Richiami di geometria delle Aree

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento rmato Precompresso / Richiami di geometria delle ree

2 PREMESS L analisi dello stato tensionale passa necessariamente attraverso la valutazione delle caratteristiche geometriche della sezione analizzata. Per tale motivo, nel seguito sono brevemente richiamati alcuni concetti legati alla geometria delle aree, utili per il calcolo delle tensioni e per il progetto di traviin c.a.p.

3 Momento statico e sue proprietà Definizione Data la superficie e detta d l area di un elementino appartenente all area stessa, le cui coordinate rispetto ad un sistema di riferimento (0 ) siano e, si definiscono momenti statici dell area rispetto ai due assi e i seguenti integrali: d 0 g 0 g

4 Momento statico e sue proprietà Baricentro Si consideri ora un nuovo sistema di riferimento (0 ) la cui origine 0 ha coordinate g e g. e gli assi sono paralleli al sistema di riferimento originario. Il momento statico rispetto a questi due nuovi assi può essere così calcolato: d 0 g 0 g S g = - g d S g = - g d

5 Momento statico e sue proprietà Baricentro Gli assi rispetto ai quali il momento statico risulta nullo sono detti assi baricentrici e la loro origine è detto baricentro dell area, le cui coordinate si possono ricavare dagli integrali precedenti annullandone il valore: d 0 g 0 g Coordinate del Baricentro dell area

6 Definizione Il momento d inerzia rispetto agli assi e della superficie è così definito: I = 2 d I = 2 d mentre il momento polare è definito come l integrale dell area per la distanza rispetto al polo considerato. Nel caso che il polo coincida con l origine degli assi, il momento polare si può esprimere come segue: I R = r 2 d = d =I +I!!

7 Teorema di Hugens Si consideri ora un nuovo sistema di assi (0 ) e si calcoli il momento d inerzia rispetto ai nuovi assi e I ' = - g 2 d I ' = - g 2 d Ricordando la definizione di coordinate del baricentro g e g gli integrali precedenti, dopo brevi passaggi, possono riscriversi nella maniera seguente: I ' =I + g 2-2 g S I ' =I + g 2-2 g S!!

8 Teorema di Hugens Qualora l origine del sistema di riferimento originario coincida con il baricentro della sezione, poiché S =S =0, le equazioni precedenti assumono la forma seguente, che rappresenta il risultato del ben noto teorema di Hugens: I ' =I g + g 2 I ' =I g + g 2 d 0 g 0 g

9 ssi principali d inerzia I r = s 2 d= cos-sinα 2 d= I cos 2 α+i sin 2 α-i sin2α I = d I s = r 2 d= senα+cosα 2 d= I sin 2 α+i cos 2 α+i sin2α Si consideri ora il sistema (0 ) passante per il baricentro dell area e si calcolino i momenti d inerzia assiali, rispetto ad un nuovo sistema (0 r s) con origine nel baricentro ma ruotato rispetto al primo dell angolo α. d s 0 g 0 g r

10 ssi principali d inerzia I rs = rsd= senα+cosα cosα-sinα d = I -I 2 sin2α+i cos2α E di particolare interesse ricercare i così detti assi principali d inerzia rispetto ai quali si ha che il momento d inerzia misto è nullo. tan2α= 2I I -I d s 0 g 0 g r ssi principali d inerzia

11 Ellisse centrale d inerzia Si definisce ellisse centrale d inerzia di un area, l ellisse con centro nel baricentro dell area stessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d inerzia massimo e minimo della sezione. Essa fornisce un indicazione rapida sul comportamento flessionale della sezione. Ellisse centrale d inerzia sse neutro ρ ρ 2 2 = 1 ρ Y ρ X Retta antipolare rispetto all ellisse centrale d inerzia

12 Ellisse centrale d inerzia Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L asse neutro è l antipolare del centro di pressione rispetto all ellisse centrale d inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l equazione dell asse neutro: N N N + I I = = 2 2 ρ ρ 0 (a) 0 0 0

