Il modello IS-LM: derivazione analitica 1

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1 Il modello IS-LM: derivzione nlitic 1 Ultim revisione My 12, 2014 Economi chius Il mercto rele L equilibrio sul mercto dei beni e servizi - il cosiddetto mercto rele - e descritto dll curv IS. Le equzioni che descrivono il mercto rele in economi chius sono: Y = C + I + Ḡ C = C 0 + cy d I = I 0 r Y d = Y T T = T 0 + ty G = Ḡ. Le componenti dell domnd ggregt sono quelle discusse in clsse. Not come il mercto rele si descritto d 6 equzioni in 7 incognite: {Y, Y d, C, I, r, T, G}. Quindi, vi e un grdo di libert : ovvero, possimo esprimere 6 delle incognite ( nostr scelt) come funzione dell settim, rimnente, incognit. Per inizire, possimo derivre l curv IS, che descrive le combinzioni di tsso di interesse (r) e reddito (Y ) tli per cui il mercto rele e in equilibrio, ovvero: Y = C + I + G. (1) 1 Un ottimo riferimento per l derivzione nlitic del modello IS-LM in economi chius e pert e Dornbusch, Fisher, Strtz, Cnullo e Pettenti, Mcroeconomi, McGrw Hill (cpp. 5-7). 1

2 Per derivre nliticmente l curv IS, seguimo l strtegi suggerit dll croce Keynesin e imponimo l eguglinz tr spes progrmmt (o nche domnd ggregt) e spes effettiv (Y ): Y = C 0 + cy d + I 0 r + Ḡ Y = C 0 + c(y T 0 ty ) + I 0 r + Ḡ Y = c(1 t)y + C 0 ct 0 + I 0 + Ḡ r Y (1 c(1 t)) = C 0 ct 0 + I 0 + }{{ Ḡ r = A } 0 r A 0 r = Y (1 c(1 t)) A 0 r = 1 c(1 t) Y + A 0. Quindi, l curv IS e descritt dll seguente equzione: r = 1 c(1 t) Y + A 0. (2) Not come l pendenz dell curv IS nel pino (r, Y ) si sempre negtiv: Y = 1 c(1 t) < 0, dove 0 < c < 1, 0 < t < 1, > 0. Il termine 1 c(1 t) > 0 indic l propensione mrginle l risprmio rispetto l reddito disponibile. Cso specile: I = I(Y, r) Supponi or che l curv dell domnd di investimenti dipend nche dl reddito ggregto (Y ), oltre che dl tsso di interesse rele (r): I = I 0 r + vy d, con 0 < v < 1. Il prmetro v indic l propensione mrginle ll investimento rispetto l 2

3 r 0.8 IS IS stndrd Y Figure 1: Curv IS reddito disponibile. Derivimo nuovmente l curv IS, per trovre che: Y [1 (c + v)(1 t)] = A 1 r, dove A 1 = C 0 + I 0 + G (c + v)t 0. Quindi, l curv IS in questo cso e pri : r = 1 (c + v)(1 t) Y + A 1. Not come or l pendenz dell curv non si sempre negtiv. Inftti: Y Y 1 (c + v)(1 t) = 1 (c + v)(1 t) = < 0, se 0 < (c + v)(1 t) < 1, > 0, se (c + v)(1 t) > 1. In prticolre, qundo (c + v)(1 t) > 1, l pendenz dell spes progrmmt nel grfico dell croce keynesin e mggiore di 45 grdi. Questo ccde qundo l propensione mrginle l risprmio e inferiore ll proponesione mrginle ll investimento: 3

4 r 1 c(1 t) < v(1 t). Quindi, l interpretzione economic di un IS con pendenz positiv e dt dl ftto che ll umentre di Y, l offert di risprmio ument meno rispetto ll umento di domnd di investimento. Perche il mercto dei beni si in equilibrio, il tsso di interesse rele deve umentre per incorggire l offert di risprmio e scorggire l domnd di investimento. Qundo l domnd di investimenti non dipende dl reddito, ll umentre di Y ument l offert di risprmio mentre l domnd di risprmio non vri. Quindi, e necessrio un minore tsso di interesse rele perche il mercto dei beni si in equilibrio. Not nche il cso limite in cui, per vlori del tsso di interesse l di sotto di un dt sogli (r < A 1 /), il sistem sr sempre in eccesso di domnd, cus dell componente di I indott d Y (nel grfico dell croce Keynesin, l intercett dell spes progrmmt e positiv e quindi superiore ll bisettrice). 0.5 IS con I(Y,r) 0.4 IS v piccolo IS v grnde Y Figure 2: Curv IS nel cso specile I = I(Y, r) Il mercto monetrio L equilibrio sul mercto dell monet e dto dll eguglinz di domnd e offert di monet: 4

