UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CASSINO FACOLTA DI INGEGNERIA

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1 UNIVERSITA DEGI STUDI DI CASSINO FACOTA DI INGEGNERIA ANTONIO RUSSO, ANGEO EOPARDI ANAISI DE ERRORE CONNESSO A APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE E DEE CEERITA NE METODO DI INTEGRAZIONE DEE CARATTERISTICHE (MOC) CON GRIGIA FISSA

2 INDICE INDICE... METODO DI APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE... 3 CONSIDERAZIONI SU INTERVAO TEMPORAE MASSIMO DI INTEGRAZIONE APPROSSIMAZIONE DEE CEERITA... 6 MINIMIZZAZIONE DE ERRORE APPICAZIONE CON METODO DEE UNGHEZZE PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE (PME) PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE UNGHEZZE IMITE SUPERIORE DEA FUNZIONE DI ERRORE PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE CEERITA IMITI DEA FUNZIONE ERRORE CONCUSIONI... 0

3 METODO DI APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE a scelta de pass d ntegrazone spazale e temporale non può essere arbtrara, ma deve rspettare la condzone d vncolo mposta dalle equazon delle caratterstche. In partcolare deve essere: x t (.) c Nel caso d sngola condotta l applcazone della (.) condzona l solo ntervallo temporale d ntegrazone a partre da un prefssato numero d nod d dscretzzazone. Ben dverso è l caso d una rete che rchederebbe l medesmo ntervallo temporale n modo da sncronzzare le procedure numerche d ntegrazone su dfferent tratt. algortmo che s va a presentare mpone come vncolo della rete uno stesso t, adeguando d conseguenza la dscretzzazone del domno spazale n modo da mnmzzare l errore connesso alla procedura d nterpolazone. Sano T tratt della rete e c ed la loro celertà e lunghezza. Sa noltre No 3 un prefssato 0, l alquota della lunghezza che non può essere numero mnmo d nod fssat su tratt e k superata. Imponendo: s ha: N N... NT No (.) Sa po: x t No c x t No c x x T xt xt tt No c T (.3) t mn t, t..., t (.) O T l ntervallo temporale da applcare ad ogn tratto della rete. Noto t è possble determnare l numero d nod d ntegrazone per ogn tratto: O x t c N O nt x x t c N O nt x T xt to ct NT nt xt Not l numero d nod d dscretzzazone per ogn tratto è necessaro controllare la congrutà de rsultat delle (.5) n termn d massma approssmazone rchesta. In partcolare dovrà essere: 3 (.5)

4 k N () x k.. T (.6) Nel caso n cu una delle T condzon mposte nelle (.6) non fosse verfcata, sarà necessaro rpetere la procedura aumentando l valore No mposto all nzo del calcolo. S nota che le relazon (.5) sono tal da approssmare sempre per dfetto la lunghezza nzale del sngolo tratto. Infatt se n sono tratt d lunghezza x fssat sull -esmo tratto, s ha: n N nt n x x x (.7)

5 CONSIDERAZIONI SU INTERVAO TEMPORAE MASSIMO DI INTEGRAZIONE Come vsto n precedenza, l ntervallo temporale d ntegrazone è legato al passo spazale dalla relazone (.), che asscura valore untaro al numero d Courant: x t (.8) c Il valore d x non può essere qualsas, n quanto legato al numero mnmo d nod d dscretzzazone necessar per l ntegrazone numerca con l metodo delle caratterstche (MOC). In partcolare la grgla d ntegrazone deve contenere almeno due nod d dscretzzazone come mostrato n Fgura. t t X x Se No è l numero mnmo, dovrà dunque essere: Fgura : Grgla mnma d ntegrazone E qund: x xmax tmax No c MAX (.9) t MAX c No (.0) In termn assolut s ha: No tmax (.) c dove è l rtmo della condotta. Nel caso n una rete composta da T tratt d caratterstche dfferent, l tempo massmo d ntegrazone sarà determnato dalla condotta con rtmo mnore: t mn,,..., MAX T (.) 5

6 3 APPROSSIMAZIONE DEE CEERITA E possble effettuare una approssmazone sulle celertà nvece che sulle lunghezze. Una volta selezonato un certo passo d ntegrazone temporale t, s mposta che: e qund: N x c t (.3) nt 0.5 (.) x Passando alla celertà s ha che: dove: c N t (.5) t t mn,,..., MAX T (.6) Se kc 0, è l alquota della celertà c che non può essere superata, dovrà essere che: k c c () k c.. T (.7) c E mportatane osservare che una approssmazone d questo tpo può essere per eccesso o per dfetto, a seconda della (.) Infatt : c c dec 0.5 x nt 0.5 t t x x c c dec 0.5 x nt 0.5 t t x x (.8) 6

