4. Proprietà degli stimatori

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1 Uiversità degli Studi di Basilicata Facoltà di Ecoomia Corso di Laurea i Ecoomia Aziedale - a.a. 0/03 lezioi di statistica del 0, e 3 giugo 03 - di Massimo Cristallo - 4. Proprietà degli stimatori Si è visto che quado soo igoti i parametri di ua data popolazioe oggetto di idagie, è ecessario stimare i medesimi parametri mediate teciche di stima basate su formule, dette stimatori, che utilizzao le iformazioi campioarie. Riportiamo alcue delle proprietà desiderabili per lo stimatore del parametro θ. a) Correttezza Si dice che è uo stimatore corretto del parametro θ se risulta soddisfatta la seguete codizioe: E (Θ)=θ ˆ cioè se la media di tutte le possibili stime, calcolate co lo stimatore, effettuate co i possibili campioi di dimesioe, risulta uguale al corrispodete parametro della popolazioe. Se risulta ivece E (Θ) ˆ θ, allora si dice che lo stimatore è distorto e la quatità B(Θ) ˆ = E (Θˆ ) θ idica la distorsioe dello stimatore. b) Efficieza Ua misura della precisioe dello stimatore è forita i geerale dall errore quadratico medio (MSE), così defiito: MSE( Θ) ˆ = E ( Θˆ -θ ) Tuttavia se lo stimatore è corretto, l errore quadratico medio può porsi ella seguete forma: [ Θˆ - E (Θ) ˆ ] Var( Θˆ ) MSE(Θ) ˆ = E = cioè coicide co la variaza campioaria dello stimatore. Teuto coto che solitamete si preferiscoo stimatori corretti, o comuque stimatori co ua distorsioe trascurabile all aumetare dell ampiezza campioaria, i realtà per misurare la precisioe di uo stimatore si fa riferimeto alla sua variaza campioaria piuttosto che all errore quadratico medio.

2 I geerale, dati due possibili stimatori corretti Θˆ e Θˆ del parametro θ, si cosidera più efficiete o migliore quello che ha la miore variaza campioaria. Se esiste, ivece, uo stimatore corretto del parametro θ, la cui variaza campioaria è * miore o uguale a quella di u qualsiasi altro stimatore corretto Θˆ del medesimo parametro θ, allora si dice che è il più efficiete. I altri termii, l efficieza di si ha quado la dispersioe delle stime effettuate co lo stimatore, itoro al valore del parametro igoto della popolazioe di riferimeto, al variare dei possibili campioi di dimesioe, è miore rispetto a quella otteibile co altri stimatori. I letteratura è stato idividuato il valore miimo di Var( Θ ˆ ) solo sotto certe codizioi di regolarità di u problema di stima, che i questa sede o si riportao. Tale valore miimo è forito dal teorema di Cramer-Rao ed è pari al rapporto: o i alterativa: E l f ( x, θ ) θ l f ( x, θ ) E θ quidi se valgoo le codizioi di regolarità ed esiste uo stimatore la cui variaza campioaria coicide da ua delle due predette espressioi, ove f ( x, θ ) è la fuzioe di desità di probabilità, allora lo stimatore idividuato è il più efficiete. c) Cosisteza L aalisi del comportameto dello stimatore al crescere della dimesioe del campioe assume otevole importaza. Ifatti, se si verifica che all aumetare di cresce la probabilità che il parametro stimato coicida co quello della popolazioe di riferimeto, si dice che lo stimatore è cosistete (o coerete). I formule, scriveremo: lim Pr( ˆ Θ θ < ε ) = ove ˆΘ è il geerico stimatore otteuto co u campioe di dimesioe ed ε è ua quatità piccola e positiva. Esistoo altre proprietà che si desidera siao possedute da uo stimatore, come la sufficieza, che però i questa sede si tralascia.

