = q r + q i i + q j j + q k k ove le quantità q sono numeri reali e i, j e k sono tre unità immaginarie. Quando
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
Dettagli() t. B = insieme di segnali. M = { s 1 (t),, s i (t),, s m (t) } 1 b 1 (t) = 0 ) 2 b 2 (t) = 0 ) Lo spazio dei segnali. Lo spazio dei segnali
Lo spazo e segnal Lo spazo e segnal Inroucao una rappresenazone veorale e segnal ella cosellazone M Serve a seplfcare proble n rcezone, ove nvece lavorare con le fore ona s (), è pù seplce lavorare con
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliSPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 17: Modulazione 4-Offset PSK
01CXGBN Trasmissione numerica parte 17: Modulazione 4-Offset PSK 1 Amplificatori di potenza Amplificatori di potenza (dispositivo che amplifica la forma d onda s(t) da trasmettere sul canale) Tipica caratteristica
DettagliRETTE E PIANI NELLO SPAZIO
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio
DettagliLa Trasformata di Fourier
La Trasformata di Fourier Preliminari: Spazi di Hilbert Da Wikipedia In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo. Gli spazi di Hilbert sono
DettagliCOMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE. Prova scritta del 26 gennaio 2005
Prova scritta del 26 gennaio 2005 Esercizio 1. Posto B = x R 2 : x 2 2}, sia f n } una successione di funzioni (misurabili e) integrabili in B tali che f n f q.o. in B e, per ogni n N, f n (x) 2 x 3 per
Dettagli(1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare)
1 Spazi vettoriali (1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare) (a) R 5 (b) [0, ) (c) x R 2 : x 1 + 2x 2 = 0} (d) x R 2 : x 2 1 + 2x 2 = 0} (e) x R 2 : x 1 > x
Dettagli6. Spazi euclidei ed hermitiani
6. Spazi euclidei ed hermitiani 6.1 In [GA] 5.4 abbiamo definito il prodotto scalare fra vettori di R n (che d ora in poi chiameremo prodotto scalare standard su R n ) e abbiamo considerato le seguenti
DettagliSapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.
Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
DettagliAppunti di ALGEBRA LINEARE
Appunti di ALGEBRA LINEARE Corso di Laurea in Chimica A. A. 2009/200 Capitolo SPAZI VETTORIALI In matematica si incontrano spesso insiemi di elementi su cui sono definite delle operazioni che godono di
DettagliAnalisi matematica Esercizi di Algebra Lineare: Parte I.
Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare Parte I. March,. Calcolo vettoriale in R. Dati u v calcolare 8 z SOLUZIONI u + v u + v v u z u+ v+ z (u z) uv zu zuv juj ju vj jv zj vers (u) vers ( v) vers
Dettagli7. Equazioni differenziali
18 Sezione 7. Equazioni differenziali 7. Equazioni differenziali [versione: 25/5/2012] Richiamo delle nozioni fondamentali In un equazione differenziale l incognita da determinare è una funzione (e non
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
DettagliCorso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali
.. Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali F. Baldassarri 8 ottobre 2013 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due
DettagliTutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017
Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Esercizi: serie di potenze e serie di Taylor 1 Date le serie di potenze a.) n=2 ln(n) n 3 (x 5)n b.) n=2 ln(n)
DettagliSpazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari
Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliStati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.
1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliRichiami di algebra lineare
2 Richiami di algebra lineare 2.1 Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto Sia V lo spazio vettoriale tridimensionale ordinario, che dotiamo di una base ortonormale (e 1, e 2, e 3 ), e i
DettagliII Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B
II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura
Dettagli2. Coordinate omogenee e trasformazioni del piano
. Coordinate omogenee e trasformazioni del piano Nella prima sezione si è visto come la composizione di applicazioni lineari e di traslazioni porta ad una scomoda combinazione di prodotti matriciali e
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
Dettagli1 Applicazioni lineari
1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato. Definizione. 1.1. Sia A una applicazione di
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 19: modulazioni m-qam
01CXGBN Trasmissione numerica parte 19: modulazioni m-qam 1 Modulazioni m-qam: caratteristiche 1. Modulazioni in quadratura modulazioni in anda-passante 2. Costellazione i-dimensionale: m segnali disposti
Dettaglix1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3
Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando
DettagliCoordiante omogenee e proiezioni
CAPITOLO 15 Coordiante omogenee e proiezioni Esercizio 15.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l equazione della retta r passante per i punti A(2,) e B( 1,0) e della retta s passante per
DettagliANALISI MATEMATICA 3. esercizi assegnati per la prova scritta del 31 gennaio 2011
esercizi assegnati per la prova scritta del 31 gennaio 2011 Esercizio 1. Per x > 0 e n N si ponga f n (x) = ln ( n 5 x ) a) Provare l integrabilità delle funzioni f n in (0, + ). 3 + n 4 x 2. b) Studiare
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliOPERAZIONI SU SPAZI DI HILBERT. Nel seguito introdurremo i concetti di prodotto diretto e somma diretta di due spazi di Hilbert.
2/7 OPERAZIONI SU SPAZI DI HILBERT 11/12 1 OPERAZIONI SU SPAZI DI HILBERT Dati due spazi di Hilbert H (1) e H (2) si possono definire su di essi operazioni il cui risultato è un nuovo spazio di Hilbert
DettagliAppendice 1. Spazi vettoriali
Appendice. Spazi vettoriali Indice Spazi vettoriali 2 2 Dipendenza lineare 2 3 Basi 3 4 Prodotto scalare 3 5 Applicazioni lineari 4 6 Applicazione lineare trasposta 5 7 Tensori 5 8 Decomposizione spettrale
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 3 Febbraio 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Febbraio 04 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es: 8 punti Es: 8 punti Es: 8 punti Es4: 8 punti Totale a) Determinare
DettagliParte 11. Geometria dello spazio II
Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di
DettagliStudieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo
Congruenze lineari 1. Oggetto di studio - Definizione 1. Studieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo dove ax b (mod n) (1) n, il modulo della congruenza, e un intero positivo fissato x,
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
DettagliElementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali
Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 37 index Spazi vettoriali
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliDerivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =
Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore
DettagliEsercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara
Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo. Operazioni tra matrici e n-uple. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 5. Suggerimenti 9. Soluzioni 0 Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi
DettagliDerivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)
Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo
DettagliGAAL: Capitolo dei prodotti scalari
GAAL: Capitolo dei prodotti scalari Teorema di Rappresentazione rappresentabile Aggiunto Autoaggiunto Unitariamente diagonalizzabile Teorema spettrale reale Accoppiamento Canonico Forme bilineari Prodotti
DettagliSegnali ad energia ed a potenza finita
Bozza Data 07/03/008 Segnali ad energia ed a potenza finita Energia e potenza di un segnale Definizioni di energia e potenza Dato un segnale (t), in generale complesso, si definisce potenza istantanea
Dettagli9. Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata. Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda traslata
1 9. Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata Modulazione QAM (analogica) 2 Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliProdotto scalare, covarianza e controvarianza, tensore metrico
Prodotto scalare, covarianza e controvarianza, tensore metrico Marco Bonvini 29 settembre 2005 1 Prodotto scalare Sia V spazio lineare su R; dati u, v V il loro prodotto scalare, indicato con (u, v), è:
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
Dettagli