GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

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1 GEOMETRI EUCLIDE PROF. VINCENZO LO PRESTI CONCETTI GEOMETRICI FONDMENTLI 1

2 GEOMETRI Letterlmente geometri signific misur (metron) dell terr (geo). Lo scopo principle dell geometri è quello di studire e descrivere le forme che l uomo riscontr nell ntur. GEOMETRI Nelle civiltà primitive l geometri vev un crttere empirico e veniv utilizzt per scopi esclusivmente di ordine prtico: Ricostruire i confini dei cmpi cncellti dlle inondzioni dei fiumi; Conoscere l cpcità di un vso; Misurre il volume delle costruzioni. 2

3 STORI DELL GEOMETRI Presso l civiltà ssiro-ilonese l geometri cominciò d ssumere un significto strtto indipendentemente dll su funzione prtic. Nell cultur dell civiltà grec l geometri nel corso dei secoli venne sottopost d un processo di strzione per oper di mtemtici e filosofi greci come Tlete, Pitgor, Eudosso. GEOMETRI EUCLIDE Il processo di strzione dell geometri venne profondmente influenzto d Euclide (III secolo.c.) che con l su oper gli Elementi, rticolt in en 13 liri, espose in mnier sistemtic e generlizzt tutte le conoscenze di geometri. Nsce quindi l geometri euclide che per diversi secoli è rimst il più grnde esempio di teori mtemtic e di costruzione strutturt delle mente umn. 3

4 STRUTTUR DELL GEOMETRI EUCLIDE TEOREM DI PITGOR In un tringolo rettngolo il qudrto costruito sull ipotenus è equivlente ll somm dei qudrti costruiti sui cteti TRINGOLO: un poligono di tre lti POLIGONO: figur geometric formt d un poligonle e dll prte finit di pino d ess delimitt POLIGONLE: spezzt chius non intreccit GEOMETRI EUCLIDE SPEZZT: due o più segmenti consecutivi SEGMENTO: l insieme dei punti di un rett compresi tr due punti qulsisi dell rett stess 4

5 STRUTTUR DELL GEOMETRI EUCLIDE CONCETTI PRIMITIVI (elementi di se) POSTULTI (Regole fondmentli) D cui si deducono medinte definizioni medinte dimostrzioni NUOVI ENTI NUOVE PROPRIET ENTI PRIMITIVI DELL GEOMETRI EUCLIDE Gli enti primitivi sono quei concetti immediti che si suppongono ccettti d tutti. Gli enti primitivi dell geometri euclide sono: PUNTO RETT PINO 5

6 ENTI PRIMITIVI DELL GEOMETRI EUCLIDE Per convenzione punti, rette e pini vengono indicti utilizzndo l seguente simologi: PUNTI: con le lettere miuscole dell lfeto P C ENTI PRIMITIVI DELL GEOMETRI EUCLIDE Per convenzione punti, rette e pini vengono indicti utilizzndo l seguente simologi: RETTE: con le lettere minuscole dell lfeto s r 6

7 ENTI PRIMITIVI DELL GEOMETRI EUCLIDE Per convenzione punti, rette e pini vengono indicti utilizzndo l seguente simologi: PINI: con le lettere minuscole dell lfeto greco POSTULTI I postulti sono delle ffermzioni che si devono ccettre priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertnto non si dimostrno. (Regole del gioco) 7

8 POSTULTI DI PPRTENENZ Primo Postulto Per due punti distinti pss un sol rett Secondo postulto Su di un rett ci sono lmeno due punti Terzo postulto Dt un rett e un pino che l contiene esiste un punto del pino che non pprtiene ll rett POSTULTI DI PPRTENENZ DEL PINO Postulto Per tre punti non llineti pss un solo pino. 8

9 POSTULTI DI PPRTENENZ DEL PINO Postulto Se due punti di un rett pprtengono un pino llor l rett gice intermente sul pino r P POSTULTI DI ORDINMENTO Postulto L rett gode delle seguenti proprietà: l rett è un insieme ordinto di punti (si può fissre sull rett un verso di percorrenz tr i due possiili) non esiste un primo e un ultimo punto (l rett e illimitt) fr due suoi punti esiste sempre lmeno un ltro punto (l rett e dens) Q P R 9

10 PRIME DEFINIZIONI FIGUR GEOMETRIC: Si chim figur geometric un qulsisi insieme di punti. SPZIO: Si chim spzio l insieme di tutti i punti. DEFINIZIONI Semirett Dt un rett orientt su cui viene fissto un punto P, si chim semirett l insieme formto d P e d tutti i punti che lo seguono o che lo precedono. P Origine 10

11 DEFINIZIONI Segmento Dt un rett orientt e due suoi punti e, si chim segmento l insieme dei punti e e di quelli che sono compresi tr essi. Estremo Estremo DEFINIZIONI Segmenti consecutivi Due segmenti si dicono consecutivi se hnno un estremo in comune. C 11

12 DEFINIZIONI Segmenti dicenti Due segmenti si dicono dicenti se oltre d essere consecutivi pprtengono ll stess rett C Si chim poligonle un insieme di segmenti consecutivi Lti DEFINIZIONI C E D Vertici 12

13 POSTULTO DI PRTIZIONE DEL PINO Postulto- Dt un rett r su un pino, presi due punti qulsisi e del pino, se e pprtengono ll stess regione il segmento non intersec l rett r, se e pprtengono regioni diverse il segmento intersec l rett r. r (Per pssre d un prte ll ltr si deve per forz ttrversre l rett che non può essere ggirt) DEFINIZIONI Semipino Dt un rett r su di un pino, si chim semipino di origine r ciscun delle due prti in cui il pino viene diviso dll rett r. r Origine o frontier 13

