Caso studio 9. Distribuzioni doppie. Esempi

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1 7/3/16 Caso studio 9 Si cosideri la seguete tabella che riporta i dati dei Laureati el 4 dei tre pricipali gruppi di corsi di laurea, per codizioe occupazioale a tre ai dalla laurea (Fote: ISTAT, Idagie sulla codizioe occupazioale dei laureati, Ao 8): Corsi di laurea Ecoomicostatistico Lavorao Cercao No cercao Giuridico Igegeria Il tipo di corso di laurea iflueza la possibilità di trovare? I che modo? Come si può sitetizzare il grado di dipedeza del carattere «Codizioe occupazioale» dal tipo di corso di laurea (u idice sitetico permetterebbe di fare cofroti: ad esempio, la 1 crisi ecoomica come ha modificato la situazioe)? Distribuzioi doppie Quado vegoo cosiderate cogiutamete due coloe di ua matrice di dati si ha ua distribuzioe doppia disaggregata (o uitaria). Si tratta dell elecazioe delle modalità di due caratteri (X e Y) osservate per ogi uità statistica del collettivo cosiderato: x, y, x, y,, x, y 1 1 N N Nome (i) Sesso (x i ) Regioe (y i ) Verdi M. M Marche Biachi C. F Calabria Rossi V. F Umbria Gialli L. M Piemote Gradi A. F Marche Pii B. F Umbria L iformazioe coteuta i ua distribuzioe doppia disaggregata è solitamete sitetizzata tramite ua distribuzioe doppia di frequeza che viee rappresetata tramite ua tabella a doppia etrata i cui per ogi coppia di modalità dei due caratteri x, y, i 1,,, j 1, i j, viee idicata la corrispodete frequeza cogiuta ( ). X/Y y 1 y y j y x j 1 x 1 j x i i1 i i x 1 j Quado il carattere è quatitativo co molte modalità (tipicamete cotiuo) possoo essere utilizzate le classi al posto delle modalità. 3 Esempi Si cosideri la seguete distribuzioe doppia disaggregata per due caratteri qualitativi (Sesso, Regioe) Nome (i) Sesso (x i ) Regioe (y i ) Verdi M. M Marche Biachi C. F Calabria Rossi V. F Umbria Gialli L. M Piemote Gradi A. F Marche Pii B. F Umbria La corrispodete distribuzioe doppia di frequeza è Regioe Sesso Calabria Marche Umbria Piemote M 1 1 F 1 1 4

2 7/3/16 Esempio di distribuzioe i cui il carattere quatitativo è i classi Reddito auo (x 1. ) Lic. Media Diploma Laurea Distribuzioi margiali Sommado le frequeze cogiute per coloa si ottegoo le frequeze margiali di X che corrispodoo al umero di soggetti che presetao ua certa modalità di questo carattere a prescidere dalla modalità di Y: Aalogamete, le frequeze margiali di Y si ottegoo sommado le frequeze cogiute per riga: La somma di tutte frequeze cogiute (o di tutte le frequeze margiali) corrispode alla umerosità del collettivo j1 i1 i j1 j i1 j1 j i1 i 6 X/Y y 1 y y j y x j 1 1 x 1 j x i i1 i i i x 1 j 1 j 7 Associado a ogi modalità del carattere X la corrispodete frequeza margiale, si ottiee la distribuzioe margiale di X. E la stessa distribuzioe che avremmo otteuto osservado il carattere sigolarmete. Modalità (x i ) Frequeze ( i ) x 1 1 x x i i x I modo aalogo si ottiee la distribuzioe margiale di Y. Etrambe le distribuzioi possoo essere lette direttamete dalla tabella a doppia etrata, quado soo preseti i totali (margii) di riga e di coloa. 8

