Lezione 04. Costruzione grafica dei cammini ottici

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1 Lezione 04 Costruzione grafica dei cammini ottici

2 Riflessione e rifrazione della luce su una superficie di separazione tra due mezzi La luce si propaga in linea retta, Il raggio luminoso è la direzione di propagazione (1) Quando la luce incide su una superficie di separazione fra due mezzi (omogenei e isotropi): (2) parte della luce viene rinviata nel mezzo dal quale proviene: riflessione (3) parte della luce penetra e si propaga, invece, nel secondo mezzo: rifrazione le percentuali (in energia) della luce riflessa e rifratta e le direzioni dei raggi riflessi e rifratti dipendono dalle caratteristiche dei mezzi a contatto e dall'angolo col quale l onda incide sulla superficie di separazione dei mezzi.

3 Riflessione e rifrazione della luce su una superficie di separazione tra due mezzi Definiamo la geometria, si chiamano: angolo di incidenza i l 'angolo tra la direzione di propagazione della luce incidente e la normale alla superficie, angolo di riflessione r l'angolo tra la normale e la direzione di propagazione dell onda riflessa, angolo di rifrazione i l'angolo tra la normale e la direzione di propagazione dell onda rifratta. Quali sono le direzioni del raggio riflesso e del raggio rifratto?

4 Leggi di Snell per determinare la direzione del raggio riflesso e rifratto Leggi di SNELL LEGGI RIFLESSIONE 1) Il raggio incidente, quello riflesso e la normale N alla superficie che separa i due mezzi giacciono sullo stesso piano. 2) L' angolo di incidenza è uguale a quello di riflessione i = r

5 CONCETTO DI CAMMINO OTTICO In un mezzo di indice di rifrazione n la luce percorre in un intervallo di tempo t uno spazio l pari a: Si definisce cammino ottico l 0 il prodotto dell indice di rifrazione per spazio percorso Il cammino ottico corrisponde alla distanza che la luce avrebbe percorso nel vuoto nello stesso intervallo di tempo In generale se la luce attraversa diversi mezzi (diverso indice di rifrazione) il cammino ottico totale sarà:

6 PRINCIPIO DI FERMAT Il percorso seguito da un raggio di luce per andare da un punto ad un altro attraverso un qualsiasi insieme di mezzi è quello che richiede il minimo cammino ottico Dal principio posso dedurre le leggi della riflessione e della rifrazione

7 Leggi di Snell (riflessione) con il principio di Fermat Disegniamo tutti i possibili percorsi tra S e P passanti per un punto della superficie riflettente misuriamo i corrispondenti cammini ottici troviamo il percorso corrispondente al minimo: quello è il percorso fatto dalla luce perché soddisfa il principio di Fermat L esperienza di oggi consiste nell applicare il principio di Fermat per verificare numericamente la legge di Snell per la riflessione

8 Leggi di Snell per la riflessione con il principio di Fermat a) disegnare i diversi possibili cammini da P 1 a P 2 b) calcolare la lunghezza di ciascun cammino in funzione in funzione dell intercetta con l asse X, ovvero di x 0 P 1 P 2 c) graficare il cammino in funzione di x 0 e trovare graficamente il minimo X 0 =-1 X 0 =3 Per eseguire questa operazione abbiamo bisogno e useremo questi strumenti: - il concetto di cammino ottico - il concetto retta passante per due punti e fascio proprio di rette - la lunghezza di un segmento nel piano cartesiano

9 Per disegnare i possibili cammini devo disegnare le rette uscenti da P1 2.5 P 1 P Come individuo le diverse rette uscenti da P1? Devo scrivere l equazione di ciascuna retta che passa per P1(x 1, y 1 ) e il punto (x 0, 0) Analogamnte per descrivere i cammini verso P2 devo individuare le rette che passano per i punti (x 0, 0) e P2(x 2, y 2 )

10 Equazione di una retta per due punti L equazione di una retta passante per due punti M 1 (x 1, y 1 ) e M 2 (x 2, y 2 ) è data da: M 1 Y y 1 y 2 M 2 y y # y $ y # = x x # x $ x # x 1 x 2 X y = ' ()' * + ( )+ * x + y # ' ()' * + ( )+ * x # = mx+q In forma esplicita l equazione della retta diventa: m= ' ()' * + ( )+ * q= y # ' ()' * + ( )+ * x # con

11 Per calcolare la lunghezza del cammino ottico Lunghezza di un segmento nel piano cartesiano Dato un segmento AB nel piano cartesiano con i punti A e B di coordinate (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) definiamo la lunghezza del segmento (ovvero la distanza tra A e B) nel seguente modo: d A, B = (x $ x # ) $ +(y $ y # ) $ questa definizione di distanza deriva direttamente dal teorema di Pitagora infatti il segmento AB è l ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti sono dati da AC e CB B A x $ x # C y $ y #

12 Per eseguire gli esercizi. disegnare i diversi possibili cammini da P 1 a P 2 disegnare da P 1 e P 2 un fascio di rette proprio che intercettano l asse X in punti prestabiliti x 0 (x 0 intercetta asse x) Disegneremo le rette in funzione di x 0. Dobbiamo trovare quindi l equazione della retta a partire da x 1, y 1, x 0, P 1 P 2 P1(x 1,y 1 ), P2(x 0,0) y = y $ y # x $ x # x + y # y $ y # x $ x # x # diventa y = y # x 5 x # x + y # y # x 5 x # x # m, coefficiente angolare q, termine noto m = y # (x # x 5 ) q=y # + ' * + 6 )+ * x #

13 Costruzione del foglio di lavoro: Colonna ascisse Colonna delle Ordinate relative ai diversi segmenti di retta Uso del comando $ per organizzare il foglio in modalità semi automatica

14 Cammini in riflessione 2.5 P1 P X0

15 Per calcolare la lunghezza dei cammini ottici. utilizzare un nuovo foglio di lavoro in cui calcolare il cammino ottico in funzione di x0 fissati i punti P1 e P2

16 Esercitazione 1. Disegnare i possibili cammini della luce da un punto P 1 di coordinate (-4,2) ad un altro punto di coordinate P 2 (4,2) che intercettano l asse x nella serie di punti x 0 = -3,-2,-1,0,1,2,3 2. Calcolare il cammino ottico dei possibili cammini della luce da P 1 a P 2 in funzione di x 0 variando x 0 fra -6 e 6 3. Graficare il cammino ottico ottenuto in funzione di x 0 e determinare graficamente il minimo del cammino 4. Calcolare e graficare il cammino ottico dei possibili cammini della luce da P 1 (-2,2) a P 2 (6,2) in funzione di x 0 variando x 0 fra -6 e 6. Determinare graficamente il minimo del cammino ottico. Riportare in una relazione i due grafici precedenti con un commento finale riguardo al minimo trovato, il principio di Fermat e la legge di Snell relativa alla riflessione della luce. Confrontare e commentare il risultato del punto 4 con quello del punto 3.