Una distribuzione può essere descritta per mezzo dei suoi frattili.

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1 Frattl d una dstrbuzone Una dstrbuzone può essere descrtta per mezzo de suo frattl. S dce frattle (snonm: centle, percentle e quantle) p-esmo d una dstrbuzone quel valore xp tale che la frequenza relatva cumulata F(x p )= p. Ad esempo, l 5 centle d una dstrbuzone è l valore che, sull'asse de numer real, ha alla sua snstra l 5% de valor della dstrbuzone, e concde con la medana. Il centle è l valore che ha alla snstra l % della dstrbuzone. ALTEZZA(cm) d un campone d 6 neonat. lmt d classe x f(x j ) x f(x j ) Σ 6 3.5

2 Ne grafc cumulat, valor rportat sull'asse vertcale ndcano la frequenza delle rlevazon con valore par o mnore a valor n corrspondenza sull'asse orzzontale La Moda Pù d rado s ncontra una terza msura d poszone, la moda; è l valore che s verfca pù spesso (frequenza assoluta pù elevata); la modaltà della varable n cu s regstra l maggor numero d cas. Quanto sono usualmente lungh bmb alla nascta? Guardando dat a nostra dsposzone, è subto evdente maggor nume ro (6) d bmb è lungo tra 5.3 cm e 5.7 cm. la classe modale è dunque Se la dstrbuzone ha pù d due valor massm o se la frequenza pù alta rscontrata nell nseme consderato non supera d molto le altre la moda non è un buon ndcatore d tendenza centrale.

3 La moda Lunghezza supna (cm) n un campone d 6 neonat. Valor ottenut con l'nfantometro Harpenden. Estrem Valore Freq Semplc Freq cumulate d classe Centrale n % n % Nella classe , pu, ,5+ = 5,583 vcno alla casse con freq= quale msura d poszone usare? A quale msura d tendenza centrale c rferamo? Il propretaro d una dtta afferma "Lo stpendo medo nella nostra dtta è.7 euro" Il sndacato de lavorator dce che lo stpendo mensle è d.7 euro. L'agente delle tasse dce che lo stpendo è stato quas sempre d. euro. Queste rsposte dverse sono state ottenute tutte da dat della seguente tabella. Meda artmetca= lre.7 Medana = lre. Moda = lre.7 Stpendo mensle N d lavorator 3

4 nterpretazone delle msure d poszone La meda artmetca ndca che, se l denaro fosse dstrbuto n modo che cascuno rcevesse la stessa somma, cascun dpendente avrebbe avuto.7 euro La moda c dce che la paga mensle pù comune è d.7.euro La moda s consdera spesso come l valore tpco dell'nseme d dat poché è quello che s presenta pù spesso. Non tene però conto degl altr valor e spesso n un nseme d dat v è pù d un valore che corrsponde alla defnzone d moda. La medana ndca che crca metà degl addett pe rcepscono meno d..euro, e metà d pù. La medana non è nfluenzata da valor estrem eventualmente prese nt ma solo dal fatto che ess sano sotto o sopra l centro dell'nseme de dat. Statstca Descrttva Intervallo d varazone Devanza Varanza Devazone Standard Intervallo nterquartle dspersone d una dstrbuzone 6 frequenza relatva 8 4 dspersone poszone cm 37 4

5 Meda e varanza: Meda uguale Devazone Standard Dversa Istogramma Istogramma Frequenza Frequenza Frequenza Frequenza Classe Classe Meda= Varanza=.33 Meda= Varanza=4 38 dspersone d una dstrbuzone Numero d ore d sonno frequenza Masch Femmne Damo un'occhata alla dstrbuzone d frequenza delle ORE DI SONNO ndotte da un sonnfero, dormte da 4 masch e 4 femmne. 39 5

6 dspersone d una dstrbuzone La msura della varabltà, permette d descrvere n modo pù completo la dstrbuzone d una varable. Le msure d tendenza centrale: meda, medana e moda ndvduano l'elemento centrale della dstrbuzone. Damo, d nuovo, un'occhata alla dstrbuzone d frequenza delle ORE DI SONNO de 4 soggett. üla meda è d 5 ore ma uno sguardo alla tabella mostra che un buon numero d pazent sono molto dvers tra loro. üalcun presentano un perodo d sonno pù breve ed altr pù lungo della meda. La meda non dce n che msura dat sano dspers attorno al valore centrale. 4 dspersone d una dstrbuzone Il numero medo d letture rsulta d 5 ore n entrambe sess Uguale durata del sonno ndotto? Per facltare confront rportamo dat n grafco. frequenza assoluta Masch Femmne DURATA DEL SONNO INDOTTO 4 6

