METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE

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1 Unone Europea Repubblca Italana Regone Calabra Autortà d Bacno POR Calabra Asse I - Rsorse natural Msura.4 - Azone.4.c "STUDIO E SPERIMENTAZIONE DI METOLOGIE E TECNICHE PER LA MITIGAZIONE DEL RISCHIO IDROGEOLOGICO" LOTTO N. 8 - METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE SOGGETTO COORDINATORE: Unverstà della Calabra Dpartmento d Dfesa del Suolo RESPONSABILE SCIENTIFICO : Prof. Ing. Francesco Macchone Unverstà della Calabra Dpartmento d Dfesa del Suolo LAMPIT (Laboratoro d Modellstca Numerca per la Protezone Idraulca del Terrtoro) f.macchone@uncal.t Unverstà della Calabra Dpartmento d Dfesa del Suolo Sottogruppo A: Sottogruppo D: Propagazone n aree urbane Identfcazone degl ed extraurbane da trattare con drogramm d pena da porre alla base de calcol schematzzazone bdmensonale Responsable: Prof. Pasquale Versace Responsable: Prof. Francesco Macchone Unverstà della Calabra Dpartmento d Panfcazone Terrtorale Sottogruppo F: Rappresentazone cartografca de rsultat Responsable: Prof. Guseppe Artese Unverstà d Pava Dpartmento d Ingegnera Idraulca ed Ambentale Unverstà d Trento CUDAM Centro Unverstaro per la Dfesa Idrogeologca dell'ambente Montano Isttuto Nazonale d Oceanografa e Geofsca Spermentale (OGS) Treste Sottogruppo C: Smulazone degl event con schematzzazon monodmensonal Sottogruppo E: Smulazone degl event caratterzzat da consstent modfche della geometra dell'alveo Sottogruppo B: Allestmento della cartografa Responsable: Prof. Lug Natale Responsable: Prof. Aronne Armann Responsable: Prof. Fabrzo Ferrucc METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE LINEE GUIDA 30 marzo 0

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3 METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE A cura d: LINEE GUIDA Sottogruppo C: Unverstà d Pava - Dpartmento d Ingegnera Idraulca ed Ambentale Responsable : Prof. Lug Natale Sottogruppo D: Unverstà della Calabra - Dpartmento d Dfesa del Suolo Responsable : Prof. Francesco Macchone Sottogruppo E: Unverstà d Trento CUDAM Centro Unverstaro per la Dfesa Idrogeologca dell Ambente Montano Responsable : Prof. Aronne Armann 30 marzo 0

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5 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce INDICE PREFAZIONE IX PARTE I SIMULAZIONE DEGLI EVENTI CON SCHEMATIZZAZIONI MONODIMENSIONALI. Procedure per l ndvduazone del tpo d modello che deve essere applcato n relazone alle equazon d base. Modello monodmensonale. Termn e coeffcent correttv 7.3 Modell semplfcat 8.3. Modello parabolco 8.3. Modello cnematco Moto permanente.3.4 Lmt d applcabltà d cascun modello e esemp d applcazone n cas real.4 Modello bdmensonale.5 Lmt d applcabltà d modell mono e bdmensonal 3. Quadro aggornato sulle pù robuste tecnche d ntegrazone numerca delle equazon D 5. Moto monodmensonale 5. Moto bdmensonale 6.3 Metodo delle caratterstche 7.3. Formulazone caratterstca n una dmensone 9.3. Presenza d dscontnutà.4 Schem numerc d ntegrazone 6.4. Metod numerc alle dfferenza-volum fnt 6.4. Operator dfferenzal Formulazone e classfcazone degl schem alle dfferenze fnte Ordne dello schema alle dfferenze 9.4.5Esstenza, unctà e convergenza della soluzone numerca Consstenza Stabltà 30

6 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce.4.8 Convergenza 3.5 Alcun schem alle dfferenze fnte frequentemente mpegat 3.5.Schem centrat Schema d Lax- Lax-Fredrchs (LF) Schema d Lax Wendroff (LW) Schema d Mc Cormack Vscostà artfcale Correzon TVD Schem upwnd Equazone scalare Schem upwnd del prmo ordne per le equazon vettoral Schema d Roe Metodo d estrapolazone delle varabl tpo MUSCL Wegthed Average Flux (WAV) Schema HLL 49 3.Condzon al contorno 5 3. Introduzone 5 3. Corrente subcrtca Corrente supercrtca Condzon al contorno nterne Immssone d portata laterale Condzon nzal Crter per la corretta scelta delle sezon trasversal da rlevare Crter per l rlevo delle sezon trasversal 55 Appendce A : Specfca tecnca per la redazone d un rlevo 6 5. Stma de coeffcent d resstenza Resstenza d sezone e resstenza d tronco Resstenza al moto negl alve fss Resstenza al moto negl alve a fondo moble Resstenza d attrto Resstenza d forma Resstenza al moto negl alve n ghaa Resstenza al moto negl alve vegetat Resstenza al moto ne canal nerbt Resstenza al moto negl alve boscat Resstenza al moto negl alve a sezone composta 0

7 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce 6. Influenza sulla corrente de pont e d altr restrngment 6. Stma delle perdte d carco 3 6. Calcolo draulco n corrspondenza d un ponte Deflusso a superfce lbera Deflusso n pressone 6 Bblografa PARTE II PROPAGAZIONE IN AREE URBANE ED EXTRAURBANE DA TRATTARE CON SCHEMATIZZAZIONI BIDIMENSIONALI. Modell matematc d fenomen d moto varo n corp drc natural 5. Aspett prncpal delle equazon bdmensonal del moto varo n canal a pelo lbero 5. Equazon delle acque basse 6.3 Forma non conservatva delle equazon bdmensonal 8. Metod d ntegrazone numerca 3. Cenn sulla dscretzzazone spazale e temporale de metod numerc 3. Propretà de metod numerc 33.. Consstenza 33.. Stabltà Convergenza Dffusone e dspersone numerca 34.3 Formulazone del metodo a volum fnt Suddvsone del domno e defnzon del volume d controllo Determnazone de fluss numerc Schem numerc d ntegrazone delle equazon bdmensonal del moto varo 4 3. Formulazone del metodo a volum fnt applcato alle shallow water equatons 4 3. Determnazone de fluss d propagazone Schem upwnd al prmo ordne Schema HLL Schema HLLC Schema d Roe Schem upwnd al secondo ordne Accuratezza al secondo ordne nello spazo Accuratezza al secondo ordne nel tempo Schem a dscretzzazone centrale 5

8 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce 3.5. Schema d MacCormack Oscllazon numerche e tecnche d smorzamento tradzonal Lmtatore d Jameson Tecnca TVD Trattazone del termne sorgente Il termne sorgente nelle equazon D del moto varo Trattazone della pendenza del fondo Trattazone d tpo centrale della pendenza del fondo Tecnca d Nujc Tecnca upwnd d dscretzzazone della pendenza del fondo Applcazon a cas con geometra del fondo complessa Termn d resstenza al moto Dscretzzazone del termne d resstenza al moto e problem numerc 65 Bblografa Captol Crter per la generazone d DEM per modell d propagazone draulca D Cenn sulla fonte de dat per la generazone d un DEM Tecnche d costruzone del DEM Esemp d nterpolazone Valutazone della qualtà d un DEM per scop draulc Generazone d artefatt e concetto d DEM drologcamente corretto Effett della qualtà d un DEM sulla permetrazone delle aree nondabl Crter per la generazone del domno d calcolo Dscretzzazone spazale medante grgle strutturate Dscretzzazone spazale medante grgle non strutturate Indcazon sull'nfluenza della dmensone della cella d calcolo su rsultat de de calcol draulc 87 Appendce Condzon nzal e al contorno 9 7. Condzon nzal 9 7. Condzon al contorno Condzon al contorno d tpo fsco Corrente lenta Corrente veloce Condzon al contorno d tpo numerco 94 Appendce - Calcolo delle condzon al contorno medante nvarant d Remann 94 v

9 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce Appendce - Calcolo delle condzon al contorno medante Ghost Cells Interferenza tra la corrente e gl edfc: crter per la messa n conto d edfc solat Relazone tra dettaglo topografco e dettaglo fsco-matematco del modello Tecnche d smulazone degl allagament n aree urbane Rappresentazone degl edfc come contorn Rappresentazone degl edfc medante brusch nnalzament delle quote del fondo Valdazone delle tecnche numerche 09 Bblografa d rfermento 09 Appendce Propagazone d una pena n presenza d un edfco solato 9. Interferenza tra la corrente e gl edfc: crter per trattare cas d tessut urban con le tecnche pù recent compatbl con le potenze d calcolo standard 5 9. Tecnche d smulazone degl allagament n presenza d tessuto urbano Rappresentazone ndretta degl edfc medante ncremento del coeffcente d scabrezza Rappresentazone ndretta degl edfc medante nsermento d coeffcent d porostà all nterno delle equazon del moto varo 8 9. Valdazone delle tecnche numerche Applcazone del modello alla rcostruzone dell allagamento d Crotone del 4 ottobre Dscretzzazone del domno d calcolo e condzon al contorno Anals de rsultat 0 Rferment Bblografc 6 Appendce Propagazone d una pena n presenza d un gruppo d edfc 8 0. Ambto d applcabltà d eventual approcc semplfcat, con partcolare rfermento alle schematzzazon quas-bdmensonal Descrzone d un modello quas bdmensonale Applcazone del modello ad un caso a topografa complessa Rappresentazone topologca dell area e condzon al contorno Smulazone numerca Anals de rsultat 43 Rferment Bblografc 50 v

10 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce PARTE III SIMULAZIONE DEGLI EVENTI CARATTERIZZATI DA CONSISTENTI MODIFICHE DELLA GEOMETRIA DELL'ALVEO Premessa 53. Fenomen d evoluzone morfologca n una fumara calabra 55. Introduzone 55. Classfcazone generale de modell utlzzat n letteratura per la dnamca de cors d acqua 56.3 Modell che possono essere mpegat nelle stuazon tpche delle fumare calabre 57. Modell a fondo moble con trasporto soldo ordnaro 59. Ambto d applcabltà della classe d modell 59. Scelta dello strumento d modellazone 60.3 Le equazon dfferenzal alla base de modell 6.3. Equazon d accoppamento acqua-sedment 6.3. Rsoluzone del sstema d equazon dfferenzal Condzon al contorno Modell D a fondo moble Modell D a fondo moble 67.4 L applcazone delle equazon dfferenzal a modell Utlzzo della forma conservatva e forma non conservatva Applcazone dell equazone d conservazone della massa Grado d accoppamento delle equazon 69.5 L applcazone dello strumento d modellazone a cas d studo 69.6 Requst numerc degl strument d calcolo Indvduazone delle equazon utlzzate Accuratezza del metodo Stabltà del metodo 7.7 Trattamento d zone a fondo fsso n modell a fondo moble 7.8 Modell semplfcat 7.8. Modell a moto unforme con trasporto soldo ordnaro 7.8. Modell a moto permanente con trasporto soldo ordnaro Modell a moto varo semplfcat per trasporto soldo ordnaro 73.9 Modell adattatv Modell D a fondo moble con adattamento Modell D a fondo moble con adattamento 74 v

11 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce 3. Stuazon che possono generare movmentazone del materale n alveo Il trasporto de sedment n alveo Deposto n alveo de movment franos Colate d fango e d detrt Presenza d scav e depost localzzat I modell per le colate rapde d detrt e d fango Introduzone a modell per le colate Le equazon dfferenzal alla base de modell Modell D per colate d detrt e d fango Modell D per colate d detrt e d fango Modell adattatv per le colate Modell semplfcat (monofase) 8 5. Dat da acqusre e stma de parametr Caratterzzazone geometrca della zona d studo Granulometra de sedment Curva granulometrca e dametro caratterstco delle partcelle Interazon tra dverse class granulometrche La resstenza ne modell a fondo moble La resstenza negl alve La resstenza d grano La resstenza d forma La resstenza della vegetazone La resstenza ne modell Modell monodmensonal Modell bdmensonal 9 7. Fenomen d scavo localzzato Restrngment d sezone Formule emprche per la determnazone dello scavo massmo Presenza d ple d ponte Effett dovut alla forma della pla Influenza del parametro d mobltà della corrente Influenza del numero d Froude Influenza della profondtà della corrente Influenza della granulometra Ple su due o pù fle 30 v

12 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Indce 7.3 Presenza d edfc Dscontnutà del fondo Presenza d curve Confluenza e sormonto degl argn Confluenze ne modell monodmensonal Confluenze ne modell bdmensonal Sormonto degl argn Procedura d rfermento per l anals del rscho draulco 307 v

13 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Prefazone PREFAZIONE Il presente volume contene rsultat del lavoro metodologco che ha mpegnato sottogrupp dedcat alla modellstca numerca all nterno del Progetto POR Calabra Asse, Msura.4, Azone.4.c, Studo e spermentazone d metodologe e tecnche per la mtgazone del rscho drogeologco Lotto 8 Metodologe d ndvduazone delle aree soggette a rscho draulco d esondazone. Tal rsultat consstono nella redazone delle Lnee Guda sulla modellstca draulca. Pertanto l volume è suddvso n tre part, cascuna delle qual tratta una delle tre tpologe d modell prevste nel Progetto: Parte I: Smulazone con modell matematc della propagazone delle pene n stuazon trattabl con schematzzazon monodmensonal. Parte II: Smulazone con modell matematc della propagazone n aree urbane ed extraurbane da trattare con schematzzazon bdmensonal. Parte III: Smulazone con modell matematc degl event caratterzzat da consstent modfche della geometra dell alveo. La prma parte è frutto del lavoro del Sottogruppo C dell Unverstà d Pava sotto la responsabltà scentfca del prof. Lug Natale. La seconda parte è stata redatta dal Sottogruppo D del Dpartmento d Dfesa del Suolo dell Unverstà della Calabra, sotto la responsabltà scentfca dello scrvente. La terza parte è stata redatta dal Sottogruppo E dell Unverstà d Trento, d cu è Responsable Scentfco l prof. Aronne Armann. Per dare qu un dea del lavoro complessvo computo nel Progetto all nterno del quale s colloca l presente volume, val la pena rcordare che crter contenut n queste Lnee Guda sono stat applcat a tre cas d studo che vanno a coprre le tre stuazon tpche scelte tra le stuazon tpche n cu l tecnco s può trovare nel trattare la realtà terrtorale calabrese. In partcolare s è studato un lungo tratto del fume Crat, a partre dalla cttà d Cosenza per una lunghezza d crca 5 km. Cò ha dato modo d consderare una consstente parte vallva del prncpale corso d acqua calabrese nonchè una stuazone urbana tra le pù mportant della regone. S è analzzato noltre l fume Corace, dalla stazone d Grasco fno alla foce. Esso è rappresentatvo del comportamento de bacn medo-pccol della Regone, caratterzzat da drogramm d pena partcolarmente mpulsv. La parte termnale del Corace nterfersce, prma della foce, con la strada e la ferrova e consente così d trattare le tpche stuazon present nelle zone costere. Esso noltre nterfersce con gl abtat d Catanzaro Ldo e d Roccelletta. Infne s è trattato un caso tpco del comportamento a fumara, caratterzzato spesso da grand varazon morfologche. A tal fne s è preso n esame l tratto termnale della fumara Valand, che spesso nel passato s è segnalata nelle cronache degl event alluvonal e, nonostante cò, è stata nteressata nel corso degl ann da un crescente numero d nsedament abtatv con conseguente notevole ncremento degl element a rscho. L acquszone della cartografa è stata eseguta all nterno d questo Progetto con rlev ad hoc esegut da aereo con tecnca LIDAR dal sottogruppo C costtuto dall Isttuto Nazonale d Oceanografa e d Geofsca Spermentale (OGS) d Treste, sotto la responsabltà scentfca del x

14 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Prefazone Prof. Fabrzo Ferrucc. Gl drogramm d pena post a base de calcol draulc sono stat l esto dello studo drologco eseguto dal sottogruppo A, sotto la responsabltà scentfca del Prof. Pasquale Versace, e documentato n un volume a parte. La rlevazone topografca da terra de manufatt nterferent con l alveo è stata curata dall Ing. Guseppe Artese, che ha collaborato anche alla resttuzone cartografca de rsultat de calcol draulc. A partre dallo studo de tre cas sopra descrtt sono state redatte le Applcazon delle Lnee Guda. Esse, nseme alle present Lnee Guda e a tutto l enorme corredo cartografco scaturto dal presente Progetto, ntendono fornre alla Regone Calabra e a tecnc del settore, un punto d rfermento per l espletamento degl stud fnalzzat alla redazone delle mappe d percolostà d nondazone nell ambto della normatva vgente sulla valutazone e gestone de rsch d alluvone. Unverstà della Calabra, marzo 0 Il Responsable Scentfco del Progetto Prof. Francesco Macchone x

15 PARTE I SIMULAZIONE DEGLI EVENTI CON SCHEMATIZZAZIONI MONODIMENSIONALI A cura d: Sottogruppo C: Unverstà d Pava - Dpartmento d Ingegnera Idraulca ed Ambentale Responsable : Prof. Lug Natale Component: Prof. Maro Fugazza Ing. Gabrella Petacca

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17 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO Procedure per l ndvduazone del tpo d modello che deve essere applcato n relazone alle equazon d base. Modello monodmensonale I modell matematc della propagazone delle onde d pena s propongono d defnre n ogn stante la portata e le altezze d acqua del fume n cu ha luogo l evento d pena. Molto spesso lo scopo del fenomeno non è quello d rcostrure ne partcolar l ntero fenomeno, ma solo d rprodurne le caratterstche pù mportant a fn delle applcazon pratche, come la veloctà d propagazone delle onde d pena e la rduzone del colmo. I modell della propagazone delle pene s possono classfcare n due grupp: modell concettual, ottenut attraverso una schematzzazone del fenomeno che tene conto delle legg che lo governano, e modell emprc, ottenut per mezzo d una schematzzazone a scatola chusa. Nella corrente prass tecnco-scentfca l moto varo d una corrente a superfce lbera che s propaga n alve natural ovvero n pane nondabl è descrtto medante le equazon delle acque basse (SWE)) mono e bdmensonal. Lo stesso modello matematco vene utlzzato per studare la propagazone d un onda d sommersone provocata dall mprovvso cedmento d uno sbarramento d rtenuta. In questo captolo vene descrtto l modello matematco delle SWE; per maggor charezza verrà prma presentata la trattazone monodmensonale e successvamente quella bdmensonale. Le SWE costtuscono un sstema d equazon dfferenzal alle dervate parzal che possono essere rcavate con le seguent potes, enuncate da De St Venant (Cunge et al, 980): la dstrbuzone della veloctà n una sezone trasversale ortogonale alla drezone del moto è rappresentable n termn d veloctà meda e l lvello d acqua nella sezone è orzzontale (flusso monodmensonale);

18 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I la curvatura delle lnee d flusso è pccola e le accelerazon vertcal sono trascurabl, qund la dstrbuzone della pressone è drostatca (corrente gradualmente varata); gl effett della resstenza del contorno e della turbolenza possono essere mess n conto con legg d resstenza analoghe a quelle mpegate per moto stazonaro; la pendenza d fondo alveo è pccola; fludo è monofase a denstà costante. L alveo può non essere prsmatco, ossa le sezon trasversal possono varare lungo la lnea d asse, ma le varazon debbono essere congruent con l potes d corrente gradualmente varata. Lo stato della corrente è descrtto con due varabl dpendent: tpcamente l area bagnata A e la portata Q, che sono funzone delle varabl ndpendent: spazo - coordnata corrente lungo la lnea d asse del corso d acqua- e tempo (x e t). Il moto della corrente può essere descrtto con tre legg fsche d blanco d: massa e quanttà d moto o energa. Sono pertanto possbl due rappresentazon matematche: conservazone della massa e della quanttà d moto, conservazone della massa e dell energa. Se le varabl sono contnue le due rappresentazon sono del tutto equvalent. Attraverso dscontnutà della corrente, ad esempo un rsalto draulco ovvero un onda a fronte rpdo che s propaga su un preesstente trante drco, l energa non s conserva, e pertanto solo la prma formulazone è corretta (Abbot, 979). Per questa ragone l modello matematco comunemente utlzzato è basato sul blanco della massa e della quanttà d moto nel volume d controllo consderato. Consderamo un volume d controllo delmtato da due sezon x e x (Fg..), e studamone la varazone tra due stant d tempo t e t. La dfferenza tra la massa entrante e uscente dal volume d controllo attraverso contorn: t [( ρ u A) x ( ρ u A) ] dt x (.) t deve essere uguale alla varazone d volume durante l ntervallo d tempo consderato: x x [( ρ A) ( A) ] dx t ρ t (.) dove ρ è la denstà dell acqua, u la veloctà meda della corrente. Il blanco d massa d un fludo a denstà costante può essere scrtto, n forma ntegrale: x t [( A) ( A) ] dx ( Q) ( Q) t = 0 t dt x [ x ] x t (.3) dove Q = u A è la portata.

