DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAICA DI SISTEI AEROSPAZIAI Tema d esame Esecizio. Si considei un aeofeno di massa unifome, osto nel iano veticale. a sueficie dell aeofeno è ettangolae, di lunghezza e ofondità in diezione eendicolae al iano del foglio ai a. È investito da una esistenza aeodinamica D, suosta costante in intensità e diezione, che isulta alicata in A. a otazione dell aeofeno attono alla ceniea in O è comandata attaveso un asta di invio di lunghezza b e massa tascuabile, incenieata alla sueficie in A. estemo B dell asta è mosso da un attuatoe a ignone e cemagliea di massa tascuabile e asso, tale e cui ẋ π ω. Deteminae:.a otazione α, velocità e acceleazione angolae α e α dell aeofeno in funzione del moto imosto x, ẋ in B, consideando ẋ cost;.b la coia C m da alicae al ignone in gado di odue il moto del unto ecedente, consideando ai a η il endimento della tasmissione a ignone-cemagliea. Esecizio. Un disco di massa tascuabile e aggio è osto in otazione da una coia C m. Sul disco si avvolge una fune inestensibile e di massa tascuabile, avvolta all alto estemo su di un disco di aggio R, massa e momento d inezia baicentico J, che otola senza stisciae su un iano oizzontale. Su una seconda sezione del disco, di aggio, si avvolge una seconda fune inestensibile e di massa tascuabile che attaveso una uleggia soegge una massa m, vincolata a scoee all inteno di una guida veticale. Il contatto C m ta la guida e la massa m è caatteizzato da un ecaico nomale P e da un coefficiente di attito dinamico f d. Si chiede di.a deteminae la coia C m e la salita a egime della massa m;.b deteminae il tio nella seconda fune in seguito a una vaiazione a gadino della coia motice, a atie dalle condizioni del unto ecedente. R, J m f d g k, l i k, l i Esecizio 3. Il sistema in figua è osto nel iano oizzontale ed è costituito da una massa vincolata a muovesi lungo la sola diezione veticale, collegata a tea da due elementi elastici di uguale igidezza k e lunghezza indefomata l i. a distanza fa la massa e il telaio è ai a, da entambi i lati. Come coodinata si enda lo sostamento veticale della massa. 3.a Scivee l equazione del moto del sistema e discutee la stabilità dell equilibio statico molle allineate al vaiae di l i ; 3.b Deteminae il valoe di l i che e iccole etubazioni isetto all equilibio statico emette di ottenee una ulsazione oia ω maggioe di un valoe fissato ω. Esecizio 4. Una massa è osta all estemo di un asta di lunghezza l, incenieata al telaio a un quato della sua lunghezza e vincolata tamite una seconda ceniea a un alta asta oizzontale. estemità della seconda asta è vincolata igidamente a un istone di massa m e aea A, che si muove all inteno di un cilindo vincolato al telaio in cui è esente un fluido con modulo di comimibilità β. a essione all inteno della camea del cilindo, alimentata da una sogente a essione S attaveso un oifizio di aea A o e coefficiente di efflusso laminae C el, è C. Si ichiede: S g x C A o, C el 4.a assumendo come coodinate libee la otazione dell asta e la essione m, A C, di scivee le equazioni del sistema già lineaizzate e iccoli sostamenti nell intono della configuazione di figua, e imostane lo studio della stabilità; 4.b di scivee l esessione della esidualizzazione statica dello stato idodinamico la essione C, sottolineando le condizioni ento le quali uò essee itenuta accettabile. l/4 l N.B.: si definisca e si commenti ootunamente qualsivoglia dato itenuto mancante.

2 Esecizio TRACCIA DI SOUZIONE Occoe descivee il movimento del unto A, baicento e unto di alicazione della foza aeodinamica, in funzione del movimento del unto B.a, e ote scivee l equazione del moto.b..a Cinematica Si considei il tiangolo OAB. equazione di chiusua è x + be jβ e jα x + b cos β cos α b sin β sin α a b ovveo sin β b sin α x cos α + b sin α b Velocità: si deivi l equazione di chiusua ẋ + j βbe jβ j αe jα 3a 3b 4 ẋ βb sin β α sin α βb cos β α cos α 5a 5b o [ sin α b sin β cos α b cos β ] α β ẋ 6 che dà cos β ẋ sinβ α α β cos α ẋ sinβ α b Acceleazione: si deivi di nuovo l equazione di chiusua 7 j βbe jβ β be jβ j αe jα α e jα 8 ẍ βb sin β β b cos β α sin α α cos α βb cos β β b sin β α cos α α sin α 9a 9b o [ sin α b sin β cos α b cos β ] α β cos α sin α α b cos β + b sin β β che dà α β [ ] b cos β b sin β bsin β cos α cos β sin α cos α sin α b cos β b cosβ α b sinβ α cos α cos β ẍ cosβ α b sinβ + α sinβ α α sinβ α β cos α ẍ sinβ α b + cosβ α b sinβ α α sinβ α β cos α sin α α + b b cosβ α α b cos β + b sin β β β

