Un polinomio trigonometrico di grado N nell intervallo [ π, π] è una funzione g(x), periodica di periodo 2π, della forma. c n e inx.

Transcript

1 Cpitolo 6 Serie di Fourier 6.1. Introduzione Un polinomio trigonometrico di grdo N nell intervllo [, π] è un funzione g(x), periodic di periodo, dell form g(x) = N n= N c n e inx per un qulche scelt delle costnti c n C. Ovvimente, ogni polinomio trigonometrico di grdo n può nche essere messo nell form g(x) N ( n cos nx + b n sin nx). n=1 Osservimo nche che se g(x) R per ogni x, llor, per ogni n, c n = c n e n, b n R. Anlogmente si considerno i polinomi trigonometrici nell intervllo comptto [, b]: sono le funzioni b periodiche dell form Poiché le funzioni g(x) = N n= N c n e i n b x. u n (x) = einx, n Z 91

2 92 6. Serie di Fourier sono un sistem di funzioni ortonormli nello spzio di Hilbert L 2 ([, π]), segue immeditmente dll teori degli spzi di Hilbert che, per ogni funzione f L 2 ([, π]), posto (6.1.1) ˆfn = f, u n = si h (6.1.2) ˆf n 2 f 2 = n Z f(x)u n (x) dx f(x) 2 dx f(x)e inx dx, Sempre di risultti generli sugli spzi di Hilbert segue che, comunque ssegnt un successione {c n } n Z di numeri complessi tli che c n 2 < +, e posto n Z P N (x) = N n= N esiste un funzione f L 2 ([, π]) tle che lim f P N 2 = N + lim N + c n u n (x), f(x) P N (x) 2 dx 0. Infine scriveremo, per qulunque funzione f L 1 ([, π]), e f(x) ˆf inx (6.1.3) n (6.1.4) S N (f, x) = N N ˆf n e inx se i coefficienti ˆfn sono definiti dll (6.1.1) (si noti che tle definizione h senso per tli f). Si osservi che null viene detto, l momento, sull convergenz dell serie (6.1.3). In questo cpitolo voglimo (1) dimostrre che dt un qulunque f L 2 ([, π]) vle l uguglinz nell (6.1.2), e pertnto il sistem ortonormle u n è mssimle. Segue llor, sempre dll teori generle degli spzi di Hilbert, che (6.1.5) lim N + S N (f, x) f(x) 2 dx = 0. Ricordimo che l convergenz in norm L 2 non implic l convergenz puntule, m solo l convergenz puntule qusi ovunque

3 6.2. I nuclei di Dirichlet e di Fejér 93 Figur 1. I nuclei di Dirichlet D 1,..., D 5 lungo un sottosuccessione. Possimo llor dire che dll vlidità dell (6.1.5) segue l esistenz di un sottosuccessione N k tle che lim S N k (f, x) = f(x) per qusi ogni x [, π]. k + (2) indgre sotto quli condizioni S N (f, x) f(x) puntulmente ed eventulmente uniformemente I nuclei di Dirichlet e di Fejér Due fmiglie di polinomi trigonometrici, che vrnno un prticolre importnz nel seguito sono il nucleo di Dirichlet (si ved l figur 1) (6.2.1) D n (x) = e il nucleo di Fejér (si ved l figur 2) (6.2.2) K n (x) e ikx D k (x). Si noti che D n (0) = 2, mentre K n (0) =. Dimostrimo lcune proprietà del nucleo di Dirichlet e di Fejér, che utilizzeremo nel seguito, qundo nlizzeremo l convergenz puntule dell serie di Fourier.

4 94 6. Serie di Fourier Figur 2. I nuclei di Fejér K 1,..., K 5 Proposizione Per n = 0, 1, 2,... bbimo (6.2.3) (6.2.4) (6.2.5) D n (x) = sin(/2)x sin(x/2) K n (x) 1 cos()x sin 2 (n/2 + 1/2)x 1 cos x sin 2 x/2 1 π D n (x) dx K n (x) dx. Inoltre K n (x) 0, e (6.2.6) K n (x) 2 ()(1 cos δ) per ogni 0 < δ x π Dimostrzione. L (6.2.3) segue osservndo che D n (x) = e ikx = e inx ei(2n+1)x 1 e ix 1 = ei(n+1/2)x e i(n+1/2)x e ix/2 e ix/2 = sin( 2 )x. sin(x/2)

