Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Stabilità dell equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione

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1 Equlbro e stabltà d sstem dnamc Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone

2 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Stabltà dell equlbro d sstem NL TC Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TC Stabltà dell equlbro d sstem NL TD Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TD Esemp d anals della stabltà dell equlbro 2

3 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Stabltà dell equlbro d sstem NL TC

4 Stabltà dell equlbro d sstem NL TC (1/3) Dato un sstema dnamco, a dmensone fnta, MIMO, a tempo contnuo, non lneare (NL) e stazonaro, descrtto dall equazone d stato xt () = f( xt (), ut ()), se ne consderno due dverse evoluzon temporal: Il movmento nomnale d equlbro xt () = xottenuto applcando l ngresso nomnale d equlbro ut () = ual sstema posto nello stato nzale nomnale xt ( = 0) = x 0 xt () soddsfa l seguente sstema d equazon xt () = x= 0 = f( xu, ) Un movmento perturbato xt () ottenuto applcando lo stesso ngresso nomnale ut () = ual sstema posto n uno stato nzale dfferente ( perturbato ) x x 0 xt () soddsfa l seguente sstema d equazon xt () = f xt (), u, xt ( = 0) = x ( ) 0 0 4

5 Stabltà dell equlbro d sstem NL TC (2/3) La dfferenza fra due dvers movment costtusce la perturbazone sullo stato del sstema: n δxt () = xt () x xt () = x+ δxt () L evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx (t ) è soluzone dell equazone dfferenzale xt d ( δx() t ) d ( x() t x) δ () = = = () dt dt xt x = = f ( x(), t u) = f ( x + δx(), t u) che rsulta qund non lneare nella varable δx (t ) ed ha come condzone nzale δxt ( = 0) = xt ( = 0) x= x x= δx

6 Stabltà dell equlbro d sstem NL TC (3/3) La soluzone dell equazone dfferenzale non lneare δxt () = f( x+ δxt (), u), δxt ( = 0) = x x= δx è n generale dffcle da trovare ed noltre dpende sa dallo stato nzale nomnale d equlbro x sa dall ngresso nomnale d equlbro u, coè dpende dal partcolare punto d equlbro ( xu, ) consderato nel caso de sstem dnamc non lnear stazonar, la propretà d stabltà rguarda soltanto un ntorno del partcolare stato d equlbro consderato e non l ntero sstema (s parla nfatt d studo della stabltà locale ), a dfferenza d quanto avvene nel caso de sstem dnamc LTI 6

7 Metodo d lnearzzazone per sstem NL TC (1/2) In molt cas, col metodo ndretto d Lyapunov (anche noto come metodo d lnearzzazone) s può studare la stabltà locale dell equlbro senza dover rsolvere l equazone dfferenzale non lneare δxt () = f( x+ δxt (), u), δxt ( = 0) = x x= δx La funzone f ( x + δx(), t u) può essere svluppata n sere d Taylor n un ntorno dell equlbro x come f( x, u) f( x+ δxt (), u) = f( x, u) + δxt () + h( δxt ()) = x x= x f( x, u) = δxt () + h( δxt ()) x x= x n cu h( δx() t ) è una funzone che contene potenze d δx() t d grado superore al prmo 7

8 Metodo d lnearzzazone per sstem NL TC (2/2) Secondo l metodo d lnearzzazone, ne cas n cu sa possble trascurare l termne h( δx() t ), l anals della stabltà dell equlbro è effettuata medante lo studo della stabltà nterna del sstema dnamco LTI δxt () = Aδxt (), δxt ( = 0) = x x= δx f( x, u) A = = Jacobano d f rspetto ad x x x= x approssmando coè f x +δx(), t u col troncamento dello svluppo n sere d Taylor arrestato al termne lneare S osserv che la matrce A è la matrce d stato del sstema dnamco lnearzzato nell ntorno del punto d equlbro xu, ( ) ( ) 8