13 Ellisse centrale d inerzia Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L asse neutro è l antipolare del centro di pressione rispetto all ellisse centrale d inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l equazione dell asse neutro: N N N + I I = = 2 2 ρ ρ 0 (a) 0 0 0

14 Nocciolo centrale d inerzia Il nocciolo centrale d inerzia è il luogo dei centri di pressione tali per cui l asse neutro non taglia mai la sezione e quindi la sezione risulta interamente compressa. Detta n l area del nocciolo centrale d inerzia, la condizione per cui la sezione rimanga interamente compressa si esprime come segue: ρ ρ > 0, Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti di frontiera del nocciolo per il quale l asse neutro è ortogonale all asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore c i e c s. n 1 c s c i Cs Ci

15 Nocciolo centrale d inerzia Nel caso ad esempio della figura, per individuare la loro posizione basta far riferimento all equazione della retta antipolare con la condizione che essa passi per i punti =0 e = i per individuare c s e = s per individuare c i : Cs i + 1 = 0 2 ρ Ci s + 1 = 0 2 ρ Cs Ci = = ρ ρ 2 i 2 s W = i c W = s c i c s cs ci s i

16 Nocciolo centrale d inerzia: esempio ESEMPIO: Determinare le caratteristiche geometriche (baricentro, momenti d inerzia, punti di nocciolo) della sezione indicata in figura : rea =13 a 2 Baricentro g =S /=0 g = S ' = 5 i=1 S i = 3a a Momenti d inerzia 13 2 a+6a a 3a+2 2a a a 2 13a 2 = a 3a 7a a 5a a a a 1 2 G =' cs=2.06a ci=1.55a Punti di nocciolo a 3 4 ' 2a a 2a 5a

17 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

18 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

19 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

20 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

21 Nocciolo centrale d inerzia: esempio s =13.33 cm e i = cm s i

22 Nocciolo centrale d inerzia: esempio Riepilogo caratteristiche geometriche delle sezione senza armatura (GrossSection) BRICENTRO Yg,=, 46, MOMENTO,D'INERZI,RISPETTO,,X' I'= ,43 MOMENTO,D'INERZI,RISPETTO,,X I= ,34 ORDINT,FIBR,SUPERIORE s,=, 13, ORDINT,FIBR,INFERIORE i,=, F46, MODULI,DI,RESISTENZ,,FLESSIONE Ws,= 74270,97714 Wi,= F21220,3796 ORDINT,PUNTO,DI,NOCCIOLO,SUP YCs,= 4, ORDINT,PUNTO,DI,NOCCIOLO,INF YCi,=, F17,475524

23 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

24 Nocciolo centrale d inerzia: esempio BRICENTRO Yg = 46, MOMENTO D'INERZI RISPETTO X' I'= ,20 MOMENTO D'INERZI RISPETTO X I= ,13 ORDINT FIBR SUPERIORE s = 13, ORDINT FIBR INFERIORE i = -46, MODULI DI RESISTENZ FLESSIONE Ws = 76784,55481 Wi = ,6629 BRICENTRO Yg,=, 46, MOMENTO,D'INERZI,RISPETTO,,X' I'= ,43 MOMENTO,D'INERZI,RISPETTO,,X I= ,34 ORDINT,FIBR,SUPERIORE s,=, 13, ORDINT,FIBR,INFERIORE i,=, F46, MODULI,DI,RESISTENZ,,FLESSIONE Ws,= 74270,97714 Wi,= F21220,3796 ORDINT PUNTO DI NOCCIOLO SUP YCs = 5, ORDINT PUNTO DI NOCCIOLO INF YCi = -17, CON RMTUR ORDINT,PUNTO,DI,NOCCIOLO,SUP YCs,= 4, ORDINT,PUNTO,DI,NOCCIOLO,INF YCi,=, F17, GROSS SECTION

25 Nocciolo centrale d inerzia: esempio

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