19 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I La conservazone della quanttà d moto rchede che la varazone d quanttà d moto nel volume d controllo sa par alla somma della quanttà d moto entrante/uscente attraverso lo stesso e delle forze esterne che agscono sul volume nello stesso ntervallo d tempo. Fgura. Volume d controllo - sezone longtudnale Il flusso netto d quanttà d moto nel volume d controllo è: ( u A) x ( ρ u A) x ρ (.4) e qund la dfferenza tra le quanttà d moto entrant/uscent: [( ρ u A) ( ρ u A) ] dt t x x (.5) t La varazone d quanttà d moto nell ntervallo d tempo consderato vale: x x [( u A) ( ρ u A) ] dx ρ t t (.6) Le forze esterne che agscono sul volume d controllo sono rspettvamente: la dfferenza d spnta drostatca, la forza d gravtà e la resstenza del contorno. La spnta drostatca è data ' '' dalla dfferenza tra le spnte F e F eserctate sulle facce del volume d controllo (Fg..) p p 3

20 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I F h ( x) ' p = g ρ [ h( x) η] b( x, η) dη (.7) o dove η è la varable d ntegrazone lungo l asse Z, h(x,t) la profondtà dell acqua e b(x,h) la larghezza della sezone. Allora l ntegrale nel tempo spnta drostatca è dato dalla: t t F t t ' '' ( F F ) dt = g [( ρ I ) ( ρ I ) ] dt dt = x x p p p t t (.8) dove con I s è ndcato l momento statco della sezone bagnata rspetto alla superfce lbera h( x) ( h η ) b( x η) dη (.9) I =, 0 La rsultante delle spnte drostatche sulla superfce laterale del canale e qund alla varazone d area bagnata è data dall ntegrale lungo l volume d controllo tra gl stant d tempo t e t La rsultante delle spnte drostatche sulla superfce laterale del canale e qund alla varazone d area bagnata è data dall ntegrale lungo l volume d controllo tra gl stant d tempo t e t t t x x F p t dt = g ρ I t x x dx dt (.0) dove l ntegrale I tene conto della dfferenza d spnta sul contorno: I = h( x) 0 ( h ) b η dη (.) x h= h0 dove con h 0 s è ndcato un fssato trante drco. La forza dovuta alla forza d gravtà vene valutata assumendo che la pendenza del letto del corso d acqua sa pccola, e che sa possble sostture a senα la pendenza d fondo S 0 = tanα (Fg..): t t F g dt t t x = x ρ g A S 0 dx dt (.) 4

21 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura. (b) sezone trasversale (c) spnta drostatca In manera analoga può essere espressa la resstenza del contorno n funzone della cadente della lnea de carch total S f t t x x t F f dt = g ρ g A S f t x x dx dt (.3) In conclusone la conservazone della quanttà d moto può essere espressa nella forma: 5

22 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I [ ] x t [( ua) t ( ua) t ] dx = ( u A) x ( u A) x g dt t t x t x [( I ) x ( I ) x ] dt g ρ I dx dt g A( S0 S f ) t t t x x t x dx dt (.4) Le equazon (.3) e (.4) costtuscono la forma ntegrale delle equazon del moto varo d una corrente monodmensonale a superfce lbera. E mportante sottolneare che queste relazon ntegral sono state rcavate senza mporre la contnutà delle varabl A e Q. A partre dalle relazon ntegral, possono essere rcavate relazon dfferenzal potzzando che le varabl dpendent sano contnue. Effettuando uno svluppo n sere d Taylor e trascurando gl nfntesm d ordne superore s ottene: A t ( A) = ( A) t.. ( A) ( A) t Q x A t t Q x x A = t t Q x ( Q) = ( Q) x.. ( Q) ( Q) = x x t x t x t x (.5) A ttolo d esempo, l equazone d contnutà dventa: xt x t A dt dx t xt x t Q dx dt = 0 x (.6) S ottengono allora le equazon dfferenzal usualmente denomnate equazon delle acque basse o nella letteratura anglosassone shallow water equaton (SWE) Equazone d contnutà A Q = 0 t x (.7) Equazone d conservazone della quanttà d moto Q Q t x A gi = ga S ( 0 S f ) gi (.8) Le equazon (.7) e (.8) sono scrtte n forma conservatva o dvergente. Se l secondo membro delle equazon è zero, queste equazon rappresentano la conservazone delle funzon massa e quanttà d moto n ogn lnea chusa del pano cnematco (x,t), n caso contraro l secondo membro rappresenta l termne sorgente 6

23 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I. Termn e coeffcent correttv La presenza d un apporto o d una rduzone d portata dstrbuta lungo la coordnata x, s pens a esondazon lateral per sormonto delle sommtà argnal, verrà tenuta n conto ntroducendo un termne ulterore nell equazone d contnutà. A Q = q t x (.9) Nel caso d esondazone q è negatva e vene calcolata assmlando le sommtà spondal/argnal, poste a quota Z a, ad uno stramazzo caratterzzato da coeffcente d efflusso µ e d lunghezza L.5 ( Z Z ) L q = µ g (.0) a Poché la veloctà vara nella sezone trasversale deve essere ntrodotto l coeffcente d ragguaglo della quanttà d moto d Boussnesq: Q t Q β x A y ga x gas f = 0 (.) dove y è la quota della superfce lbera della corrente e h u ( η) b( η) dη 0 β = (.) u A Nel caso d sezon composte d area A l termne (.) vene dscretzzato utlzzando l equazone d Chézy secondo la (Ven Te Chow 98): m 4 3 A K A R = β = (.3) K dove con m s è ndcato l numero d part n cu è dvsa la sezone, cascuna avente area A, trante h, larghezza b e con coeffcente d resstenza al moto espresso secondo Strckler K. Tutt quest termn correttv sono stat svluppat nel modello monodmensonale per le possbl applcazon a cas d esondazone e/o d mmssone d portata all nterno del tratto d alveo consderato. 7

24 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I.3 Modell semplfcat In molte stuazon real è possble utlzzare scrtture semplfcate delle formulazon semplfcate delle equazon del moto varo. Se s scrvono le equazon (.7) e (.8) per un canale prsmatco s ottene l sstema d equazon orgnaramente presentato nel 87 da Barré de Sant Venant: y t b ( ua ) = 0 x (.4) u u u y S f = 0 g t g x x (.5) dove s è ndcato con y la quota d pelo lbero, t l tempo, b la larghezza n sommtà della sezone bagnata, u la veloctà meda della corrente, A l area della sezone bagnata, g l accelerazone d gravtà, x la drezone longtudnale, S f la cadente della lnea de carch total. E noto che termn dell equazone (.5) hanno mportanza relatva n stuazon d moto dverse. Ad esempo supponamo che n 3 ore la veloctà della corrente var rapdamente da m/s a m/s, e che, n un tronco d 0 km la veloctà pass da.5 m/s a m/s a causa d un allargamento. I prm due termn dell equazone (.5) sono dell ordne d 0 5. Un valore congruente della pendenza d fondo d un grande corso d acqua è dell ordne d 0 3, stesso ordne d grandezza della resstenza al moto. Se s è allora nteressat allo svluppo globale della pena, termn legat all accelerazone possono essere trascurat ne cors d acqua acclv. Quando la varazone dh/dx è pccola confrontata alla pendenza d fondo, allora può essere trascurata e l equazone s rduce all uguaglanza S f =S Modello parabolco Trascurando prm due termn dell equazone (.5) s ottene la scrttura del modello parabolco descrtto dalle equazon : y t b ( ua ) = 0 x (.6a) y x S f h x z b x Q Q K = 0 (.6b) dove K(h) è l fattore d convettanza. Supponendo b costante e dfferenzando l equazone (.6a) rspetto a x e l equazone (.6b) rspetto a t s ottene: 8

25 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 9 0 = x Q b t x h (.7) 0 3 = t k K Q Q t Q K Q t x h (.8) svluppando la dervata della convettanza e sosttuendo dh/dt dall equazone (.4) s ottene: = = x Q b dh dk t h dh dk t K (.9) Elmnando t x h dalle equazon (.7) e (.8) s ottene: x Q b t x h = (.30) t K K Q Q t Q K Q t x h = 3 (.3) da cu t K K Q Q t Q K Q x Q b = 3 (.3) sosttuendo la (.9) nella (.3) s ottene 0 3 = x Q dh dk bk Q Q t Q K Q x Q b (.33) che può essere rscrtta nella forma: 0 = x Q Q b K x Q dh dk bk Q t Q (.34) Introducendo coeffcent D e C funzon d Q ed h s ottene: t Q x Q C x Q D = (.35) essendo:

26 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I C Q = bk dk dh D = K Q b (.35b) S consder un osservatore che s sposta lungo l corso d acqua con una veloctà dx uguale dt a C, partendo da una sezone vcna a quella n cu s osserva l massmo della portata nello spazo, n cu dunque la dervata Q = 0 x Q x la dervata seconda Dalla (.35) s ottene che Q D x Q x è negatva. s annulla. Nell ntorno della sezone n cu Q = t rcavando mmedatamente che l osservatore vede una dmnuzone della portata. E del tutto ragonevole attenders anche che la sezone n cu s osserva l colmo d pena, coè l massmo della portata nel tempo e qund dove s annulla Q Q = 0 la dervata t, s troverà nell ntorno della sezone n cu x. L osservatore che scende l corso d acqua con veloctà uguale a C deve osservare una dmnuzone del colmo d pena. L onda d pena s appattsce scendendo verso valle. La capactà d rappresentare anche teorcamente l fenomeno della lamnazone è una caratterstca del modello parabolco. Questa semplfcazone rappresenta un buon modello d propagazone delle pene quando termn nerzal possono essere consderat trascurabl. E n grado d rappresentare l fenomeno del rgurgto dovuto ad affluent, opere a fume, n quanto rchede l utlzzo d due condzon al contorno, una d monte e una d valle, come per una qualsas equazone d dffusone. Questa caratterstca rsulta partcolarmente mportante n quanto ulteror semplfcazon non permettono pù la possbltà d rsentre dell effetto d una qualsas condzone da valle. Per rsolvere l sstema d equazon è necessaro, oltre ad assegnare le due condzon al contorno, dare le condzon nzal. Una volta rsolta l equazone n Q(x,t) (.35) con la (.4) è possble determnare lvell h( x,t).3. Modello cnematco In cors d acqua partcolarmente acclv e senza effett d rgurgto è possble trascurare anche l termne dh/dx, essendo pccolo rspetto al termne S 0. L equazone (.6) s rduce alla z Q Q Q Q b = S0 = 0 Q = K ( h ) S x K K 0 (.36) Questa equazone mplca che Q=Q(A) e A=A(Q) coè che c sa una reazone bunvoca tra l area bagnata e la portata per ogn sezone d calcolo. L equazone (.4) può allora essere rscrtta come 0

27 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Q t dq da Q = 0 x x (.37) 0 che s dce equazone dell onda cnematca. la celertà (dq/da) rappresenta la veloctà con cu s propagano verso valle valor della portata Q. Qualsas sa la formula d resstenza al moto usata valor d portata s propagano a valle con una celertà proporzonale alla veloctà meda corrspondente; quell pù alt scendono a valle pù velocemente d quell meno alt. L onda d pena n una sezone d valle s presenta qund deformata rspetto a quella osservata a monte, l colmo s sposta n avant rspetto alla base e l ntera onda s rrgdsce. Non s ha n alcun caso un effetto d lamnazone. Nella realtà l effetto d lamnazone s ha sempre. Se s voglono rprodurre stuazon real è necessaro approssmare l modello cnematco (rsoluble solo numercamente) con schematzzazon numerche che, con opportun artfc, permettano d smulare anche l fenomeno d lamnazone. L potes che la pendenza d fondo e la perdta specfca d energa s possano confondere l una con l altra è naturalmente tanto pù vcna alla realtà quanto pù vcno al moto unforme è l moto dell acqua. Il modello è allora tanto pù accettable quanto meno varabl sono la pendenza del fondo e la sezone dell alveo. Per rsolvere l modello cnematco è suffcente conoscere la sola condzone al contorno d monte, generalmente la portata. La condzone al contorno d valle è ga automatcamente conoscuta essendo la relazone tra altezza d acqua e portata conoscuta n ogn sezone..3.3 Moto permanente Assumendo le varabl A e Q costant nel tempo le equazon (.4) e (.5) dventano Q = cost (.38) x Q A gi = ga S ( 0 S f ) gi (.39).3.4 Lmt d applcabltà d cascun modello e esemp d applcazone n cas real Nelle applcazon pratche s usano smulazon n moto unforme quando s è nteressat a valutazon spedtve. L alveo s rduce ad un tronco rettlneo, per l quale s calcola una pendenza meda, e s consderano sezon d calcolo ad nterasse medo d m per un

28 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I tronco d alveo d lunghezza nferore al chlometro. Non s consderano le eventual opere d arte present nell alveo. Se s è nteressat ad un maggor dettaglo s passa a smulazon n moto permanente o n moto varo. La scelta dpende prncpalmente dal grado d dettaglo dell nformazone drologca a dsposzone. Se s hanno nformazon che vengono da un calcolo statstco d portate al colmo è bene utlzzare smulazon n moto permanente, nel caso n cu c sa uno scenaro draulco/drologco ben defnto è possble esegure smulazon n moto varo. Le smulazon n moto permanente possono essere esegute a carattere generale su tronch d alveo suffcentemente lungh, ovvero a carattere locale nel caso d presenza d ostruzon local o d manufatt. Possono noltre essere esegute nel caso n cu c sano fatt draulc local troppo complcat per essere trattat da algortm d moto varo, per esempo al passaggo del colmo d pena nella sezone d un opera a fume. Nel calcolo n moto varo pont devono essere smulat adattando la geometra n modo tale da rcostrure n corrspondenza del manufatto la scala d deflusso n moto permanente. Ne cas d sormonto dell mpalcato o n cas d partcolare mpegno è necessara la smulazone locale n moto permanente utlzzando come condzon al contorno d monte e d valle quelle d moto varo n tronch dell ordne d qualche centnao d metr. E mportante notare che la dfferenza nella scrttura delle equazon n moto permanente e n moto varo è l termne d nerza locale che, su tronch d alveo suffcentemente cort, può consderars trascurable..4 Modello bdmensonale Le equazon (.7) e (.8) rappresentano le legg d conservazone d massa e quanttà d moto per una corrente monodmensonale a superfce lbera, dove le varabl Q ed A sono legate alle varabl ndpendent x e t. Nell estensone al caso bdmensonale dovrà essere ntrodotta una ulterore varable ndpendente, ossa la coordnata y (ved fg.3) z q x x y q y Fgura.3-Volume fnto nello spazo x-y-t

29 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 3 Nell equazone d contnutà s deve consderare anche l flusso n drezone y e qund s ha: = 0 y q x q t h y x (.40) dove con q x e q y s sono ndcate le portate untare. Anche la quanttà d moto deve essere conservata lungo le drezon x ed y separatamente. Nella stuazone monodmensonale s era consderato che la quanttà d moto lungo la drezone x potesse entrare solo dalla facca x. In due dmenson la quanttà d moto n drezone x può essere trasportata anche lungo la facca y. Allora la quanttà d moto che entra nell elemento d volume che s sta consderando può essere vsta come somma de due contrbut d quanttà d moto dovut alle due component della veloctà lungo x(u) e lungo y (v) h q x h q x x h q q y h q q y x y x. (.4) La conservazone della quanttà d moto n drezone x dventa allora: ( ) fx x y x x x S S gh x h g h q q y x h q t q = 0 (.4) dove la pendenza del fondo è consderata lungo la drezone x. La corrspondente equazone nella drezone y è analogamente: ( ) fy y y y x y S S gh y h g y h q h q q x t q = 0 (.43) Le equazon (.4) e (.43) nseme alla (.40) descrvono l moto d una corrente bdmensonale a superfce lbera. Sono comunemente utlzzate per descrvere l deflusso d una corrente e s basano sulle stesse potes espresse nel paragrafo...5 Lmt d applcabltà d modell mono e bdmensonal Nella smulazone d fenomen d esondazone s devono dstnguere le stuazon n cu le aree nondate sono:

