La formula di Taylor per funzioni di più variabili

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1 La formula di Taylor per funzioni di più variabili Il polinomio di Taylor Due variabili. Sia A R 2 un aperto, f : A R una funzione sufficientemente regolare, (x, y) un punto di A. Sia (h, k) un vettore del piano tale che il segmento di estremi (x, y) e (x + h, y + k) sia contenuto in A. Vorremmo scrivere un polinomio P n di grado al più n nelle variabili h, k tale che P (h, k) sia una buona approssimazione di f(x + h, y + k), per h, k piccoli. Poniamo g(t) = f(x + th, y + tk). Dalla formula di Taylor per funzioni di una variabile, sappiamo che il polinomio di Taylor di g in zero, calcolato per t =, fornisce una buona approssimazione di g() = f(x + h, y + k). Per determinare tale polinomio di Taylor dobbiamo calcolare le derivate successive della funzione g. Si ha g (t) = f x h + f y k, g (t) = f xx h 2 + 2f xy hk + f yy k 2, g (t) = f xxx h 3 + 3f xxy h 2 k + 3f xyy hk 2 + f yyy, dove le derivate di f sono valutate in (x + th, y + tk), e si è usato il fatto che essendo f sufficientemente regolare possiamo scambiare l ordine di derivazione. In generale, si trova quindi la formula m ( ) m g (m) (t) = j j x y m j f h j k m j = (h x + k y) m f, j= facilmente verificabile per induzione. Il polinomio di Taylor n-esimo di g in zero valutato per t = è dunque P n (h, k) := g (m) () m! = m j= j!(m j)! j x m j y f(x, y) h j k m j = m! (h x + k y ) m f(x, y). Si tratta pertanto di un polinomio di grado al più n nelle variabili h, k. Per definizione, questo è il polinomio di Taylor di ordine n della funzione f nel punto (x, y). Notiamo che il termine (h x + k y )f non è altro che la derivata direzionale di f lungo il vettore (h, k). Quindi l m-esimo termine di P n (h, k) è la derivata direzionale m-esima di f lungo il vettore (h, k), divisa per m!. La prima espressione del polinomio di Taylor può essere riscritta più simmetricamente come P n (h, k) = (α,β) N 2 α+β n α!β! α x β y f(x, y)h α k β. Più variabili. È facile generalizzare i conti sopra ad una funzione f : A R, dove A è un aperto di R s. Sia dunque u A. Il polinomio di Taylor di grado n di f nel punto u è P n (v) = P n (v,..., v s ) := m! (v x + v 2 x2 + + v s xs ) m = m! (v )m. () Di nuovo, (v )f è la derivata direzionale di f lungo il vettore v, quindi P n (v) è somma delle derivate direzionali m-esime lungo v, divise per m!. Dalla formula multinomiale (cioè la formula per l m-esima potenza di una somma di s termini) si trova l espressione compatta P n (v) = α! α v α, α N s α n dove α = (α, α 2,..., α s ) si dice un multi-indice, e si è posto α = α + α α s, α! = α!α 2!... α s!, α = x α x α x αs s, v s = v α vα vαs s.