3 E difficile creare u ordie di importaza delle proprietà degli stimatori. I geerale, si preferisce utilizzare stimatori o distorti, pur sapedo che tale proprietà da sola o basta, soprattutto se o vale la proprietà della cosisteza. U metodo molto utilizzato per la scelta di uo stimatore è ivece il Best Liear Ubiased Estimator (BLUE), che cosiste ella scelta ella classe degli stimatori lieari corretti di θ di quello che preseta la variaza campioaria miima. U criterio a cui si fa spesso ricorso per scegliere uo stimatore è quello aalogico, ovvero si sceglie uo stimatore i base allo stesso tipo di fuzioe utilizzata ella popolazioe. Ad esempio, se si utilizza la media aritmetica campioaria come stimatore aalogico della media aritmetica della popolazioe è semplice verificare che il suo valore atteso coicide co la media igota della popolazioe, cioè che è soddisfatta la proprietà della correttezza. Ipotizzado u campioameto casuale semplice co ripetizioe e cosiderado (co il criterio aalogico) come stimatore della variaza della popolazioe la variaza campioaria s, di seguito riportata: s i = = si dimostra facilmete che il valore atteso di popolazioe: E ( s ( x x) i ) = s o coicide co la variaza igota della σ σ per cui, poedo: ˆ σ = s si ottiee, per le proprietà del valore atteso: ( x x) i i= = E( ˆ σ ) = σ da cui si desume che la gradezza σˆ, ota come variaza corretta campioaria, è uo stimatore corretto di σ e di cosegueza può essere usata el caso di campioameto casuale semplice co ripetizioe per stimare la variaza icogita della popolazioe. Si fa rilevare, tuttavia, che ell ipotesi di dimesioe campioaria elevata, s e σˆ assumoo valori molto vicii, per cui è idifferete l utilizzo dell uo o dell altro. 3

4 5. Stima itervallare Si è parlato elle precedeti lezioi della stima putuale dei parametri igoti di ua data popolazioe. Partedo dallo stimatore putuale e cosiderado la sua variaza è possibile costruire ua stima itervallare, cioè u itervallo di cofideza che cotiee il parametro oggetto d idagie co ua probabilità assegata P = α (detta livello di cofideza o di fiducia), ove α è il livello di sigificatività e forisce il rischio che si corre el cofidare che l itervallo stimato cotega il parametro icogito della popolazioe. Se è ota la forma della distribuzioe campioaria dello stimatore, per idividuare l itervallo di cofideza del parametro igoto θ occorre idividuare i suoi estremi θˆ e θˆ i modo che risulti soddisfatta la seguete codizioe: Pr ( ˆ θ < θ < ˆ θ ) = α Se si fissa il valore di α esistoo ifiti itervalli che soddisfao la precedete codizioe; si dimostra tuttavia che per distribuzioi campioarie simmetriche (ache approssimativamete) l itervallo migliore (cioè quello co l ampiezza miore) è quello cetrato itoro alla stima putuale. E importate osservare a questo puto che la stima mediate itervallo di cofideza è tato migliore quato miore è la sua ampiezza. E evidete, ifatti, che ai fii del problema di stima avrebbe poco seso dire, ad esempio, che la media delle stature (espresse i cm) degli studeti iscritti al corso di laurea i ecoomia aziedale di ua data Uiversità è coteuta ell itervallo [55, 95] co ua probabilità pari a 0, Spieghiamo meglio quato detto al puto precedete. Aumetado il livello di fiducia P = α aumeta l ampiezza dell itervallo e si aulla quasi il rischio di trovare u itervallo che o cotega il valore icogito del parametro della popolazioe. La riduzioe del rischio di commettere ua stima errata paga cioè il prezzo di avere u itervallo così ampio che o dà alcua iformazioe utile. Per le ragioi appea dette, i valori che di solito si attribuiscoo ad α soo 0,05 o 0,0, per cui gli itervalli di cofideza cotegoo il parametro igoto che si vuole stimare co ua probabilità pari rispettivamete a 0,95 e 0,99. Riportiamo di seguito alcui degli itervalli di cofideza della media e della frequeza relativa (proporzioe) della popolazioe, ell ipotesi realistica i cui σ è igoto. a) Itervallo di cofideza per la media µ el caso di gradi campioi (>00) Sfruttado il teorema del limite cetrale, si ha il seguete itervallo: x z( α / ) s,x + z( α / ) s ove i valori z( α / ) della variabile ormale stadardizzata soo tabulati. 4