5 r M d = M s. (3) L equzione che descrive l domnd di monet e : M d = ky + L 0 mr, mentre l offert e esogen e controllt dll bnc centrle: M s = M. Quindi, l equilibrio sul mercto dell monet puo essere descritto dll curv LM, che rppresent combinzioni di tsso di interesse e reddito tli per cui esso e in equilibrio: M = ky + L 0 mr r = k m Y + 1 m (L 0 M). (4) L pendenz dell curv LM e positiv: dove 0 < k < 1, m > 0. Y = k m > 0, 0.35 LM LM Y Figure 3: Curv LM L equilibrio Il reddito e il tsso di interesse che soddisfno simultnemente l equilibrio sul mercto dei beni e quello dell monet rppresentno l equilibrio (generle) dell economi. Anliticmente, e 5

6 necessrio risolvere il seguente sistem di due equzioni in due incognite: r = 1A 0 1 c(1 t) Y r = k Y + 1 (L m m 0 M) Per trovre l equilibrio: ( k m k m Y + 1 m (L 0 M) = 1 A 0 1 c(1 t) Y 1 c(1 t) + )Y = 1 A 0 1 m (L 0 M) ( k m + 1 c(1 t))y = A 0 m (L 0 M) Quindi: Y eq = 1 /m k + 1 c(1 t)a 0 k + 1 c(1 t)(l 0 M). (5) m m Per trovre il tsso di interesse rele di equilibrio, possimo sostituire il risultto dell equzione (5) nell equzione dell IS o dell LM. Per esempio, sostituendo (5) nell equzione dell LM ottenimo: r eq = k k + m(1 c(1 t)) A 1 c(1 t) 0 + k + m(1 c(1 t)) (L 0 M). (6) Dopo vere trovto i vlori di equilibrio per il reddito e il tsso di interesse rele, possimo nlizzre l effetto di diverse politiche. Politic fiscle L effetto sul reddito di un umento dell spes pubblic finnzito debito e dto d: 6

7 r 0.5 Equilibrio 0.4 IS LM Y Figure 4: Equilibrio G = 1 1 c(1 t) + k/m > 0. Not come nel denomintore dell espressione per il moltiplictore dell spes pubblic, il termine k/m denot l effetto di retrozione monetri. L effetto sul tsso di interesse di un umento dell spes pubblic e dto d: r G = k m(1 c(1 t)) + k > 0. Politic monetri L effetto sul reddito di equilibrio di un umento dell offert di monet d prte dell bnc centrle e dto d: M = m G = /m 1 c(1 t) + k/m > 0 L effetto di un politic monetri espnsiv sul tsso di interesse e invece dto d: r M = 1 c(1 t) m(1 c(1 t)) + k < 0. Not come il cso dell trppol dell liquidit e dto d m, dove m e il prmetro che crtterizz l elsticit dell domnd di monet l tsso di interesse. Qundo m il 7

8 tsso di interesse non vri ll umentre dell quntit di monet (l LM e pitt). Ovvero, per un dto tsso di interesse, il pubblico e disposto detenere qulunque quntit di monet. In questo cso, l LM e pitt e bbimo che: G = 1 1 c(1 t), M = 0, r G = 0, r M = 0, Quindi, in trppol dell liquidit l politic fiscle e piu efficce, l contrrio dell politic monetri. Inftti, l mggiore efficci dell politic monetri dipende proprio dl ftto che il tsso di interesse non risponde ll incremento dell domnd ggregt. Il cso cosiddetto clssico e invece rppresentto d m 0 e quindi d un LM verticle. E questo il cso dell teori quntittiv dell monet: il reddito nominle e esclusivmente determinto dll quntit rele di monet. In questo cso, l politic fiscle non e efficce, l contrrio di quell monetri (nel breve period qundo i prezzi sono fissi). Possimo rissumere nliticmente l effetto delle diverse politiche economiche nel cso clssico come segue: G = 0, M = 1/k, r G = 1/, 8

