a : b oppure a b Dati due numeri a e b (con b 0) si chiama rapporto fra i due numeri il loro quoziente, ottenuto dividendo il primo per il secondo:

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2 Dati due numeri a e b (con b 0) si chiama rapporto fra i due numeri il loro quoziente, ottenuto dividendo il primo per il secondo: Le parole della matematica a : b oppure a b antecedente conseguente I due numeri a e b si chiamano termini del rapporto; Il primo numero, a, si chiama antecedente; Il secondo numero, b, si chiama conseguente.

3 Il rapporto fra due grandezze omogenee è il quoziente tra le loro misure (stessa unità di misura) è un numero puro che indica quante volte una grandezza è maggiore o minore dell altra. Se il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero naturale o razionale le grandezze si definiscono commensurabili. Se il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero irrazionale le grandezze sono incommensurabili. Il rapporto fra grandezze non omogenee è il quoziente fra le due misure ed è un altra grandezza, grandezza derivata, non omogenea a quelle date e il cui valore dipende dalle unità di misura delle grandezze.

4 Data la proporzione: 20 : 5 = 32 : 8 In essa : I quattro numeri 20, 5, 32 e 8 sono i termini della proporzione; Il 1 e il 3 numero, 20 e 32 sono gli antecedenti; Il 2 e il 4 numero, 5 e 8, sono i conseguenti; Il 1 e il 4 numero, 20 e 8, sono gli estremi; Il 2 e il 3 numero, 5 e 32, sono i medi; Il 4 numero, 8, è il quarto proporzionale. 20 : 5 = 32 : 8 20 : 5 = 32 : 8 Quarto proporzionale estremi medi antecedenti conseguenti Tale proporzione la leggeremo: 20 sta a 5 come 32 sta a 8

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6 Esaminiamo una proporzione, per esempio 18 : 2 = 27 : 3 e scriviamola nel seguente modo: Riduciamo le due frazioni al m.c.d., che è 6; otteniamo: Osserviamo i due numeratori; non sono altro che: Il prodotto degli estremi, 18 x 3; Il prodotto dei medi, 27 x Essi sono necessariamente uguali; infatti 18 x 3 = 54 e 27 x 2 = 54 Esprimiamo tutto ciò con la proprietà fondamentale delle proporzioni: In ogni proporzione il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi. Se a : b = c : d allora a x d = b x c

7 Consideriamo la proporzione 27 : 3 = 36 : 4 Riscriviamola scambiando in essa ogni antecedente con il proprio conseguente: 3 : 27 = 4 : 36 Possiamo affermare di aver scritto ancora una proporzione vera? Sì! Infatti, applicando la proprietà fondamentale, abbiamo: 3 x 36 = x 4 = 108 (prodotto degli estremi) = Proprietà dell invertire: (prodotto dei medi) Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione. Se a : b = c : d allora b : a = d : c

8 Se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono ancora altre proporzioni. 72 : 8 = 63 : 7 scambiamo i medi. Otteniamo: 72 : 63 = 8 : 7 Possiamo verificare con la proprietà fondamentale che otteniamo ancora una proporzione. 63 x 8 = x 7 = 504 Prova tu a scambiare gli estremi e verifica se ottieni ancora una proporzione.

9 In ogni proporzione la somma del 1 e del 2 termine sta al primo o al secondo termine come la somma del 3 e del 4 termine sta al terzo o al quarto termine. 72 : 8 = 63 : 7 Otteniamo: ( ) : 72 = ( ) : 63 oppure ( ) : 8 = ( ) : 7 80 : 72 = 70 : : 8 = 70 : 7 Conclusioni: Le due proporzioni ottenute sono esatte perché in ciascuna delle due il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

10 In ogni proporzione (con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti) la differenza del 1 e del 2 termine sta al 1 o al 2 termine come la differenza del 3 e 4 termine sta al 3 o al 4 termine. 100 : 10 = 30 : 3 ( ) : 100 = (30 3 ) : 30 Oppure: ( ) : 10 = ( 30 3 ) : 3 90 : 100= 27 : : 10 = 27 : 3 Conclusioni: Le due proporzioni ottenute sono esatte perché, in ciascuna delle due, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

11 54 : 6 = 108 : X Il termine mancante è detto termine incognito e si indica con x. Applichiamo la proprietà fondamentale: In generale diciamo quindi che: In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l estremo conosciuto. X = x = da cui: 54. x = 648 da questa avremo: 648 x = 12

12 121 : x = 143 : = x. 143 da cui: Applichiamo la proprietà fondamentale: In generale diciamo quindi che: 1573 = x. 143 da questa avremo: 1573 x In una proporzione il valore di un medio incognito è dato dal prodotto degli estremi diviso il medio conosciuto. X = = 11

13 In una proporzione continua il valore del medio proporzionale è dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi. Data la proporzione 4 : x = x : 25 Applichiamo la proprietà fondamentale X. X = Ricaviamo x ricordando che l operazione inversa della potenza è la radice quadrata. x X² = 4. 25

14 La differenza tra due numeri è 15, e uno è pari ai 12/7 dell altro. Determina i due numeri. x : y = 12 : 7 x - y = 15 ( x - y ) : x = ( 12-7 ) : : x = 5 : x = = 36 5 y = x 15 = = 21

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