30 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I - modeste: l fenomeno è smulato come un nvaso statco; - molto rlevant ma smulabl con modello mono dmensonale: la smulazone è fatta utlzzando una rete d canal che prevedono l efflusso e l rentro n alveo della corrente esondata; - molto rlevant e con stretta nterazone tra deflusso n alveo e fuor alveo: l area è segnalata per lo studo con modello bdmensonale. E possble fare una prma smulazone semplfcata consderando un modello semplfcato a ret d nvas e d canal per valutare l enttà del fenomeno. Nel caso d suffcente congruenza de modell mono e bdmensonale l modello D dell esondazone può essere utlzzato nella smulazone della propagazone n alveo; nel caso n cu non c fosse congruenza tra due modell quello semplfcato può essere adottato su una geometra vrtuale che permetta la rproduzone de rsultat del modello D; In lnea del tutto generale, essendo le smulazon D meno onerose dal punto d vsta computazonale, possono essere esegute per tronch d alveo lungh molte decne d km. Il requsto necessaro è che l moto sa confnato prncpalmente nell alveo, o nel caso d esondazone, che la sua enttà sa modesta. Le smulazon D possono essere effettuat da tecnc addestrat e soprattutto possono essere fatte n tempo reale. Per quanto rguarda le smulazon D, smulazon d cas d studo n aree dell estensone dell ordne d decne d km con DEM ftt (magla dell ordne d 0 m, nod) rchedono temp d elaborazone dell ordne della settmana-0 gorn su un personal computer con processore da 3.6 GHZ. Inoltre DEM dell ordne d 0 m debbono comunque essere adattat n quanto non sono n grado d caratterzzare computamene rlevat argnal. Questa operazone può rchedere 0-30 gorn d lavoro d un tecnco addestrato. Concludendo le smulazon D debbono essere effettuate da specalst e, dat temp d calcolo molto oneros, non possono essere effettuate n tempo reale. 4

31 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO QUADRO AGGIORNATO SULLE PIÙ ROBUSTE TECNICHE DI INTEGRAZIONE NUMERICA DELLE EQUAZIONI D Le equazon del moto e d contnutà llustrate nel captolo precedente costtuscono un sstema d equazon dfferenzal alle dervate parzal d tpo perbolco. Questo captolo dedca partcolare attenzone al metodo delle caratterstche che permette d trasformare le equazon dfferenzal alle dervate parzal (PDE) n equazon dfferenzal ordnare (ODE), che vengono po rsolte numercamente come verrà esposto successvamente.. Moto monodmensonale Il sstema costtuto dalla equazon (.7) e (.8) può essere rscrtto n forma vettorale (Alcrudo e Garca Navarro 99, Cunge et al 980) come : dove U F = S t x (.) A Q U = F = Q Q gi 0 ( ) = A ga S0 S f gi (.) 5

32 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Introducendo la matrce jacobana A funzone del flusso F come dventa A = F, l equazone (.) U U t U A x = S (.3) Se A non dpende da U la (.3) rappresenta un sstema lneare. Il sstema (.) s dce perbolco se, e solo se, sono soddsfatte le due condzon per cascun punto del domno (Hrsch 99): Gl autovalor a k (k=, ) d A, defnt come radc dell equazone caratterstca A λi = 0, sono real. è possble trovare una matrce non sngolare P tale che P A P è una matrce dagonale con autovalor a k come element dagonal; A allora può essere dagonalzzata con una trasformazone d smltudne. Tutte le rghe (le colonne) d P ( P ) costtuscono un sstema completo d autovettor snstr (destr). Per un sstema quas lneare a k è funzone d (t, x, U). Se l sstema è lneare a e U sono ndpendent. Nel pano x-t le curve dentfcate dall equazone dfferenzale dx = a sono k dt dette curve caratterstche. Se tutt gl autovalor sono real e dstnt c saranno due caratterstche dverse che passano per cascun punto del domno d rfermento. Il sstema s dce allora strettamente perbolco.. Moto bdmensonale In un domno semplcemente connesso nello spazo d defnzone (t, x, y, U) l sstema d equazon del flusso può essere espresso n forma matrcale dalla: U t F G = S x y (.4) qx h qx doveu = qx gh F = h q q q y x h y q y qx q = h q y gh h 0 S = gh S0 x S fx gh( S ) 0 y S fy y G ( ) 6

33 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Introducendo le matrc jacobane A x e A y n funzone de vettor flusso F e G come = F A x e A = G y, l sstema d equazon (.4) dventa: U U U t U U A x A y = S (.5) x y che rsulta perbolco se, e solo se, sono soddsfatte le seguent condzon: - tutt gl autovalor della matrce sono real per qualsas coppa d valor real α ed α tal che α α che rappresentano cosen drettor d una qualsas lnea d = propagazone nel pano x-y. Ess valgono: a = u α vα ; a,3 = a ± gh - esste un sstema completo d 3 autovettor ortogonal normalzzat ndpendent..3 Metodo delle caratterstche Qualsas perturbazone orgnatas n una certa sezone d un corso d acqua può propagars sa verso valle che verso monte. Nel pano cnematco x-t, (Fg..a) una perturbazone orgnatas nel punto Q, nteressa la regone tratteggata delmtata dalle due curve C e C, che rappresentano le traettore della perturbazone. Per contro, lo stato del sstema n un generco punto P dpende dalle varabl nella regone tratteggata. (Fg..b) Se la perturbazone forma onde n acque basse d pccola ampezza, le lnee che determnano confn d questa regone sono chamate caratterstche. La perturbazone è determnata da dscontnutà delle dervate prme e d ordne successvo delle varabl dpendent e de termn d sorgente. h u Le dscontnutà della pendenza della superfce lbera o del gradente d veloctà s x x propagano lungo le caratterstche con una celertà uguale a quella delle onde delle acque basse, coè: dx dt = u ± g A b dove b( h) A =. (.6) h 7

34 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura.- Propagazone della perturbazone -(a)zona d dsturbo del punto Q;(b)zona d nfluenza del punto P In funzone della drezone delle lnee caratterstche, s dstnguono tre regm d corrente: A - Corrente subcrtca: la celertà g è pù grande del valore assoluto della veloctà b u, le pendenze delle caratterstche, rcavabl dalla (.6), hanno segno opposto e qund la soluzone nel punto P dpende dallo stato del sstema a monte e a valle (Fg..a). - Corrente crtca: vale l uguaglanza u propagazone rsulta nulla (fg..b). A = g b e una delle veloctà caratterstche d A - Corrente supercrtca: rsulta u > g e le pendenze delle due lnee caratterstche b hanno lo stesso segno (Fg..c) e qund la soluzone nel punto P dpende solo dalle condzon d monte. 8

35 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura.-Struttura delle caratterstche e loro relazone al tpo d corrente nel punto P.(a) corrente subcrtca; (b) corrente crtca, (c) corrente supercrtca nella drezone postva.3. Formulazone caratterstca n una dmensone La matrce jacobana A che compare nell equazone (.3) può essere scrtta come: F 0 A = = (.7) U c u u dove con c s è ndcata la veloctà d propagazone delle pccole perturbazon all nterno del fludo defnta come c =gh. Gl autovalor della matrce A, che ndcheremo con a k (k=,) rappresentano le veloctà d propagazone delle perturbazon defnte come a, =u ± c e sono sempre real e postv (trant drc non negatv). I corrspondent autovettor sono, a meno d una normalzzazone adeguata: e k c = ± =, k k g a (.8) e rsultano ndpendent nelle stuazon d nteresse (trant drc non negatv). 9

36 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I La trasformazone che dagonalzza lo Jacobano può essere espressa, ndcando con Λ la matrce dagonale ottenuta da Λ=dag(a k ), come Λ=P - AP, avendo ntrodotto la matrce d trasformazone P. Il sstema d equazon (.3) può essere allora dsaccoppato moltplcandolo per la matrce P - e defnendo le varabl caratterstche n forma dfferenzale come P - U = W arrvando all espressone: t W W Λ = P x S (.9) A partre da questo sstema è possble ottenere n modo esplcto le varabl caratterstche n forma ntegrale che valgono w, =u±c. Il sstema (.9) può essere scrtto n forma compatta : ( u ± c) t ( ) ( u ± c u ± c ) = g( S ) x 0 S f (.0) Il sstema (.0) non è completamente dsaccoppato a causa della non lneartà delle equazon che devono essere rsolte smultaneamente. Se s trascura l termne sorgente g( S0 S f ) s può dmostrare che lungo la lnea dx, = a = u c dt ± del pano cnematco le varabl caratterstche w, =u±c rmangono costant. La (.0) può essere rscrtta come: k dw dt ( S S ) = g 0 f dx = k a (.) dt Le varabl w k sono chamate nvarant d Remann. Nel caso n cu s consder un alveo naturale, può essere ntrodotta la varable d Escoffer come: ω h ( h) = 0 gb A ( η) ( η) dη (.) l cu dfferenzale s può calcolare con la nota regola d Lebntz e vale: ( h) ( ) ( η) da c ( η) b A gb gb da d ω = dh = = (.3) A h A In questo caso la forma caratterstca del sstema d equazon (.0) dventa: d ( u ± ω ) dt ( u ± c) d ( u ± ω ) dx I = g S A 0 S f (.4) 0

37 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I la cu nterpretazone è dentca alla (.0) tranne per l aggunta d un termne sorgente dovuto alla possble varazone della sezone. La (.4) dventa la (.0) nel caso n cu b sa costante, cò è equvale a porre ω=c..3. Presenza d dscontnutà Nel caso n cu le varabl che compaono nelle condzon nzal o n quelle al contorno o le loro dervate rsultno dscontnue, la dscontnutà s propagherà lungo le caratterstche e qund anche la soluzone all nterno del domno rsulterà dscontnua. Inoltre, dato che la pendenza delle caratterstche n ogn punto del domno (x,t) dpende dalla soluzone U, due caratterstche della stessa famgla potrebbero anche ntersecars nel generco punto Q (Fg.3) generando una dscontnutà, nonostante la soluzone al tempo nzale sa contnua. Fgura.3 Lnee caratterstche per un sstema d equazon dfferenzal alle dervate parzal non lnear A ttolo d esempo s consder la presenza d un rsalto draulco che costtusce una dscontnutà dell area bagnata: attraverso l rsalto l modello matematco delle acque basse non è valdo n quanto la corrente non può essere consderata gradualmente varata a causa delle accelerazon vertcal. In questo caso le equazon dfferenzal cadono n dfetto e possono essere utlzzate solo le equazon ntegral applcate ad un volume d controllo che ncluda la dscontnutà. Per un alveo prsmatco, le equazon d blanco d massa e d quanttà d moto attraverso un rsalto draulco portano alle ν = ( u u ) A A A u (.5) A A ( ) u = ± g A η A η A A u (.6) dove con pedc e s sono ndcate le sezon a monte e a valle del rsalto ( ved fg.4), ν è

38 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I la celertà d propagazone della dscontnutà ed η la dstanza del barcentro della sezone dalla superfce lbera. Sosttuendo la (.5) nella (.6) s ottene l equazone d Rankne-Hugonot: ν h = u ± g h ( h h ) (.7) Nel pano cnematco la dscontnutà separa due regon e (Fg..4) ove la corrente è gradualmente varata. Fgura.4 Percorso d propagazone della dscontnutà (3) che separa le regon e La traettora della dscontnutà è descrtta dall equazone dfferenzale ordnara dx = ν dt (.8) che, per un osservatore che s muova con veloctà ν, s rduce all equazone del rsalto draulco stazonaro. La celertà della dscontnutà defnta dalla (.6) è dversa rspetto a quella delle perturbazon nfntesme, defnta come: A = g b c (.9) Dalla (.7) s nota che v<c a monte e ν>c a valle della dscontnutà. Nel caso n cu sa presente all nterno del pano (x,t) una dscontnutà (Fg..5), è possble che due coppe d caratterstche s ncontrno nello stesso punto, determnando così due valor della soluzone.

39 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura.5-Presenza d una dscontnutà nel punto E e suo percorso d propagazone tra le regon contnue (monte) e (valle) Consderamo la stuazone al tempo t E n fgura.5. Esste una soluzone doppa nel punto sngolare E dove s trovano due coppe d soluzon (y E,Q E ), (y E,Q E ) n corrspondenza delle due coppe d caratterstche AE, A E e BE, B E. A comncare dal tempo t E c sarà una dscontnutà nel sstema. Volendo calcolare la soluzone ad un tempo t F >t E supponamo d conoscere lo stato nzale lungo la lnea t=t E. Come nel caso del punto E anche nel punto F s avrà una coppa d soluzon e s avranno quattro ncognte:y F,Q F,y F,Q F. C sarà solamente una curva caratterstca postva che cattura l fronte al tempo t F. Due caratterstche arrrvano al punto F dalla regone contnua () la caratterstca postva HF e quella negatva H F. La forma d queste curve dpende dalla soluzone nel punto F, y F e Q F e dalla poszone d x F. Conseguentemente le ascsse x G, x H e x H sono ncognte, n quanto dpendono dalla soluzone del punto F dalle equazon delle caratterstche (.6). Per defnre l flusso al tempo t=t F dobbamo determnare otto ncognte: quattro varabl del flussso y F,Q F, y F, Q F e quattro ascsse x G, x H, x F, x H. La soluzone del problema è possble dal momento che s hanno a dsposzone otto equazon: equazon dfferenzal per ogn curva caratterstca (GF, HF, H F) e le due relazon algebrche lungo la dscontnutà (.5) e (.6). Rprendamo le equazon n forma ntegrale e ammettamo d trascurare termn d sorgente: 3

40 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I xt x t xt x t A Q dxdt = 0 t x Q t Q gi x A dxdt = 0 (.0) Le espresson (.0) possono allora essere rscrtte n forma d ntegral al contorno come: [ Adx Qdt] Q Qdx gi A = 0 dt = 0 (.) che possono venre ntegrate lungo la lnea d contorno A-A -B-B (Fg.6). La soluzone delle relazon ntegral è data dalle due coppe d valor U U se, e solo se, la dscontnutà soddsfa alle equazon (.5) e (.6). Fgura.6 Regon d flusso dove è necessaro utlzzare la forma dvergente dell equazone d conservazone della quanttà d moto Ne consegue che se U e U sono due soluzon cu domn d defnzone nel pano (x,t) sono separat da una dscontnutà; esse soddsfano le relazon (.7) se, e solo se, rsulta x = v e t valor d U e U n entramb lat della dscontnutà soddsfano alla condzone: v [ U ] [ ( )] F U = (.) 4

41 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I dove s è ndcato con [ ] la varazone delle grandezze contenute nelle parentes nel passaggo da un lato all altro della dscontnutà. Una soluzone d questo tpo è chamata soluzone debole delle equazon dfferenzal. Le condzon espresse dall equazone (.7) lmtano la valdtà delle soluzon debol ad una certa forma delle equazon del flusso. Per un canale orzzontale e rettangolare d larghezza untara, supponendo trascurable l attrto, detta h la profondtà, noto che Q = uh, e I =0.5h, se tutte le varabl sono contnue vettor U e F possono essere scrtt nella forma: h uh U = F = gh (.3) uh u h ovvero s possono esprmere come: h uh U = F = u (.4) u gh Dalla relazone (.7) s ottene: v u h u h = ; h h gh gh u h u h v = (.5) u h u h Elmnando u dalle equazon (.5) s ottene la stessa celertà (.7). Ma se s consderano le varabl espresse nella forma (.4) l equazone (.) porta alla uh v = h uh h u u gh gh v = (.6) u u dove, elmnando u s trova un valore dverso d celertà: ' gh v = u ± (.7) h h S può notare che le equazon (.7) e (.7) non sono equvalent, eccetto che nel caso n cu h = h, e noltre rsulta evdente che l equazone (.7) è la soluzone fscamente valda mentre la (.7) non lo è. Dalla non equvalenza delle equazon (.7) e (.7) s arrva ad una conclusone molto mportante: è possble ottenere soluzon valde delle equazon dfferenzal solamente se 5

42 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I queste sono scrtte n forma dvergente o conservatva. Come s può vedere nella fgura.6 prma che appaa la dscontnutà, per t < t le soluzon nelle due forme (.3) e (.4) sono p equvalent. Non è mportante quale forma s scegle per arrvare alla soluzone nel punto P. Ma la soluzone nel punto R è nfluenzata dalla dscontnutà n PP attraverso la caratterstca RS. La soluzone fsca delle relazon ntegral (.) nel punto R è la stessa d quella ottenuta a partre dalle equazon dfferenzal (.) solamente se queste ultme sono state espresse n termn conservatv. Nel caso n cu s sa utlzzata una scrttura n termn non dvergent, non solo la soluzone nella dscontnutà dfferrà dalla soluzone delle relazon ntegral, ma potrebbe anche non svluppare dscontnutà stessa. Allora nel caso n cu sa possble lo svluppars d dscontnutà nel flusso modellato tramte equazon dfferenzal, queste ultme devono essere scrtte n forma dvergente..4 Schem numerc d ntegrazone Per l modello matematco descrtto al Captolo, rconoscuto come approprato per la descrzone della propagazone d onde d sommersone n alve natural, non sono dsponbl soluzon analtche, che sono state rcavate per condzon geometrche semplc (alveo prsmatco, pendenza d fondo costante, coeffcent d resstenza al moto ndpendent dal raggo draulco). I sstem d equazon (.) e (.4) debbono pertanto essere rsolt per ntegrazone numerca. In questo captolo s farà cenno a due metod d ntegrazone numerca pù dffusamente mpegat nelle applcazon (dfferenze fnte e volum fnt) e ad alcun schem d ntegrazone, con partcolare rguardo agl schem d tpo upwnd, che sono stat utlzzat nelle elaborazon..4. Metod numerc alle dfferenze fnte-volum fnt Il fondamento d base del metodo alle dfferenze fnte è la sosttuzone d funzon valde n tutt punt del domno con funzon defnte su una grgla d punt all nterno del domno consderato. Le dervate s trasformano n operator dfferenzal n modo tale da trasformare le equazon dfferenzal (.) e (.4) n relazon algebrche alle dfferenze fnte. I mod dvers n cu vengono espresse le dervate tramte funzon dscrete s dcono schem alle dfferenze fnte. La grgla d calcolo può essere unforme nello spazo (lungo l asse x nel caso monodmensonale), nel qual caso s hanno N- ntervall spazal ugual x, ovvero non unforme, allora s avranno ntervall d lunghezza varable. In generale la dscretzzazone lungo l asse x può essere defnta attraverso un nseme d punt: w x { x = j x, j =,,..., N; x = x x } = j j j j (.8) 6

