Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

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1 per Scienze Ambientali Derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013

2 Retta secante un grafico e rapporto incrementale Sia f una funzione e x 0 un punto del suo dominio. Supponiamo ce ance x 0 + appartenga al dominio di f per tutti i numeri sufficientemente piccoli. La retta per i punti (x 0, f (x 0 )) e (x 0 +, f (x 0 + )) è una secante il grafico di f. Il suo coefficiente angolare è f = f (x 0 + ) f (x 0 ) x detto ance rapporto incrementale della funzione tra i punti x 0 e x 0 +. Il rapporto incrementale misura quanto rapidamente cresce la funzione nel passaggio da x 0 a x 0 + rispetto all incremento.

3 Rapporto incrementale Rapporto incrementale f(x) (x0,f(x0)) (x0+,f(x0)) (x0+,f(x0+)) x

4 Derivata: limite del rapporto incrementale e coefficiente angolare della retta tangente Sia f una funzione e x 0 un punto del suo dominio. Definiamo derivata della funzione in x 0 il limite, se esiste, del rapporto incrementale f (x 0 + ) f (x 0 ) lim 0 Indiciamo la derivata di f in x 0 con il simbolo f (x 0 ) (notazione di Newton) o con il simbolo df dx (notazione di Leibniz), o ancora con Df. La derivata è il coefficiente angolare della retta tangente. Per illustrare questo fatto, possiamo vedere come ingrandendo sempre di più una funzione vicino ad un punto, questa funzione diviene presto indistinguibile da una retta, ce rappresenta la nostra intuizione di retta tangente. Possiamo sperimentare questo fatto con il codice della slide successiva il cui output viene riportato nella slide ancora successiva.

5 Codice per ingrandire un grafico nell intorno di un punto par(mfrow=c(2,2)) curve(f(x),from=x0-3,to=x0+3) abline(v=c(x0-1,x0+1)) points(x0,f(x0)) curve(f(x),from=x0-1,to=x0+1) abline(v=c(x0-1,x0+1)) abline(v=c(x0-1/10,x0+1/10),col="red") points(x0,f(x0)) curve(f(x),from=x0-1/10,to=x0+1/10) abline(v=c(x0-1/10,x0+1/10),col="red") abline(v=c(x0-1/100,x0+1/100),col="blue") points(x0,f(x0)) curve(f(x),from=x0-1/100,to=x0+1/100) abline(v=c(x0-1/100,x0+1/100),col="blue") points(x0,f(x0))

6 Ingrandimento del grafico di una funzione vicino ad un punto f(x) f(x) x x f(x) f(x) x x

7 La derivata di una funzione quadratica e il vertice della parabola Il rapporto incrementale della funzione f (x) = ax 2 + bx + c nel punto x vale f = a((x + )2 x 2 ) + b(x + x) a(2x + ) + b = = 2ax++b x e quindi la derivata è df dx = lim f = lim (2ax + b + ) = 2ax + b. 0 x 0 È intuitivamente evidente ce il vertice di una parabola con l asse parallelo all asse delle y è caratterizzato dal fatto ce la retta tangente è parallela all asse delle x. Questa intuizione è conformata dal fatto ce la derivata prima 2ax + b si annulla per il punto di ascissa x = b/2a ce è appunto l ascissa del vertice della parabola. Il fatto ce la derivata si annulli nell ascissa di un punto di massimo o di minimo è il teorema di Fermat ce vedremo più avanti.

8 Derivata numerica e grafico della derivata Possiamo visualizzare il grafico di una funzione e della sua derivata utilizzando il seguente codice. der=function(f,x,epsilon= ){ return((f(x+epsilon)-f(x))/epsilon) } f=function(x)sin(x) a=0;b=2*pi;t=0.01; curve(f(x),from=a,to=b) xx=seq(a,b,t) df=der(f,xx) points(xx,df,t="l",col="red")

9 La derivata della funzione logaritmo Ricordiamo ce con log x indiciamo il logaritmo in base e, log e x. Il rapporto incrementale della funzione f (x) = log x nel punto x vale f x = Poicé log(x + ) log x = log(1 + x ) = 1 log ( 1 + x x log ( ) 1 + x log(1 + y) ( ) = lim = lim log(1 + y) 1 y = y 0 y y 0 x ( ) ( ( log lim (1 + y) 1 y = log lim ) z ) = log e = 1 y 0 z z x ) abbiamo ce (log x) f = lim = 1 0 x x

