Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici

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1 Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio 1 È dato il sistema di controllo: u + G(s) P(s) y in cui: P(s) = s(s ) Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1, con ẽ 1.1; tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a. Soluzione La funzione di trasferimento in catena aperta F(s) = G(s)P(s) deve avere un polo in s =, affinché il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1. Dal momento che il processo P(s) ha un polo in s =, non è necessario introdurre alcun polo in s = nella funzione di trasferimento del controllore di primo tentativo Ĝ(s) Ĝ(s) = K. Si indichi con K P il guadagno del processo: dalla (1) si ha K P = 5. Si indichino inoltre con K G il guadagno del controllore e con K F = K G K P il guadagno di F(s). Dalla specifica su ẽ 1 si ha: ẽ K F = 1 K G K P.1 K G. () (1) Riassumendo, il controllore di primo tentativo Ĝ(s) è dato da: Ĝ(s) = K () Ricordando che nella sintesi si utilizza nella stragrande maggioranza dei casi il luogo positivo, si ha: K, dal momento che la costante K coincide a questo punto con il guadagno K G. Attenzione!!! Ciò non sarà vero in generale nel seguito della sintesi. Al controllore Ĝ(s) corrisponde: ˆF(s) = Ĝ(s)P(s) = K s(s ) = K s(s ) in cui K = K è il coefficiente di guadagno di ˆF(s), da non confondere col guadagno. Si ha ovviamente il vincolo: K. Il luogo delle radici associato a ˆF(s) (luogo delle radici iniziale) è il seguente: (4)

2 Luogo delle radici iniziale 8 poli a ciclo aperto asintoti 6 Asse Immaginario Asse reale Fig.1 Luogo delle radici di ˆF(s) (luogo iniziale) Si noti che il centro degli asintoti s è stato calcolato con la formula: s = n p j j=1 n m in cui n è il grado del denominatore di ˆF(s) (numero di poli di ˆF(s): n = ), m è il grado del numeratore di ˆF(s) (numero di zeri di ˆF(s): m = ), pj è il polo j-esimo di ˆF(s) (p1 =, p = ), z j è lo zero j-esimo di ˆF(s) ( ˆF(s) non ha zeri). È evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (i due rami del luogo si trovano sempre all esterno della regione desiderata per ogni valore di K le due radici a ciclo chiuso hanno parte reale maggiore di per ogni valore di K). Si osservi che: il polo p non è cancellabile, perché non è all interno della regione desiderata (è addirittura instabile); è sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilità del controllore, fare in modo che l eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto, cioè n m, sia minimo, in modo che le direzioni degli asintoti, che dipendono appunto da n m, risultino più favorevoli in termini di appartenenza dei rami del luogo alla regione desiderata per K +. Ciò significa che il minimo eccesso poli-zeri ottenibile è quello del processo P(s), dal momento che il grado del numeratore del controllore G(s) deve essere minore od uguale al grado del denominatore di G(s): la scelta più favorevole quindi è una funzione G(s) propria ma non strettamente, cioè una funzione G(s) che ha il grado del numeratore uguale al grado del denominatore (cioè una funzione G(s) che ha un egual numero di zeri e poli). Tenendo conto delle due osservazioni precedenti, una scelta conveniente per G(s) la seguente: m j=1 z j (5)

3 Si noti che: G(s) = Ĝ(s)s z s p = K(s z) s p (6) il polo in p e lo zero in z devono essere scelti in modo che il centro degli asintoti si porti all interno della regione desiderata, col vincolo che lo zero z deve appartenere alla regione desiderata: se così non fosse, infatti, poiché per K + un ramo converge sullo zero, si avrebbe un ramo del luogo delle radici che per valori sufficientemente elevati di K esce dalla regione desiderata; K non coincide in questo caso con il guadagno K G del controllore, che è invece dato da: K G = zk (7) p a cui corrisponde il seguente vincolo derivante dalla condizione () su ẽ 1 : z K p K p z (8) Al controllore G(s) corrisponde: F(s) = G(s)P(s) = K(s z) s p s(s ) = K(s z) s(s )(s p) = K (s z) s(s )(s p) (9) Si ha ovviamente il vincolo: K p. Il centro degli asintoti associato a F(s) z è : s = + p z () e deve essere tale che: s <. Si può scegliere ad esempio s = 5, ottenendo: + p z = 5 (11) Poiché lo zero introdotto nel controllore deve appartenere alla regione desiderata, una scelta possibile è la seguente: z = 4, p = 16. Riassumendo: G(s) = K(s + 4) s + 16 (1) F(s) = K 8 (1) K(s + 4) s(s )(s + 16) = K (s + 4) s(s )(s + 16) (14) K 8 (15) Il luogo delle radici associato a F(s) (luogo delle radici finale) è il seguente:

4 Luogo delle radici finale 15 zeri a ciclo aperto poli a ciclo aperto asintoti Asse immaginario Asse reale Fig. Luogo delle radici di F(s) (luogo finale) dal quale si deduce che, a partire da un certo valore di K in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione desiderata. Ci si aspetta perciò di trovare un intervallo di valori di K, corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K K. Per calcolare K, si consideri l equazione caratteristica del luogo, cioè il denominatore della funzione di trasferimento in catena chiusa: e si effettui la sostituzione s = s. Si ottiene: s(s )(s + 16) + K (s + 4) =, (16) s + 5s + (K 89)s + K = (17) Si costruisca la tabella di Routh associata all equazione (17): ) 1 K 89 ) 5 K K 64 1) 5 ) K Applicando il criterio di Routh, si può concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per 4K 64 K 16 K 16. Quest ultima condizione va confrontata con la (1): { K 16 K 8 K 8 Si può infine porre: e la sintesi è conclusa. (s + 4) G(s) = 8 s + 16 (18) 4

5 Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio È dato il sistema di controllo: u + G(s) P(s) y in cui: P(s) = (s + ) s(s + 1)(s + 6) Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1, con ẽ 1.5; tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a. Soluzione La funzione di trasferimento in catena aperta F(s) = G(s)P(s) deve avere un polo in s =, affinché il sistema a ciclo chiuso sia di tipo 1. Dal momento che il processo P(s) ha un polo in s =, non è necessario introdurre alcun polo in s = nella funzione di trasferimento del controllore di primo tentativo Ĝ(s) Ĝ(s) = K. Si indichi con K P il guadagno del processo: dalla (1) si ha K P =. Si indichino inoltre con K G il guadagno del controllore e con K F = K G K P il guadagno di F(s). Dalla specifica su ẽ 1 si ha: ẽ K F = 1 K G K P.5 K G. () (1) Riassumendo, il controllore di primo tentativo Ĝ(s) è dato da: Ĝ(s) = K () Ricordando che nella sintesi si utilizza nella stragrande maggioranza dei casi il luogo positivo, si ha: K, dal momento che la costante K coincide a questo punto con il guadagno K G. Attenzione!!! Ciò non sarà vero in generale nel seguito della sintesi. Al controllore Ĝ(s) corrisponde: ˆF(s) = Ĝ(s)P(s) = K(s + ) s(s + 1)(s + 6) = K (s + ) s(s + 1)(s + 6) in cui K = K è il coefficiente di guadagno di ˆF(s), da non confondere col guadagno. Si ha ovviamente il vincolo: K 4. Il luogo delle radici associato a ˆF(s) (luogo delle radici iniziale) è il seguente: (4)

6 luogo delle radici iniziale 15 zeri in catena aperta poli in catena aperta asintoti Asse Immaginario Asse Reale Fig.1 Luogo delle radici di ˆF(s) (luogo iniziale) Si noti che il centro degli asintoti s è stato calcolato con la formula: s = n p j j=1 n m in cui n è il grado del denominatore di ˆF(s) (numero di poli di ˆF(s): n = ), m è il grado del numeratore di ˆF(s) (numero di zeri di ˆF(s): m = 1), pj è il polo j-esimo di ˆF(s) (p1 =, p = 1, p = 6), z j è lo zero j-esimo di ˆF(s) (z1 = ). È evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (due rami del luogo si trovano sempre all esterno della regione desiderata per ogni valore di K due radici a ciclo chiuso hanno parte reale maggiore di per ogni valore di K). Si osservi che: m j=1 il polo p è all interno della regione desiderata; è sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilità del controllore, fare in modo che l eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto, cioè n m, sia minimo, in modo che le direzioni degli asintoti, che dipendono appunto da n m, risultino più favorevoli in termini di appartenenza dei rami del luogo alla regione desiderata per K +. Ciò significa che il minimo eccesso poli-zeri ottenibile è quello del processo P(s), dal momento che il grado del numeratore del controllore G(s) deve essere minore od uguale al grado del denominatore di G(s): la scelta più favorevole quindi è una funzione G(s) propria ma non strettamente, cioè una funzione G(s) che ha il grado del numeratore uguale al grado del denominatore (cioè una funzione G(s) che ha un egual numero di zeri e poli). Tenendo conto delle due osservazioni precedenti, una scelta conveniente per G(s) la seguente: z j (5) G(s) = Ĝ(s)s + 6 K(s + 6) = s p s p (6)