5 b) Itervallo di cofideza per la media µ el caso di piccoli campioi. Se la variabile X è distribuita secodo ua curva ormale, e o si coosce σ, l itervallo diveta: x t s ( α / ), x + t ( α / ) s ove i valori t ( α / ) della variabile T di Studet soo tabulati. c) Itervallo di cofideza per la proporzioe (o frequeza relativa) p el caso di gradi campioi (>00) pˆ ( pˆ ) pˆ z( α / ), pˆ + z( α / ) pˆ ( pˆ ) ove i valori z( α / ) della variabile ormale stadardizzata soo tabulati Nell ambito della stima itervallare è possibile affrotare ache problemi iversi. Ad esempio, se si fissa l ampiezza dell itervallo (pari alla differeza dei suoi due estremi) ed il valore di α, co semplici passaggi matematici è possibile determiare il valore della dimesioe campioaria, fermo restado che sia oto ache s el caso della media e pˆ el caso della proporzioe. 6. Verifica delle ipotesi co u campioe Nell ambito dell ifereza statistica capita spesso di trovare problemi di verifica delle ipotesi. U ipotesi statistica è ua cogettura sulla forma della distribuzioe di probabilità di ua variabile casuale ovvero sul valore del parametro icogito. Nel primo caso si parla di ipotesi fuzioale, metre el secodo si parla di ipotesi parametrica. Aalizziamo ora le ipotesi parametriche el caso di u campioe. L ipotesi che si vuole sottoporre a verifica, deotata co H 0, è detta ipotesi ulla o di base, metre l ipotesi alterativa è idicata co H. Le ipotesi vegoo solitamete formulate i base ad iformazioi che si possiedoo del feomeo i esame. Esse possoo essere semplici o composte, a secoda che si riferiscao ad u uico valore del parametro o ad u isieme di valori. Es. ipotesi semplice H :θ =θ 0 Es. ipotesi composta H :θ θ 0 5

6 Per effettuare la verifica delle ipotesi si utilizza il test statistico T, cioè ua regola mediate la quale si decide i termii probabilistici, sulla base delle iformazioi campioarie, se respigere o meo l ipotesi H 0. Poedo l ipotesi ulla H 0 :θ = θ0, il test si dice uilaterale se risulta: metre è bilaterale quado si ha: H :θ < θ 0 oppure H :θ > θ0 H :θ θ 0 Si riportao di seguito le fasi da seguire per realizzare ua verifica delle ipotesi: i) idividuazioe della statistica test, cioè di quella fuzioe delle osservazioi campioarie di cui è ota la distribuzioe (campioaria) sotto l ipotesi ulla H 0 ; ii) defiizioe della regola di decisioe, ovvero della partizioe dei valori assuti dalla statistica test i regioe critica o di rifiuto di H 0 ed i regioe di o rifiuto di H 0 ; iii) determiazioe del valore empirico del test, attraverso la sostituzioe dei dati campioari ella statistica test già idividuata; iv) decisioe del test, i cui si verifica se il valore empirico di cui al puto iii) cade o meo ella zoa di rifiuto. Nel primo caso si rifiuta l ipotesi ulla e il test è detto sigificativo, metre el secodo o si rifiuta H 0. Il test ideale è ifatti quello che rifiuta l ipotesi H 0 quado è falsa. Nel test delle ipotesi si possoo commettere due tipi di errori: a) di prima specie, se rifiuto l ipotesi H 0 quado i realtà essa è vera. La probabilità di commettere tale errore si deota co α ; b) di secoda specie, se o rifiuto l ipotesi H 0 quado i realtà essa è falsa. La probabilità di commettere tale errore si deota co β. Sarebbe opportuo ridurre cogiutamete etrambe gli errori α e β, ma purtroppo si dimostra che ciò o è possibile; fissata la dimesioe campioaria tra i due errori esiste ua relazioe iversa, cioè all aumetare dell uo dimiuisce l altro. La riduzioe di etrambi gli errori si potrebbe avere soltato aumetado la dimesioe del campioe. Cosiderato allora che α è riteuto l errore più grave, solitamete la regioe critica o di rifiuto del test viee idividuata fissado il valore di α (che rappreseta il livello di sigificatività del test) e miimizzado l errore β. La probabilità di respigere giustamete l ipotesi ulla H 0 è data da ( β ) ed è chiamata poteza del test. I defiitiva, ua volta stabilite le ipotesi ulla e alterativa, a secoda del tipo di problema, si fissa il valore di α, si sceglie la statistica test appropriata al caso i esame e si 6