9 Not come M e diviso M r M 1 c(1 t) =. k = 1/k deriv dl limite per m 0 di. Inftti, dopo vere moltiplicto M per m bbimo che: m M m = m(1 c(1 t)) + k lim = 1 m 0 k. Cso specile: equilibrio in economi chius con I(Y, r) Qundo l domnd di investimenti dipende nche dl reddito, l equilibrio e dto d: Y eq = r eq = 1 k + 1 (c + v)(1 t)a 1 m k k + m(1 (c + v)(1 t)) A 1 /m k + 1 (c + v)(1 t)(l 0 M), m 1 (c + v)(1 t) k + m(1 (c + v)(1 t)) (L 0 M). Economi pert Considerimo un piccol economi pert, in regime di tsso di cmbio flessibile e senz restrizioni i movimenti di cpitle. Economi rele L equilibrio sul mercto dei beni in economi pert e dto d: Y = C + I + G + NX. (7) Le equzioni che che descrivono le diverse componenti dell domnd ggregt sono: 9

10 C = C 0 + cy d I = I 0 r G = Ḡ Y d = Y T T = T 0 + ty NX = EX IM EX = µy ψe IM = φy d + θe dove e e denot il tsso di cmbio nominle 2. Not come il tsso di cmbio si espresso come unit di monet ester per un unit di monet domestic (per esempio, se il pese domestico e l Itli e quello estero gli Stti Uniti vremmo Dollri per Euro). Quindi, un umento di e implic un pprezzmento del tsso di cmbio nominle. Per esempio, se e llor EX e IM. Per derivre l equzione dell IS nel cso di economi pert: Y = C 0 + c(1 t)y ct 0 + I 0 + Ḡ r + µy ψe φ(1 t)y + φt 0 θe Y = (c φ)(1 t)y (c φ)t 0 (ψ + θ)e + µy + C 0 + I 0 + Ḡ r A 3 r = (1 (c φ)(1 t))y dove A 3 = C 0 + I 0 + Ḡ + µy (ψ + θ)e (c φ)t 0. 2 Ricord che stimo considerndo il breve periodo, in cui i prezzi sono fissi. Per quest rgione, possimo utilizzre tsso di cmbio rele o nominle nelle equzioni dell domnd nett di esportzioni. 10

11 Quindi, l equzione dell curv IS e l seguente: r = A 3 1 (c φ)(1 t) Y. (8) L pendenz e pri : Y Y 1 (c φ)(1 t) = 1 (c φ)(1 t) = < 0 se 0 < (c φ)(1 t) < 1 > 0 se (c φ)(1 t) > 1 Per un dto livello di Y, un pprezzmento (umento) del tsso di cmbio nominle provoc uno spostmento verso sinistr dell curv IS in qunto diminuisce l domnd nett di esportzioni. Al contrrio, un umento del reddito estero comport un umento dell domnd ggregt e uno spostmento verso destr dell curv IS. In termini nlitici, possimo clcolre i due effetti gurdndo lle seguenti derivte: = ψ + θ < 0 spostmento sinistr e = µ > 0 spostmento destr Y Mercto monetrio L relzione di equilibrio sul mercto monetrio descritt dll LM non e cmbit rispetto l cso di economi chius. Quindi, le combinzioni di tsso di interesse rele e reddito tli per cui il mercto monetrio e in equilibrio sono crtterizzte dll equzione (4). 11