5 6.2. I nuclei di Dirichlet e di Fejér 95 Quindi si ricv l (6.2.4) K n (x) D k (x) e ix/2 n eikx e ix/2 n e ikx e ix/2 e ix/2 e ix/2 ei(n+1)x 1 e ix/2 e i(n+1)x 1 e ix 1 e ix 1 e ix/2 e ix/2 e i(n+1)x 1 + e i(n+1)x 1 (e ix/2 e ix/2 ) 2 2 cos()x 2. 2 cos x 2 Per qunto rigurd l (6.2.5), bst osservre che D n (x) dx = e ikx dx =, e quindi K n (x) D k (x) dx (). L non negtività di K n segue immeditmente dll espressione esplicit (6.2.4) del Nucleo di Fejér, d cui discende nche l diseguglinz (6.2.6). L importnz del nucleo di Dirichlet segue dl ftto che, per ogni funzione f L 1 ([, π]) (prolungt per periodicità tutt l rett rele), si h che (6.2.7) S n (f, x) = ˆf(k)u k (x) = ( ) f(s)e iks ds ˆf(k) eikx e ikx ( ) f(s) e ik(x s) ds f(s)d n (x s) ds f(s + x)d n (s) ds

6 96 6. Serie di Fourier (nell ultim uguglinz bbimo usto l prità del nucleo di Dirichlet e l periodicità dell funzione f) Approssimzione di funzioni medinte polinomi trigonometrici Per qunto l insieme dei polinomi trigonometrici poss pprire un sottoinsieme piccolo nell insieme delle funzioni continue e periodiche di periodo, ogni funzione continu e periodic di periodo può essere pprossimt in modo uniforme con polinomi trigonometrici. Inftti vle il seguente teorem: Teorem Si f un funzione continu e periodic di periodo. Ponimo Σ n (f, x) S k (f, x). Allor le funzioni Σ n (f, x) sono un successione di polinomi trigonometrici che convergono f uniformemente. Dimostrzione. Osservimo che dll (6.2.7) segue che Σ n (f, x) S k (f, x) 1 π f(s + x)d n (s) ds ( 1 f(s + x) f(s + x)k n (s) ds ) D n (s) ds

7 6.3. Approssimzione con polinomi trigonometrici 97 Ricordndo che 1 K n(x) dx, bbimo llor che Σ n (f, x) f(x) = 1 π f(s + x)k n (s) ds f(x) 1 = 1 π (f(s + x) f(x))k n (s) ds δ δ δ δ f(s + x) f(x) K n (s) ds f(s + x) f(x) K n (s) ds f(s + x) f(x) K n (s) ds K n (s) ds Osservimo poi che, essendo continu e periodic, f è uniformemente continu, e quindi esiste M 0 tle che f(x) M per ogni x e per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che f(s + x) f(x) < ɛ per ogni s < δ. Ne segue che e il teorem segue. Σ n (f, x) f(x) ɛ ɛ + δ δ K n (s) ds + 2M 4M ()(1 cos δ) mx K n(x) δ x π Un immedit conseguenz del teorem ppen dimostrto è l seguente: Corollrio Si [, b] R un intervllo comptto, e ɛ > 0. Allor () se f : R R, è (b )-periodic e continu, esiste un polinomio trigonometrico ik P n (x) = c k e b x. tle che sup f(x) P n (x) < ɛ x R (b) se f : [, b] R è un funzione continu, esiste un polinomio Q n (x) = n c kx k tle che 1 f(x) Q(x) < ɛ per ogni x [, b] Dimostrzione. Si f continu, (b )-periodic e ɛ > 0. f(s) = f((b )s/) è continu e -periodic. L funzione 1 Ottenimo cosí un ltr dimostrzione del Teorem di Weierstrss 9.6.1