2 2 Differenziali successivi Il differenziale secondo. Siano A R s un aperto e f : A R una funzione differenziabile. Il suo differenziale è un applicazione a valori vettoriali, e precisamente df : A (R s ) = L(R s, R). Se u A e l applicazione df è differenziabile in u, otteniamo l applicazione lineare d(df)(u) L(R s, (R s ) ) che si chiama differenziale secondo di f in u e si indica con d 2. Osserviamo che in generale se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita, lo spazio vettoriale L(V, V ) delle applicazioni lineari di V in nel suo duale è canonicamente isomorfo allo spazio L 2 (V, R) delle funzioni bilineari (o forme bilineari) di V V in R, L 2 (V, R) := {a : V V R a è lineare in ciascuna delle due variabili}. Questo isomorfismo è dato dall associare ad un applicazione A L(V, V ) la funzione bilineare a[v, w] = (Av)w, v, w V. Se fissiamo un prodotto scalare su V, otteniamo un isomorfismo tra V e V, quindi possiamo pensare A come applicazione da V in sé e scrivere a[v, w] = Av w. Esercizio Dimostrare che se V è munito della norma, la funzione a := a[v, w] max v,w V \{} v w è una norma sullo spazio vettoriale L 2 (V, R). Tale norma rende l isomorfismo sopra una isometria (dove V è munito della norma duale, e L(V, V ) della norma degli operatori). Quindi d 2 può essere interpretata come una funzione bilineare su R s R s. Dato che df = x f dx + x2 f dx xs f dx s, la matrice che rappresenta d 2 rispetto alle basi standard di R s e del suo duale è la matrice quadrata xx x2x... xsx f xx xsx 2 (u) :=...., xx s xsx s che si dice matrice Hessiana di f in u. Si ha dunque d 2 [v, w] = f (u)v w = f xix j (u)v i w j = (v ) (w ), i,j= quindi d 2 [v, w] è la derivata direzionale lungo v della derivata direzionale lungo w di f in u. In particolare, per w = v otteniamo d 2 [v, v] = f (u)v v = f xix j (u)v i v j = (v ) 2, i,j= 2

3 che è proprio il doppio del secondo termine nel polinomio di Taylor di f in u (vedi formula ()). Osserviamo che se le derivate parziali seconde di f sono definite in un intorno di u e sono continue in u, allora f xix j (u) = f xjx i (u), quindi la matrice Hessiana è simmetrica. Equivalentemente, il differenziale secondo d 2 è una forma bilineare simmetrica, nel senso che d 2 [v, w] = d 2 [w, v]. Questa conclusione resta vera anche senza supporre l esistenza delle derivate seconde in un intorno, ma solo che f sia differenziabile due volte in u: Teorema Siano A R s un aperto, u A, e f : A R una funzione differenziabile due volte in u. Allora la forma bilineare d 2 è simmetrica. Per la dimostrazione vedi Teorema L.25. Dal teorema del differenziale totale segue che f ha derivate parziali seconde continue in A se e solamente se f è differenziabile due volte in ogni punto di A e l applicazione d 2 f : A L 2 (R s, R) è continua. In questo caso, si dice che f è di classe C 2 (A). Differenziali successivi. funzione f : A R come Iterando la definizione precedente si definisce il differenziale di ordine k di una d d d L(R s, L(R s,... L(R s, R)... )), dove d e L compaiono k volte. Lo spazio sopra è canonicamente isomorfo allo spazio vettoriale delle forme k-lineari da R s R s (k volte) in R, che si indica con L k (R s, R). Se f è differenziabile k volte in u, allora d k è simmetrico, nel senso che per ogni permutazione σ di {,..., k} e per ogni k-upla di vettori v,..., v k in R s si ha df k (u)[v σ(),..., v σ(k) ] = df k (u)[v,..., v k ]. In coordinate, si ha d k [v] k = d k [v,..., v] = (v ) k, che è la derivata direzionale k-esima lungo v di f in u, ossia k! volte il k-esimo termine nel polinomio di Taylor di f in u (vedi formula ()). Quindi il polinomio di Taylor di ordine n di f in u si può riscrivere come P n (v) = m! dm [v] m. Dal teorema del differenziale totale segue che f ha derivate parziali k-esime continue in A se e solamente se f è differenziabile k volte in ogni punto di A e l applicazione d k f : A L k (R n, R) è continua. In questo caso, si dice che f è di classe C k (A). 3 Stime sul resto della formula di Taylor Ricordiamo i seguenti risultati per funzioni di una variabile. Sia I R un intervallo aperto, sia x I, e sia g : I R una funzione sufficientemente regolare. Indichiamo con Q n il suo polinomio di Taylor di ordine n in x, cioè Q n (t) = m! g(m) (x )t m. Valgono allora i seguenti risultati sul resto g(x) Q n (x x ). 3