10 La derivata della funzione seno Ricordiamo le formule di prostaferesi. Sottraendo a la relazione otteniamo sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β sin(α + β) sin(α β) = 2 cos α sin β e ponendo p = α + β e q = α β e quindi α = p+q 2 e β = p q 2 abbiamo finalmente sin p sin q = 2 cos( p + q 2 ) sin( p q ). 2 Utilizzando questa formula, il rapporto incrementale del seno si può esprimere come sin(x + ) sin(x) = 2 cos(x + «sin /2 2 ) da cui (sin x) sin(x + ) sin(x) = lim = lim cos(x ) lim 0 ponendo w = 2 2 «sin /2 = «sin w = cos(x) lim = cos x 1cos x w 0 w

11 La derivata della funzione x n Utilizzando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, il rapporto incrementale della funzione x n in x è (x + ) n x n e quindi, = x n + ( ) n 1 x n 1 + ( ) n 2 x n ( ) n n n x n = (( ) ) n nx n 1 + x n (x n ) = lim 0 (x + ) n x n = nx n 1

12 f derivabile in x, implica f continua in x Sia f una funzione derivabile in x, e sia Abbiamo allora ce da cui e quindi f è continua in x. f (x) = lim 0 f (x + ) f (x) lim f (x + ) f (x) = lim f (x) = lim f (x + ) = lim f (x) = f (x) 0 0

13 Proprietà della derivata 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 (f g) (x) = f (x)g(x) + g (x)f (x) 3 (f /g) (x) = (f (x)g (x) g(x)f (x))/g(x) 2 4 (g f ) (x) = g (f (x)) f (x) 5 (f 1 ) (f (x)) = 1 f (x) Derivate di ordine superiore Si definisce induttivamente f (n) = ( f (n 1)).

14 (f g) (x) = f (x)g(x) + g (x)f (x) Il rapporto incrementale di f g in x è: (f g)(x + ) (f g)(x) (f (x + ) g(x + ) f (x) g(x) = = (f (x + ) g(x + ) f (x) g(x + )+f (x) g(x + ) f (x) g(x) = f (x + ) g(x + ) f (x) g(x + ) f (x) g(x + ) f (x) g(x) + = f (x + ) f (x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f (x) Prendendo il limite del rapporto incrementale abbiamo quindi (f g) f (x + ) f (x) (x) = lim lim g(x+)+ lim 0 0 g(x + ) g(x) 0 = f (x) g(x) + g (x) f (x) lim 0 f (x)

15 (g f ) (x) = g (f (x)) f (x) Sia f una funzione derivabile in x e sia g una funzione derivabile in f (x). La funzione composta g f è derivabile in x e vale (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Argomento di plausibilità Il rapporto incrementale dela funzione composta è g(f (x + )) g(f (x)) g(f (x + )) g(f (x)) f (x + ) f (x) = f (x + ) f (x) Ora, f (x + ) = f (x) + k con k() 0 quando 0. Allora il limite del rapporto incrementale, per ce tende a zero è g(f (x) + k) g(f (x)) f (x + ) f (x) lim lim = g (f (x)) f (x) k 0 k 0 Per esercizio, indicare i punti dove questo argomento di plausibilità deve essere modificato per ottenere una dimostrazione soddisfacente di questo risultato.

16 (f 1 ) (f (x)) = 1/f (x) ovvero (f 1 ) (y) = 1/f (f 1 y) Teorema Se f a derivata non nulla nel punto x 0, la funzione inversa φ(y) è derivabile nel punto y 0 = f (x 0 ) e vale φ (y 0 ) = 1 f (x 0 ) Dimostrazione Siano x = φ(y 0 + y) φ(y 0 ) e y = f (x 0 + x) f (x 0 ). Essendo entrambe le quantità diverse da zero per valori abbastanza piccoli degli incrementi, x y = 1 y x Inoltre, x e y tendono simultaneamente a zero. prendendo i limiti dei due quozienti si a l asserto.

17 Derivata della dfunzione inversa Derivata della funzione inversa y=f(x) (x0+,f(x0+))=(pi(y0+k),y0+k) (x0,f(x0))=(pi(y0),y0) (x0+,f(x0))=(pi(y0+k),y0)

18 Derivata di e y. La funzione y = log(x) a come funzione inversa la funzione x = e y. Dal teorema di derivazione della funzione inversa abbiamo allora ce (e y ) = 1 (log x) (e y ) e quindi (e y ) = 1 1 e y = e y.

19 Derivata di arctan y. La funzione y = tan x a come funzione inversa la funzione x = arctan y. Dal teorema di derivazione della funzione inversa abbiamo allora ce (arctan y) = 1 (tan x) (arctan y) = 1 1 cos 2 (arctan y) = cos 2 (arctan y) Ora, detto α = arctan y, tan α = y e quindi tan 2 α = y 2, ovvero sin 2 α/ cos 2 α = y 2 e infine (1 cos 2 α)/ cos 2 α = y 2, da cui, ricavando cos 2 α, abbiamo cos 2 α = y 2 e quindi (arctan y) = y 2.