8 98 6. Serie di Fourier Per il teorem 6.3.1, esiste n tle che Σ n ( f, x) f(x) < ɛ. P n (x) = Σ n ( f, x/(b )), ne deducimo subito che P n (x) f(x) = Σ n ( f, x/(b )) f(x/(b )) < ɛ, e l prim prte del corollrio segue. Posto Considerimo or un funzione continu in [, b]. Riflettendol ttorno l punto x = (cioè ponendo f( x) = f( + x) per tutti gli x [0, b ]) ottenimo un funzione continu in [ (b ), b] tle che f( (b )) = f(b). Tle funzione può essere estes per periodicità tutt l rett rele. L funzione che ottenimo, che continuimo chimre f, è continu e 2(b )-periodic. Allor esiste un polinomio trigonometrico P n (x), 2(b )-periodico, tle che Osservimo poi che f(x) P n (x) < ɛ 2 e iλx = per ogni x [, b]. (iλx) k e che l serie converge uniformemente su ogni intervllo comptto di R, in prticolre su [, b]. Ne deducimo che esiste un polinomio Q(x) tle che P n (x) Q(x) < ɛ 2 e il teorem di Weierstrss segue. n! per ogni x [, b], Osservzione Un dimostrzione lterntiv del Corollrio si bs sul teorem di Stone-Weierstrss (si ved il teorem 9.7.7). Inftti è immedito verificre che l insieme dei polinomi trigonometrici È un lgebr di funzioni (cioè l somm e il prodotto di due polinomi trigonometrici è un polinomio trigonometrico, cosí come il prodotto di un numero complesso per un polinomio trigonometrico); Sepr i punti di [, π] (cioè per ogni coppi di punti x y in [, π] esiste un polinomio trigonometrico qui bst considerre P (x) = e ix tle che f(x) f(y)); Non si nnull in [, π] (cioè per ogni punto x [, π] esiste un polinomio trigonometrico qui di nuovo bst considerre P (x) = e ix che non si nnull in x); È un lgebr utoggiunt (cioè contiene P (x) se contiene P (x)). Sempre dl Teorem segue che: Teorem Si [, b] R un intervllo comptto, e 1 p < +. Allor

9 6.3. Approssimzione con polinomi trigonometrici 99 in () lo spzio vettorile generto dlle funzioni e b x, n Z è denso in L p ([, b]); (b) lo spzio vettorile dei polinomi, generto dlle funzioni 1, x, x 2,... è denso in L p ([, b]); (c) l insieme di funzioni { einx } n Z è un sistem ortonormle mssimle in L 2 ([, π]); (d) per ogni f L p ([, b]) e per ogni ɛ > 0 esiste un funzione g C (R) tle che ( 1/p f g p = f(x) g(x) dx) p < ɛ; Dimostrzione. () Si f L p ([, b]). Sppimo che esiste un funzione continu g : R R tle che ( ) 1/p g f p = g f p ɛ dx < 3. In generle g(b) g(), e g non è periodic. Definimo llor, per ogni µ > 0, { g(x) x b µ g µ (x) = g(b µ) g() µ (b x) + g() b µ x b L funzione g µ (x) è, per ogni µ > 0, continu in [, b], e g µ () = g µ (b). Prolungndol in modo periodico ottenimo un funzione continu e (b )- periodic su tutto R. Abbimo nche che mx g µ (x) mx g(x). Ne segue che g(x) g µ (x) p dx = b µ g(x) g µ (x) p dx (2M) p µ. Scegliendo µ < (ɛ/6m) p bbimo subito che g µ g p < ɛ/3. Essendo g µ continu e periodic, sppimo llor che esiste un polinomio trigonometrico (b )-periodico P n (x) tle che Allor g µ (x) P n (x) < ɛ 3(b ) 1/p per ogni x R. ( ) 1/p P n g µ p = P n (x) g µ (x) p ɛ dx < 3. In conclusione bbimo che f P n p f g p + g g µ p + g µ P n p < ɛ e il primo punto è dimostrto.