3 .b Dinamica Il sistema è a un gado di libetà, soggetto solo a vincoli fissi. Si considea il teoema dell enegia cinetica. enegia cinetica è E c v A v A + J α α + α 4 3 α a otenza delle foze attive, assumendo l aeofeno in estazione, e quindi ẋ < se si assume il movimento in veso oosto, occoe modificae di conseguenza l esessione della otenza dissiata dalla tasmissione, è Π g v A + D v A + C m ω Π g cos α α D sin α α + C m ω ηc m ω π g cos α + D sin α α + ηc m ẋ g cos α + D sin α cos β sinβ α + ηc m Si icava quindi 4 cos β ẋ 3 α sinβ α g cos α + D sin α π ẋ 3 cos β sinβ α + ηc m π ẋ 4 4 cos β cos C m 3 α + g cos α + D sin α sinβ α β sinβ α πη 5 Esecizio.a Salita a egime a velocità di taslazione del cento del disco, di aggio R, è v ω R. a velocità tangenziale nel unto in cui si distacca il filo è ω R. Tale velocità deve essee uguale alla velocità del unto del disco si distacca il medesimo filo, ω, quindi ω ω a velocità tangenziale della fune nel unto in cui si distacca dal disco è R + ω. Questa è anche la velocità v m della massa m, assunta ositiva veso l alto. a otenza coinvolta nel movimento del meccanismo a egime è Π C m ω mgv m P f d v m 7 Si icava quindi C m ω mg + P f d R + ω 8 si ottiene C m mg + P f d R +...b Tio nella fune Sia C m l incemento di coia a scalino. enegia cinetica è E c Jω + mv m J + mr + ω Dal teoema dell enegia cinetica J + mr + ω ω C m + C m mg + P f d R + ω C m + C m mg + P f d R + J + mr ω

4 a tensione nella fune si icava dall equilibio dinamico. Si sciva e esemio l equilibio alla taslazione in diezione veticale della massa m, T m g + R + ω + P f d 3 Esecizio 3 3.a Equazione moto e stabilità Sia u lo sostamento veticale della massa. a lunghezza delle molle è l + u / 4 Si usi il fomalismo di agange. enegia cinetica è E c m u 5 enegia otenziale è E k l l i 6 Si ottiene con mü + k l l i l u 7 l u + u / u a deivata seconda dell enegia otenziale dà 8 E u kl l i l l u + k u 9 Nella condizione di ifeimento, u, il secondo contibuto si annulla. Rimane quindi l u + u / + u 3/ u Nella condizione di ifeimento si ha quindi K E u k l i u 3 3 ego, e avee stabilità statica, occoe che l i <. 3.b Pulsazione oia a ulsazione oia è K ω k l i Peché suei il valoe ω occoe che l i < ω k 3 33 Esecizio 4 Sia θ l angolo di cui uota l asta isetto alla veticale, ositivo in senso antioaio. a comonente veticale della osizione della massa è 3/4l cos θ. a comonente oizzontale dello sostamento del istone, lineaizzata a ioi, è l/4θ.

5 4.a Equazioni lineaizzate Si usi il fomalismo di agange, evia quadaticizzazione delle enegie. enegia cinetica quadaticizzata è E c 3 4 l θ + m 4 l θ m l θ 34 enegia otenziale è E gl cos θ 3 4 glθ Il lavoo delle foze estene è costituito dal contibuto del fluido nella camea, δ δθ 4 la C si icava m l 3 θ 4 glθ 4 la C 37 a essione nella camea, a sua volta, si icava dall equazione di bilancio di massa nella camea, A 4 l θ + V C β ṗc A o C el S C 38 dove V C è il volume della camea nella configuazione di ifeimento. o studio della stabilità si imosta consideando il oblema agli stati, θ θ ṗ C m l V Cβ 3 4 gl 4 la A 4 l A oc el θ θ C + A o C el S 39 e valutando il segno della ate eale degli autovaloi della matice. Ci si attende stabilità asintotica o no? 4.b Residualizzazione statica Residualizzae staticamente la essione significa iscivee il bilancio di massa come A 4 l θ + V C β ṗc A o C el S C 4 è immediato icavae la essione C S A A o C el 4 l θ 4 che uò quindi essee sostituita nell equazione del moto, m l 3 θ 4 glθ 4 la S A A o C el 4 l θ ovveo m l θ + A A o C el 4 l 3 θ 4 glθ 4 la S 43 equazione che si icava ha coefficienti di segno diveso, quindi è lecito asettasi anche adici del olinomio caatteistico con ate eale ositiva, e cui la soluzione di ifeimento è instabile. 4