14 DEFINIZIONI ngolo Dte due semirette con l origine in comune si chim ngolo ciscun delle due prti in cui viene diviso il pino. ngolo ngolo Lti Vertice DEFINIZIONI Modi per indicre un ngolo V V 14

15 DEFINIZIONI ngoli consecutivi: Qundo hnno il vertice e un lto in comune c V DEFINIZIONI ngoli dicenti Qundo sono consecutivi e i lti non comuni pprtengono ll stess rett c V 15

16 DEFINIZIONI ngolo pitto Qundo i lti sono semirette opposte. V DEFINIZIONI ngolo giro Qundo i lti sono semirette sovrpposte cioè coincidenti e l ngolo coincide con l intero pino. V 16

17 DEFINIZIONI ngolo nullo Qundo i lti sono semirette sovrpposte cioè coincidenti e l ngolo comprende soltnto i punti delle semirette. V =0 FIGURE GEOMETRICHE CONCVE E CONVESSE Un figur geometric può essere: Convess qundo il segmento che unisce due punti qulsisi dell figur pprtiene per intero ll stess figur convess Concv qundo esistono lmeno due punti tli che il segmento che li unisce non pprtiene per intero ll figur concv 17

18 DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti qundo possono essere sovrpposte medinte un movimento rigido. F 2 F 1 DEFINIZIONI Figure congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti qundo possono essere sovrpposte medinte un movimento rigido. F 1 F 2 V 18

19 POSTULTO SULL CONGRUENZ L relzione di congruenz tr figure geometriche è un relzione di equivlenz perchè gode delle proprietà: -Riflessiv Ogni figur è congruente se stess; -Simmetric Se F 1 F 2 risult nche F 2 F 1 -Trnsitiv Se F 1 F 2 e F 2 F 3 risult nche F 1 F 3 POSTULTO DEL TRSPORTO DEI SEGMENTI Dto un segmento e un semirett di origine O esiste ed è unico il punto P sull semirett in modo che OP O P OP 19

20 POSTULTO DEL TRSPORTO DEGLI NGOLI Dto un ngolo e un fscio orientto di semirette con origine nell semirett c, esiste ed è unic l semirett d tle che cd d c O cd Lunghezz di un segmento DEFINIZIONI Si chim lunghezz di un segmento l crtteristic comune che hnno un insieme di segmenti congruenti fr loro 20

21 mpiezz di un ngolo DEFINIZIONI Si chim mpiezz di un ngolo l crtteristic comune che hnno un insieme di ngoli congruenti fr loro CONFRONTO TR SEGMENTI Il confronto tr due segmenti viene eseguito sovrpponendoli l uno sull ltro in modo d fr coincidere un estremo. C <CD D C >CD D C CD D 21

22 SOMM DI SEGMENTI Dti due segmenti l loro somm è il segmento che si ottiene disponendoli uno dicente ll ltro D C C D +CD=D DIFFERENZ DI SEGMENTI Dti due segmenti e CD con >CD l differenz -CD è il segmento D che si ottiene sovrpponendo i due segmenti fcendo coincidere gli estremi e C. C C D -CD=D D 22

23 MULTIPLO DI UN SEGMENTO Dto un segmento e un numero nturle n>1 si chim multiplo di secondo il numero n l somm di n segmenti congruenti con. n=3 C D E F n. = F SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO Il seguente postulto (Eudosso-rchimede) ci ssicur l divisiilità di un segmento in un numero qulsisi di segmenti congruenti. Dto un segmento e un numero nturle n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di rispetto l numero n n=3 C D C = /3 n=5 C D E F C = /5 23

24 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Dto un segmento esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due prti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio. M M Punto medio del segmento M CONFRONTO TR NGOLI d f e h P Q c R S g d h f O <cd c O e O >ef =gh g 24

25 SOMM TR NGOLI P d c d O Q c d= +cd DIFFERENZ TR NGOLI P d d O c Q c d= -cd 25

26 MULTIPLO DI UN NGOLO Dto un ngolo e un numero nturle n>1 si chim multiplo di secondo il numero n l somm di n ngoli congruenti con. n=3 d= 3 P d c O SOTTOMULTIPLO DI UN NGOLO Il seguente postulto (Eudosso-rchiemde) ci ssicur l divisiilità di un ngolo in un numero qulsisi di ngoli congruenti. Dto un ngolo e un numero nturle n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dell ngolo rispetto l numero n n=3 n=5 c P c= /3 c P c= /5 26

27 ISETTRICE DI UN NGOLO Dto un ngolo esiste ed è unic l semirett che divide l ngolo in due prti congruenti. Quest semirett prende il nome di isettrice. c c c O isettrice dell ngolo DEFINIZIONI SUGLI NGOLI Si chim ngolo retto ciscuno dei due ngoli in cui l isettrice divide l ngolo pitto. c isettrice O ngolo retto 27

28 DEFINIZIONI SUGLI NGOLI Due ngoli si dicono supplementri qundo l loro somm è un ngolo pitto d P c d O c Q Se +cd = π gli ngoli e cd si dicono supplementri DEFINIZIONI SUGLI NGOLI Due ngoli si dicono complementri qundo l loro somm è un ngolo retto d d P c O c Q Se +cd = π/2 gli ngoli e cd si dicono complementri 28

29 DEFINIZIONI SUGLI NGOLI Due ngoli si dicono esplementri qundo l loro somm è un ngolo giro c Se +cd = 2π gli ngoli e cd si dicono esplementri O d DEFINIZIONI SUGLI NGOLI Un ngolo si dice cuto se è minore dell ngolo retto Un ngolo convesso si dice ottuso se è mggiore dell ngolo retto π/2 π/2 Q Q Se < π/2 è cuto Se >π/2 è ottuso 29