7 MINIMIZZAZIONE DE ERRORE S voglono confrontare le enttà degl error apportat applcando l metodo d approssmazone delle lunghezze e delle celertà. Sa t t l passo d ntegrazone unco per la rete. MAX METODO CORREZIONE DEE UNGHEZZE (MC) a condzone d Courant mpone che: x c t N nt x S not che N n quanto t tmax Poché non è multplo d x, s ha che: x N Per cu è possble defnre la funzone d errore con approssmazone sempre per dfetto: Sosttuendo: ERR t ERR t c t nt c t METODO CORREZIONE DEE CEERITA (MCC) a condzone d Courant mpone che: x c t N nt x S not che N n quanto t tmax Poché N è l approssmazone per dfetto o per eccesso al numero ntero pù vcno, s ha: c t N Per cu è possble defnre la funzone d errore: ERR C t c c Sosttuendo: c t nt c t ERRC t c c c ERR c t nt c t t (.9) ERRC t c c t nt c t (.0) Defnto po: 7

8 E sosttuta nelle (.9) e (.0) s ha: ERR ERR C c t t t nt t t nt 0.5 t (.) (.) (.3) s not che l termne / t è sempre maggore o al massmo uguale dell untà, per cu detto: s ha: P t ERR P nt P P (.) (.5) ERRC t P nt P 0.5 Rportando n un grafco due andament s ha: (.6) ECCESSO err[%] DIFETTO CORREZONE DEE CEERITA' P CORREZONE DEE UNGHEZZE Fgura : Andamento delle funzon d errore 8

9 5 APPICAZIONE CON METODO DEE UNGHEZZE Applchamo rsultat ottenut allo schema d Fgura 3 (forcella), costtuto da tre tratt d dfferent caratterstche geometrche e con valor d celertà confrontabl. T T T3 3 Fgura 3 In Tabella s rportano dat geometrc per ogn condotta costtuente la forcella. Tabella : Caratterstche geometrche della forcella Tratto D s E c t - [mm] [mm] [m] [kn/mq] [m/s] [s] T E T E T E Applchamo l metodo d approssmazone delle lunghezze. Rportamo n uno stesso grafco tmax (Fgura ) le funzon d errore ERR per tre tratt n funzone d t, tmax 00, dove: t mn,,..., sec MAX T 9

10 Rappresentazone Errore nella Forcella - Approssmazone delle lunghezze T T T3 Dt rete 70 err [%] Dt [s] Fgura E possble vedere come gl error tendo ad annullars per t 0, mentre tendono a raggungere l massmo per t tmax. Inoltre s può osservare come l valore d tmax corrsponda all ntervallo d ntegrazone che massmzza l errore per l tratto con rtmo mnore, ovvero quell ntervallo d tempo lmte che non garantsce almeno n un tratto due nod d dscretzzazone nella grgla d ntegrazone. Nell esempo rportato, con rfermento all algortmo presentato nel paragrafo e con valor mpost d k=0.65 ed N 3, s è ottenuto un valore d ntervallo temporale par ha: t sec In Tabella è rassunta la dscretzzazone ottenuta con l valore d t testé rportato. Nell ultma colonna è specfcato l valor d nod mnmo garantto per un ntervallo t t. MAX Tabella : Dscretzzazone del domno per t Tratto c Nod x Errore [%] Errore t () t MAX tmax - [m] [m/s] - [m] [%] [m] [s] [s] [s] Numero d Nod per t t MAX T T T In Fgura 5 s rporta grafcamente l lvello d errore connesso al valore suddetto d t. 0

11 err [%] Rappresentazone Errore nella Forcella Dt [s] T T T3 Dt rete Fgura 5 E utle osservare come le funzon d errore s propaghno come funzon dscontnue perodche. I punt n cu queste s annullano rappresentano le condzon d numero d Courant untaro per l sngolo tratto, mentre l ampezza della fase e l enttà de pcch d errore sono funzone del solo rtmo della condotta. Infatt: c t nt c t t ERR t ERR t nt t (.7) dove: Mentre per la (.6) s ha: (.8) t t con (.9) Sosttute le (.8), (.9) e nella (.7) s ottene: ERR con e 0 (.30) a (.30) offre una stma qualtatva dell enttà dell errore connesso all -esmo tratto nell ntervallo temporale 0 tmax. Nel caso n cu l rtmo dell -esmo tratto rsult essere molto pù grande del tempo massmo della rete tmax s avrebbe un elevato valore d e qund una enttà dell errore scuramente pù pccola rspetto a quella legata alla dscretzzazone degl altr tratt. Cò avvene n quanto l ntervallo d defnzone della funzone errore del tratto con rtmo maggore è molto pù ampo d quello relatvo agl altr tratt, per cu l campo d fluttuazone relatvo alla rete, n vrtù della (.6), rappresenterà solo la parte nzale d quello relatvo al tratto con rtmo maggore,