10 Serie di Fourier (b) Si f L p ([, b]), e g continu tle che f g p < ɛ/2. Utilizzndo il Corollrio 6.3.2(b) trovimo un polinomio Q(x) tle che ɛ g(x) Q(x) < 2(b ) 1/p per ogni x [, b]. Allor e nche questo punto è dimostrto. f Q p f g p + g Q p < ɛ (c) Quest è un conseguenz immedit del punto () con p = 2. (d) Anche questo punto è un conseguenz immedit del punto (b) o del punto () Convergenz Puntule dell serie di Fourier Lemm Si f L 1 ([, b]). Allor (6.4.1) lim α + f(x)e iαx dx 0 Dimostrzione. Fissimo ɛ > 0. Per il Teorem 6.3.4(d) esiste g di clsse C su tutto R tle che f(x) g(x) dx < ɛ 2. Osservimo poi che g(x)e iαx dx = g(x)e iαx x=b iα 1 x= iα g (x)e iαx dx C α. Allor f(x)e iαx b dx (f(x) g(x))e iαx b dx + g(x)e iαx dx per α grnde e l tesi segue. f(x) g(x) dx + C α ɛ Teorem Si f L 1 ([, π]) e x [, π]. Supponimo che f verifichi l condizione del Dini: 1. f mmette limite destro f(x+) e sinistro f(x ) in x; 2. per qulche δ > 0, (6.4.2) 0 δ f(x + s) f(x ) s δ f(x + s) f(x+) ds + ds < +. 0 s

11 6.4. Convergenz Puntule dell serie di Fourier 101 Allor l serie di Fourier di f converge nel punto x l vlore medio m(x) = (f(x+) + f(x ))/2, cioè lim n + S f(x+) + f(x ) n(f, x) 2 0. Dimostrzione. Osservimo che, essendo D n (s) pri, 0 Dll (6.2.7) segue llor S n (f, x) m(x) D n (s) ds = 0 f(s + x)d n (s) ds 0 D n (s) ds = π. D n (s) ds f(x+) 1 D n (s) ds 0 f(x ) 1 0 f(s + x) f(x ) sin(/2)s ds sin(s/2) + 1 f(s + x) f(x+) sin(s/2) Dll (6.4.2) segue fcilmente che l funzione e che l funzione Poiché l funzione s s 0 f(x + s) f(x ) s f(x + s) f(x+) s s s sin(s/2) è limitt in tutto [, π], ottenimo che L 1 ([, 0]), L 1 ([0, π]). f(x + s) f(x ) g 1 (s) = L 1 ([, 0]) sin(s/2) f(x + s) f(x+) g 2 (s) = L 1 ([0, π]) sin(s/2) sin(/2)s ds. Possimo llor pplicre ll g 1 e ll g 2 il Lemm 6.4.1, e il risultto segue. Un immedit conseguenz del teorem precedente è l seguente:

12 Serie di Fourier Corollrio Si f C 1 (R, R), T -periodic. Allor l serie di Fourier di f ˆf k u k (x) dove u n (x) = einx/t T converge f uniformemente su tutto R. T ˆf(n) = f(x)u n (x) dx Dimostrzione. Possimo pplicre il Teorem in tutti i punti x R. Quindi bbimo subito l convergenz puntule dell serie di Fourier. Per dimostrre l convergenz uniforme dell serie di Fourier, osservimo che l funzione f (x) è continu e T -periodic su tutto R. Quindi, in prticolre, f L 2 ([0, T ]). Ne deducimo che i coefficienti di Fourier c n di f sono tli che c k 2 < +. D ltr prte, per ogni n 0, c n = T 0 = in T T k= f (x)u n (x) dx T T T 0 f(x)e inx/t dx = in T mentre c 0 = 0. Ne deducimo che ˆf k u k (x) ˆf k = ˆf 0 + ˆf ( 0 + = ˆf ( 0 + ˆf T 2 3 f 2, 0 f (x)e inx/t dx ˆf(n), k ˆf k 1 k k 0 k 2 ˆf k 2) 1/2( T 2 4π 2 c k 2) 1/2( k 0 k 0 1 k 2 ) 1/2 1 k 2 ) 1/2 dove bbimo usto l ben not identità k=1 1/k2 = π 2 /6 (si ved l esercizio 2).

13 Esercizi Cpitolo Esercizi Cpitolo 6 (1) Si { n } n N un successione convergente l limite (finito o infinito). Si dimostri che l successione b n k n k=1 converge llo stesso limite. Si dino esempi in cui n non converge m b n converge. (2) Si clcolino i coefficienti di Fourier dell funzione f(x) = x in L 2 ([, π]). Si scriv poi l dentità di Prsevl f 2 2 = n Z ˆf n 2 reltiv tle funzione e se ne deduc che 1 k 2 = π2 6 k=1