43 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Analogamente nel caso bdmensonale la dscretzzazone spazale lungo y sarà defnta come: w y { y = j y, j =,,..., N; y = y y } = j j j j (.9) Analogamente la dscretzzazone temporale è defnta dall nseme d punt w { t = n t, n = 0,,... M; t = t t } τ = n n n n. (.30) La grgla d calcolo nel pano (x,y,t) è defnta dall nseme w = wh wh w x y t che è detto nseme d punt d calcolo. Una grgla d calcolo non unforme può essere convenente per studare la corrente n part del domno dove le grandezze e/o la geometra del canale varano bruscamente. La formulazone a volum fnt ha come punto d partenza le equazon d conservazone scrtte n forma ntegrale: [ dx F ( U) dt] = 0 U (.3) dove la lnea d ntegrazone racchude un volume d controllo nel pano cnematco x-t d dmenson [x -/,x / ] [t n,t n ] (ved fg.6) δx F -/ F / u u u - δx x - x x Fgura.6- Volume fnto n una dmensone La (.3) può essere dscretzzata nella forma: 7

44 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 8 ( ) ( ) =,,,, n n n n t t t t x x n x x n dt t x dt t x dx t x dx t x U F U F U U (.3) Defnendo n U l valore medo d U(x,t) nell ntervallo x al tempo t=t n ( )dx t x x x x n n =, U U (.33) e l flusso medo nell ntervallo d tempo =, / n n t t dt t x t U F F (.34) la forma ntegrale del sstema d equazon d conservazone d massa e quanttà d moto dventa: [ ] / / = n n x t F F U U (.35) Nel caso monodmensonale due metod sono tra loro concdent, ma nel caso bdmensonale l metodo a volum fnt rsulta molto pù flessble del metodo alle dfferenze fnte..4. Operator dfferenzal S rportano le notazon che s utlzzeranno n seguto per la scrttura degl operator dfferenzal: - Operatore Dfferenza n avant: ( ) ( ) ( ) x f x x f x f = (.36) - Operatore Dfferenza all ndetro: ( ) ( ) ( ) x x f x f x f = (.37) - Operatore dfferenza centrata ( ) = x x f x x f x f δ (.38)

45 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I.4.3 Formulazone e classfcazone degl schem alle dfferenze fnte Gl schem alle dfferenze possono essere caratterzzat n var mod: - Schem mplct o esplct; In uno schema esplcto alle dfferenze fnte le varabl che descrvono l moto n ogn punto j al lvello temporale n possono essere calcolate esclusvamente a partre da valor che le stesse varabl assumono ne punt adacent al lvello temporale precedente n. Quest schem permettono d trovare la soluzone al tempo (n) t n cascun punto della grgla separatamente dagl altr punt ncognt. Quest schem sono d facle programmazone ma, essendo condzonatamente stabl, rchedono la lmtazone del passo d ntegrazone temporale. Secondo uno schema mplcto le varabl al tempo (n) t sono funzone de valor delle varabl ne punt adacent al tempo (n) t. In questo caso le equazon devono essere rsolte smultaneamente per tutt punt del domno d calcolo al tempo n. Quest schem sono ncondzonatamente stabl e permettono d utlzzare pass temporal relatvamente amp, ma l sstema rsultante è non lneare e deve qund essere rsolto teratvamente. Per la smulazone d onde provocate da rottura dghe sono soltamente usat schem esplct n quanto l fenomeno è repentno e la sua evoluzone può essere descrtta solo con pass d ntegrazone rdott.. Schem centrat, non centrat; Uno schema centrato fa uso d operator alle dfferenze centrate nell approssmazone delle dervate spazal, qund è smmetrco nello spazo. Uno schema non centrato ha una dstrbuzone non smmetrca de nod.. Schem one-step, two step; Gl schem one step permettono d calcolare drettamente le grandezze al tempo (n) t a partre dalla soluzone nota al tempo n t. Gl schem two-step s artcolano n un passo d prevsone che permette d trovare la soluzone n un tempo ntermedo, e qund n un passo d correzone per trovare la soluzone al tempo (n) t. Gl schem numerc two step sono del secondo ordne d accuratezza nel tempo e sono, ovvamente, pù oneros d quell one-step dal punto d vsta computazonale..4.4 Ordne dello schema alle dfferenze L ordne d uno schema è un ndce mportante per descrvere l accuratezza dello schema stesso. E determnato dall ordne d grandezza de resdu al tendere de pass temporale e spazale a zero; sosttuendo nfatt a dfferenzal le dfferenze fnte s commette un errore d troncamento. S effettu uno svluppo n sere d Taylor della generca funzone f(x,t); l valore della funzone nel punto x j x, noto l valore della funzone nel punto x j vale: 9

46 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I f 3 3 f f x f x 4 ( x x, t ) = f ( x, t ) x O( x ) j n j n (.39) x 3 x x 3! dove O( x 4 ) raggruppa tutt termn rmanent, l prmo de qual dpende da x 4. L espressone della dervata sarà: n f f j = x x f n j f x 3 x f 3 x x 3! O 3 ( x ) (.40) Nel caso n cu esprmamo f f f x f x 3 = O x x x 3 x 3! h 3 f ( x ) = O( x) x (.4) f f possamo dre che l approssmazone della dervata con l operatore dfferenzale è x x h del prmo ordne. L ordne d approssmazone è qund par al valore dell esponente dell ncremento x o t che appare nel prmo termne della sere d Taylor che vene trascurato nell approssmazone alle dfferenze fnte..4.5 Esstenza, unctà e convergenza della soluzone numerca La soluzone d uno schema alle dfferenze fnte dovrebbe essere unca e convergere alla soluzone esatta dell equazone dfferenzale quando l passo temporale tende a zero. Caratterstche mportant d uno schema numerco sono le seguent:.4.6 Consstenza La consstenza rappresenta l accuratezza con la quale lo schema numerco rappresenta l equazone dfferenzale orgnara. Uno schema sarà consstente rspetto all equazone orgnale se rducendo x e t a zero l operatore dfferenza tende all operatore dfferenzale..4.7 Stabltà La comparsa d error d arrotondamento è nsta nel calcolo, a causa d una artmetca lmtata e ad un numero fsso d cfre sgnfcatve. L algortmo è stable se quest error sono lmtat, 30

47 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I mentre è nstable se gl error crescono senza controllo durante l calcolo fno a dstruggere la soluzone. Al tendere d t e x a zero l errore d troncamento tende a zero. Ma solo se l calcolo è stable la sequenza delle soluzon approssmate tende alle soluzon esatte. Se l calcolo non è stable le soluzon dfferscono sempre d pù al tendere a zero d t e x. Al dmnure del passo temporale o a seguto d un raffnamento della grgla d calcolo s otterranno delle oscllazon della soluzone. Uno schema alle dfferenze s dce stable se l nseme nfnto delle possbl soluzon calcolate: z( j x, n t) con 0 t τ 0 n t T è unformemente lmtato. S defnsce l numero d Courant-Fredrchs-Lewy come: a t CFL = (.4) x dove con a s è ndcato l valore massmo raggunto da x l passo spazale d dscretzzazone. La condzone d stabltà mpone che CFL<. u ± c, con t l passo temporale e con.4.8 Convergenza Uno schema numerco s dce convergente se la soluzone ottenuta tende al valore della soluzone esatta quando t e x tendono a zero. Detta u la soluzone numerca ottenuta ne punt della rete e verfcare che, n u la soluzone esatta che soddsfa all equazone dfferenzale, s deve n lm u u = 0 t, x 0 (.43) La convergenza d uno schema garantsce che la soluzone ottenuta da una magla con un certo numero d punt sa una buona approssmazone della soluzone che s va cercando e, nel caso che non lo sa, rmpccolendo la magla s può ottenere una approssmazone della soluzone esatta tanto mglore quanto pù è permesso dal mezzo d calcolo. Non esstono strument analtc per studare la convergenza d uno schema alle dfferenze fnte per un problema generco. Gl unc strument a dsposzone sono stat svluppat per le equazon lnear, che dervano dalle espresson complete non lnear. Per le equazon lnear la condzone d convergenza è asscurata dal teorema d Lax: per un problema con condzone nzale ben posta e uno schema lneare consstente, la stabltà è una condzone necessara e suffcente per la convergenza. 3

48 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I.5 Alcun schem alle dfferenze fnte frequentemente mpegat.5. Schem centrat Gl algortm centrat sono stat prm ad essere utlzzat per l ntegrazone delle SWE. Gl schem del prmo ordne sono dffusv, mentre quell del secondo ordne provocano oscllazon spure a cavallo delle dscontnutà..5.. Schema d Lax-Fredrchs LF E uno schema esplcto del prmo ordne nello spazo e nel tempo. E stato progettato come varante stable del metodo esplcto d Eulero. S utlzzano le dfferenze centrate del secondo ordne per le dervate spazal e s ottene (Hrsh 99): n n t n n ( U U ) ( F ) n U = F (.44) x Come s può vedere dalla (.44) ad ogn passo d tempo l calcolo della soluzone ne punt par è dsaccoppato da quello per punt dspar. Per questa ragone lo schema d Lax Fredrchs è molto dffusvo. La (.44) può essere rscrtta come: U n n n n n n ( F F ) ( U U ) n t = U U x (.45) Lo schema non è n grado d rcostrure con precsone la poszone della dscontnutà. E qund poco doneo per smulare l avanzamento d onde a fronte rpdo. Dffusamente mpegato nel passato, è ogg quas completamente abbandonato n favore degl schem centrat del secondo ordne..5.. Schema d Lax-Wendroff (LW) Tutt gl schem centrat del secondo ordne possono essere rcondott a quello d Lax Wendroff, orgnaramente svluppato per applcazon n gas-dnamca: per questa ragone vene brevemente rchamato sebbene sa poco utlzzato per la smulazone della propagazone d onde d sommersone. E uno schema a due pass (predctor-corrector) per ottenere un accuratezza del secondo ordne nello spazo e nel tempo. Le dervate spazal sono dscretzzate centralmente: 3

49 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I U n t ( x) = U n A t x n n n ( F F ) n n n n n ( F F ) A ( F F ) (.46) In forma conservatva la (.46)può essere scrtta come: * * ( F F ) n n t U = U / / (.47) x dove l flusso numerco nella (.47) può essere espresso come: F n n t n n n ( F F ) A ( F F ) * = x (.48) Come tutt gl schem del secondo ordne produce delle oscllazon a cavallo delle dscontnutà (Hrsch, 99) Schema d Mc Cormack Costtusce un estensone dello schema d Lax Wendroff. E uno schema centrato d tpo predctor-corrector: con l passo predctor s ottene la soluzone a un tempo ntermedo, mentre col passo corrector la dervata spazale è calcolata con la meda artmetca della dfferenza n avant al tempo t n e d quella all ndetro del valore precedentemente calcolato al tempo t n. Per la sua semplctà e per la buona capactà nel rprodurre l movmento d front, è uno degl schem centrat pù dffusamente applcat. S può descrvere come: U p j ( F F ) n t n n = U j j j (.49) x p p ( F ) c n t U j = U j j Fj (.50) x ( U U ) n P U j = j C j (.5) Come tutt gl schem del secondo ordne centrat produce oscllazon spure a cavallo delle dscontnutà. Per elmnarle s adottano dverse tecnche numerche, utlzzando dsspator o lmtator. Nel prmo caso s nsersce un termne d vscostà artfcale alle espresson de fluss numerc, nel secondo s utlzzano funzon lmtatrc de fluss o della curvatura della superfce lbera. 33

50 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Gl schem del prmo ordne non presentano quest problem n quanto l errore d troncamento che s commette è proporzonale alla dervata seconda, che ha l ruolo d una vscostà numerca. Ad esempo nello schema d Lax-Fredrchs: n n n n n ( F F ) ( U ) n n t U = U U U (.5) x l ultmo termne tra parentes può essere consderato come l termne d vscostà U apparenteυ. Gl schem d questo tpo smorzano le component d alta frequenza e x rducono fort gradent Vscostà artfcale I metod numerc avent secondo ordne d precsone presentano un errore d troncamento l cu termne pù mportante contene le dervate spazal d ordne dspar. Per esempo, nello schema d Lax Wendroff (.46) l errore d troncamento s può esprmere come: 3 u ( ) 3 x ε T = ν (.53) 6 x che contene la dervata d ordne tre. Questo termne determna l comportamento dspersvo dello schema, che provoca oscllazon n presenza d dscontnutà. Quest effett possono essere consderevolmente rdott o del tutto elmnat con l ntroduzone d un termne d vscostà artfcale nello schema numerco. I termn ntrodott devono essere ad una scala tale da non nterferre sull ordne d precsone del metodo, ma devono essere n grado d mtgare le oscllazon ed elmnarle mentre s formano. Il concetto d vscostà artfcale è stato ntrodotto per prmo da Von Neumann e Rchtmyer (950) con l dea d realzzare un meccansmo che rproducesse gl effett della dffusvtà delle quanttà d moto e della conduzone del calore a scala macroscopca, per l calcolo delle onde d shock ne gas. La correzone dello schema d Mc Cormack (.49 e.50) può essere espressa secondo l approcco d Jameson (Jameson, 98) per le equazon d Eulero, sosttuendo al posto della pressone p la quota della superfce lbera Z. P c t ( ) n U U d d n n U j = x (.54) dove s è ndcato con: d ( U U ) () = ξ (.55) 34

51 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I () ( ( ) ( ξ = max ε ) ε ) (.56), e con ( ) () κ Z Z Z ξ = (.57) ζ Z Z Z ove ( κ ) è un parametro che deve essere calbrato per cascuna applcazone e con ζ s è ndcato l rapporto t/ x. Il termne d vscostà noltre modfcherà la soluzone n ogn punto del domno e non solo nella zona della dscontnutà. I vantagg della vscostà numerca sono prncpalmente nst nella facltà d controllare la dsspazone graze a un parametro che rsulta essere sostanzalmente d taratura. Questo schema è stato mpegato da dvers autor (Aurel e Mgnosa 000) ed applcato con buon rsultat a problem d rottura dga Correzon TVD L dea alla base d questo tpo d correzon è l applcazone de lmtator a gradent de fluss numerc o a gradent delle varabl dpendent. In questo modo le oscllazon vengono elmnate e non corrette dopo essere state generate dallo schema. Una msura delle oscllazon present n soluzone è data dalla Varazone Totale n ( ) = j= n j n j TV U U U (.58) Se la varazone totale non cresce nel tempo: TV n n ( U ) TV ( U ) (.59) non s verfcano oscllazon nella soluzone e lo schema numerco soddsfa alla condzone d varazone totale decrescente (TVD). Molt schem d ordne superore al prmo vengono corrett n questo modo, al fne d preservare la monotonctà della soluzone. E prass comune utlzzare de lmtator per rendere TVD lo schema d Mc Cormack e d Lax Wendroff. S genera un termne d dsspazone che non contene parametr estern alle equazon che debbono essere tarat. Con rfermento allo schema d Mac Cormack, vene ntrodotto l termne: p ( U U ) D D n c U j = j j (.60) j j 35

52 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 36 dove con D j/ s è ndcata la dsspazone artfcale ntrodotta per produrre uno schema TVD. Il termne d dsspazone non lneare dpende dal numero d Courant ed è lmtato n modo tale da elmnare oscllazon nella soluzone. L estensone dello schema McCormack con l algortmo TVD è la forma pù naturale ed effcente per permettere l nclusone de termn sorgente delle equazon senza dmnure l ordne d accuratezza dello schema. ( ) ( ) ( ) ( ) n n c p n p p n c n n n p / / = = = D D U U U F F U U F F U U ζ ζ ζ (.6) dove : ' / = s r U A A D δ ζ ϕ (.6) Il secondo termne è dato dalla correzone dello schema n TVD e rappresenta l termne d vscostà artfcale. L argomento r della funzone d lmtazone ϕ è defnto ad esempo dalla: ' ' = = s s s s s s s s s r r U A U A δ ν δ ν (.63) dove con s è stato ndcato l segno d a /. S segnala che, sebbene lo schema d McCormack sa d tpo centrato, la varante TVD dello stesso ha una componente upwnd, a causa della forma dell argomento della funzone d lmtazone nel termne / D. Questo schema è stato adottato da numeros autor (Aurel et al 998, Aurel e Mgnosa 000, Alcrudo et al 99, Macchone e Morell 003) ed applcato con buon rsultat a brusche varazon del fondo e a gradual varazon delle sezon trasversal..5. Schem upwnd Gl schem che sono stat llustrat fnora sono basat sulla dscretzzazone centrata spazale. D conseguenza, presentando una smmetra rspetto alla varazone del segno degl autovalor della matrce Jacobana del flusso, non tengono conto della drezone d propagazone delle lnee caratterstche. Ne consegue che uno schema centrato schematzza fluss sempre allo stesso modo ndpendentemente da regm della corrente, non facendo dpendere fluss solo da monte (regme supercrtco) e da monte e valle (regme subcrtco).