3 7/3/16 Esempi Alla prima distribuzioe doppia cosiderata ell esempio precedete Regioe Sesso Calabria Marche Umbria Piemote M 1 1 F si hao le segueti distribuzioi margiali di X e Y Sesso (x i ) Frequeze ( i ) M F 4 6 Regioe (y i ) Frequeze ( j ) Calabria 1 Marche Umbria Piemote Per la secoda distribuzioe doppia cosiderata ell esempio precedete, Reddito auo (x 1. ) Lic. Media Diploma Laurea si hao le segueti distribuzioi margiali di X e Y Titolo di studio (x i ) Frequeze ( i ) Lic. media 35 Diploma 86 Laurea Reddito (y i ) Frequeze ( j ) Distribuzioi codizioate La distribuzioe codizioata di Y dato X = x i è la distribuzioe di Y limitatamete ai soggetti che presetato la modalità x i di X. Si ottiee associado a ogi modalità y j di Y la frequeza cogiuta di (x i,y j ). Modalità (y j ) Frequeze ( ) y 1 y y j y Ogi riga della tabella a doppia etrata corrispode a ua distribuzioe codizioata di Y per ua certa modalità X. I modo aalogo possoo essere otteute le distribuzioi codizioate di X dato Y = y j. Ogua di queste distribuzioi corrispode a ua diversa coloa della tabella a doppia etrata. i1 i i i 11 Distr. codizioate relative e percetuali Per la distribuzioe codizioata di Y dato X = x i, le frequeze relative e percetuali possoo essere calcolate come f j i e p j i 1 1 f j i i Associado alla distribuzioe codizioata di Y dato X = x i le corrispodeti frequeze relative (o percetuali) si ottiee la distribuzioe codizioata relativa (o percetuale) di Y dato X = x i. Questa distribuzioe permette di capire come X iflueza Y. Modalità (y j ) Frequeze ( ) Freq. relative (f j i ) Freq. percetuali (p j i ) y 1 i1 f 1 i p 1 i y i f i p i y j f j i p j i y i f i p i i 1 1 i 1

4 7/3/16 Esempio Distribuzioi codizioate del reddito al titolo di studio. Liceza media Diploma Reddito (y i ) Frequeze ( ) Relative (f j i ) Percetuali (p j j ) -1 88,514 51, ,457 45, ,349 34, Reddito (y i ) Frequeze ( ) Relative (f j i ) Percetuali (p j j ) -1 9,147 14, , , , , Si cosiderio i dati del Caso Studio 9. Il tipo di corso di laurea iflueza la possibilità di trovare? I che modo? Per rispodere si calcolio le distribuzioi del carattere «Codizioe occupazioale» codizioatamete al corso di laurea. Laurea Reddito (y i ) Frequeze ( ) Relative (f j i ) Percetuali (p j j ) -1 3,469 46, ,969 96, , , Aalisi dell associazioe tra caratteri Lo scopo pricipale dell aalisi di ua distribuzioe doppia è usualmete quello di stabilire se tra i due caratteri cosiderati esiste ua relazioe e se, i particolare, uo dei due (tipicamete X) ha iflueza sull altro (Y). Esempi: relazioe tra la provicia di resideza e spesa per bei alimetari; relazioe tra voto di maturità e voto a u certo esame uiversitario; relazioe tra sesso e reddito; Se X o ha alcua iflueza su Y, allora si dice che Y è idipedete da X. I termii statistici questa situazioe si ha quado le distribuzioi codizioate di Y soo equivaleti per ogi modalità di X, cioè hao le stesse frequeze relative: f Si può dimostrare che si ha idipedeza statistica se e solo se le frequeze cogiute osservate corrispodoo alle frequeze teoriche sotto idipedeza i j ', i 1,,, j 1,, La tabella di idipedeza si ottiee sostituedo a ogi frequeza osservata ( ) la corrispodete frequeza di idipedeza ( ). Sotto idipedeza si hao le stesse distribuzioi margiali di quelle osservate e la stessa frequeza totale j 1,, j i1 f f j 15 j 1 j j 1,, ' 16 j1 i1 j1 ' ', i, i 1,,