12 ovvero quella corrspondente alla zona d estnzone dell errore. Potremmo dre che l errore s propaga n un tempo proporzonale al rtmo della condotta. Con rfermento all esempo precedente, se l tratto T fosse costtuto d un materale d due ordn d grandezza mnore d quello relatvo agl altr due, avremmo rsultat rportat n Tabella 3, Tabella e Fgura 6: Tabella 3: Caratterstche della rete Tratto D s E c tau - [mm] [mm] [m] [kn/mq] [m/s] [s] T E T E T E Tabella Tratto c Nod x Errore [%] Errore t () t MAX tmax - [m] [m/s] - [m] [%] [m] [s] [s] [s] Numero d Nod per t t MAX T T T Rappresentazone Errore nella Forcella - Approssmazone delle lunghezze T T T3 70 err [%] Dt [s] Fgura 6 Dal grafco d Fgura 6 è facle osservare come l tratto T sa caratterzzato da un margne d errore trascurable se rferto a quello relatvo agl altr tratt, per cu potrebbe essere omesso dalla procedura d dscretzzazone della rete.

13 6 PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE (PME) S propone un metodo selettvo n grado d quantfcare, tramte la stma d un parametro, l errore massmo d approssmazone relatvo al generco tratto della rete che s genera applcando due metod d correzone. 6. PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE UNGHEZZE Con rfermento alla (.7) s ha che: t ERR t nt t Dove: t MAX MIN t con k k k (.3) (.3) Detto Parametro d Msura dell Errore (PME) la quanttà: e sosttuta la (.33) nella (.3) s ha: (.33) MIN Potendo noltre affermare che: ERR, k nt k k (.3) nt k k con 0 (.35) S ha: Per cu: ERR, k k (.36) ERR, k nt k k k (.37) a (.37) rappresenta l equazone d una famgla d perbole n k d parametro pcch della funzone d errore (Fgura 7):, che nvluppa 3

14 err [%] k Fgura 7: Andamento ed Invluppo della funzone d errore In Fgura 8 s rportano le perbole ottenute per,,5,50 : err [%] = = =5 = k Fgura 8: famgla d perbole per =,, 5, 50

15 enttà dell errore cresce n modo nversamente proporzonale a k e al PME. Ne consegue che la condzone pù gravosa s realzza quando k assume valore untaro: MAX ERR (.38) Se qund s assume come sogla massma d errore trascurable quella relatva al 5 %, s ha che l valore lmte d PME è par a: O 0 (.39) Il PME è una grandezza relatva e non assoluta, n quanto è funzone delle caratterstche geometrche d tutt tratt costtuent la rete e non del sngolo tratto. In effett esso è msura del grado d omogenetà della rete n termn d tempo d percorrenza della perturbazone. Inoltre l PME è un parametro che msura la veloctà d estnzone dell errore: tanto pù esso è grande, tanto pù velocemente l errore s estngue per valor decrescent del tempo d ntegrazone. Infatt per valor d PME del generco tratto superor a 0 è garantto un errore massmo d approssmazone delle lunghezze del 5 % per qualsas valore d tempo d ntegrazone della rete. a funzone errore è una funzone perodca dscontnua smorzata n cu la condzone d Courant è rspettata con frequenza: n k con n N, n (.0) ovvero: Cr t con n N, n n 6. IMITE SUPERIORE DEA FUNZIONE DI ERRORE a funzone d errore (.3) è lmtata sa nferormente dal valore nullo (Cr=), sa superormente dal valore 0.5, ottenuto n corrspondenza d k (Fgura 9). err [%] 5 Massmo Errore Invluppo Funzone d errore Fgura 9: Errore massmo k 5

16 Dre che k equvale ad affermare che la condzone d errore massmo s realzza per seguent valor d ntervallo temporale d ntegrazone: () tmax t (.) 8 In defntva s è dmostrato che: n una rete costtuta da T tratt d caratterstche geometrche dfferent, applcando l metodo d correzone delle lunghezze, è possble generare un errore per dfetto mnore o al massmo uguale al 50 % della lunghezza nzale del tratto. a condzone d errore massmo nel generco tratto d realzza per valor d ntervall temporal d ntegrazone par ad un ottavo del suo rtmo. In altr termn l metodo d approssmazone delle lunghezze asscura sempre una condzone d Courant Cr PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE CEERITA Con rfermento alla (.0) s ha che: t ERRC t nt t Dove: t MAX MIN t con k k k e sosttuta la(.3) nella (.) s ha: (.) (.3) Potendo noltre affermare che: ERR, k k nt k 0.5 (.) nt k k con 0 (.5) S ha: 0.5 ERR, k (.6) k 0.5 Poché n questo caso è possble avere correzon per eccesso o per dfetto, la (.6) sarà lmtata superormente dalla famgla d perbole d equazone: 0.5 ERR, k (.7) k 0.5 e nferormente dalla famgla d equazone: 6

