COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 2011, ore x e2x e 2x 1. f(x) = e 2x log(e 2x + 1) dx.

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1 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 8.3 A ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x e2x e 2x 1. (a) Determinarne il dominio e dimostrare che f si prolunga ad una funzione continua su tutto R. Si indichi tale funzione ancora con f. (b) Studiare il segno di f e determinare gli eventuali asintoti. (c) Calcolare la derivata di f per x e discutere la derivabilità nel punto x =. (d) Studiare la monotonia di f e tracciarne un grafico qualitativo. e 2x log(e 2x + 1) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = e f (x) = 2. Calcolare il ite (a) Enunciare il teorema sui iti di successioni o di funzioni monotone. (b) È data la successione an = n+1 Dimostrare che a n è monotona crescente e calcolarne il ite. n e 2x2 dx (n ).

2 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 8.3 B ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x e3x e 3x 1. (a) Determinarne il dominio e dimostrare che f si prolunga ad una funzione continua su tutto R. Si indichi tale funzione ancora con f. (b) Studiare il segno di f e determinare gli eventuali asintoti. (c) Calcolare la derivata di f per x e discutere la derivabilità nel punto x =. (d) Studiare la monotonia di f e tracciarne un grafico qualitativo. e 3x log(e 3x + 1) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = e f (x) = 3. Calcolare il ite (a) Enunciare il teorema sui iti di successioni o di funzioni monotone. (b) È data la successione an = n+1 Dimostrare che a n è monotona crescente e calcolarne il ite. n e 3x2 dx (n ).

3 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 8.3 C ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x e4x e 4x 1. (a) Determinarne il dominio e dimostrare che f si prolunga ad una funzione continua su tutto R. Si indichi tale funzione ancora con f. (b) Studiare il segno di f e determinare gli eventuali asintoti. (c) Calcolare la derivata di f per x e discutere la derivabilità nel punto x =. (d) Studiare la monotonia di f e tracciarne un grafico qualitativo. e 4x log(e 4x + 1) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = e f (x) = 4. Calcolare il ite (a) Enunciare il teorema sui iti di successioni o di funzioni monotone. (b) È data la successione an = n+1 Dimostrare che a n è monotona crescente e calcolarne il ite. n e 4x2 dx (n ).

4 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 8.3 D ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x e5x e 5x 1. (a) Determinarne il dominio e dimostrare che f si prolunga ad una funzione continua su tutto R. Si indichi tale funzione ancora con f. (b) Studiare il segno di f e determinare gli eventuali asintoti. (c) Calcolare la derivata di f per x e discutere la derivabilità nel punto x =. (d) Studiare la monotonia di f e tracciarne un grafico qualitativo. e 5x log(e 5x + 1) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = e f (x) = 5. Calcolare il ite (a) Enunciare il teorema sui iti di successioni o di funzioni monotone. (b) È data la successione an = n+1 Dimostrare che a n è monotona crescente e calcolarne il ite. n e 5x2 dx (n ).

5 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 11 A ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = log 2 x x log x + x. (a) Determinarne il dominio, i iti agli estremi e gli eventuali asintoti. (b) Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo. (c) Tracciare un grafico qualitativo di f. Quanti zeri ha f? (d) Dire quante soluzioni ha l equazione f(x) = k al variare di k in R. e 4x arctan(e 2x ) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = + e f (x) = 2. Calcolare il ite x + x + x + (a) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri, illustrando la necessità di tutte le ipotesi eventualmente con controesempi. (b) Dire se la funzione ( x f(x) = log + 2e) 1 3 ex/2 si annulla nell intervallo [2, 6]. Quanti zeri può avere in tale intervallo? Motivare ogni risposta.

6 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 11 B ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = log 2 x + x log x x. (a) Determinarne il dominio, i iti agli estremi e gli eventuali asintoti. (b) Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo. (c) Tracciare un grafico qualitativo di f. Quanti zeri ha f? (d) Dire quante soluzioni ha l equazione f(x) = k al variare di k in R. e 6x arctan(e 3x ) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = + e f (x) = 3. Calcolare il ite x + x + x + (a) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri, illustrando la necessità di tutte le ipotesi eventualmente con controesempi. (b) Dire se la funzione ( x f(x) = log + 3e) 1 3 ex/3 si annulla nell intervallo [3, 9]. Quanti zeri può avere in tale intervallo? Motivare ogni risposta.

7 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 11 C ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x log x log 2 x x. (a) Determinarne il dominio, i iti agli estremi e gli eventuali asintoti. (b) Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo. (c) Tracciare un grafico qualitativo di f. Quanti zeri ha f? (d) Dire quante soluzioni ha l equazione f(x) = k al variare di k in R. e 8x arctan(e 4x ) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = + e f (x) = 4. Calcolare il ite x + x + x + (a) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri, illustrando la necessità di tutte le ipotesi eventualmente con controesempi. (b) Dire se la funzione ( x f(x) = log + 4e) 1 3 ex/4 si annulla nell intervallo [4, 12]. Quanti zeri può avere in tale intervallo? Motivare ogni risposta.

8 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 11 D ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x log 2 x x log x. (a) Determinarne il dominio, i iti agli estremi e gli eventuali asintoti. (b) Determinare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo. (c) Tracciare un grafico qualitativo di f. Quanti zeri ha f? (d) Dire quante soluzioni ha l equazione f(x) = k al variare di k in R. e 1x arctan(e 5x ) dx. (a) Enunciare il teorema di de l Hôpital per la forma indeterminata (b) Sia f : R R una funzione derivabile tale che f(x) = + e f (x) = 5. Calcolare il ite x + x + x + (a) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri, illustrando la necessità di tutte le ipotesi eventualmente con controesempi. (b) Dire se la funzione ( x f(x) = log + 5e) 1 3 ex/5 si annulla nell intervallo [5, 15]. Quanti zeri può avere in tale intervallo? Motivare ogni risposta.

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