Nuovo Ordinamento Esame di Statistica 20 Giugno 2003 docente: P. Vicard Nome

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1 Nuovo Ordinamento Esame di Statistica 20 Giugno 2003 Cognome docente: P. Vicard Nome Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli opportuni passaggi). La prova si ritiene superata se ottenete la sufficienza sia nella parte pratica che in quella teorica Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta non è valida. Le domande in corsivo hanno carattere teorico. 1. [6] Il seguente grafico rappresenta la funzione di ripartizione di una carattere quantitativo continuo A F(x) x a) Ricostruire la distribuzione di frequenza del carattere. b) Rappresentare l istogramma relativo alla funzione di ripartizione rappresentata. c) Rappresentare graficamente la mediana 1 n 2. [5] Si consideri il carattere X di cui si conosce: σ =8 e a) Calcolare la deviazione standard di X b) La media aritmetica di X c) La risposta al punto b) è univoca?. 2 X 2 x i n i= 1 = [9] Il numero di errori di battitura commessi in una segreteria si distribuisce nel corso dell orario di lavoro come segue: Ora (X) N. Errori (Y) a. Determinare la retta di regressione per esprimere il numero di errori (Y) in funzione di X. b. Calcolare la retta di regressione di Y rispetto ad X 2. c. Confrontare la bontà di adattamento delle rette calcolate in a) ed in b). Commentare. 1

2 d. Supponiamo che gli impiegati seguano un corso di videoscrittura e che nella settimana successiva commettano per ogni ora il 50% degli errori che commettevano. Senza rifare i calcoli trovare la covarianza tra X e gli errori di battitura Y, e determinare la nuova retta di cui al punto a). 4.[6] Si considerino due caratteri quantitativi X e Y di cui si conosco medie aritmetiche, varianze e covarianza. Si prenda Z = X 2Y. a) Calcolare la media e la varianza di Z b) Calcolare la media e la varianza di Z sapendo che X e Y sono indipendenti 5. [4] Si consideri la seguente serie storica relativa alla variazione dei prezzi delle case al metro quadro nel centro di Roma Anno i - 1,07 1,15 1,20 1,22 Dire se (giustificando le risposte): a) il numero indice a base fissa del 2002 in base 1999 ( 1999I 2002 ) è pari a: A 1,14 B 1,68 C 1,80 D 1,30 b) il numero indice a base fissa del 1999 in base 2001 ( 2001I 1999 )è pari a: A 0,72 B 0,68 C 0,83 D nessuna delle risposte sopra 2

3 Esame di Statistica 20 Giugno 2003 Nuovo Ordinamento Cognome docente: P. Vicard Nome B Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli opportuni passaggi). La prova si ritiene superata se ottenete la sufficienza sia nella parte pratica che in quella teorica Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta non è valida. Le domande in corsivo hanno carattere teorico. 1.[14] Si consideri la seguente distribuzione doppia di 50 alberghi in base al numero di camere singole (X) e camere doppie e triple (Y) X Y Si consideri la distribuzione degli alberghi in base al numero di stanze singole a) Calcolare la mediana e i quartili. b) Si costruisca il box-plot e si studi se sono presenti valori anomali e/o estremi. Commentare. c) Qual è la frazione di alberghi con al più 15 camere singole? Sempre con riferimento alla distribuzione marginale di X, supponiamo di possedere anche l informazione sul numero di camere relativo ad ogni singola classe ovvero X Numero camere d) Misurare la concentrazione e commentare i risultati. Con riferimento alla distribuzione doppia e) Misurare la dipendenza tra X e Y. Commentare. 2. [6]Si consideri un carattere quantitativo X. Con riferimento alla media aritmetica, c) Dimostrare la proprietà di internalità d) Dimostrare che la somma dei quadrati degli scarti da una costante c è minima quando c è la media aritmetica 3. [2] Si considerino due caratteri X e Y. Se ρ = 1, allora (giustificare la risposta) A non c è alcuna relazione fra X e Y B Y = a+bx con b=1 C X e Y sono perfettamente dipendenti D Y = a+bx con b>0 4. [5] Si consideri la seguente tabella che riporta i prezzi (in Euro) e le quantità di tre beni nel 2000 e nel Bene Prezzo 2000 Quantità 2000 Prezzo 2002 Quantità

4 A B C a. calcolare l indice di Paasche b. Scrivere la formula dell indice di Paasche sia come media ponderata di numeri indici sia come numero indice di medie ponderate. 5. [3] Si consideri il carattere X di cui si conosce solo parzialmente la distribuzione che è la seguente X f i ? ? 0.15 Completare la distribuzione sapendo che la media è 2,6 4

