Integrali indefiniti

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1 Primitiv di u fuzioe Itegrli idefiiti U fuzioe F() si die primitiv di u fuzioe i u itervllo I se, per ogi I: F = U fuzioe mmette ifiite primitive, he differisoo u dll ltr per u ostte dditiv. L fmigli delle primitive di u fuzioe si idi o il simolo dell itegrle idefiito: d = F + o R I grfii delle primitive di u stess fuzioe si ottegoo uo dll ltro trmite trslzioi vertili. Fissto u puto del pio, il grfio di ue u sol primitiv pss perquel puto. Proprietà dell itegrle idefiito 1) d = f d R 2) f + g() d = f d + g d Primitive delle fuzioi elemetri d = + d = N, 1 e d = e + d = l + 1 d = l + os d = si + 1 os 2 d = t + 1 d = rsi si d = os + 1 si 2 d = ot + 1 d = rt Itegrli delle fuzioi omposte f f d = +1 f + N, f e d = e + f d = f l + f () d = l + f os d = si + f si d = os + f os 2 d = t + f () si 2 d = ot + f d = rsi + 1 f 2 () f () 1 + f 2 () d = rt +

2 Itegrzioe per sostituzioe Per utilizzre il metodo di sostituzioe: 1. Si poe: = g t, d ui segue: d = g (t) dt 2. Si risrive l itegrle i termii di t e dt. 3. Sirisolve l itegrle idefiito. 4. Si risrive il risultto i termii di. Itegrzioe per prti d = f g t g t dt ove si è posto: = g(t) d = g (t) dt f g () d = f g f g d Spesso è oveiete osiderre ome le fuzioi logritmo, rotgete, roseo o tgete, se preseti. I ssez di queste, è oveiete osiderre le fuzioi. Itegrzioe di fuzioi rzioli frtte D d Se gr N gr(d) si esegue l divisioe poliomile (si idihi o Q() il quoziete e o R() il resto dell divisioe), e l itegrle si riodue ll form: D d = Q + R D dove Q è u fuzioe poliomile, e R()/D() è u fuzioe rziole frtt o gr R < gr(d) Se gr D = 1 l itegrle si risolve el seguete modo: D d = + d = + d = l + + Se gr D = 2 si utilizzo teihe differeti seod del sego del disrimite di D(): 2.1 Se Δ > 0: 2.2 Se Δ = 0: 2.3 Se Δ < 0: D d = m d = A d + B d 1 2 D d = m d = A d + 1 d (logritmo) (logritmo, se m 0) (logritmo) B 2 d 1 (reiproo) D d = m d = d + u u + v 2 d Itegrli degi di ot (logritmo, se m 0) (rotgete) l d = l 1 d = l + (per prti) os os 2 d = d = si (formule di ssmeto di grdo) 2 2 d = rsi (per sostituzioe: = si t)

3 Itegrle seodo Riem Itegrli defiiti U fuzioe si die itegrile seodo Riem i u itervllo [, ] se: lim S = lim s + + dove S (risp. s ) è l somm delle ree dei rettgoli veti per se uo degli sotto-itervlli ogrueti i ui viee suddiviso l itervllo [, ], e per ltezz il mssimo (risp. il miimo) vlore ssuto dll fuzioe i quel sotto-itervllo. Il limite di S (e di s ) si die itegrle defiito dell fuzioe rispetto ll itervllo [, ] e si idi o il simolo: f d Tle limite può essere iterpretto ome l re (o sego) dell regioe ompres tr il grfio dell fuzioe e l sse. Iftti le due suessioi S e s mggioro e mioro tle re, e l pprossimo tto meglio quto più l suddivisioe dell itervllo [, ] è «fie» (ioè per + ). S s Il simolo utilizzto peresprimere l itegrle deriv, livello ituitivo, d: Are = lim + i=1 A i = lim + i=1 f i d = f d f( i ) A i d i Proprietà dell itegrle idefiito 1) f d = f d 2) f + g() d = 3) f d = 4) f d = f d f d + f d + f d R g d 5) f d g d se f g [, ] 4) 5) g() Teorem del vlor medio Si u fuzioe otiu i u itervllo [, ]. Allor esiste [, ] tle he: f = μ = 1 f d f() dove μ si die vlor medio di i [, ]. Il teorem fferm he esiste u rettgolo di se ( ) equivlete ll regioe sottes ll fuzioe ell itervllo,, e he l se superiore di questo rettgolo iterse il grfio di i. Il vlor medio μ = rppreset l ltezz diquesto rettgolo. I ltre prole, il vlor medio di f ell itervllo [, ] rppreset il vlore he ssumeree l fuzioe se quest veisse sostituit ou fuzioe ostte he lsi ilterto l itegrle defiito i [, ].