5 7/3/16 Quado Y o è idipedete da X, Y dipede da X e quidi i due caratteri si dicoo coessi. I pratica, ciò accade ogi volta che la tabella osservata o coicide co quella di idipedeza. I particolare, Y dipede perfettamete da X quado la modalità di X determia automaticamete la modalità di Y. Ciò accade quado e si ha ua sola frequeza positiva i ogi riga della tabella a doppia etrata metre le altre frequeze soo tutte ulle. Esempio Per la distribuzioe doppia dei carattere titolo di studio e reddito si ha la seguete distribuzioe di idipedeza Reddito auo (x 1. ) Lic. Media Diploma 17, 34,4 34,4 Laurea 1,8 5,6 5, Siccome la tabella osservata o coicide co quella di idipedeza, i due caratteri soo dipedeti e quidi si può ragioevolmete riteere che il titolo di studio ifluezi il reddito Se la distribuzioe doppia fosse come la seguete, si avrebbe perfetta dipedeza del reddito dal titolo di studio Si cosiderio i dati del Caso Studio 9. Reddito auo (x 1. ) Lic. Media 1 Diploma Laurea Si costruisca la tabella ipotetica di perfetta idipedeza e u ipotetica tabella di perfetta dipedeza della Codizioe lavorativa dal titolo di studio. 19

6 7/3/16 Misura della coessioe tra Y e X Il livello di coessioe tra i due caratteri è tato più elevato quato più la tabella osservata si discosta da quella di idipedeza. Per misurare il livello di coessioe si fa quidi uso delle cotigeze (assolute) i j c ', i 1,,, j 1,, La tabella delle cotigeze si ottiee idicado i ua tabella a doppia etrata la cotigeza (c ) corrispodete a ogi coppia di modalità (x i, y j ). U importate proprietà di questa tabella è che la somma delle celle i ogi riga o coloa della tabella è ulla j1 c, i 1,, e c, j 1,, i1 1 Dividedo le cotigeze assolute per le corrispodeti frequeze sotto idipedeza si ottegoo le cotigeze relative c ', i 1,,, j 1,, ' ' U idice sitetico di coessioe è l idice chi-quadro che è ua somma poderata delle cotigeze relative al quadrato i1 j1 c ' i1 j1 Ua formula alterativa, che o richiede il calcolo delle cotigeze, per l idice chi-quadro è 1 i1 j1 i j ' c ' L idice chi-quadro assume valori tra (el caso di idipedeza) e mi 1, 1 el caso di perfetta dipedeza di Y da X o di X da Y. Quidi è u idice di coessioe bilaterale. U idice di coessioe alterativo a è la media quadratica poderata delle cotigeze relative che assume valori tra e 1 c 1 ' i 1 j 1 ' mi E quidi possibile costruire u idice relativo (che varia tra e 1), chiamato idice di coessioe di Cramér, come C mi 1, 1 3 mi 1, 1 1, 1 Esempio Per la distribuzioe doppia dei carattere titolo di studio e reddito si ha la seguete tabella delle cotigeze assolute Reddito auo (x 1. ) Lic. Media 18 - Diploma -8, 4,6 3,6 Laurea -9,8-6,6 16,4 Il umero di soggetti co reddito elevato e liceza media è miore di quello atteso sotto idipedeza (c 13 = -) metre quello dei soggetti co laurea è superiore (c 33 = 16,4 ). Gli idici di coessioe soo pari a 3,13,643 Il massimo dell idice è 5 = 1 metre quello dell idice è e quidi l idice di Cramér è 4 C 3,13 1,179

7 7/3/16 Si cosiderio i dati del Caso Studio 9. Si misuri il grado di dipedeza della Codizioe occupazioale dal Corso di laurea attraverso l idice di coessioe di Cramer. 5 La tabella che riporta i dati dei Laureati el 14 dei tre pricipali gruppi di corsi di laurea, per codizioe occupazioale a tre ai dalla laurea (Fote: AlmaLaurea, Idagie sulla codizioe occupazioale dei laureati, Ao 15): Corsi di laurea Ecoomicostatistico Lavorao Cercao No cercao Giuridico Igegeria Utilizzado l idice di Cramer, si cofroti l associazioe tra i due caratteri osservata 14 co quella osservata el 4. 6