5 Nuovo Ordinamento Esame di Statistica 20 Giugno 2003 Cognome docente: P. Vicard Nome C Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli opportuni passaggi). La prova si ritiene superata se ottenete la sufficienza sia nella parte pratica che in quella teorica Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta non è valida. Le domande in corsivo hanno carattere teorico. 1. [9] E stato chiesto a 5 persone quante volte sono state al mare nell ultimo mese e quante ore in tutto vi hanno trascorso. I dati raccolti sono contenuti nella seguente distribuzione doppia N di volte al mare(x) Ore trascorse (Y) e. Con riferimento alla distribuzione di Y, calcolare la mediana f. Determinare la retta di regressione per esprimere il numero di ore trascorse al mare (Y) in funzione di X. g. Calcolare la retta di regressione di lny rispetto ad X. h. Confrontare la bontà di adattamento delle rette calcolate in a) ed in b). Commentare. 2. [6] Si considerino due caratteri quantitativi X e Y, e si facciano le seguenti trasformazioni lineari: U = a+bx e V = dy, a) dimostrare che σ UV = bdσ XY b) se V ha media 0 e varianza 1, a quanto è pari la media aritmetica di Y? 3. [5] Si consideri il carattere X di cui si conosce solo parzialmente la distribuzione che è la seguente X f i ? ? d) Completare la distribuzione sapendo che la media è 2 e) Dire se, giustificando la risposta, il completamento della distribuzione in modo che la media sia pari a 3.05, si ha A f 2 = 0 e f 4 = 0.7 B f 1 = 0.05 e f 2 = 0.65 C la domanda non è corretta D nessuna delle risposte sopra 5

6 4. [6] Il seguente grafico rappresenta la funzione di ripartizione di una carattere quantitativo continuo F(x) x a) Ricostruire la distribuzione di frequenza del carattere. b) Rappresentare graficamente la mediana c) Calcolare la media aritmetica della distribuzione trovata. 5. [4] Si consideri la seguente serie storica relativa alla variazione dei prezzi della benzina senza piombo in Italia dal 1991 al 1995 Anno i - 1,05 1,04 0, Dire se (giustificando le risposte): a) il numero indice a base fissa del 1992 in base 1994 ( 1994I 1992 ) è pari a: A 1,07 B 0,98 C 0,93 D 1,02 b) il numero indice a base fissa del 1994 in base 1995 ( 1995I 1994 )è pari a: A 1,05 B 0,95 C 1,07 D nessuna delle risposte sopra 6

7 Nuovo Ordinamento Esame di Statistica 20 Giugno 2003 Cognome docente: P. Vicard Nome D Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli opportuni passaggi). La prova si ritiene superata se ottenete la sufficienza sia nella parte pratica che in quella teorica Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta non è valida. Le domande in corsivo hanno carattere teorico. 1.[14] Si consideri la seguente distribuzione doppia di 50 alberghi in base al numero di camere singole (X) e camere doppie e triple (Y) X Y Si consideri la distribuzione degli alberghi in base al numero di stanze doppie e triple d) Calcolare la mediana e i quartili. e) Si costruisca il box-plot e si studi se sono presenti valori anomali e/o estremi. Commentare. f) Qual è la frazione di alberghi con al più 8 camere doppie e triple? Sempre con riferimento alla distribuzione marginale di Y, supponiamo di possedere anche l informazione sul numero di camere relativo ad ogni singola classe ovvero Y Numero camere d) Misurare la concentrazione e commentare i risultati. Con riferimento alla distribuzione doppia e) Calcolare la covarianza tra X e Y. Commentare. 2. [6]Dato un carattere quantitativo X, e) si dimostri che la varianza può essere scritta come media dei quadrati meno quadrato della media 2 2 f) Sia U = 2+3X una trasformazione lineare di X, dimostrare che σ = σ. 3. [6] Si consideri la seguente tabella che riporta i prezzi (in Euro) e le quantità di tre beni nel 2000 e nel Bene Prezzo 2000 Quantità 2000 Prezzo 2002 Quantità 2002 A B C c. calcolare l indice di Laspeyres d. Scrivere anche la formula dell indice di Paasche ed illustrare le differenze tra indice di Paasche e di Laspeyres. U 9 X 7

8 4. [2] Da un indagine sulla sicurezza stradale è emerso che 5000 incidenti sono stati causati da persone tra 66 e 74 anni, 5600 incidenti sono stati causati da persone tra 18 e 22 anni. Cosa possiamo concludere? (giustificare la risposta) A le persone più anziane sono hanno una guida più sicura B Non si può concludere quale dei due gruppi ha la guida più sicura C Dovrei dividere la classe di età degli anziani in due classi di lunghezza 4. D Y = a+bx con b=0 5. [2] Si considerino due caratteri X e Y. Se ρ = 0, allora (giustificare la risposta) A non c è alcuna relazione fra X e Y B c è relazione non lineare tra le variabili C X e Y hanno distribuzione perfettamente simmetrica D la retta di regressione di Y rispetto a X è parallela all asse ascisse 8