4 Teorem fodmetle del lolo itegrle Si u fuzioe otiu i u itervllo [, ]. Si F = f t dt l fuzioe he esprime l itegrle defiito dif ell itervllo [, ] o R. Allor si h he F =, ovvero si h he F è u primitiv di. I prtiolre, l itegrle defiito di f ell itervllo, si lol o: f d = F F() dove F() è u quluque primitiv di f. Noostte i omi e i simoli i omue, l itegrle idefiito (primitive di u fuzioe) e l itegrle defiito (re sottes ll fuzioe i u erto itervllo) resto oetti diversi. Il teorem fodmetle del lolo itegrle esprime filmete l relzioe tr i due. U ritrri primitiv F () di esprime l itegrle defiito di ell itervllo ompreso tr u ritrrio (he dipede dll primitiv selt) ed. Tuttvi per lolre l itegrle defiito di u fuzioe i u itervllo [, ] è suffiiete u qulsisi primitiv F (), e o eessrimete F (). Iftti: f d = f d Itegrzioe per prti (itegrle defiito) Itegrzioe per sostituzioe (itegrle defiito) f g d = i i f g i i f d = d f d = F F f g() d f g t g t dt ove si è posto: = g(t) Per utilizzre il metodo di sostituzioe: 1. Si poe: = g t, d ui segue: d = g (t) dt 2. Si risrive l itegrle i termii di t e dt. 3. Si mio gli estremi di itegrzioe i modo he = g() e d = g(). 4. Sirisolve l itegrle defiito. d = g (t) dt Spesso el lolre u itegrle defiito rime oveiete lolre prim di tutto l itegrle idefiito ol metodo opportuo (per prti, per sostituzioe ): f d = = F + perpoi risolvere l itegrle defiito ol formul: f d = i i F() i = F F() i Are ompres tr due fuzioi Sio e g() due fuzioi otiue i [, ], tli he f g per ogi [, ]. Allor l re dell regioe di pio ompres tr i grfii delle due fuzioi è dt d: A = f d g d = f g() d A g()

5 Volume di u solido «fette» Si u fuzioe otiu i [, ], e si R l regioe di pio ompres tr il suo grfio, l sse e le rette = e =. Il volume del solido di se R le ui sezioi, otteute tglidolo o pii perpediolri ll sse, ho re S() è dto d: V = S d Tle form deriv, livello ituitivo, dll somm dei volumi V i di isu fett (he soo prismi veti re dise S() e ltezz d): Volume = lim V i = lim S d = S d + + i=1 i=1 S() Volume di u solido di rotzioe Si u fuzioe otiu i [, ], e si R l regioe di pio ompres tr il suo grfio, l sse e le rette = e =. Il volume del solido otteuto fedo ruotre R di 360 ttoro ll sse è dto d: V = π f 2 d S() E u so prtiolre di solido «fette», i ui le sezioi soo erhi di rggio : V = S d = π f 2 d = π f 2 d Volume di u solido «gusio» Si f u fuzioe otiu e positiv i [, ], e si R l regioe di pio ompres tr il suo grfio, l sse e le rette = e =. Il volume del solido otteuto fedo ruotre R di 360 ttoro ll sse y è dto d: V = 2π f d Itegrle improprio 1. Si f u fuzioe otiu i [, [ e illimitt per. Si poe: d = lim d e, se il limite esiste ed è fiito, si die he è itegrile i seso improprio i [, [ e he il limite è overgete. 2. Si f u fuzioe otiu i ], ] e illimitt per +. Si poe: d = lim d + e, se il limite esiste ed è fiito, si die he è itegrile i seso improprio i ], ] e he il limite è overgete. 3. Si f u fuzioe otiu i [, ] e illimitt per. Si poe: d = lim d + lim + d e, se etrmi i limiti esistoo e soo fiiti, si die he è itegrile i seso improprio i [, ] e he i limiti soo overgeti.

6 4. Si f u fuzioe otiu i [, + [. Si poe: + d = lim d + e, se il limite esiste ed è fiito, si die he è itegrile i seso improprio i [, + [ e he il limite è overgete. 5. Si f u fuzioe otiu i ], ]. Si poe: d = lim e, se il limite esiste ed è fiito, si die he è itegrile i seso improprio i ], ] e he il limite è overgete. 6. Si f u fuzioe otiu i R. Si poe: d + d = lim d + lim d + e, se etrmi i limiti esistoo e soo fiiti, si die he è itegrile i seso improprio i R e he i limiti soo overgeti.