9 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TC

10 Asntotca stabltà dell equlbro d sstem NL TC Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo contnuo, non lneare e stazonaro, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult (localmente) asntotcamente stable èche f( x, u) : e λ ( A) < 0 A = ( ) x= x I x In tal caso, esste nfatt un ntorno dell equlbro tale che, per qualsas perturbazone nzale δx I, 0 x la perturbazone sullo stato δx (t ) rmanga lmtata nel tempo e tenda a zero asntotcamente poché l termne h( δx() t ) contene potenze d δx (t ) d ordne superore al prmo, è lecto trascurarlo nella equazone dfferenzale non lneare δxt () = f x+ δ xt (), u = Aδxt () + h δxt () ( ) ( ) x 10

11 Instabltà dell equlbro d sstem NL TC Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo contnuo, non lneare e stazonaro, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult (localmente) nstable èche f( x, u) : e λ ( A) > 0 A = ( ) x= x I x In tal caso, non esste alcun ntorno dell equlbro tale che, per qualsas perturbazone nzale δx I, 0 x la perturbazone sullo stato δx (t ) rmanga lmtata anche se non è possble trascurare l termne h( δx() t ) nell equazone dfferenzale non lneare δxt () = f( x+ δ xt (), u) = Aδxt () + h( δxt ()) la sua soluzone δx (t ) non rmane comunque lmtata x 11

12 Caso crtco per la stabltà dell equlbro Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo contnuo, non lneare e stazonaro, tale che : e ( λ ( A) ) 0 f( x, u) A = k : e λ ( A) = 0 x ( ) k x= x medante l metodo d lnearzzazone non è possble concludere nulla sulla stabltà locale d x, che nfatt può rsultare asntotcamente stable oppure semplcemente stable oppure nstable In tal caso, non è possble trascurare l termne h( δx() t ) nell equazone dfferenzale non lneare δxt () = f( x+ δ xt (), u) = Aδxt () + h( δxt ()) lo studo d δx (t ) va effettuato con altr metod 12

13 Analoga con l anals d monotonctà d funzone Nota: analoga crtctà sorge nel caso n cu s stud la monotonctà locale d una funzone reale f (x ) non lneare consderando la pendenza p della retta tangente, ossa del troncamento h (x ) dello svluppo n sere d Taylor arrestato al termne d 1 o grado f (x ) p >0 p <0 x 13

14 Analoga con l anals d monotonctà d funzone Nota: analoga crtctà sorge nel caso n cu s stud la monotonctà locale d una funzone reale f (x ) non lneare consderando la pendenza p della retta tangente, ossa del troncamento h (x ) dello svluppo n sere d Taylor arrestato al termne d 1 o grado p =0 f (x ) p =0 p =0 p =0 x se la pendenza p della retta tangente è nulla non s può dre nulla sulla monotonctà locale d f (x ) 14

15 Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TC Metodo d lnearzzazone Autovalor λ (A ) della matrce d stato A del sstema dnamco lnearzzato : e ( λ ( A) ) < 0 : e λ ( A) > 0 ( ) ( ) ( ) : e λ ( A) 0 k : e λ ( A) = 0 k Propretà d stabltà locale dello stato d equlbro del sstema dnamco non lneare Asntotca stabltà Instabltà Asntotca stabltà oppure Semplce stabltà oppure Instabltà NON è possble concludere nulla 15

16 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Stabltà dell equlbro d sstem NL TD

17 Stabltà dell equlbro d sstem NL TD (1/3) Dato un sstema dnamco, a dmensone fnta, MIMO, a tempo dscreto, non lneare (NL) e stazonaro, descrtto dall equazone d stato xk ( + 1) = f( xk ( ), uk ( )) se ne consderno due dverse evoluzon temporal: Il movmento nomnale d equlbro xk ( ) = xottenuto applcando l ngresso nomnale d equlbro uk ( ) = ual sstema posto nello stato nzale nomnale xk ( = 0) = x 0 xk ( ) soddsfa l seguente sstema d equazon xk ( + 1) = x= f( xu, ) Un movmento perturbato xk ( ) ottenuto applcando lo stesso ngresso nomnale uk ( ) = ual sstema posto n uno stato nzale dfferente ( perturbato ) x x 0 xk ( ) soddsfa l seguente sstema d equazon xk ( + 1) = f xk ( ), u, xk ( = 0) = x ( )