12 Bilnci dei pgmenti L bilnci dei pgmenti BP e dt dll differenz tr esportzioni nette (NX) e sldo del conto fiscle (CF ). Quest ultimo registr il sldo netto di flussi di cpitle tr l economi in nlisi e il resto del mondo. In generle, possimo supporre che il conto fiscle dipend dl differenzile di tsso di interesse rele domestico e estero: CF = CF (r r ). Qundo r > r, in ssenz di restrizioni i movimenti di cpitle, registrimo un fflusso di cpitli dl resto del momento verso l piccol economi pert. Possimo per esempio ssumere un form linere per il sldo del conto fiscle: CF = β(r r ). Come discusso in clsse, il sldo dell bilnci dei pgmenti deve essere pri 0: BP = µy ψe φy d θe + βr βr = 0. (9) Quindi, possimo esprimere l relzione BP = 0 in un pino r, Y come segue: r = r + 1 β φ(1 t)y + 1 β A 5, dove A 5 = [ψe φt 0 + θe µy ]. L intuizione economic e come segue: ll umentre del reddito le importzioni umentno (inftti, φ(1 t) descrive l propensione mrginle lle importzioni rispetto l reddito) e le esportzioni nette peggiorno. Per mntenere l bilnci dei pgmenti in preggio, il tsso di interesse interno deve umentre rispetto quello estero per ttrrre cpitli dll estero. In un piccol economi con perfett mobilit dei cpitli il prmetro β. In questo cso, l prit dell bilnci dei pgmenti implic che: r = r, e l curv BP = 0 e orizzontle: questo e proprio il cso nlizzto in clsse. L derivzione nlitic dimostr come il risultto che r = r dipend d un ipotesi sui prmetri, ll interno 12

13 di un modello piu generle. In prticolre, nel pino (r, Y ) l curv BP = 0 h un pendenz positiv qundo β > 0. L curv e invece verticle qundo β 0 (ssenz di mobilit dei cpitli), ed e orizzontle qundo β (perfett mobilit dei cpitli). Equilibrio in economi pert L equilibrio in economi pert richiede sostnzilmente di trovre l intersezione tr IS, LM e BP = 0. Quindi, dl punto di vist nlitico: r = A 3 1 (c φ)(1 t) Y r = k Y + 1 (L m m 0 M) r = r, dove A 3 = C 0 + I 0 + Ḡ + µy (ψ + θ)e (c φ)t 0. Not come possimo utilizzre l relzione BP = 0 r = r per semplificre il problem. In prticolre, possimo ridurre il sistem in due equzioni (IS, LM) e due incognite (e, Y ), come bbimo ftto grficmente in clsse. In un pino (e, Y ), l LM e verticle in qunto non dipende dl tsso di cmbio. Quindi, il reddito di equilibrio e semplicemente dto d: Y eq = m k r 1 k (L 0 M). Per trovre il tsso di cmbio di equilibrio, dobbimo or sostituire Y eq nell IS. Not che vremmo potuto nche derivre l IS di economi pert come combinzione di tsso di cmbio e reddito tli per cui il mercto dei beni e in equilibrio. In questo cso: e = ψ + θ r + A 6 ψ + θ 1 (c φ)(1 t) Y, ψ + θ dove A 6 = C 0 + I 0 + Ḡ + µy (c φ). Sostituendo Y eq nell IS ottenimo: 13

14 e eq = 1 (c φ)(1 t)) + k {[m(1 ]r + A ψ + θ k k [1 (c φ)(1 t)](l 0 M)}. Cso specile: I = I(Y, r) In questo cso, seguendo qunto ftto per l economi chius trovimo che: Y (1 (c + v φ)(1 t)) = A 4 r, dove A 4 = C 0 + I 0 + Ḡ + µy (ψ + θ)e (c + v φ)t 0. Quindi, l equzione dell curv IS e come segue: r = 1 A 4 1 (c + v φ)(1 t) Y. Null cmbi rispetto l cso stndrd per qunto rigurd spostmenti dell curv IS seguito di vrizioni del tsso di cmbio rele, o del reddito estero. Per qunto rigurd l pendenz, puo essere positiv o negtiv second dei prmetri scelti: Y Y 1 (c + v φ)(1 t) = 1 (c + v φ)(1 t) = < 0 se 0 < (c + v φ)(1 t) < 1 > 0 se (c + v φ)(1 t) > 1 Alcuni moltiplictori Infine, not le seguenti relzioni: In economi chius cso stndrd: T 0 = c G. 14

15 In economi chius, con I(Y, r): T 0 = (c + v) G. 15