4 Resto di Peano. Se g è derivabile n volte in x, allora g(x) Q n (x x ) = o( x x n ), per x x. Resto di Lagrange. Se g è derivabile n + volte in I, allora g(x) Q n (x x ) = per qualche θ = θ(x) ], [. (n + )! g(n+) (x + θ(x x ))(x x ) n+, x I, Resto integrale. Se g C n+ (I), allora g(x) Q n (x x ) = n! x x (x t) n g (n+) (t) dt, x I. Resto di Lagrange ed integrale in più variabili. Sia A R s un aperto, sia u A, e sia f : A R una funzione sufficientemente regolare. Indichiamo con P n il suo polinomio di Taylor di ordine n in u, che per quanto abbiamo visto si può scrivere come P n (v) = m! dm f(u )[v] m. Sia u A tale che il segmento di estremi u e u sia interamente contenuto in A. Restringendo la funzione f a tale segmento ed applicando i risultati per le funzioni di una variabile si ottengono la formula di Lagrange e quella integrale per il resto P n (u u ). Infatti, poniamo g(t) = f(u + t(u u )), sia Q n il suo polinomio di Taylor di ordine n in zero, e ricordiamo che per costruzione P n (u u ) = Q n (). Se f è differenziabile n + volte in A, allora per il teorema del differenziale della funzione composta, g è differenziabile n + volte in un intervallo aperto contenente [, ]. Usando la formula del resto di Lagrange otteniamo P n (u u ) = g() Q n () = per qualche θ = θ(u) ], [. Abbiamo quindi dimostrato il seguente: (n + )! g(n+) (θ) = (n + )! dn+ f(u + θ(u u ))[u u ] n+, Teorema 2 (Resto di Lagrange) Se f è differenziabile n + volte nell aperto A R s ed il segmento di estremi u e u è contenuto in A, allora per qualche θ ], [. = P n (u u ) + (n + )! dn+ f(u + θ(u u ))[u u ] n+, Se invece supponiamo che f appartenga a C n+ (A), allora g è di classe C n+ in un intervallo aperto contenente [, ], ed usando la formula del resto integrale otteniamo P n (u u ) = g() Q n () = n! Abbiamo quindi dimostrato il seguente: ( t) n g (n+) (t) dt = n! ( t) n d n+ f(u +t(u u ))[u u ] n+ dt. 4

5 Teorema 3 (Resto integrale) Se A R s è aperto, f C n+ (A) ed il segmento di estremi u e u è contenuto in A, allora = P n (u u ) + n! ( t) n d n+ f(u + t(u u ))[u u ] n+ dt. Resto di Peano per funzioni di più variabili. Enunciamo senza dimostrazione il seguente: Teorema 4 (Resto di Peano) Se A R s è aperto, f : A R è differenziabile n volte in u, allora per u u. = P n (u u ) + o( u u n ), L argomento di riduzione ad una funzione di una sola variabile non permette di dimostrare questo risultato: si otterrebbe solamente che la restrizione del resto ad ogni retta per u è un infinitesimo di ordine superiore all n-esimo, ma non si hanno informazioni su come questo infinitesimo dipenda dalla direzione. Per dimostrare questo teorema occorre ripetere l argomento usato nella dimostrazione del corrispondente risultato per funzioni di una variabile. Occorre cioè verificare che la funzione h(u) := P n (u u ) è differenziabile n volte in u ed ha tutti i differenziali fino all n-esimo nulli in u (ciò segue dalla definizione del polinomio di Taylor), e quindi dimostrare il seguente: Lemma 5 Se A R s è aperto, h : A R è differenziabile n volte in u, e d k h(u ) = per ogni k n, allora h(u) = o( u u n ), per u u. Come nel caso di una variabile, questo lemma si dimostra per induzione su n. 5