18 Stabltà dell equlbro d sstem NL TD (2/3) La dfferenza fra due dvers movment costtusce la perturbazone sullo stato del sstema: n δxk ( ) = xk ( ) x xk ( ) = x+ δxk ( ) L evoluzone temporale della perturbazone sullo stato δx (k ) è soluzone dell equazone alle dfferenze δxk ( + 1) = xk ( + 1) x= f( xk ( ), u) x= = f ( x + δx( k), u) x che rsulta qund non lneare nella varable δx (k ) ed ha come condzone nzale δxk ( = 0) = xk ( = 0) x= x x= δx

19 Stabltà dell equlbro d sstem NL TD (3/3) La soluzone dell equazone alle dfferenze non lneare δxk ( + 1) = f( x+ δxk ( ), u) x, δxk ( = 0) = x x= δx è n generale dffcle da trovare ed noltre dpende sa dallo stato nzale nomnale d equlbro x sa dall ngresso nomnale d equlbro u, coè dpende dal partcolare punto d equlbro ( xu, ) consderato nel caso de sstem dnamc non lnear stazonar, la propretà d stabltà rguarda soltanto un ntorno del partcolare stato d equlbro consderato e non l ntero sstema (s parla nfatt d studo della stabltà locale ), a dfferenza d quanto avvene nel caso de sstem dnamc LTI 19

20 Metodo d lnearzzazone per sstem NL TD (1/2) In molt cas, col metodo ndretto d Lyapunov (anche noto come metodo d lnearzzazone) s può studare la stabltà locale dell equlbro senza dover rsolvere l equazone alle dfferenze non lneare δxk ( + 1) = f( x+ δxk ( ), u) x, δxk ( = 0) = x x= δx La funzone f ( x +δx( k), u) può essere svluppata n sere d Taylor n un ntorno dell equlbro x come f( x, u) f ( x + δx( k), u) = f ( x, u) + δx( k) + h( δx( k) ) = x x= x f( x, u) = x + δx( k) + h( δx( k) ) x x= x n cu h( δx( k) ) è una funzone che contene potenze d δx( k) d grado superore al prmo 20

21 Metodo d lnearzzazone per sstem NL TD (2/2) Secondo l metodo d lnearzzazone, ne cas n cu sa possble trascurare l termne h( δx( k) ), l anals della stabltà dell equlbro è effettuata medante lo studo della stabltà nterna del sstema dnamco LTI δxk ( + 1) = Aδxk ( ), δxk ( = 0) = x x= δx f( x, u) A = = Jacobano d f rspetto ad x x x= x approssmando coè f ( x +δx( k), u) col troncamento dello svluppo n sere d Taylor arrestato al termne lneare S osserv che la matrce A è la matrce d stato del sstema dnamco lnearzzato nell ntorno del punto d equlbro xu, ( ) 21

22 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TD

23 Asntotca stabltà dell equlbro d sstem NL TD Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo dscreto, non lneare e stazonaro, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult (localmente) asntotcamente stable èche f( x, u) : λ ( A) < 1 A = x= x I x In tal caso, esste nfatt un ntorno dell equlbro tale che, per qualsas perturbazone nzale δx I, 0 x la perturbazone sullo stato δx (k ) rmanga lmtata nel tempo e tenda a zero asntotcamente poché l termne h( δx( k) ) contene potenze d δx (k ) d ordne superore al prmo, è lecto trascurarlo nella equazone alle dfferenze non lneare δxk ( + 1) = f x+ δ xk ( ), u = Aδxk ( ) + h δxk ( ) x ( ) ( ) 23

24 Instabltà dell equlbro d sstem NL TD Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo dscreto, non lneare e stazonaro, condzone (soltanto) suffcente affnché rsult (localmente) nstable èche f( x, u) : λ ( A) > 1 A = x= x I x In tal caso, non esste alcun ntorno dell equlbro tale che, per qualsas perturbazone nzale δx I, 0 x la perturbazone sullo stato δx (k ) rmanga lmtata anche se non è possble trascurare l termne h( δx( k) ) nell equazone alle dfferenze non lneare δxk ( + 1) = f( x+ δ xk ( ), u) = Aδxk ( ) + h( δxk ( )) la sua soluzone δx (k ) non rmane comunque lmtata x 24