7 L'ntervallo d varazone Mentre nmeda le femmne presentano un durata del sonno uguale a masch, alcune d loro hanno un durata del sonno ancora superore a temp pù elevat de masch. Qund le me de non s ono nsuffcent: pe r completa re l quadro occorrono alcune msure d varabltà. L'ntervallo d varazone o range consste semplcemente nella dfferenza tra l valore massmo e l valore mnmo della dstrbuzone. Mn= Max = 8 Mn= Max5 4 L'ntervallo d varazone Esempo: Gl nsem d valor d VES {A}: { 8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} {B}: {, 8,, 9, 7, 8, 7} ma n {A} valor sono pù dspers che n {B}: n {A} valor sono nclus tra 4 e 35 n {B} valor sono nclus tra 7 e 7 La dfferenza tra l massmo e l mnmo valore d un nseme d dat è detto ntervallo d varazone (o range). l range d {A} è R A = 35-4 = 3 l range d {B} è R B = 7-7 = hanno la stessa meda ( =), x Il range è l pù ntutvo fra gl ndc d dspersone, ha però l dfetto d basars solo su due valor estrem, ne qual s manfesta maggormente la varabltà d camponamento e l'errore d msura. 43 7

8 Gl ndc d dspersone d pù largo uso sono basat sugl scart dalla meda: per un campone d dmensone n, {x,x,...x n }, sono così defnt Devanza: Varanza camponara: La devanza D = (x-x) D s= n- Devazone standard: s= s Coeffcente d varazone: s CV% = x La devanza è la somma de quadrat degl scart tra ogn elemento del campone (x ) e la meda camponara ( ). x 44 devanza per dat sngol formule d calcolo della devanza n = D= (x -x) devanza per dat raggruppat n class D = (x -x) f(x ) ( x ) = x- n = xf(x) ( xf(x) ) f(x ) 45 8

9 calcolo degl ndc d dspersone Nell'esempo de due nsem d valor d VES s ha: {A}: { 8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} D = ( ) /7 = 44-7=74 s = 74/6 =3.33 s = 3.3 =. ={-.,.} CV%= x (./) = % {B}: {, 8,, 9, 7, 8, 7} D = (+8+ +7) /7 = = 68 s = 68 / 6=.33 s=.33 = 3.4 ={6.6, 3.4} CV% = x (3.4/) = 34% In {A} l'ntervallo ± s nclude anche valor negatv d VES, che ovvamente non sono possbl. L'uso d s per esprmere la dspersone dovrebbe essere qund lmtato alle dstrbuzon smmetrche (o quas). 46 calcolo della devanza ( dat n class ) lmt d classe x f(xj) xf(x j ) Σ

10 calcolo della devanza ( dat n class ) 5d5 Nell'esempo della lunghezza de neonat: (x x) x f(x) x f(x) ( x x) (x x) f(x ) x f(x ) meda= 3.5 /6= D = ( ) x + ( ) x ( ) x = D = (3.5) /6 = = x Var= 365.8/59 =6. Devazone standard = calcolo della varanza ( dat n class ) x f(x ) x x f(x ) x (x x) f(x ) (x x) f(x ) Σ Devanza= 6 ; Varanza=Devanza/(N-)= 6/79 = 4.33 Tornamo all esempo delle ORE DI SONNO Devazone standard=

11 l'ntervallo nterquartle Un ndce d dspersone d uso comune è l'ntervallo nterquartle, dato dalla dfferenza tra 3 e quartle (coè tra 75 e 5 centle): tale ntervallo contene la metà de valor nclus nel campone, ndpendentemente dalla forma della dstrbuzone della varable. Indc d dspersone: x max -x mn n x - µ n n ( x - µ ) n n ( x - ) x n n ( x - ) x n Range (ntrevallo d varazone) Scarto medo assoluto Meda de quadrat degl scart Varanza camponara Devazone standard camponara p_esmo quantle: s consdera np per [ p ] Se np non è ntero, consdero k l ntero successvo e l p_esmo quantle è x k Se np = k è ntero, l p_esmo quantle è (x k + x k+ )/ Q =prmo quartle =5 percentle Q =secondo quartle =5 percentle =medana Q 3 =terzo quartle =75 percentle 5

12 Prncpal ndc statstc I grafc fnora analzzat c danno nformazon qualtatve; possamo quantfcarle rcorrendo a seguent ndc. Sano x, x,..., xn n osservazon numerche d poszone MODA MEDIANA MEDIA INDICI d dspersone SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIANZA RANGE d forma ASIMMETRIA (SKEWNESS) CURTOSI ( KURTOSIS) 5 La dstrbuzone normale Johann Carl Fredrch Gauss ( )

