M to t d o i d d i d p ro r i o ezion o e n. c rr r i r spo p ndenza z b univo v ca ope p ra r zi z oni d i p r p o r iezi z one e s ezi z one

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1 Metodi di proiezione. I sistemi di rappresentazione geometrica consentono di rappresentare un oggetto tridimensionale su un piano bidimensionale, mediante un immagine che abbia con l oggetto originale una precisa relazione di corrispondenza biunivoca. Tutti i metodi della geometria descrittiva si basano sui principi della geometria proiettiva, ovvero sulle due operazioni di proiezione e sezione. Gli elementi principali dei metodi della rappresentazione sono: centro di proiezione: (detto anche punto di vista) è il punto da cui si dipartono i raggi proiettanti; piano della rappresentazione: è il piano su cui viene eseguita la rappresentazione, interposto tra l oggetto e l osservatore. Le posizioni diverse di questi elementi tra loro e rispetto all oggetto ed all osservatore, determinano i diversi sistemi di rappresentazione geometrica.

2 I metodi di proiezione della geometria descrittiva si distinguono in due gruppi principali: - se il centro di proiezione è un punto proprio, quindi tutti i raggi proiettanti convergono in esso, si hanno le proiezioni centrali o coniche; - se il centro di proiezione è all infinito, per cui i raggi proiettanti sono tutti paralleli tra loro, si hanno le proiezioni parallele o cilindriche. Le proiezioni di oggetti mediante i diversi metodi danno origini a rappresentazioni con caratteristiche diverse: ad esempio, due rette parallele rappresentate in prospettiva determinano due rette convergenti in un punto, che è il corrispondente del loro punto improprio, mentre rappresentate in proiezione parallela forniscono due rette immagine anch esse tra loro parallele. Il metodo delle proiezioni centrali viene anche denominato prospettiva, mentre le proiezioni parallele si distinguono in: - proiezioni ortogonali (di Monge), - proiezioni assonometriche, - proiezioni quotate.

3 Nelle PROIEZIONI CENTRALI PROIEZIONI CENTRALI, proiettando sul piano di quadro due rette parallele, le loro immagini convergono sul punto I'. Ciò avviene in quanto tra i piani π e π' si instaura una prospettività di centro C ed asse LT; le rette s ed r, parallele, si incontrano in I il cui corrispondente è I', punto limite sia di s che di r.

4 Nelle PROIEZIONI PARALLELE PROIEZIONI PARALLELE, proiettando sul piano di quadro due rette parallele, le loro immagini risultano anch'esse parallele. Ciò avviene in quanto tra i piani π e π' si instaura una prospettività di centro improprio C per cui I ha il corrispondente in I'.

5 Le proiezioni ortogonali di un oggetto nello spazio si eseguono considerando piani ortogonali tra loro, dei quali si denominano: Proiezioni ortogonali - π1 il piano in posizione orizzontale - π2 il piano in posizione verticale Essi definiscono 4 diedri nello spazio e l oggetto da rappresentare si considera posizionato nel 1 diedro. La retta di intersezione tra i piani π1 π2 si definisce linea di terra (LT) Si considerano quindi due centri di proiezione all infinito, che definiscono due direzioni di proiezione rispettivamente ortogonali a π1 e π2. Date le due immagini dell oggetto sui due piani, detti anche piani coordinati, è univocamente determinata la sua posizione nello spazio.

6 Talvolta, si introduce un terzo piano, π3, ortogonale ad entrambi, utile per dare una rappresentazione più esaustiva della forma dell oggetto, quando esso non risulti simmetrico.

7 Le figure devono essere elaborate su un foglio da disegno, pertanto si immagina di effettuare una rotazione di 90 attorno alla linea di terra in modo da avere le tre immagini su piani distinti, ma coincidenti, ovvero su un unico foglio.

8 Rappresentazione del punto Dato un punto P nello spazio, proiettando le sue immagini sui 3 piani coordinati, rispettivamente su π1, π2.e π3 si ottengono le proiezioni P, P e P.