25 Caso crtco per la stabltà dell equlbro Dato lo stato d equlbro x d un sstema dnamco, a tempo dscreto, non lneare e stazonaro, tale che : λ ( A) 1 f( x, u) A = k : λ ( A) = 1 x k x= x medante l metodo d lnearzzazone non è possble concludere nulla sulla stabltà locale d x, che nfatt può rsultare asntotcamente stable oppure semplcemente stable oppure nstable In tal caso, non è possble trascurare l termne h( δx( k) ) nell equazone dfferenzale non lneare δxk ( + 1) = f( x+ δ xk ( ), u) = Aδxk ( ) + h( δxk ( )) lo studo d δx (k ) va effettuato con altr metod 25

26 Crter d stabltà dell equlbro d sstem NL TD Metodo d lnearzzazone Autovalor λ (A ) della matrce d stato A del sstema dnamco lnearzzato : λ ( A) < 1 : λ ( A) > 1 : λ ( A) 1 k : λ ( A) = 1 k Propretà d stabltà locale dello stato d equlbro del sstema dnamco non lneare Asntotca stabltà Instabltà Asntotca stabltà oppure Semplce stabltà oppure Instabltà NON è possble concludere nulla 26

27 Stabltà dell equlbro d sstem dnamc non lnear per lnearzzazone Esemp d anals della stabltà dell equlbro

28 Esempo #1 d anals della stabltà (1/4) Dato l sstema descrtto dal seguente modello 2 x () t = x () t u() t = f ( x, u) x () t = x () t x () t = f ( x, u) y () t = x () t x () t = g( xu, ) 1 2 determnare gl stat d equlbro x corrspondent agl ngress d equlbro u = 1eu = 0, analzzandone le rspettve propretà d stabltà locale All equlbro, xt () = x= 0 = f( xu, ), t = x u x = u x ± u x = = = x x x = x = u x u 28

29 Esempo #1 d anals della stabltà (2/4) Dato l sstema descrtto dal seguente modello 2 x () t = x () t u() t = f ( x, u) x () t = x () t x () t = f ( x, u) y () t = x () t x () t = g( xu, ) 1 2 determnare gl stat d equlbro x corrspondent agl ngress d equlbro u = 1eu = 0, analzzandone le rspettve propretà d stabltà locale La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: 1 f 1 f fxu (,) x 2 1 x2 x1 0 A = = = x f2 f2 x= x 2x 1 1 x1 x2 x= x u= u 29

30 Esempo #1 d anals della stabltà (3/4) ( a) 1 ( b) 1 Se u = 1 x = x = oppure x x 1 = = 1 ( a ) () a 2 0 Nel caso d x = x, rsulta A= A = 2 1 λ ( A) = 2, 1 = e λ ( A) { } { } ( ) l autovalore λ 1 =2 ha Re(λ 1 )=2>0 lo stato d equlbro x è nstable ( b ) ( b) 2 0 Nel caso d x = x, rsulta A= A = 2 1 λ ( A) = 2, 1 = e λ ( A) entramb gl autovalor d A hanno Re(λ )<0 lo stato d equlbro x { } ( a ) { } { } ( ) ( b ) { } è asntotcamente stable 30

31 Esempo #1 d anals della stabltà (4/4) c () c 0 0 Se u = 0 x = x = e rsulta 0 A= A = 0 1 λ ( A) = 0, 1 = e λ ( A) ( ) 0 { } { } { } ( ) l autovalore λ 1 =0 ha Re(λ 1 ) = 0, mentre l altro autovalore λ 2 = 1 ha Re(λ 2 )= 1<0 con l metodo d lnearzzazone, non s può dre nulla sulla stabltà locale dello stato d equlbro x (con altr metod, se ne può dmostrare l nstabltà) S parla d studo della stabltà locale perché tale propretà rguarda solo un ntorno del partcolare stato d equlbro consderato e non l ntero sstema ( c ) 31