20 Altre derivate elementari 1 (cos x) = sin x. Da cos x = sin( π 2 x) utilizzando la formula per la derivata della funzione composta. 2 (tan x) = 1 sin x. Da tan x = cos 2 x cos x utilizzando la formula per la derivata di un quoziente. 3 (x α ) = αx α 1. Basta osservare ce x α = e log x α = e α log x e usare la regola per la derivazione delle funzioni composte. 4 (x x ) = (x x )(1 + log x). Analogo al precedente. 5 (arcsin x) = 1 x 1. Analogo al caso della derivata 2 dell arcotangente. 6 (arccos x) = 1 x 1. Analogo al caso della derivata 2 dell arcotangente.

21 Teorema di Fermat Sia f una funzione reale definita su un insime E R. M E si dice: punto di massimo per f in E se f (x) f (M) per ogni x in E; punto di minimo per f in E se f (x) f (M) per ogni x in E; punto di massimo locale per f in E se esiste un intervallo I E tale ce f (x) f (M) per ogni x I; punto di minimo locale per f in E se esiste un intervallo I E tale ce f (x) f (M) per ogni x I. Teorema Sia f (x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x 0 interno al dominio. Se x 0 è un punto di massimo o di minimo locale per la funzione allora la derivata della funzione in x 0 è nulla, cioè f (x 0 ) = 0. Se x 0 è un massimo (risp. minimo) allora esiste δ > 0 tale ce f (x) f (x 0) 0 (risp. 0) x x 0 f (x) f (x per ogni x (x 0 δ, x 0 ) e quindi lim 0 ) x x 0 (risp. 0). Analogamente, x x 0 0 f (x) f (x lim 0 ) x x + 0 (risp. 0). Allora, se x 0 x x 0 è un punto di massimo, da 0 f (x) f (x lim 0 ) f (x) f (x x x 0 e lim 0 ) x x 0 0 x x + 0, poicé limite destro e limite sinistro 0 x x 0 devono coincidere per la derivabilità in x 0, deve essere f (x 0 ) = 0. Analogamente se x 0 è un punto di minimo, lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 e lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 e f (x 0 ) = 0.

22 Teorema di Rolle Teorema Sia f (x) una funzione continua nell intervallo ciuso [a, b] e derivabile nell intervallo aperto (a, b). Se f (a) = f (b) allora esiste almeno un punto x (a, b) dove la derivata prima f (x) si annulla. Per il Teorema di Weierstrass esistono M e m dove f assume il suo valore massimo e il suo valore minimo, rispettivamente. Se cadono entrambi agli estremi, la funzione è costante e quindi la derivata si annulla in tutti i punti interni all intervallo. Se uno almeno cade all interno, per il teorema di Fermat la derivata si annulla in tale punto. Teorema di Rolle

23 Teorema di Lagrange Teorema Sia f (x) una funzione continua nell intervallo ciuso [a, b] e derivabile nell intervallo aperto (a, b). Esiste almeno un punto x 0 (a, b) t.c. f (b) f (a) b a = f (x 0 ). Basta applicare il teorema di Rolle alla funzione F (x) = f (a) + f (b) f (a) (x a). b a Teorema di Lagrange

24 Conseguenze del teorema di Lagrange Sia f derivabile su (a, b), t.c. f (x) = 0 per ogni x (a, b). Allora f è costante. Sia f (x) 0 per ogni x (a, b). Allora f è crescente in (a, b) ovvero x < y implica f (x) f (y). Sia f (x) 0 per ogni x (a, b). Allora f è decrescente in (a, b) ovvero x < y implica f (x) f (y).

25 Teorema di Caucy Siano f (x) e g(x) funzioni continue nell intervallo ciuso [a, b] e derivabili nell intervallo aperto (a, b), con g (x) diversa da zero in ogni punto dell intervallo. Allora esiste almeno un punto x 0 (a, b) t.c. f (b) f (a) g(b) g(a) = f (x 0 ) g (x 0 ) Conseguenza del teorema di Caucy: Regola di de l Hopital Siano f e g due funzioni derivabili (e quindi continue) in un punto a f per cui f (a) = g(a) = 0. Se esiste lim (x) x a g (x) allora esiste ance f (x) lim x a g(x) e f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x)

26 Generalizzazione del teorema di de l Hopital Siano f e g due funzioni derivabili per x (a δ, a) (per un opportuno δ > 0) e sia lim x a f = + e lim x a g = +. Se esiste lim f (x) x a g (x) allora esiste ance lim x a f (x) g(x) e f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) La stessa tesi si a ance quando si considerano limiti destri invece ce sinistri e quando uno o entrambi i limiti valgono invece ce +. Vale ance quando invece invece del limite per x ce tende ad a si considera il limite per x ce tende a ±, sia quando lim x ± f = lim x ± g = 0 sia quando lim x ± f = lim x ± g = ±.