9 Rappresentazione della retta: Rappresentazione della retta: Data una retta generica r, comunque disposta nello spazio, si definiscono tracce i punti di intersezione tra essa ed i pani coordinati. Le tracce assumono un pedice numerico uguale a quello del piano coordinato cui appartengono, per cui T1 è il punto in cui r interseca, π1, T2 è il punto in cui interseca, π2, ecc.

10 Rappresentazione del piano Dato un piano α genericamente disposto nello spazio, si denominano tracce del piano, e si indicano con tα1, tα2, tα3 le rette di intersezione tra il piano dato ed i 3 piani coordinati.

11 Retta ortogonale a π1

12 Retta ortogonale a π2

13 Rette incidenti Due rette nello spazio si dicono incidenti se hanno un punto in comune. Per verificare che le due rette sono incidenti è necessario verificare che i due punti P e P,che rappresentano rispettivamente le intersezioni di r e s e r e s, sono allineati lungo la retta perpendicolare alla LT, e P e P che rappresentano le intersezioni di r e s e r e s, sono allineati lungo la retta parallela alla LT. Se i suddetti punti non sono allineati le due rette saranno sghembe.

14 Piano ortogonale a π1 (piano proiettante in prima) Si osserva che la seconda traccia del piano t2a è ortogonale alle LT.

15 Piano ortogonale a π2 (piano proiettante in seconda) Si osserva che la prima traccia del piano t1a è ortogonale alle LT.

16 Piano ortogonale a π1 1 e a p2 (piano di profilo) Si osserva che sia la prima traccia del piano, t1a, sia la seconda, t2a, sono ortogonali alle LT.

17 Piani paralleli rispettivamente a π1, π2, π3

18 Condizioni di appartenenza di un punto ad una retta generica Condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto P appartenga ad una retta r è che le proiezioni P', P'' e P''' del punto appartengano rispettivamente alle proiezioni r', r'' ed r''' della retta.

19 Condizioni di appartenenza di una retta ad un piano Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta r appartenga ad un piano α è che le tracce T1r e T2r della retta appartengano rispettivamente alle tracce t1α e t2α del piano.

20 Condizioni di parallelismo tra rette Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette r ed s siano tra loro parallele è che le proiezioni omonime siano parallele tra loro, ovvero r' ed r'' siano parallele rispettivamente a s' ed s''.

21 Condizioni di parallelismo tra piani Condizione necessaria e sufficiente affinchè due piani α e β siano tra loro paralleli è che lo siano le tracce omonime, ovvero t1α e t2α siano parallele rispettivamente a t1β e t2β.

22 Retta di massima pendenza di un piano La retta di max pendenza di un piano è la retta più inclinata del piano e descrive la più breve distanza tra due quote diverse.si ottiene sezionando il piano assegnato a con un piano b ortoganale a p1 e alla prima traccia di a, ta. Considerato il diedro formato da un generico piano a e dal primo piano di proiezione p1, si traccia il piano b tale che t b risulti ortogonale a t a e t b perpendicolare alla linea di terra. I punti di intersezione delle tracce omonime dei due piani a e b rappresentano le tracce della retta r, comune ad entrambi. La retta r è detta retta di max pendenza del piano a. Nelle applicazioni tecniche è fondamentale perché ad esempio indica la linea di scorrimento dell acqua sulle superfici oblique delle costruzioni, es. i tetti.

23 Angoli di una retta con i piani di proiezione Una retta generica r forma un angolo w con il primo piano di proiezione (angolo di pendenza della retta) e un angolo f con il secondo piano. Tali angoli non sono rilevabili nella proiezione ortogonale perché subiscono una deformazione. Per determinare l angolo w, si costruisce un piano b perpendicolare a p1e passante per r,e si ribalta la retta sul piano p1( il ribaltamento può essere effettuato ribaltando la seconda traccia T r); unendo T1r con T2r* si trova la r*, ribaltamento di r. L angolo w è definito dalla prima proiezione di r, r1, e da r*.