32 Esempo #2 d anals della stabltà (1/2) Dato l sstema (levtatore magnetco) descrtto da x = x = f ( x, u) ( ) 2 2 x = g k 2 M u x = f 1 2( x, u) f M y = x = g( xu, ) 1 p Mg analzzarne le propretà d stabltà locale k nell ntorno de punt d equlbro Mg u x =, u 0 0 La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: 1 f 1 f fxu (,) x1 x2 A = = = 2 f f ku = 2 0 g Mg x 0 x= x 3 x1 x2 x= x Mx u k 1 u= u 32

33 Esempo #2 d anals della stabltà (2/2) 0 1 A = 2g Mg 0 u k λ 1 pc..( A) = det( λi A) = Mg λ = λ 2g u 2g Mg 2g Mg = = u k u k 2 2 L autovalore λ 1 = ha Re(λ 1 ) = > 0 gl stat d equlbro x sono tutt nstabl, u 0 k g u Mg k { } { λ ( A) }, e ( λ ( A) ) 2g u Mg k 2g u Mg k 33

34 Esempo #3 d anals della stabltà (1/6) Dato l sstema (pendolo nverso) descrtto da x = x = f ( x, u) M u cos x1 g βx2 θ x = + sn x = f ( x, u) Ml l l Ml β y = x = g( xu, ) 1 analzzarne le propretà d stabltà locale k π nell ntorno de punt d equlbro x =, u = 0 0 La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: 1 f 1 f 0 1 fxu (,) x1 x2 A = = = u snx f 1 2 f g β x 2 x= x cosx 1 2 x1 x2 x= x l Ml Ml u= u F o (t ) g 34

35 Esempo #3 d anals della stabltà (2/6) Dato l sstema (pendolo nverso) descrtto da x = x = f ( x, u) M u cos x1 g βx2 θ x = + sn x = f ( x, u) Ml l l Ml β y = x = g( xu, ) 1 analzzarne le propretà d stabltà locale k π nell ntorno de punt d equlbro x =, u = 0 0 La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: k par A = g β, k dspar A = g β l Ml l Ml F o (t ) g 35

36 Esempo #3 d anals della stabltà (3/6) Per k par e β 0 (pendolo vertcale verso l alto, n presenza d attrto): 0 1 A = g β + 2 l Ml λ 1 2 β pc..( A) = det( λi A) = g β λ + λ λ = 2 + Poché l β 2 > g 0 e > 0, c e una varazone d segno Ml l ne coeffcent d p.c.(a ) perlaregoladcarteso, uno de due autovalor della matrce A ha e( λ )>0 gl stat d equlbro x sono nstabl Ml 2 Ml g l 36

37 Esempo #3 d anals della stabltà (4/6) Per k par e β = 0 (pendolo vertcale verso l alto, n assenza d attrto): 0 1 A = g + 0 l λ 1 2 g pc..( A) = det( λi A) = g = λ λ g g = = l l { λ ( A) }, e ( λ ( A) ) g L autovalore λ 1 = ha Re (λ 1 ) = > 0 l l gl stat d equlbro x sono nstabl l l { } g 37

38 Esempo #3 d anals della stabltà (5/6) Per k dspar e β 0(pendolovertcaleversolbasso, n presenza d attrto): 0 1 A = g β 2 l Ml λ 1 2 β g pc..( A) = det( λi A) = g β λ + λ λ = Poché l β 2 > 0 e > 0, non c sono varazon d Ml g l segno ne coeffcent d p.c.(a ) per la regola d Carteso, due autovalor d A hanno e( λ )<0 gl stat d equlbro x sono asntotcamente stabl Ml 2 Ml l 38

39 Esempo #3 d anals della stabltà (6/6) Per k dspar e β = 0 (pendolo vertcale verso l basso, n assenza d attrto): 0 1 A = g 0 l λ 1 2 g pc..( A) = det( λi A) = g = λ + λ { } g g λ ( A) =, { e ( ( ))} { 0,0} j j λ A = l l con l metodo d lnearzzazone, non s può dre nulla sulla stabltà locale degl stat d equlbro x (con altr metod se ne dmostra la semplce stabltà) l l 39