53 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Gl schem d tpo upwnd permettono d dscretzzare fluss n accordo col regme della corrente, n modo da prevenre la formazone d oscllazon ndesderate ne press delle dscontnutà. I metod che nascono n questo modo sono possono appartenere a due famgle: flux-splttng (scomposzone del flusso) o rfars allo schema d Godunov. I prm operano sul vettore d flusso n quanto l nformazone sulla drezone d propagazone della dscontnutà è rcavata dal segno degl autovalor dello jacobano del vettore d flusso opportunamente dscretzzato. I second defnscono le varabl nelle celle d calcolo e le dscontnutà tra le celle vengono trattate rsolvendo ogn volta localmente l problema d Remann. Le soluzon trovate n questo modo vengono po utlzzate per defnre nuov valor nella cella tenendo conto correttamente della drezone d propagazone delle perturbazon. Entrambe le famgle appartengono alla categora de metod shock capturng, n grado d catturare le dscontnutà present nel campo d moto e propagarle senza dover utlzzare partcolar condzon al contorno nterne..5.. Equazone scalare Consderamo una generca equazone scalare (Alcrudo 99) u f t x = 0 (.64) dove u rappresenta la varable da determnare ed f(u) la generca funzone del flusso. L equazone è lneare se f(u)=au con a, veloctà d convezone, costante. La schematzzazone upwnd mpega operator dfferenzal n avant ovvero all ndetro, n dpendenza del segno d a. Nel caso n cu a sa postva s avrà: n n n n n ( u u ) = u ( f f ) t = ζ (.65) x n n u u a Se a fosse negatva, la dscretzzazone da utlzzare sarebbe la seguente: u n t n n n n n ( u u ) = u ζ ( f f ) n = u a x (.66) Rsulta utle defnre fluss negatva rspettvamente come: f ed f assocat alle veloctà d convezone postva e n au per a > 0 f = (.67) 0 per a < 0 37

54 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I n au per a < 0 f = (.68) 0 per a > 0 allora lo schema upwnd del prmo ordne s può scrvere n forma compatta come u n n * = u δf ζ (.69) t δf = f f dove ζ = ed l flusso numerco è espresso come x Nel caso n cu la relazone (.64) non fosse lneare, coè f non fosse una funzone lneare n u, la veloctà d convezone potrebbe cambare segno localmente. Questo causerebbe la necesstà d dover rdefnre lo schema upwnd nel tempo cambando lo schema d ntegrazone n dpendenza d a. Un modo per ottenere uno schema upwnd conservatvo consste nel partre dall espressone formale: ( f f ) ζ ( f f ) n n u = u * ζ (.70) che è valda n caso d veloctà d convezone postve e negatve. Le funzon d flusso sono però da specfcare. Un modo per farlo è defnre la veloctà d convezone approssmata a ~ sulla parete che separa le celle e defnta come ( f f ) per ( u u ) ( u u ) ( u ) = a( u ) per ( u u ) 0 a ~ = (.7) a = 0 n entramb cas s ottene: δ f = a ~ δu (.7) Scomponendo a ~ nella parte postva e negatva secondo la : a ~ ± = a ~ ± a ~ (.73) s arrva alla decomposzone del flusso come: 38

55 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I δ f = a ~ δu (.74) ± ± Allora lo schema upwnd del prmo ordne per un equazone scalare non lneare s scrve come: u n n ~ ~ = u a δu ζ a ζ δu (.75) che s può esprmere come la (.70) esprmendo l flusso come: * f = f ~ f a δ u (.76) L nconvenente che presenta lo schema upwnd del prmo ordne è che l coeffcente d vscostà numerca può tendere a zero se è nulla la veloctà d convezone a. Questo potrebbe causare la comparsa d dscontnutà numerche non fsche, ncompatbl con la condzone d entropa, che asscura che le soluzon appartengano al comportamento reale del fludo. Rprendendo l espressone del flusso numerco d Roe (.76) uno schema numerco è detto schema E (che rspetta la condzone d entropa ) se vale la: * f f ( u) segno( u ) 0 u (..77) che rscrtta n vrtù della (.77) porta alla condzone: [ f f f ( u) ] δu a (.78) per ogn valore d u compreso tra u e u. Se s consdera una funzone d flusso convessa, come n fgura.7, la (.78) sarà sempre verfcata a meno che l ntervallo (, ) contenga l punto u* per l quale la funzone f(u) s annulla. In questo caso s annulla l secondo membro della (.78) e s determnano shock d espansone. Sarà allora necessaro rdefnre l valore al secondo membro n modo tale da non permettere ma la comparsa d dscontnutà numerche ma non fsche. 39

56 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura.7-Schema d una funzone scalare d flusso convessa, con l punto u* S ntroduce la correzone d entropa, sosttuendo ad a~ l espressone: a ~ a ~ = ε se se a ~ a ~ ε < ε (.79) dove con ε s è ndcato una quanttà pccola a pacere. In questo modo lo schema upwnd del prmo ordne converge sempre a soluzon compatbl con l prncpo d entropa che scarta la presenza d dscontnutà che non sano fsche..5.. Schema upwnd del prmo ordne per le equazon vettoral S consder l sstema d equazon (.) nel caso d corrente subcrtca le pendenze delle lnee caratterstche hanno segno dscorde, ossa la perturbazone s propaga n entrambe le drezon, mentre nel caso corrente supercrtca le pendenze hanno lo stesso segno e qund la perturbazone s propaga da monte verso valle. Per costrure uno schema upwnd valdo per tutt regm e per tutte le drezon d flusso è necessaro adoperare una opportuna decomposzone del flusso n relazone alla pendenza delle lnee caratterstche ossa al segno degl autovalor della matrce acobana e qund scrvere formalmente l sstema: U n j = U n j j j ζ F ζ F (.80) ± dove F j e j. j sono gl ncrement d flusso assocat a celertà postve e negatve tra le due celle 40

57 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I.5..3 Schema d Roe S scrva l sstema (.) nella forma non conservatva: U A U t U x ( ) = 0 (.8) che può essere dagonalzzata per ottenere la t W W Λ = P x S (.8) dove s è ndcato con W = P U e Λ = P AP, essendo P e P - matrc d trasformazone. Gl autovalor d A rappresentano, come gà vsto, la celertà d propagazone delle perturbazon; nel caso n cu A fosse costante l sstema (.8) sarebbe totalmente dsaccoppato. La costruzone d uno schema upwnd per rsolvere l sstema d equazon d partenza passa per una lnearzzazone locale del sstema consderato. Questa approssmazone fu svluppata per prma da Roe (98). Il sstema d equazon è approssmato localmente nelle nterfacce che separano le celle d calcolo. ~ S defnsce allora una matrce approssmata A per la coppa d punt (,) della magla che soddsfa alle seguent propretà: ~ ~. A = A ( U,U ). 3. δ ~ F = A ~ A ~ δ U è costtuta da valor real e dstnt 4. A ( U, U ) = A( U ) La propretà ) è solo una restrzone logca sulla dpendenza d ~ A semplfcare l problema, la ) garantsce che la dscretzzazone upwnd basata su n modo da ~ A sa conservatva, la 3) è una conseguenza della necesstà che la lnearzzazone costruta abba lo stesso comportamento perbolco del sstema d equazon (.), la 4) garantsce la consstenza con l equazone orgnara. Una volta che s sa costruta la matrce ~ A che verfca le propretà )..4) le equazon k k a ± a sono faclmente dscretzzate n forma upwnd utlzzando la Λ = dag. 4

58 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Glaster (988) propose d calcolare ~ A come A U ~ ~ coè la matrce jacobana del flusso esatto calcolata n un punto medo U che è determnato per alveo rettangolare. Graze alla propretà 4) s determna la matrce ~ A U che abba autovalor e autovettor del tpo: a ~ = u ~ ± ~ c (.83),,, ~, e =, ~ a (.84) e l problema d determnare A dventa quello d trovare valor med d u ~ e c~ che rspettano le propretà ) 4) In vrtù della 3) qualunque varazone della varableδ s può esprmere come combnazone lneare de vettor d ~ A U secondo la: U δ U = ~ (.85) k k α e k=, k essendo α coeffcent della scomposzone che valgono δh k α = ± ( ) ~ ~ δ h u u δh c (.86) Graze alla propretà ) la varazone d flusso δ F s può esprmere come: δ F = A δu = a~ α ~ e (.87) k =, k k k che, data la coppa δ F ; δu seconda espressone s ottene:, rappresentano due equazon scalar n u ~ e c~,,.dalla 4

59 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 43 ( ) ( ) ~ ~ ~ = g h c h hu u hu u h δ δ δ δ δ (.88) che rsulta essere uguale a zero perché cascun membro è una espressone nelle varabl totalmente ndpendent. Allora s ottene l valore d, ~ c (Alcrudo et al 99) = b b A A g c, ~ (.89) e quello d, ~ u come radce dell equazone d secondo grado che annulla l prmo membro della (.80): h h u h u h u =, ~ (.90) In questo modo la matrce A rsulta totalmente specfcata. La matrce è sempre ben defnta, tranne nel caso d altezza d acqua nulla, nel qual caso gl autovalor dventano concdent. La matrce A può allora essere dagonalzzata medante la trasformazone seguente: ~ ~ Λ ~ = P A P (.9) con = ~ 0 0 ~ ~ a a Λ (.9) essendo = ~ ~ ~ a a P = ~ ~ ~ a a P (.93)

60 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 44 La dscretzzazone upwnd conservatva del prmo ordne s può allora estendere formalmente al sstema d equazon d conservazone della massa e della quanttà d moto ottenendo: ( ) ( ) = n n F F F F U U ζ ζ (.94) essendo x t = ζ, dove le dfferenze del flusso assocate a veloctà postve e negatve rmangono ancora da defnre. Ma questo non comporta problem partcolar, rcordando la separazone effettuata tra gl autovalor postv e negatv s ottene nfatt: ± ± = U A F δ δ (.95) Combnando nseme le (.94) e (.95) s ottene l flusso numerco corrspondente allo schema upwnd del prmo ordne per l sstema consderato: = * U A F F F δ (.96) che s può esprmere anche come : ( ) = =, * ~ ~ k k k k a e F F F α (.97) Nel caso n cu punt (,) s trovno agl estrem d una dscontnutà che s propaga a veloctà v s, n vrtù della relazone d Rankne-Hugonot, s ottene: = = s v U A U F δ δ δ (.98) Questo mplca che vs sa un autovalore d A e U δ l suo autovettore corrspondente. Allora la matrce A è n grado d rconoscere la dscontnutà, n questo caso l nformazone s propaga nella stessa drezone e la funzone del flusso s rduce a: < = > = 0 0 * * s s v per F F v per F F (.99) Cò è conseguenza del fatto che nella parete che separa le due celle e s sta sosttuendo alla parte omogenea dell equazone (.8) graze all approssmazone lneare la:

61 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I U A t U = x 0 (.00) L equazone (.00) ammette dscontnutà solo come soluzon d un problema con dscontnutà nelle condzon nzal, coè rconosce le onde d shock ma non quelle d rarefazone. Se è presente una dscontnutà ne punt della magla (,), come nel caso d v s =0 per cu F =F, la varazone d U e U è nulla. Per determnare anche n questo caso gl autovalor d A senza generare dscontnutà non accettabl s è studata una soluzone semplce; s k calcola prma la grandezza ε defnta come: k max, ~, ~ k k k k ε = o a a =, a a k (.0) che rsulta nulla nel caso n cu nella cella (,) s produca uno shock. Una volta ottenuta k ε s rdefnsce l modulo d cascun autovalore d A secondo la : Ψ ~ k a = k ε se a~ ε k k k k = ~ k k se a < ε (, ) (.0) essendo Ψ k l valore corretto del modulo d a~ In questo modo l coeffcente d vscostà numerca non s annulla se le veloctà caratterstche passano per lo zero, e s evta d rappresentare quest punt come dscontnutà. E nteressante notare che lo Jacobano costruto nel modo descrtto rsulta ndpendente dalla forma della sezone del canale, n altre parole è defnta per qualsas dpendenza funzonale della forma della sezone da h. k.5..4 Metodo d estrapolazone d varabl d tpo MUSCL Il metodo d estrapolazone delle varabl d tpo MUSCL (Monotone Upstream Schemes for Conservaton Laws) (Van Leer 97) s può nterpretare come una estensone d ordne superore del metodo d Godunov (96). n La soluzone numerca per gl U vene consderata, anzché costante a tratt, varable lnearmente nel volume d controllo. Vene ntrodotta qund una correzone postva o n U x varable all nterno della cella ( ved fg.8) negatva al valor medo, ottenendo una ( ) 45

62 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I. Fgura.8 Estrapolazone delle varabl d tpo MUSCL Nel caso d retta, la defnzone della funzone locale ( x) U dventa: x x U ( x) = U p x [ x / ; x / ] (.03) δx Essendo p proporzonale alla pendenza della retta, calcolata d una forma approprata. A partre da essa s possono calcolare valor negl estrem delle celle: U U L / = U R / = U p p (.04) (.05) Consderamo la dfferenzazone upwnd della dervata spazale del flusso, dscretzzando separatamente le dervate spazal e temporal; l flusso numerco dpende esclusvamente dalla dfferenza delle dervate spazal e temporal. La forma esplcta rsulta: * F = ( ) ( ) A U U U A U U U (.06) Le quanttà tra parentes quadre non sono altro che U L / e U R / per valor d p par a p p ( U U ) δ (.07) = U / = = U / = ( U U ) δ (.08) Ne consegue che l flusso numerco del secondo ordne nello spazo può essere ottenuto dal R L flusso upwnd del prmo ordne solo sosttuendo le quanttà ( U ; U ) con le ( U / ; U / ). L estensone del flusso al secondo ordne s traduce nel: 46

63 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I R L R L R L ( U U ) = [ F( U ) F( U ) A ( U U )] * / ; / / / / / F (.09) Lnearzzando localmente l equazone ne punt ntermed della rete l flusso numerco del secondo ordne per una equazone non lneare vale: F * = R L ( U / ; U / ) = R L R [ F( U ) F( U ) A ( U U )] L / / RL / / (.0) con la seguente defnzone d veloctà d convezone approssmata: R L ( / ) F( U / ) R L se ( ) ( U / U / ) R L U / U / R L R L ( ) = A( U ) se ( U U ) F U 0 A RL = (.) A U / / / / = 0 Il secondo ordne d accuratezza nel tempo può essere ottenuto con una schematzzazone a due pass del tpo predctor-corrector: U U * n n t = U x n = U U n n ( F F ) / * / t * * ( F / F / ) x (.) Le grandezze negl stat ntermed U R e U L s calcolano come U U L R = U j 0.5δU j = U δu j 0,. 5 j (.3) Gl ncrement δu j e δu j possono essere calcolat n var mod. Ad esempo (Hrsch, 990): ( U j U j, U j j ) ( U U U ) δu j U = mn mod j = mn mod j j, j U j (.4) δ U (.5) dove la funzone mnmod è defnta come: 47

64 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I a se a < b e ab > 0 mn mod( a, b) = b se b < a e ab > 0 (.6) 0 se ab Wegthed Average Flux (WAF) L approcco WAF è una generalzzazone dello schema d Lax Wendroff e dello schema d Godunov del prmo ordne upwnd. Trae le sue orgn nello schema Flux Random che è accurato al secondo ordne nello spazo e nel tempo (Toro 997). L approcco WAF porta ad uno schema del secondo ordne esplcto. Il metodo WAF consdera le { } prmo ordne upwnd calcolandole come meda ntegrale della soluzone ( x,t) della cella I = x x, U funzon costant a tratt come nel metodo d Godunov del U all nterno secondo la: x n n U ( x, t) = U( x, t) dx (.7) x x non è necessara. Le condzon nzal defnscono come valor med nelle sngole celle, e per gl stant d tempo successv queste mede vengono rcavate dalla In pratca la defnzone d U( x,t) n { U( x,0) } n n t U ( x, t) = U( x, t) F F x (.8) Tutto cò d cu s ha bsogno è la defnzone del flusso numerco. Nella formulazone orgnale del metodo WAF l flusso all nterfacca era defnto come una meda ntegrale della funzone flusso: 0.5 x WAF F = ( x t) dx x F U,0. 5 (.9) 0.5 x dove l ntervallo d ntegrazone va da metà cella I a metà cella I. L ntegrando rappresenta x,0.5 t U x, t s ndca la soluzone la funzone del flusso valutata per U ( ), dove con ( ) del problema d Remann a partre dagl stat U (,0) U ( x,0) La versone pù utlzzata nell ambto delle SWE è la seguente: x 48

65 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 49 ( ) k n K k WAF F = = θ F (.0) dove sono stat ntrodott pes ( ) = k k k c c θ con x S t c k k = dove c 0 =-, c n = ( ) ( ) = = n k k k K c F F F F (.) ( ) ( ) k k k = F F F (.) Trattandos d uno schema del secondo ordne nello spazo e nel tempo è d carattere oscllatoro, per questo motvo esste la formulazone TVD che s rporta per completezza: ( ) ( ) = = n k k k k n n A c segno F F F F (.3) dove Ak è una opportuno lmtatore.5..6 Schema HLL Il prncpo dello schema Harten-Lax-Van Leer (HLL, Harten et al 983) è calcolare fluss F* all nterfacca tra celle d calcolo rsolvendo l problema d Remann tra due stat costant U L e U R ( ved fgura.9). Le due celertà s L e s R sono calcolate a partre dalla dscontnutà nzale. Nel metodo HLL orgnale la soluzone è approssmata con uno stato ntermedo U * nella regone cos detta * tra le due onde. Seguendo Toro (00), l flusso F * è calcolato secondo la ( ) = 0 f 0 f 0 f * R R R L L R L R L R R L L R hll L L s s s s s s s s s s F U U F F F F F (.4) con le celertà d propagazone s L e s R defnte secondo Toro (00) utlzzando espresson sntetche che tengono conto del regme sub e supercrtco e ncludono la condzone d entropa per trattare lo stato crtco R R R R L L L L w c u s w c u s = = (.5)

66 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 50 Fgure.9: schema HLL In (.5) w K (K = L, R) è un peso espresso secondo la ( ) > = K K K K K h h h h h h w * * * * h f h f (.6) Il trante h * è una stma della soluzone esatta d h nella regone * tra s L e s R : ( ) ( ) * 4 = R L R L u u c c g h (.7)

67 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO 3 CONDIZIONI AL CONTORNO 3. Introduzone L ultmo passo che rmane per la completa soluzone delle SWE con gl schem numerc a volum fnt descrtt nel captolo è quello d defnre le condzon al contorno. Nelle equazon scrtte fnora c s è nfatt rfert sempre a punt ntern al domno d calcolo. In un sstema d equazon perbolco l numero d condzon al contorno che è possble mporre è par al numero d curve caratterstche che entrano nel domno d ntegrazone. Tratteremo allora n modo separato l caso mono e bdmensonale. 3. Corrente subcrtca S consderno le lnee caratterstche nel pano cnematco che hanno orgne ne generc punt A e B (Fg.3.) per qual sono not valor della soluzone all stante nzale t = 0. In ogn punto P all nterno del domno, la soluzone sarà data dall ntersezone delle due lnee caratterstche che hanno orgne al tempo t = 0. Nel punto L la soluzone dpende dalla soluzone n A che s propaga lungo la caratterstca negatva C- e dalle condzon al contorno assegnate n x = x 0. Ne consegue che nel punto L dovrà essere assegnata una ed una sola condzone al contorno, tpcamente l drogramma della portata entrante Q n L = Q( t) per x=x 0. (3.) 5