7 idividua la regioe critica di dimesioe α i modo da redere miimo β (cioè il test più potete). Riportiamo di seguito alcui problemi di verifica delle ipotesi co le relative statistiche test, ache i questo caso ell ipotesi realistica i cui o si coosceσ. Verifica delle ipotesi della media el caso di gradi campioi (>00) Se il problema è così formulato (test bilaterale): H 0 : µ = µ 0 H :µ µ 0 la statistica test da utilizzare è la ormale stadardizzata : x µ 0 z = s metre la regioe critica, fissato il valore di α, è forita dal seguete isieme: ove si ricorda i valori di ( α ) { z R : z < z( α ) z > z( α ) } z soo tabulati. Si rifiuta l ipotesi ulla H 0 se il valore empirico del test, calcolato co i dati campioari, cade ella sopra idicata regioe critica. Nel caso di test uilaterale, ad esempio: H 0 : µ = µ 0 H :µ > µ 0 la statistica test rimae la stessa, metre la zoa critica diveta: { z R : z > z( α ) } cioè la zoa di rifiuto si cocetra soltato su ua delle due code della distribuzioe. Verifica delle ipotesi della media el caso di piccoli campioi Se il feomeo i esame (cioè la variabile X) si distribuisce secodo ua curva ormale, ma o è oto il valore di σ, la statistica test da utilizzare è la t di Studet co (-) gradi di libertà: 7

8 x µ 0 t = s Se il problema è così formulato (test bilaterale): H 0 : µ = µ 0 H :µ µ 0 la regioe critica, fissato il valore di α, è forita dal seguete isieme: ove i valori di ( ) { t R : t < t ( α ) t t ( ) } > α t α soo tabulati al variare dei gradi di libertà. Ache i questo, ovviamete, si rifiuta l ipotesi ulla H 0 se il valore empirico del test, calcolato co i dati campioari, cade ella regioe critica. Nel caso di test uilaterale, ad esempio: H 0 : µ = µ 0 H :µ > µ 0 la statistica test rimae la stessa, metre la zoa critica diveta: { t R : t > t ( α ) } Verifica delle ipotesi della proporzioe (o frequeza relativa) el caso di gradi campioi (>00) Se il problema è così formulato (test bilaterale): la statistica test da utilizzare è la seguete: H : p = H 0 p 0 : p p 0 z = p 0 pˆ p 0 ( p ) 0 metre la regioe critica, fissato il valore di α, è forita dal seguete isieme: { z R : z < z( α ) z > z( α ) } 8

9 Si rifiuta l ipotesi ulla H 0 se il valore empirico del test, calcolato co i dati campioari, cade ella regioe di rifiuto. Nel caso di test uilaterale, ad esempio: H : p = 0 p 0 H : p < p 0 la statistica test rimae la stessa, metre la zoa critica diveta: { z R : z < z( α ) }. 9