17 ERR 0.5, k k 0.5 (.8) In Fgura 0 s rportano gl andament degl nvlupp de pcch d errore: err [%] k Fgura 0: Andamento ed Invluppo della funzone d errore In Fgura s rportano le perbole ottenute per,,5,50 : 7

18 err [%] = = =5 = k Fgura : famgla d perbole per =,, 5, 50 enttà dell errore cresce n modo nversamente proporzonale a k e al PME. Ne consegue che la condzone pù gravosa s realzza quando k assume valore untaro: MAX 0.5 ERRC (.9) 0.5 Se qund s assume come sogla massma d errore trascurable quella relatva al 5 %, s ha che l valore lmte d PME è par a: 9.5 (.50) O Anche nel caso d correzone delle celertà, la funzone errore è una funzone perodca dscontnua smorzata n cu la condzone d Courant è rspettata con frequenza: n k con n N, n (.5) ovvero: Cr t con n N 0.5, n n 8

19 6. IMITI DEA FUNZIONE ERRORE a funzone d errore (.) è lmtata nferormente dal valore -0.5 n corrspondenza d k.5, ed superormente dal valore 0.5, ottenuto n corrspondenza d k.5 (Fgura Fgura 9). err [%] Massmo Errore per ECCESSO Invluppo Funzone d errore Massmo Errore per DIFETTO Fgura : Errore massmo k Dre che k.5 equvale ad affermare che la condzone d errore massmo s realzza per seguent valor d ntervallo temporale d ntegrazone: () t t MAX (.5) 6 3 In defntva s è dmostrato che: n una rete costtuta da T tratt d caratterstche geometrche dfferent, applcando l metodo d correzone delle celertà, è possble generare un errore per dfetto mnore o al massmo uguale al 30 % della celertà nzale ed un errore per eccesso mnore o al massmo uguale al 50 % della celertà nzale del tratto. a condzone d errore massmo nel generco tratto d realzza per valor d ntervall temporal d ntegrazone par ad un sesto del suo rtmo. In altr termn l metodo d approssmazone delle celertà asscura sempre una condzone d Courant Cr

20 7 CONCUSIONI Dall anals condotta s è potuto evncere che: - Nel metodo do correzone delle lunghezze, l errore massmo per dfetto è mnore o al massmo uguale al 50% della lunghezza nzale del tratto e s realzza per temp d ntegrazone par ad un ottavo del rtmo della condotta. - Nel metodo do correzone delle celertà, l errore massmo per dfetto è mnore o al massmo uguale al 5% della lunghezza nzale del tratto, mentre per eccesso è mnore o al massmo uguale al 50% della stessa e s realzza per temp d ntegrazone par ad un sesto del rtmo della condotta - S è ntrodotto l Parametro d Msura dell errore (PME) par al rapporto tra l rtmo del generco tratto e l rtmo mnmo della rete. Esso è nterpretable come un coeffcente d estnzone dell errore: tanto esso è maggore, tanto pù velocemente l errore tende ad annullars per temp d ntegrazone decrescent. - E stato fssato l valore lmte d PME O 0, defnto come quel valore sopra l quale l errore connesso all approssmazone spazale nella correzone delle lunghezze è sempre mnore del 5% della lunghezza nzale del tratto. - E stato fssato l valore lmte d PME O 0, defnto come quel valore sopra l quale l errore connesso all approssmazone spazale nella correzone delle celertà è sempre mnore del 5% della lunghezza nzale del tratto. - Nel metodo d correzone delle lunghezze l numero Courant è par all untà per ogn valore d tempo d ntegrazone par ad un sottomultplo d un quarto del rtmo della condotta. - Nel metodo d correzone delle celertà l numero Courant è par all untà per ogn valore d tempo d ntegrazone par ad un sottomultplo d un sesto del rtmo della condotta. FUNZIONE DI ERRORE Tabella 5: Tabella rassuntva metod MC e MCC ERR MCC c t nt c t t MC ERRC t c c t nt c t O ERRORE MAX DIFETTO 50 % 5% ERRORE MAX ECCESSO - 50% CONDIZIONE DI ERRORE MASSIMO 8 t t 6 t con n N n FREQUENZA DEA.. CONDIZIONE Cr = t con n.. N n 0