68 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 3.-Condzon al contorno nel pano (x-t) Analogamente a valle (punto R) dovrà essere assegnata una sola condzone al contorno; tpcamente n questo caso è assegnato l andamento nel tempo dell area bagnata, ovvero una scala d deflusso, ovvero l numero d Froude della corrente: A R = A R (t) t t 0 per x = x. A R = A R (h) per x = x. Fr = Q n R n ( A ) 3 g R n b R 3.3 Corrente supercrtca Nel caso d corrente veloce, entrambe le caratterstche saranno rvolte verso valle. All estremo d monte (x = x 0 ) dovremo assegnare due condzon al contorno, oltre all drogramma della portata s assegnerà l numero d Froude della corrente o un qualunque legame tra portate e trant, come la scala d deflusso Q n QL ( t) L = Q ( ) L = 3 n A g L n b L Fr (3.3) all estremo d valle nvece non sarà necessara nessuna condzone, perché le ncognte saranno determnate esclusvamente dal valore delle varabl dpendent all nterno del domno al tempo n. 3.4 Condzon al contorno nterne Nella smulazone della propagazone d onde a fronte rpdo attraverso sngolartà draulche come strettoe, paratoe, passaggo per le ple d un ponte, cas n cu la sezone trasversale 5

69 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I subsce una notevole rduzone, è necessaro nserre delle condzon al contorno nterne e separare dal domno d calcolo n moto varo le sezon a cavallo della sngolartà. Le condzon al contorno nterne rappresentano una scala d deflusso n moto permanente che tenga conto delle perdte d carco attraverso la sngolartà draulca. La scala lega le grandezze draulche a monte con quelle a valle della sngolartà se l regme d corrente è supercrtco, le grandezze a valle con quelle a monte nel caso d regme subcrtco. j- j- j j j Fgura 3.-Schema d dsconnessone del domno applcando le condzon al contorno nterne In questo modo è possble smulare n modo corretto l deflusso attraverso tal sezon anche con uno schema numerco monodmensonale. Avendo dsconnesso dal domno d calcolo n moto varo nod j-, j la soluzone delle Shallow Water Equaton dscretzzate con gl schem numerc upwnd d cu s è parlato nel captolo, è nota a nod j- e j,n. Se n j- s ha una soluzone d corrente veloce s scrvono le equazon d contnutà e quanttà d moto dscretzzate all ndetro senza la correzone upwnd, coè: ( Q Q ) t = (3.4) x n n n n A j A j j j Q n j = Q n j t Q x A h g n j Q A h g n j (3.5) Nota la soluzone al nodo j- s applca la scala d corrente veloce per l calcolo della soluzone al nodo j. S fa allora un controllo d congruenza della soluzone: se nella sezone j c è corrente lenta s confrontano le spnte total nella sezone j calcolate con l lvello appena determnato e con quello che s determna dal sstema composto dall equazone d blanco della massa dscretzzata n avant senza correzone upwnd, coè: ( Q Q ) t = (3.6) x n n n n A j A j j j 53

70 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I dalla scala d corrente lenta attraverso la sngolartà, che lega lvell a monte e a valle della stessa con la portata, e l equazone d contnutà scrtta all ndetro senza correzon upwnd n j- (3.4). Il lvello che determna la spnta maggore vene scelto come soluzone. In questo caso rsulta possble smulare l rgurgto da valle. Nel caso n cu alla sezone j c sa corrente lenta, la soluzone n j è calcolata mettendo a sstema le tre equazon appena descrtte (3.6), (3.4) e la scala d corrente lenta: Nel caso n cu nella sezone j- non c sa soluzone d corrente veloce e nella j non c sa una soluzone d corrente lenta s mpone l passaggo attraverso lo stato crtco. S mette coè a sstema l equazone d blanco d massa (3.4) con la scala d stato crtco che lega l altezza d monte e d valle della sngolartà per un regme d portata prestablto. Una volta nota la portata s determna automatcamente la soluzone nelle sezon j- e j. 3.5 Immssone d portata laterale Nel caso n cu l corso d acqua che s vuole smulare sa caratterzzato da mmsson lateral d portata, dat ad esempo dalla presenza d affluent, la portata mmessa vene tenuta n conto ntroducendo un termne ulterore nell equazone d contnutà, l termne q dell equazone (.9). 3.6 Condzon nzal Per procedere al calcolo monodmensonale sarà necessaro mporre all stante nzale del calcolo lvell e le portate n ogn sezone del calcolo. Quest potranno dervare da un precedente calcolo n moto permanente, o da dat storc se present. Nel caso n cu s vogla predsporre un calcolo su fondo ascutto basterà mporre par a zero lvell e portate n ogn sezone d calcolo. 54

71 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO 4 CRITERI PER LA CORRETTA SCELTA DELLE SEZIONI TRASVERSALI DA RILEVARE 4. Crter per l rlevo delle sezon trasversal Molto spesso quando s devono esegure calcol draulc d permetrazone d aree a rscho d allagamento le nformazon rguardant la geometra dell alveo consstono n un numero nadeguato d sezon trasversal provenent da rlev a terra. I codc d calcolo che s utlzzano devono qund essere suffcentemente robust da fornre rsultat realstc anche n queste condzon. Il rlevo topografco fornsce la geometra dell alveo e delle aree rpare da utlzzare per: l applcazone del modello matematco d propagazone delle pene; la rappresentazone topografca del confne delle aree nondabl. La mnma area da coprre con l rlevo topografco deve contenere l corso d acqua che s vuole analzzare e deve essere estesa alle possbl zone d esondazone. Preferblmente, l rlevo del terrtoro d nteresse dovrebbe essere eseguto con tecnca LDAR ntegrato da rlevo a terra de manufatt n alveo: pont e opere draulche. Il rlevo aereo deve essere ntegrato con rlevo a terra ne tratt d fume n cu, al momento del rlevo, s abba un trante drco d almeno un metro su pù del 30% della larghezza dell alveo attvo. 55

72 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Per cascun manufatto è noltre necessaro predsporre una monografa che consenta d nserre planmetrcamente e altmetrcamente l opera nel contesto del rlevo generale; nella monografa sarà nserto: l prospetto dell opera, per pont e vadott con ple n alveo; l prospetto e l partcolare del proflo altmetrco longtudnale, per brgle, traverse, sogle, salt d fondo; la planmetra, le sezon e prospett per le opere draulche d maggor complesstà. Eventual altre strutture, qual mur d sponda, parapett o altro, che non rsultno charamente defnt da LDAR dovranno essere rlevat a terra. Il rlevo topografco deve fornre: l Modello Dgtale del Terreno, da utlzzars per l calcolo draulco con l modello matematco; la ortofotocarta, da utlzzare per la nterpretazone delle condzon d alveo e per rportare la permetrazone delle aree nondabl rsultante dal calcolo draulco. Il modello dgtale del terreno e la ortofotocarta dovranno essere tra loro corrspondent con gl error defnt n captolato. Gl scart planmetrc tra la ortofotocarta e la Carta Tecnca Regonale dovranno essere ndcat allo scopo d consentre l trasfermento (non necessaramente automatco) del permetro delle aree nondate dalla ortofotocarta alla carta tecnca regonale. Vene allegata nell appendce la Specfca Tecnca delle attvtà da compres per una corretta determnazone del modello dgtale del terreno. Per llustrare questo problema dvers schem numerc, utlzzat correntemente nella letteratura scentfca, sono stat applcat ad un tratto d 6 km del fume Tevere, a monte d Roma, vcno Ponzano Romano. Per questo caso d studo s avevano a dsposzone 0 sezon provenent da un rlevo topografco, orto foto aeree e nformazon rguardant la scabrezza dell alveo ( ved Fgura 4.). Per evdenzare problem legat all esguo numero d sezon trasversal a dsposzone, s è scelto d effettuare una smulazone n moto permanente (Q=00 m 3 /s) utlzzando le 0 sezon orgnal, con nterasse medo d 600 m. Nelle fgure 4. e 4.3 sono rportat, rspettvamente, l andamento delle quote d pelo lbero e delle portate, per 5 dvers schem d calcolo, confrontat con l codce commercale HEC RAS. Lo schema SANA è uno schema tpo Lax Fredrchs su grgla sfalsata, gl altr, ndcat con HLL sono schem a volum fnt che usano la scrttura de fluss secondo lo schema HLL (ved cap. ) 56

73 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 4. sezon d calcolo del Tevere a Ponzano Romano sovrapposte a foto aeree Per rcostrure un andamento del proflo del pelo lqudo che abba un senso fsco s è condotta una anals sul numero d sezon d calcolo mnmo da utlzzare. Sono state consderate 4 geometre dverse, con le sezon trasversal avent nterasse medo rspettvamente d 00 m, 00 m, 50 m e 0 m. In fgura 4.4 e 4.5 s è scelto d mostrare rsultat delle smulazon ottenut con un solo schema sulle 4 geometre appena descrtte. I rsultat, sono stat confrontat con lo schema SANA ed l codce d calcolo HECRAS utlzzando le sezon con nterasse d 00 m. Come s può vedere dalle fgure 4.4 e 4.5 dmnure la dstanza tra le sezon d calcolo mglora l proflo longtudnale del pelo lbero, ma non rsolve le oscllazon nel calcolo delle portate (fg. 4.5). Questo rsultato evdenza l mportanza d una corretta rappresentazone del termne sorgente, che n applcazon a cas real rsulta pù crucale della scelta del solutore numerco. 57

74 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 4. Andamento longtudnale delle quote d pelo lbero 58

75 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 4.3 Andamento longtudnale delle portate Fgura 4.4 andamento del pelo lbero per le geometre a dverso nterasse 59

76 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 4.5 andamento della portata per le geometre a dverso nterasse 60

77 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I APPENDICE A- SPECIFICA TECNICA PER LA REDAZIONE DI UN RILIEVO. DEFINIZIONI 4. SOGGETTI 4. TERMINI TECNICI 4. OGGETTO DELLA SPECIFICA 7 3. DETERMINAZIONE DELL ASSETTO PLANO-ALTIMETRICO 9 3. PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE 3. ATTIVITÀ. RILIEVO MEDIANTE SISTEMA SCANNER LASER AVIOTRASPORTATO 3.. CALIBRAZIONE DEL SISTEMA DI ACQUISIZIONE 3.. SISTEMA DI POSIZIONAMENTO SATELLITARE GPS 3..3 PIATTAFORMA INERZIALE PRE-FILTRAGGIO DEI DATI ACQUISITI ESTRAZIONE DEL DATO GREZZO: COMBINAZIONE DEL DATO LASER E DEL DATO GPS ELIMINAZIONE DI EVENTUALI PUNTI ANOMALI TRASFORMAZIONE DELLE QUOTE ELLISSOIDICHE IN QUOTE SUL LIVELLO DEL MARE ATTIVITÀ 3. CREAZIONE DEI MODELLI DIGITALI AD ALTA E BASSA RISOLUZIONE ESTRAZIONE DEL DSM A MAGLIA REGOLARE FILTRATURA DEL DSM PER CREARE IL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO IDRAULICO FILTRATURA DEL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO IDRAULICO PER ELIMINARE GLI EDIFICI CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DEL MODELLO DEL TERRENO AD ALTA RISOLUZIONE STRUTTURE SOVRA/SOTTOMONTANTI IL TERRENO NATURALE BREAKLINES RICOSTRUZIONE DEL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO A MEDIA RISOLUZIONE VERIFICA DEI RISULTATI 7 4. PRODUZIONE DI MODELLI STEREOSCOPICI DIGITALI E DI ORTOIMMAGINI 8 4. PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE 8 4. ESECUZIONE DI RIPRESE AEROFOTOGRAMMETRICHE CAMERA DA PRESA MATERIALE FOTOGRAFICO PIANO DI VOLO QUOTA DI VOLO, SCALA DEI FOTOGRAMMI E CARATTERISTICHE DEL VOLO ESECUZIONE DEL VOLO AUTORIZZAZIONI CIVILI E MILITARI COLLAUDO DELLE RIPRESE AEROFOTOGRAMMETRICHE RETE DI INQUADRAMENTO E APPOGGIO 4.3. TRIANGOLAZIONE AEREA 4.3. VERIFICA DELLE RETI DI INQUADRAMENTO E DI APPOGGIO E DELLA TRIANGOLAZIONE AEREA 4.4 PRODUZIONE DELLE ORTOIMMAGINI 4.4. SCANSIONE DEI FOTOGRAMMI 4.4. ORIENTAMENTO DEI FOTOGRAMMI RADDRIZZAMENTO DIFFERENZIALE MOSAICATURA DEI FOTOGRAMMI MODELLO DIGITALE DEL TERRENO (DTM) COLLAUDO DELLE ORTOIMMAGINI 3 5. FORNITURA DEI PRODOTTI E DEGLI ELABORATI 4 5. ELABORATI DEL PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE 4 5. PRODOTTI DA DETERMINAZIONE DELL ASSETTO PLANO-ALTIMETRICO PRODOTTI DA PRODUZIONE DI MODELLI STEREOSCOPICI DIGITALI E DI ORTOIMMAGINI 5 6. CARATTERISTICHE DELL AMBITO GEOGRAFICO DI LAVORO 6 6

78 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I. DEFINIZIONI D seguto s rassumono e s descrvono soggett e le termnologe che vengono ctate nella presente specfca.. SOGGETTI Commttente Drezone d progetto Dtta IGMI È l soggetto che affda l esecuzone de lavor. Funzone nterna al Commttente, cu compete la responsabltà della conduzone del progetto e della verfca d qualtà de sngol elaborat prodott dalla Dtta e del lavoro nel suo complesso avvalendos anche d strutture e/o consulenze esterne dalle comprovate specfche competenze. È l soggetto al quale l Commttente affda lavor. Non necessaramente la Dtta è costtuta da un solo soggetto gurdco potendo essere costtuta da pù soggett temporaneamente assocat secondo le forme rconoscute (raggruppament, assocazon, consorz, ecc.). Isttuto Geografco Mltare Italano. È l soggetto che detene e rlasca l modello d ondulazone del geode gravmetrco che consente d trasformare le quote ellssodche WGS84 n quote ortometrche rferte al lvello del mare.. TERMINI TECNICI DTM Modello dgtale DSM GPS Modello dgtale del terreno (Dgtal Terran Model). Rappresentazone matematca della superfce terrestre medante una grgla ordnata d punt planoaltmetrcamente determnat che descrvono le quote del terreno con esclusone d vegetazone e manufatt. Modello matematco d dat archvato n forma dgtale. Modello dgtale delle superfc (Dgtal Surface Model). Rappresentazone matematca della superfce terrestre medante una grgla ordnata d punt planoaltmetrcamente determnat che descrvono le quote della superfce d separazone Terra solda atmosfera ovvero descrvono la superfce superore d ogn oggetto che nsste sul terreno Global Postonng System. Sstema d poszonamento satelltare. E un sstema d determnazone delle coordnate geografche d punt. Utlzza satellt della classe NAVSTAR (NAVgaton Satellte for Tmng And 6

79 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I WGS84 ED50 UTM Quota ellssodca Quota sul lvello del mare Geode Rangng) d propretà del Dpartmento della Dfesa USA. I satellt ruotano n orbte molto elevate (0.000 Km) e garantscono la copertura d tutto l paneta. Il GPS utlzza la trangolazone de satellt per determnare un punto sulla Terra. Il sstema GPS fornsce la poszone su un ellssode detto WGS84 valdo n tutto l mondo. World Geodetc System 984. Sgla che dentfca l ellssode ovvero l soldo d rotazone che meglo approssma l globo terrestre caratterzzato da due semass. Le msurazon GPS vengono rferte a tale ellssode. European Datum 950. Sstema geodetco d rfermento costtuto dall'ellssode nternazonale: punto d emanazone Potsdam, orentamento medo europeo; rete d nquadramento data dalla selezone delle ret europee del ordne, compensate untaramente dallo US Coast and Geodetc Survey nel 950; orgne della longtudne: Greenwch. Unversal Transverse Mercator system. Rappresentazone cartografca della superfce terrestre secondo la proezone d Gauss (modfcata con l ntroduzone del coeffcente d contrazone e delle false orgn) dvsa n 60 fus d 6 d ampezza, numerat da a 60 partendo dall'antmerdano d Greenwch e procedendo verso Est. S ha noltre una suddvsone n 0 fasce d 8 cascuna n lattudne partendo da -80 (Sud) fno a 80 (Nord). Le fasce sono ndvduate da lettere dell'alfabeto dalla C fno alla X a partre da Sud, escludendo le lettere I e O. Le ntersezon tra fus e fasce ndvduano le zone; l'itala è compresa nelle zone 3T, 33T, 3S, 33S salvo l estrema porzone Est della pensola che appartene alle 34T e 34S. Le coordnate cartesane de punt nel sstema UTM sono rferte all'equatore e al merdano centrale del fuso al quale s attrbusce la falsa orgne EST = 500 km. Valore altmetrco d un punto rspetto alla superfce dell ellssode preso come rfermento. Valore altmetrco d un punto rspetto alla superfce del geode. E una partcolare superfce equpotenzale del campo della gravtà. E, nfatt, la superfce d lvello che meglo nterpola la superfce meda degl ocean resa stazonara dopo aver sottratto l nfluenza d maree, corrent, effett meteorologc. 63