7 Si noti che: il polo in p deve essere scelto in modo che il centro degli asintoti si porti all interno della regione desiderata; il termine (s+6) al numeratore è stato introdotto nel controllore per cancellare il termine (s + 6) presente nel denominatore del processo e semplificare così i calcoli: in questo modo infatti il grado del denominatore di F(s), cioè n, è uguale a tre, e quindi ci sono tre poli a ciclo chiuso, ossia tre rami nel luogo delle radici finale; se si fosse scelto di non effettuare la cancellazione inserendo al numeratore di G(s) il termine (s z), con z 6, sarebbe risultato n = 4. Comunque anche in quest ultimo caso sia p che z andrebbero scelti in modo da spostare il centro degli asintoti all interno della regione desiderata, col vincolo che lo zero z deve appartenere alla regione desiderata: se così non fosse, infatti, poiché per K + un ramo converge sullo zero, si avrebbe un ramo del luogo delle radici che per valori sufficientemente elevati di K esce dalla regione desiderata; K non coincide in questo caso con il guadagno K G del controllore, che è invece dato da: K G = 6K (7) p a cui corrisponde il seguente vincolo derivante dalla condizione () su ẽ 1 : 6K p Al controllore G(s) dato dalla (6), corrisponde: F(s) = G(s)P(s) = K(s + 6) s p K p 6 (s + ) s(s + 1)(s + 6) (8) = K(s + ) s(s + 1)(s p) = K (s + ) s(s + 1)(s p) (9) Si ha ovviamente il vincolo: K 4 p. Il centro degli asintoti associato a F(s) 6 è : s = 1 + p + () e deve essere tale che: s <. Si può scegliere ad esempio s = 4, ottenendo: s = 1 + p + = 4 p = (11) Riassumendo: K(s + 6) G(s) = s + (1) K (1) K(s + ) F(s) = s(s + 1)(s + ) = K (s + ) s(s + 1)(s + ) (14) K (15) Il luogo delle radici associato a F(s) (luogo delle radici finale) è il seguente:

8 luogo delle radici finale 15 zeri in catena aperta poli in catena aperta asintoti Asse Immaginario Asse Reale Fig. Luogo delle radici di F(s) (luogo finale) dal quale si deduce che, a partire da un certo valore di K in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione desiderata. Ci si aspetta perciò di trovare un intervallo di valori di K, corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K K. Per calcolare K, si consideri l equazione caratteristica del luogo, cioè il denominatore della funzione di trasferimento in catena chiusa: e si effettui la sostituzione s = s. Si ottiene: s(s + 1)(s + ) + K (s + ) =, (16) s + 5s + (K )s + K + 16 = (17) Si costruisca la tabella di Routh associata all equazione (17): ) 1 K ) 5 K K 16 1) 5 ) K + 16 Applicando il criterio di Routh, si può concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per 4K 16 K 1.5 K Quest ultima condizione va confrontata con la (1): Si può infine porre: e la sintesi è conclusa. { K K K G(s) = (s + 6) s + (18) 4

9 Esempi di sintesi per tentativi con il luogo delle radici Esempio È dato il sistema di controllo: d u + + G(s) P(s) y in cui: P(s) = s + 6 s (s + s + 6), d(t) = δ 1(t) Utilizzando la sintesi per tentativi con il luogo delle radici, progettare G(s) in modo che: il sistema sia astatico rispetto al disturbo d(t); tutti i poli a ciclo chiuso abbiano parte reale minore od uguale a. Soluzione Per la condizione di astatismo, è necessario introdurre nel controllore un polo in s =. Il controllore di primo tentativo è perciò: a cui corrisponde: Ĝ(s) = K s ˆF(s) = Ĝ(s)P(s) = K(s + 6) s (s + s + 6) Il luogo delle radici associato a ˆF(s) è il seguente: Root Locus Imaginary Axis Real Axis

10 È evidente che le specifiche a ciclo chiuso richieste non sono soddisfatte (il sistema a ciclo chiuso è instabile). Si noti che: i poli complessi coniugati si trovano all interno della regione desiderata; è sempre consigliabile, compatibilmente con la fisica realizzabilità del controllore, fare in modo che l eccesso poli-zeri della funzione di trasferimento a ciclo aperto sia minimo, in modo da avere una situazione migliore per quel che riguarda gli asintoti del luogo delle radici. Considerato ciò, si può scegliere: a cui corrisponde: Il luogo delle radici di F(s) è: G(s) = K(s + s + 6) s(s + 16) F(s) = G(s)P(s) = K(s + 6) s (s + 16) 4 Root Locus Imaginary Axis Real Axis da cui si evince che, a partire da un certo valore di K in poi, tutti i rami del luogo entrano nella regione di specifica. Ci si aspetta perciò di trovare un intervallo di valori di K, corrispondente al soddisfacimento delle specifiche, del tipo: K > K. Per calcolare K, si consideri l equazione caratteristica del luogo: si effettui la sostituzione: s = s : s (s + 16) + K(s + 6) =, s + 7s + (K 69)s + K = e si applichi a quest ultima equazione il criterio di Routh:

11 ) 1 K 69 ) 7 K K 6 1) 7 ) K Dalla tabella di Routh si può concludere che le specifiche a ciclo chiuso sono soddisfatte per K 15. Quindi si può porre: G(s) = 15(s + s + 6) s(s + 16)