27 Applicazioni del teorema di de l Hopital Applicazioni del teorema di de l Hopital alla risoluzione della forma di indeterminazione 0 0. (1 + x) n 1 n(1 + x) n 1 lim = (H) = lim = n x 0 x x 0 1 sin x lim x 0 x = (H) = lim x 0 cos x 1 = 1 x sin x lim x 0 x 3 = (H) = lim x 0 1 cos x 3x 2 = (H) = lim x 0 sin x 6x cos x = (H) = lim x 0 6 = 1 6

28 Applicazioni del teorema di de l Hopital Applicazioni del teorema di de l Hopital alla risoluzione della forma di indeterminazione. e x lim x + x = (H) = lim e x x + 1 = + Iterando l applicazione della regola di de l Hopital si dimostra ce e per n > 0, lim x x + x = 0, cioè la funzione esponenziale cresce n più rapidamente di ogni potenza positiva di x, al crescere di x. log x x lim x + x n = (H) = lim = 0 (n > 0) x + nx n 1 cioè la funzione logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza positiva di x, al crescere di x. 1

29 Applicazioni del teorema di de l Hopital Forme di indeterminazione ce si possono ridurre alla forma 0 0 o. 0 lim x n log x log x = (H) = lim x 0 + x x n = lim x x n x n+1 x n = lim x 0 + n = 0 (n > 0) 0 0 lim x x = e log limx 0+ x x = e limx 0+ log x x = e limx 0+ x log x = e 0 = 1 x 0 +

30 Osservazioni sul teorema di de l Hopital Il teorema di de l Hopital afferma ce possiamo calcolare il limite di un rapporto calcolando il limite del rapporto tra le derivate se 1 Il limite del rapporto dà luogo ad una forma indeterminata del tipo 0 0 o. 2 Il limite delle derivate esiste. Il teorema di de l Hopital NON DICE ce se il limite delle derivate non esiste allora non esiste il limite delle funzioni, come mostra il seguente esempio x + sin x lim x x = lim x (1 + sin x x ) = 1 (Infatti, da 1/x sin /x 1/x, per il teorema dei carabinieri sin x lim x x = 0). Prendendo invece le derivate del numeratore e del denominatore di x+sin x x otteniamo 1+cos x 1 ce non a limite.

31 Teorema di Taylor Sia f : (a, b) R una funzione n volte derivabile in (a, b) e sia x 0 (a, b). Il Polinomio di Taylor di grado n centrato in x 0 è T n (f, x) = f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! allora f (x) = T n (f, x) + R n (x) dove il resto R n (x) è un infinitesimo di ordine superiore a (x x 0 ) n cioè lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0 Se f è derivabile n + 1 volte, il resto può essere scritto nella forma di Lagrange: esiste un intorno I di x 0 tale ce per ogni x di I esiste ξ(x) [x 0, x] tale ce k=0 R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1.

32 Taylor: Interpretazione geometrica curve(sin(x),from=0,to=pi,main="polinomi di Taylor") curve(1*x,from=0,to=2*pi,col="green",add=true) curve(x-xˆ3/6,from=0,to=2*pi,col="red",add=true) curve(x-xˆ3/6+xˆ5/120,from=0,to=2*pi,col="blue",add=true curve(x-xˆ3/6+xˆ5/120-xˆ7/factorial(7),from=0,to=2*pi,co Polinomi di Taylor sin(x) x

33 Formula per il resto di Lagrange: Calcolo approssimato di e Il polinomio di Taylor di quarto ordine centrato nell origine per la funzione f (x) = e x è Abbiamo allora ce e quindi T f = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! e = f (1) = T f (1) + R 4 (1) = R 4(1) e = R 4(1) D altra parte per la formula di Lagrange per il resto del polinomio di Taylor R 4 (1) = eξ con ξ [0, 1]. Poicé e ξ è una funzione crescente su [0, 1], R 4 (1) e = 1 40 Da questa stima dell errore ce commettiamo approssimando e con 65 segue ce la 24 prima cifra decimale di e e di 65 = coincidono. 24

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