40 Esempo #4 d anals della stabltà (1/4) Dato l sstema descrtto dal seguente modello 2 x ( k + 1) = 0.5 x ( k) u( k) = f ( x, u) x ( k + 1) = 0.5 x ( k) x ( k) = f ( x, u) y ( k) = 0.5 x ( k) x ( k) = g( xu, ) 1 2 determnare gl stat d equlbro x corrspondent agl ngress d equlbro u = 1eu = 0, analzzandone le rspettve propretà d stabltà locale All equlbro, xk ( + 1) = xk ( ) = x= f( xu, ), k x = 0.5x + 0.5u x 2x + u = x = 0.5x + 0.5x x = x

41 Esempo #4 d anals della stabltà (2/4) Nel caso u = 0, all equlbro rsulta 2 2 x 2x + u = x 2 x = x ( x 2) = x = x 2 1 gl stat d equlbro corrspondent sono ( a) 0 ( b) 2 x = x = oppure 0 x = x = 4 Nel caso u =1, all equlbro rsulta x 2x + u = x 2x + 1 = ( x 1) = x = x 2 1 ( c ) 1 lo stato d equlbro corrspondente è x = x = 1 41

42 Esempo #4 d anals della stabltà (3/4) La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: 1 f 1 f fxu (,) x1 x2 x1 0 A = = = x f2 f2 x= x x x1 x2 x= x u= u a Nel caso d x = x =, rsulta 0 λ ( A) = 0,0.5 = λ ( A) ( ) 0 { } { } { } () a 0 0 A= A = 00.5 entramb gl autovalor d A hanno λ <1 ( a ) lo stato d equlbro x è asntotcamente stable 42

43 Esempo #4 d anals della stabltà (4/4) b Nel caso d x = x =, rsulta 4 λ ( A) = 2, 0.5 = λ ( A) { } { } { } ( ) 2 ( b) 2 0 A= A = 20.5 l autovalore λ 1 =2 ha λ 1 =2>1 ( b ) lo stato d equlbro x è nstable ( c ) 1 () c 1 0 Nel caso d x = x =, rsulta A= A = λ ( A) = 1,0.5 = λ ( A) { } { } { } l autovalore λ 1 =1 ha λ 1 = 1, mentre l altro autovalore λ 2 =0.5 ha λ 2 =0.5<1 con l metodo d lnearzzazone, non s può dre nulla sulla stabltà locale dello stato d equlbro x ( c ) 43

44 Esempo #5 d anals della stabltà (1/3) Dato l sstema descrtto dal seguente modello x ( k + 1) = x ( k) u( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, u) x ( k + 1) = x ( k) u( k) + 3 x ( k) = f ( x, u) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( xu, ) 1 2 analzzarne le propretà d stabltà locale nell ntorno ( a) 0 ( ) d, 0.5 e b c x = u = x =, u = 0.5, c La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: 1 f 1 f fxu (,) x1 x2 u+ x2 x1 A = = = x f2 f2 x= x 0 u+ 6x 2 x1 x2 x= x u= u 44

45 Esempo #5 d anals della stabltà (2/3) Dato l sstema descrtto dal seguente modello x ( k + 1) = x ( k) u( k) + x ( k) x ( k) = f ( x, u) x ( k + 1) = x ( k) u( k) + 3 x ( k) = f ( x, u) y ( k) = x ( k) x ( k) = g( xu, ) 1 2 analzzarne le propretà d stabltà locale nell ntorno ( a) 0 ( ) d, 0.5 e b c x = u = x =, u = 0.5, c La matrce d stato del sstema lnearzzato vale: () a () a se x = x A = A = u+ x2 x A = 0 u+ 6x 2 () b () b 1 c se x = x A = A =

46 Esempo #5 d anals della stabltà (3/3) a () a Nel caso d x = x =, rsulta 0 A= A = λ ( A) = 0.5, 0.5 λ ( A) = 0.5, 0.5 ( ) 0 { } { } { } { } entramb gl autovalor d A hanno λ < 1 ( a ) lo stato d equlbro x è asntotcamente stable ( b ) c ( b) 1 c Nel caso d x = x =, rsulta 0.5 A= A = λ ( A) = 1,2.5 = λ ( A) { } { } { } l autovalore λ 2 =2.5 ha λ 2 =2.5>1 ( b ) lo stato d equlbro x è nstable 46