80 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I ε superfce terrestre geode ellssode Scanner laser o LIDAR Terreno draulco LIght Detecton And Rangng. Costtusce l equvalente ottco del radar o del sonar, ma con utlzzo d una fonte ottca, ossa un laser, al posto delle mcroonde o delle onde sonore. Vene emesso un mpulso ottco medante un laser e vene accuratamente msurato l tempo d resttuzone dell "eco". Il tempo vene trasformato n dstanza rspetto al bersaglo attraverso la veloctà nota della luce. A fn della presente specfca, l LIDAR è defnto come sstema avotrasportato e utlzzato per acqusre coordnate x, y, z del terreno e delle sue caratterstche sa natural che dovute all opera dell uomo. Il LIDAR o scanner laser avotrasportato è un sstema ntegrato costtuto da un rcevtore GPS d bordo e relatve stazon d terra GRS (Ground Reference Statons), un msuratore d dstanza laser, un sstema d scansone ed un sstema nerzale. Condzone prmara per l buon funzonamento della procedura è l accurata taratura d tutt sngol component e del sstema nel suo complesso. La determnazone de punt laser vene fatta sull ellssode WGS84 e valor delle quote sono relatve a tale ellssode. S ntende una rappresentazone numerca del terreno, desunta dal LIDAR, depurata da quegl oggett che nsstono sul terreno stesso che non costtuscono un ostacolo alla propagazone dell acqua durante gl event d esondazone (coperture arboree, vegetazone, pal, cav, ecc.). Terreno draulco Str sovramont utt ante Str sottomonta utt nte 64

81 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I Breaklnes Inseme degl element lnear o areal che rappresentano dscontnutà all nterno de dat rlevat dal sensore laser. Le dscontnutà da rlevare sono d dverso tpo, come ad esempo: dscontnutà d tpo altmetrco che ndvduano trdmensonalmente una brusca varazone del gradente altmetrco d una superfce; dscontnutà d ntenstà d rsposta del segnale laser; dscontnutà d qualtà del dato; contorn dell edfcato o degl aggregat urban e ndustral. Esempo d breaklnes (n rosso tratteggato) n corrspondenza rspettvamente d: un rlevato una scarpata e una zona d acqua Struttura sovramontante Struttura sottomontante Terreno naturale Elemento strutturale o nfrastrutturale artfcale che s eleva rspetto al terreno naturale crcostante (argne, rlevato stradale o ferrovaro, ecc.). Elemento strutturale o nfrastrutturale artfcale che determna un abbassamento del terreno naturale (trncea, cave, ecc.). Elaborazone del terreno draulco depurato delle strutture sovra/sottomontant. Tale elaborazone comporta la rcostruzone del terreno naturale anche n corrspondenza delle strutture sovra/sottomontant come verosmlmente doveva essere prma della realzzazone d tal strutture. Struttura 65

82 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I Terreno naturale sovramontante Struttura sottomontante 66

83 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I. OGGETTO DELLA SPECIFICA Il commttente vuole esegure la permetrazone delle aree a rscho draulco. Per le fnaltà d cu sopra vengono defnte nel seguto le prescrzon tecnche e le modaltà d esecuzone delle seguent prestazon: determnazone dell assetto plano-altmetrco, medante rlev laser-scan, d un terrtoro del bacno del fume n esame defnto da un nseme d punt quotat del terreno e delle strutture sovra/sottomontant l medesmo; modell stereoscopc dgtal e ortommagn dgtal. Il sstema d rfermento prmaro de rlev è WGS84, nella sua realzzazone IGM95. Le coordnate plano-altmetrche regstrate all atto del rlevo sono coordnate geografche (longtudne/lattudne) e quota ellssodca rferte sull ellssode WGS84. Dovranno po essere realzzate le seguent elaborazon: Trasformazone delle coordnate geografche n coordnate pane nel sstema WGS84 UTM3. Trasformazone delle quote ellssodche d cu al precedente punto., n quote sul lvello del mare dervate con l auslo del pù recente modello d ondulazone del geode gravmetrco dsponble presso l IGMI. Trasposzone delle coordnate geografche d cu al precedente punto., nel sstema d rfermento ED DETERMINAZIONE DELL ASSETTO PLANO ALTIMETRICO Saranno resttut modell dgtal delle elevazon, ottenut da tal punt quotat, organzzat n lnee d dscontnutà e magle regolar. La precsone d msura e la denstà de dat plano-altmetrc resttut dovranno essere tal da asscurare, per modell dgtal con magla d m, tolleranza altmetrca al 95% par a: - 30 cm per le quote ellssodche - 0 cm, oltre 30 cm delle quote ellssodche, per le quote geodche o sul lvello del mare. S ntende per tolleranza altmetrca al 95% delle quote l fatto che, qualora con un metodo pù precso s determn la quota Q (ellssodca o geodca) n corrspondenza d un punto d coordnate planmetrche (N,E), la dfferenza: e = DTM(N,E) Q tra la quota nterpolata sul DTM e la quota msurata nel 95% de cas rsult nferore al valore della tolleranza. Le operazon d volo dovranno essere condotte nel perodo nvernale, per dmnure l nterferenza prodotta dalla vegetazone. 67

84 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I Le operazon vengono svolte, d massma, attraverso elaborazon successve, nel seguto ndcate, e secondo un andamento che concde con l'ordne cronologco d esecuzone. Durante cascuna fase, rappresentata da un gruppo d elaborazon che conduce alla redazone d un prodotto specfco, la Drezone d progetto ha la facoltà d esegure verfche. Nessuna fase può essere nzata se la precedente, da cu strettamente dpende, non è stata postvamente verfcata dalla Drezone d progetto che deve esprmere l nulla osta al prosegumento de lavor. Per l rlevamento de dat d base vene mpegato un sstema ntegrato montato su velvolo costtuto da scanner laser, sstema d poszonamento satelltare GPS, pattaforma nerzale. La valutazone del tpo d velvolo da mpegare (aereo o elcottero) dpende da un nseme d fattor che devono essere attentamente pres n consderazone qual: andamento dell area da ndagare, altezza del volo, percentuale d sovrapposzone delle strscate (longtudnale e trasversale), numerostà e dstrbuzone delle stazon rcevent poszonate a terra, percentuale dell area d sfrdo rspetto all ntera estensone dell area da ndagare. I parametr d mssone devono consentre una denstà d camponamento al suolo d almeno punto ogn m. S rchede l utlzzo d sstem scanner laser capac d dscrmnare dverse altezze su ogn sngolo mpulso laser, al fne d poter rconoscere, medante elaborazone con algortm opportun, le porzon d terrtoro coperte da vegetazone o comunque d dscrmnare gl oggett terrtoral sormontant/sottomontant l terreno. Le modaltà d esecuzone del rlevo devono essere commsurate all ottenmento delle mglor condzon possbl n ordne alle tolleranze rcheste; n partcolare, prma d procedere con lavor d rlevo, deve essere predsposto un Programma prelmnare d ndagne, che costtusce un elemento mportante d valutazone complessva per quanto rguarda la panfcazone delle drettrc e delle quote de vol. In partcolare tale Programma prelmnare d ndagne contene la valutazone delle nterferenze dovute alle dverse font d nqunamento elettromagnetco present n zona che possono compromettere la buona rcezone de segnal GPS e/o la contemporanea rcezone de segnal da pù satellt. Nel caso n cu la rcognzone evdenz zone con tal caratterstche, la Dtta s mpegna a produrne l DTM con tecnche alternatve (fotogrammetra aerea, rlevo topografco, ecc.) n contraddttoro con la drezone lavor, documentando adeguatamente le scelte operatve e provvedment per asscurare l rspetto delle tolleranze. Analogamente, qualora, per qualunque altro motvo (error d rcoprmento delle strscate, condzon del terreno non adatte al rlevo per presenza d zone umde), s creno lacune d dat n zone dverse da cors o specch d acqua, per ognuna d quelle avente enttà superore a 0.5 ha la Dtta s mpegna o a rpetere l rlevo della strscata con tecnologa laser o a produrne l DTM con tecnche alternatve (fotogrammetra aerea, rlevo topografco), n contraddttoro con la drezone lavor, documentando adeguatamente le scelte operatve e provvedment per asscurare l rspetto delle tolleranze. In sntes, l rsultato prortaro atteso da lavor è costtuto da modell dgtal, organzzat n strutture d punt quotat, lnee d dscontnutà o magle regolar, come d seguto descrtt: 68

85 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I I. dat orgnal d camponamento ( dat grezz ) del terrtoro rlevat dallo scanner laser nel sstema d rfermento del rlevo GPS (WGS84 e quote elssodche) e dat relatv alle caratterstche del volo e delle strumentazon d bordo e d terra; II. DSM a punt: nseme de punt che descrvono le superfc degl oggett rpres (terreno vegetazone ed element artfcal), gl stess d cu al punto, nel sstema d rfermento WGS84, rferto al fuso 3 e avent quote geodche; III. DSM a magla regolare: nseme de punt che descrvono le superfc degl oggett rpres (terreno vegetazone ed element artfcal) utlzzando dat d cu al punto., organzzato secondo una grgla a magla quadrata (rsoluzone della grgla non superore a m); IV. Modello dgtale del terreno draulco: nseme de punt che descrvono l terreno, a seguto dell elmnazone della vegetazone, comprensvo degl edfc e degl oggett sovramontant e degl oggett sottomontant, organzzato secondo una grgla a magla quadrata (rsoluzone della grgla non superore a m); V. Modello dgtale del terreno draulco senza gl edfc: nseme de punt che descrvono l terreno, a seguto dell elmnazone della vegetazone e degl edfc, comprensvo degl oggett sovramontant e degl oggett sottomontant, organzzato secondo una grgla a magla quadrata (rsoluzone della grgla non superore a m); VI Breaklnes o lnee d dscontnutà: nseme degl element lnear o areal che rappresentano dscontnutà all nterno de dat rlevat dal sensore laser. Le dscontnutà da rlevare sono d dverso tpo, come ad esempo: - dscontnutà d tpo altmetrco; - dscontnutà d ntenstà d rsposta del segnale laser; - dscontnutà nella qualtà del dato a seguto dell ntroduzone d dat nterpretat; - contorn dell edfcato o degl aggregat urban e ndustral. VI. Modello dgtale del terreno naturale: nseme de punt che descrvono l terreno, a partre dalla stuazone rappresentata nel Modello dgtale del terreno draulco senza gl edfc e a seguto dell elmnazone degl oggett sovramontant e sottomontant, organzzato secondo una grgla a magla quadrata (rsoluzone della grgla non superore a m); VII. Modello dgtale degl oggett sovramontant e sottomontant: nseme de punt che descrvono gl oggett sovramontant e sottomontant, organzzato secondo una grgla a magla quadrata (rsoluzone della grgla non superore a m); VIII. Modello dgtale del terreno a meda rsoluzone: nseme de punt che descrvono l terreno, a seguto dell elmnazone della vegetazone e degl edfc, comprensvo degl oggett sovramontant e degl oggett sottomontant, organzzato secondo una grgla planmetrca a magla quadrata (rsoluzone della grgla compresa tra 5 e 0 m). Deve noltre essere realzzata l ntegrazone con dat dsponbl relatv alla batmetra del fume n esame e delle ulteror zone umde. Tale modello dgtale deve essere progettato n accordo con la Drezone d progetto, n funzone dell utlzzo nella modellstca draulca. S sottolnea che la generazone de modell dgtal n magle regolar e la classfcazone delle altre strutture sono operazon che rchedono, da parte delle Dtte, un notevole lvello d esperenza. Al fne d procedere con maggor comodtà alla lettura de dat, s chede che le magle avent rsoluzone non superore a metr, sano realzzate utlzzando la stessa geometra (ovvero orgne, passo, orentamento e ampezza). 69

86 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I 3. PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE Prma d nzare le attvtà operatve, la Dtta redge un Programma prelmnare d ndagne con lo scopo d:. prendere n carco le nformazon terrtoral che nsstono sull area oggetto d ndagne che resttuscono un quadro d rfermento d tpo generale; tal nformazon vengono fornte dalla Drezone d progetto;. predsporre un attvtà d rcognzone de punt a terra dsponbl su qual dsporre le GRS (Ground Reference Staton) scelt sulla base de seguent crter general: - assenza d ostacol stabl che mpedscono la rcezone de segnal satelltar; - assenza d dsturb elettromagnetc tal da rendere mpossble o dffcoltosa la rcezone de segnal satelltar; 3. progettare l pano d volo n termn d blocch omogene d aree da rlevare, rotte, quote d volo, denstà de punt, n funzone delle caratterstche dell area da rlevare. Inoltre s predspongono pan d volo organzzat secondo strscate caratterzzate da un ampezza adeguata e da una percentuale d rcoprment lateral che mnmzzano gl effett ndott dallo speccho oscllante dello scanner laser e al contempo non lascano settor terrtoral scopert; sarà po necessaro progettare l esecuzone d alcune strscate pseudoortogonal da utlzzare come elemento d controllo. L altezza del volo è da programmare n funzone delle accuratezze altmetrche rcheste. 4. predsporre, d ntesa con la Drezone d progetto, l elenco dettaglato de prodott e de relatv elaborat che lo compongono da consegnare, ndcando per ogn prodotto: l codce, l ttolo; la descrzone; e per ogn elaborato: gl elaborat che lo compongono. l codce; l ttolo; la descrzone; la tpologa (secondo le defnzon contenute nell allegato 5); l formato d consegna (numerco e/o cartaceo). 5. predsporre un dettaglato PDA (Pano Dettaglato delle Attvtà) artcolato e llustrato seconda la forma del Cronoprogramma. 3. ATTIVITÀ. RILIEVO MEDIANTE SISTEMA SCANNER LASER AVIOTRASPORTATO Lo scanner laser nstallato a bordo del velvolo presenta le caratterstche che d seguto brevemente s rportano: doppo speccho oscllante regolable fra 0 e 0 (per strument dotat d sstema ad ottca moble); 70

87 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I potenza conforme alle norme d scurezza europee e che garantsca la salvaguarda della salute umana; capactà d regstrare un mnmo d dstanze su ogn sngolo mpulso laser al fne d dscrmnare le altezze del terreno n presenza d coperture arboree e vegetal; capactà d regstrare l valore d ntenstà del segnale d rtorno da utlzzars quale ulterore parametro per la classfcazone de punt. 3.. CALIBRAZIONE DEL SISTEMA DI ACQUISIZIONE La Dtta deve descrvere e documentare le operazon esegute per la calbrazone del sstema d acquszone prma delle operazon d rlevo, specfcando le caratterstche del polgono d prova utlzzato e rsultat d tale operazone. 3.. SISTEMA DI POSIZIONAMENTO SATELLITARE GPS Le stazon a terra GRS (Ground Reference Staton), utlzzate durante l rlevamento, vengono mpegate per l calcolo dfferenzale delle msurazon effettuate dallo strumento d camponamento scanner laser e regstrano la poszone del velvolo per tutta la durata de rlev. La dstrbuzone spazale e la numerostà d tal stazon è n funzone del pano d volo, ovvero del blocco da rlevare. Il Programma prelmnare d ndagne defnsce punt da utlzzare su qual nstallare le GRS tenendo conto dell estrema mportanza che tale operazone rveste n merto al concatenamento delle dverse strscate. In lnea generale, punt da utlzzare concdono con IGM95 e/o altr punt eventualmente da reperre presso font certfcate (esempo IGMI, AIPO o Regon) non escludendo la necesstà d determnare nuov punt, coerent con la rete IGM95, qualora partcolar condzon local lo mpongano PIATTAFORMA INERZIALE La pattaforma nerzale utlzzata è caratterzzata da un alta veloctà d rsposta per garantre la regstrazone d tutt movment del velvolo apportando, quando necessaro, le necessare correzon dell assetto del velvolo durante l rlevo; tal nformazon sono utlzzate anche n seguto durante la fase d post processng de dat. 3.3 ATTIVITÀ. POST-PROCESSING DELLE INFORMAZIONI E FILTRAGGIO DEI DATI L attvtà d post processng delle nformazon raccolte durante l rlevo è d estrema mportanza per gl obettv d accuratezza defnt nella presente specfca PRE-FILTRAGGIO DEI DATI ACQUISITI Prma d procedere con l processamento delle nformazon, s predspone un attvtà d prefltraggo delle nformazon raccolte e memorzzate durante la fase d rlevo (punt laser, GPS-velvolo, GPS-stazon a terra, pattaforma nerzale) utlzzando strument software 7

88 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I adeguat che annullano gl error ndott dal movmento del velvolo e le msurazon GPS anomale ESTRAZIONE DEL DATO GREZZO: COMBINAZIONE DEL DATO LASER E DEL DATO GPS In questa fase vengono combnat dat d traettora con dat del Laser, sncronzzandol tra d loro per ottenere dat grezz del rlevo. L'output del processo è una "nuvola d punt" dspost n modo rregolare sul terreno, che rappresentano l'output grezzo del rlevo e che defnscono valor d coordnate (Lat, Long) e la quota ellssodca calcolata d ogn punto corrspondente ad un mpulso del raggo Laser, nel sstema d rfermento WGS84. L'output d questa fase deve comprendere noltre, per ogn punto del Laser, la determnazone del valore d ntenstà della rsposta, che dpende dal tpo d terreno che è stato colpto dal raggo Laser. Come rsultato d questa operazone vengono resttut dat orgnal come descrtto al paragrafo 3, punto I ELIMINAZIONE DI EVENTUALI PUNTI ANOMALI Dovranno essere elmnat punt che dervano dalla presenza d fl dell alta tensone, dalla presenza d uccell tra l aereo ed l terreno, o da altr element sopraelevat rspetto ad esso. Allo stesso modo dovranno essere elmnat e rpult punt che dervano da successve rflesson del raggo Laser prma d rtornare al sensore (ad esempo tra le case d un centro urbano) che alterano la reale msura sul terreno. Queste stuazon sono faclmente rconoscbl perché danno luogo a punt solat la cu quota sul terreno è molto alta (o molto bassa) rspetto a punt mmedatamente vcn e possono essere elmnat utlzzando opportun fltr TRASFORMAZIONE DELLE QUOTE ELLISSOIDICHE IN QUOTE SUL LIVELLO DEL MARE Come detto dat grezz dello scanner laser devono essere acqust ed elaborat nel sstema geografco WGS84 e l valore della quota è ellssodca. Rsulta qund ndspensable assegnare a cascun punto la quota assoluta (sul lvello del mare) con l auslo del pù recente modello d ondulazone del geode gravmetrco dsponble presso l IGMI. Al fne d rentrare nelle tolleranze altmetrche prevste dalla presente specfca tecnca la Dtta dovrà prevedere, ove non esstano vertc d buona qualtà coerent con la rete IGM95, la realzzazone, medante la lvellazone geometrca d nuov punt d quota geodca nota. Cò consderato, s potrà procedere con la trasposzone de punt quotat ellssodc verso punt quotat sul lvello del mare mpegando l pù recente modello d geode dsponble presso IGMI, ntegrato con nuov dat rlevat. Tal process d trasformazone potranno causare degrad sulla qualtà altmetrca de punt; n ogn caso non potrà essere accettable un degrado delle tolleranze n quota superor a 30 cm. Come rsultato d questa operazone vene resttuto l DSM a punt come descrtto al paragrafo 3, punto II, della presente specfca tecnca. 7