13 //7 LA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA All'aumentare del numero d msure, valor tendono ad accentrars attorno alla loro meda e l'stogramma assume una forma a campana sempre pù regolare, che può essere approssmata con una funzone reale nota come funzone d gauss/ funzone normale. Standard Devaton σ Johann Carl Fredrch Gauss ( ) Mean μ.5.5 n=. n= n= n= n= n= n= n= n=

14 La funzone d Gauss f(x) massmo.9 flesso flesso.6 σ.3 µ x = concentrazone d glucoso (mg/dl) f ( x) = π σ e x µ σ ( ) dove: σ è la devazone standard della totaltà delle msure; µ è la meda della totaltà delle msure; La funzone d Gauss Gl error casual d msura. consderat nel loro complesso, mostrano un comportamento tpco che può essere così descrtto: Gl error pccol sono pù frequent d quell grand; Gl error d segno negatvo tendono a manfestars con la stessa frequenza d quell con segno postvo; All'aumentare del numero delle msure s ha che crca /3 de valor tendono ad essere nclus nell'ntervallo meda +/- devazone standard Il 95% de valor tende ad essere ncluso nell'ntervallo meda +/- devazon standard 4

15 La funzone d Gauss f(x).9 µ.6 ± devazone standard.3 ± devazon standard x = concentrazone d glucoso (mg/dl) Rlevanza della dstrbuzone Normale Può essere utle per descrvere molt fenomen Molte dstrbuzon dscrete possono essere approssmate con una dstrbuzone normale al crescere del numero d element Molte dstrbuzon contnue possono essere trasformate n dstrbuzon normal Gl error d una msura s dstrbuscono attorno ad un valore medo seguendo una legge d questo tpo 5

16 Teorema del lmte centrale TLC: la dstrbuzone della somma d varabl aleatore ndpendent e dentcamente dstrbute (d) tende ad una gaussana...d.= se ogn varable ha la stessa dstrbuzone d probabltà delle altre varabl, e sono tutte statstcamente ndpendent. Tale potes può es s ere rlas s ata s e le varanz e delle s ngole varabl s ono dverse da zero, e se valor delle varabl sono superormente lmtat Qual sono I mglor descrttor statstc per un campone? Dat estratt da pdf Gaussana: Meda +/- Devazone Std 6

17 Skewness 6 CURTOSI: leptocurtca 63 7

18 CURTOSI: dstrbuzone platcurtca 64 Skewness Indc d forma INDICE DI ASIMMETRIA > coda a destra < coda a snstra = smmetrca g Kurtoss n 4 n ( x x) m 4 = = = n m n ( x x) = Per la dstrbuzone gaussana γ= Msura quanto la dstrbuzone è appuntta >3 poco appuntta =3 caso della dstrbuzone normale <3 molto appuntta Per la dstrbuzone gaussana g =3 65 8

19 Coeffcent d skewness d Pearson Karl Pearson ha suggerto calcol pù semplc come una msura d asmmetra: La modaltà d asmmetra d Pearson, defnto da (meda - Moda) / devazone standard, Asmmetra prmo coeffcente d Pearson, defnta da 3 (meda - moda) / devazone standard, Asmmetra secondo coeffcente d Pearson, defnto da 3 (meda - medana) / devazone standard. 66 Qual sono mglor descrttor statstc per un campone? Dat estratt da pdf Gaussana: Meda +/- Devazone Std Dat estratt da pdf Non-Gaussana: [Medana +/- Int. Interq, 3 msura] (range, skewness, kurtoss, etc) 9

20 Applcazon La smmetra ha benefc n molt settor. In molt modell è semplcstco supporre che dat abbano una dstrbuzone [normale] smmetrca ntorno alla meda. La dstrbuzone normale ha una asmmetra d zero. Ma n realtà, spesso punt dat non sono perfettamente smmetrc. La comprensone dell asmmetra della sere d dat real ndca che le devazon dalla meda stanno pù nel verso postvo o pù nel verso negatvo. Il test K (D'Agostno) è un Goodness-of-ft test d normaltà basato sulla asmmetra e curtos camponara. 68 d poszone d dspersone d d forma Indc: Schema rassuntvo x meda: x = N moda: punto d max della dstrbuzone medana: valore sotto al quale cadono la metà de valor camponar. S dspongono dat n ordne crescente e s prende quello che occupa la poszone centrale (N dspar) o la meda de valor n poszone centrale (N par) varanza devazone standard range s = skewness (coeff. d asmmetra) ( x ) x N curtos: msura quanto la dstrbuzone è appuntta s R = x max x mn x x σ N >3 poco appuntta <3 molto appuntta 3 x x σ N > coda a ds < coda a sn = smmetrca 4 69