89 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I 3.4 ATTIVITÀ 3. CREAZIONE DEI MODELLI DIGITALI AD ALTA E BASSA RISOLUZIONE L attvtà consste nel costrure modell dgtal, a partre da dat rlevat, che contengano nformazon altmetrche qualfcate al fne d mettere l modellsta draulco nelle condzon d montare o smontare a pacmento le strutture sovra/sottomontant l terreno naturale e, conseguentemente, produrre dfferent scenar d zone allagabl a seconda delle strutture utlzzate. Saranno n partcolare prodott modell dgtal ad alta rsoluzone (passo della grgla non superore a metr) e modell dgtal a meda rsoluzone da progettare n relazone all utlzzo n modellstca draulca d tpo bdmensonale (passo della grgla non superore a 0 metr) ESTRAZIONE DEL DSM A MAGLIA REGOLARE Il rsultato fnale delle elaborazon descrtte a punt precedent deve essere rcondotto, al fne d facltare l utlzzabltà e la gestone dello stesso, ad una magla regolare d punt avent un accuratezza altmetrca uguale a quella de dat grezz d rlevo. Le modaltà, le procedure tecnche e d calcolo da utlzzare per determnare tale modello sono da presentare nel programma prelmnare d ndagne. Tale magla ha una rsoluzone non superore a m come descrtto al paragrafo 3, punto III della presente specfca tecnca FILTRATURA DEL DSM PER CREARE IL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO IDRAULICO Dovrà essere applcata una procedura che permette d classfcare punt quotat (sul lvello del mare) come appartenent al terreno, depurando tutte le msurazon che del terreno non fanno parte (coperture arboree e vegetal, pal, tralcc, ecc.). Il rsultato d questa elaborazone resttusce una prma rappresentazone del terreno draulco che comprende ancora le strutture sovra/sottomontant l terreno (esempo: argn, rlevat stradal, trncee, ecc.) e gl edfc, ved paragrafo 3, punto IV FILTRATURA DEL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO IDRAULICO PER ELIMINARE GLI EDIFICI Dovrà essere applcata una procedura che permette d classfcare punt quotat come appartenent ad edfc, al fne d elmnare le quote rferte alla sommtà degl stess e d rcostrure la gactura del terreno sottostante. La rcostruzone del terreno n corrspondenza delle aree urbane, ndustral e commercal costtusce passaggo crtco che condzona la modaltà d classfcazone ed estrazone de punt quotat. In altr termn, s vuole raggungere l obettvo d modellare una superfce vrtuale ottenuta medante procedure d nterpolazone spazale a partre da un nseme d punt quotat che con ogn probabltà rsedono n corrspondenza delle sed stradal e delle aree d connettvo, verde pubblco, ecc. Contestualmente alla ndvduazone ed elmnazone degl edfc devono essere dgtalzzat e resttut n formato vettorale trdmensonale contorn dell edfco elmnato. In ambto 73

90 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I urbano devono essere resttut contorn non de sngol edfc ma degl aggregat urban o ndustral, ndvduat come nseme d edfc delmtat dalle strade prncpal. Il rsultato d questa elaborazone resttusce la rappresentazone del Modello dgtale del terreno draulco senza gl edfc che comprende ancora le strutture sovra/sottomontant l terreno (esempo: argn, rlevat stradal, trncee, edfc, ecc.), ved paragrafo 3, punto V CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DEL MODELLO DEL TERRENO AD ALTA RISOLUZIONE In questa fase sono classfcate le strutture sovra/sottomontant, attraverso l applcazone d procedure automatche, semautomatche o manual e sono dgtalzzate contestualmente le breaklnes. Il rsultato fnale d tal elaborazon è costtuto da modell dgtal contenent dat altmetrc qualfcat n relazone all appartenenza al terreno naturale, a strutture sovra/sottomontant) oltre alle relatve breaklnes. Saranno realzzat n questa fase gl elaborat d cu al paragrafo 3, punt VI, VII e VIII della presente specfca tecnca STRUTTURE SOVRA/SOTTOMONTANTI IL TERRENO NATURALE L ndvduazone delle strutture sovra/sottomontant è funzonale alla produzone d dfferent scenar d zone allagabl da parte del modellsta draulco. Tale crtero condzona l attvtà d classfcazone de punt quotat del terreno draulco lmtando l ndvduazone delle strutture sovra/sottomontant a quelle prncpal. Per strutture sovramontant prncpal s ntendono: argn e opere d dfesa draulca; rlevat autostradal/stradal/ferrovar che svolgono anche la funzone d contenmento delle pene; vadott, sovrappass (per questa tpologa è rchesta una specfca codfca). Per strutture sottomontant prncpal s ntendono: vabltà n trncea; cave e sbancament; canal prncpal. Sono da assmlare al terreno naturale tutt quegl element secondar che per estensone e per dmenson d sopra/sotto elevazone non nfluenzano n modo sgnfcatvo l lbero deflusso delle acque; n partcolare s tratta d: vabltà nterna e/o nterpoderale; r, rogge e canalzzazon a scopo rrguo; tutte le altre strutture che s sopra/sotto elevano per /- m. La rcostruzone del terreno che passa sotto una struttura sovramontante (ad esempo un rlevato dell autostrada) o che passa sopra una struttura sottomontante (ad esempo una ferrova n trncea) condzona fortemente la scelta de punt quotat appartenent al terreno naturale come detto n precedenza. Scopo d questa attvtà, nfatt, è quello d rcostrure l 74

91 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I terreno come verosmlmente doveva essere prma che tal strutture producessero modfche plano-altmetrche del terrtoro sul quale attualmente nsstono. Per quanto rguarda corp drc (cors d acqua, lagh, stagn, rsae, ecc.), stante l ncapactà del sstema scanner laser d msurarne la quota, s consder la necesstà d ntervenre con procedment sem-automatc o nterattv per mantenere l ntegrtà del corpo drco e per rsolvere al meglo l raccordo con le sponde BREAKLINES Contestualmente alla attvtà d nterpretazone del modello dgtale dovranno essere resttute alcune strutture vettoral trdmensonal, denomnate genercamente breaklnes o lnee d dscontnutà. Le dscontnutà da rlevare n questo caso sono d dverso tpo: dscontnutà d tpo altmetrco, dove pollnee unscono punt post n corrspondenza d sgnfcatv cambament d pendenza; dscontnutà d ntenstà d rsposta del segnale laser dove pollnee, a partre da dat d cu al paragrafo 3, punto I, collegano punt post n corrspondenza del confne tra delle aree prve d rsposta laser (assmlabl alle zone bagnate); dscontnutà sulla qualtà del dato, ovvero polgon che delmtano aree de DTM che contengono nformazon altmetrche dervate da nterpretazon del dato rlevato da parte dell operatore (n corrspondenza d zone coperte da folta vegetazone nelle qual l operatore nterpreta, per assonanza con le aree contgue, la presenza o meno d oggett al d sotto della vegetazone stessa e attrbusce alcune delle quote rlevate a quegl oggett); contorn dell edfcato o degl aggregat urban e ndustral RICOSTRUZIONE DEL MODELLO DIGITALE DEL TERRENO A MEDIA RISOLUZIONE Poché gl attual strument d calcolo utlzzat nella modellazone draulca sono n grado d processare contemporaneamente un numero lmtato d nformazon, deve essere progettato e realzzato d un modello dgtale del terreno a meda rsoluzone, ovvero avente una magla d dmensone compresa tra 5 e 0 metr. Data la dmensone della magla è accettable la resttuzone d forme delle strutture prncpal sovra e sottomontant a element geometrc semplc. Per element geometrc semplc s ntendono delle fgure regolar che approssmano quelle real (ad esempo un tratto d argne può essere rappresentato come un soldo a sezone trapezodale). Il vncolo d tale semplfcazone è dato dalle quote mnme e massme che devono essere resttute al vero. Nella progettazone, da realzzare n accordo con le ndcazon della Drezone d progetto, s dovrà tenere conto delle modaltà d lavoro de modell draulc. Il rsultato d questa elaborazone resttusce la rappresentazone del Modello dgtale del terreno a meda rsoluzone che comprende ancora le strutture sovra/sottomontant l terreno (esempo: argn, rlevat stradal, trncee, edfc, ecc.), ved paragrafo 3, punto IX. 3.5 VERIFICA DEI RISULTATI 75

92 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I In lnea generale, e con rfermento alle attvtà sopra descrtte, la Drezone d progetto potrà procedere, avvalendos d strutture e/o consulenze esterne dalle comprovate specfche competenze, agl accertament che rterrà opportuno effettuare. Gl accertament conssteranno nella verfca della documentazone d rlevo (lbrett d campagna) e d tutte le elaborazon anche ntermede necessare alla realzzazone de prodott rchest e saranno effettuat sa n corso lavor che alla conclusone degl stess. A tal rguardo la Dtta, oltre agl elaborat d consegna, dovrà fornre su rchesta della Drezone d progetto tutt gl elaborat ntermed necessar per le verfche sopra ndcate. Nello specfco, n relazone alle rsultanze delle verfche sopra rchamate, la Drezone d progetto rchede alla Dtta d realzzare de pan quotat e relatv modell dgtal (ellssodc e rfert sul lvello del mare) su alcune aree-campone per un estensone complessva non superore al % della superfce totale da rlevare. Le modaltà e temp d produzone d tal pan quotat e relatv modell dgtal devono essere concordat con la Drezone d progetto. In ogn caso l esecuzone d tal rlev dovrà essere seguta n campo dalla Drezone d progetto. La comparazone fra dat prodott con l sstema scanner laser con quell delle areecampone, costturà ulterore elemento d valdazone de dat rlevat. La verfca ha esto postvo quando tutt controll esegut rsultano conform con le modaltà e le precson rcheste. In caso contraro, n funzone delle problematche accertate, la Drezone d progetto valuta la necesstà d rpetere alcune rlevazon. Le attvtà d verfca ed eventuale revsone de dat d rlevo sono effettuate sa n corso lavor che alla conclusone degl stess e devono comunque termnare entro tre mes dalla fne lavor. 4. PRODUZIONE DI MODELLI STEREOSCOPICI DIGITALI E DI ORTOIMMAGINI L attvtà rguarda la produzone d support aerofotografc per la fotonterpretazone e per la produzone d mmagn dgtal ortorettfcate. L estensone del tratto d corso d acqua oggetto delle rprese e per l quale devono essere prodotte ortommagn è defnta nell ambto del Programma d ndagne predsposto secondo quanto prevsto d seguto, fatte salve pù precse ndcazon che all'atto esecutvo possono essere mpartte dalla Drezone d progetto. 4. PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE Prma d nzare le attvtà operatve, la Dtta redge un Programma d ndagne con lo scopo d:. prendere n carco le nformazon terrtoral che nsstono sull area oggetto d ndagne che resttuscono un quadro d rfermento d tpo generale; tal nformazon vengono fornte dalla Drezone d progetto; 76

93 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I. progettare la rete d nquadramento e d appoggo (ved d seguto); 3. progettare l pano d volo (ved d seguto); 4. predsporre, d ntesa con la Drezone d progetto, l elenco dettaglato de prodott e de relatv elaborat che lo compongono da consegnare, ndcando per ogn prodotto: l codce, l ttolo; la descrzone; gl elaborat che lo compongono. e per ogn elaborato: l codce; l ttolo; la descrzone; la tpologa (secondo le defnzon contenute nell allegato 5); l formato d consegna (numerco e/o cartaceo). 5. predsporre un dettaglato PDA (Pano Dettaglato delle Attvtà) artcolando e llustrando secondo la forma del Cronoprogramma. 4. ESECUZIONE DI RIPRESE AEROFOTOGRAMMETRICHE Le rprese aerofotogrammetrche devono essere condotte nel rspetto d tutt requst propr della tecnca pù aggornata per l'esecuzone de rlev aerofotogrammetrc. Il volo deve essere eseguto medante aere adatt ad effettuare l lavoro a regola d arte. 4.. CAMERA DA PRESA Le rprese devono essere esegute con la stessa camera da presa. Deve essere usata d norma una camera da presa grandangolare, con focale d 50 mm crca e formato utle dell'mmagne d 3 cm x 3 cm. Dal certfcato d taratura della camera, d data non anterore a ann, deve rsultare che la dstorsone massma dell'obettvo d presa, determnata come meda sulle due dagonal, è nferore a ±0,0 mm. La focale e le coordnate del punto prncpale, rspetto al rfermento defnto dalle marche fducal, devono rsultare determnate con s.q.m. d ±0,0 mm; noltre devono essere fornte le dstanze fra le marche con uno s.q.m. d almeno ±0,0 mm. Il potere separatore dell'obettvo deve rsultare d almeno 40 rghe/mm entro l 50% della zona fotografata. L'eventuale uso d una camera con focale d 300 mm deve essere autorzzato dalla Drezone d progetto, per la defnzone delle modaltà del volo e de relatv parametr. 77

94 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I 4.. MATERIALE FOTOGRAFICO Il materale fotografco da usars deve essere delle mglor qualtà dsponbl sul mercato al momento della stpulazone del contratto. Il supporto deve avere la massma ndeformabltà; le qualtà d sensbltà e d fnezza della grana devono essere adatte per vol fotogrammetrc. Per l materale usato deve essere dmostrato che l perodo d valdtà non è scaduto, che è stato conservato nelle prescrtte condzon ambental, che è stato svluppato ed ascugato secondo le norme tecnche suggerte dalla casa produttrce e dalle pù recent rcerche scentfche. Con uguale cura devono essere compute le operazon d produzone delle postve su supporto d polestere. Partcolar accorgment devono prenders per la conservazone delle pellcole negatve e delle postve su polestere, lo spessore del quale non deve essere nferore a 0,8 mm. Il materale fotografco deve essere a color. È fatto obblgo al Contraente d comuncare alla Drezone d progetto la data d effettuazone delle operazon d svluppo e d stampa del materale fotografco e d esegure le prove da questa rtenute necessare per verfcare l'adeguatezza del materale fotografco PIANO DI VOLO Compatblmente con l andamento del corso d acqua, deve essere realzzato un volo con l mnmo numero d strscate necessare alla completa copertura del terrtoro da rlevare così come defnto nell ambto del Programma d ndagne. Sul pano d volo devono essere evdenzat:. l terrtoro da rlevare;. l'asse delle strscate; 3. la numerazone progressva delle strscate; 4. la prevsta quota d volo d cascuna strscata; 5. la quota mnma e massma del terrtoro rcoperto da cascuna strscata; 6. Il perodo prevsto per le rprese; 7. l terrtoro rcoperto da fotogramm QUOTA DI VOLO, SCALA DEI FOTOGRAMMI E CARATTERISTICHE DEL VOLO La quota d volo deve essere tale da asscurare una scala meda d cascun fotogramma d : I vol devono essere esegut d norma con strscate parallele e rettlnee, a quota costante. Le rprese devono essere esegute nelle ore a cavallo del mezzogorno solare e nelle stagon n cu s abba la mnma copertura del terreno da parte della vegetazone ed n assenza del manto nevoso e d foscha. In ogn caso l'nclnazone de ragg del sole sull'orzzonte non deve essere nferore a

95 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I Nella defnzone del perodo d esecuzone de vol d rpresa s deve noltre tenere conto de seguent aspett operatv: caratterstche delle zone oggetto della rpresa, n relazone all'ncdenza della copertura del terreno da parte della vegetazone (zone urbane con scarsa copertura o rural con copertura pù rlevante); caratterstche clmatche della zona. I fotogramm devono presentars ntd, prv d nub e d ombre da esse proettate. Le varazon (fra fotogramm contgu) degl element d orentamento angolare non devono superare 5. I valor assolut degl angol d orentamento de sngol fotogramm non dovranno superare 5. I fotogramm consecutv d una stessa strscata devono avere rcoprmento n drezone longtudnale (overlap) del 70%; l rcoprmento trasversale fra modell appartenent a strscate contgue (sdelap) deve essere del 30% ESECUZIONE DEL VOLO La rpresa aerea è portata a termne entro trenta gorn successv dall approvazone del pano d volo. E compto della Dtta dmostrare l eventualtà che nel perodo a dsposzone non s sono verfcate suffcent gornate adatte alla realzzazone della rpresa aerea AUTORIZZAZIONI CIVILI E MILITARI La Dtta ncarcata è tenuta ad adempere a tutt gl obblgh d legge crca le autorzzazon da rcheders all'autortà cvle e mltare. Essa deve noltre sottoporre fotogramm all'autortà mltare, secondo le norme da questa fssate, per l'esame d rservatezza. Deve essere comuncata alla Drezone d progetto la data d nvo de fotogramm all'autortà mltare COLLAUDO DELLE RIPRESE AEROFOTOGRAMMETRICHE Nel caso n cu la Drezone d progetto vorrà procedere, avvalendos d strutture e/o consulenze esterne dalle comprovate specfche competenze, al collaudo de vol fotogrammetrc, cò comporterà: l controllo della consstenza e valdtà de document presentat secondo quanto esposto a punt precedent, della qualtà del colore, dell'llumnazone del suolo e della dfferenza d tonaltà tra un fotogramma e l successvo sa nell'ambto delle sngole strscate che tra strscate contgue e adacent; la verfca, per almeno l 0% delle fotografe aeree che compongono l volo, delle caratterstche geometrche (scala meda, derva e sbandamento) secondo le prescrzon ndcate a punt precedent; controllo delle dmenson della pellcola dopo l suo trattamento eseguto, msurando le dstanze fra le apposte marche dmensonal, su almeno l 5% de fotogramm; 79

96 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I la verfca, medante l'anals delle parallass d'altezza resdue per almeno due modell d ogn strscata composta da pù d dec fotogramm, dell'assenza d deformazon dell'mmagne dovute a dfettoso funzonamento dello spanamento od al trattamento del materale fotografco. 4.3 RETE DI INQUADRAMENTO E APPOGGIO Deve essere effettuata, nell ambto del Programma d ndagne, una rcognzone de punt trgonometrc e de capsald altmetrc present sul terrtoro oggetto dell ndagne al fne d ndvduare quell done e necessar alle operazon d nquadramento e appoggo n relazone alla scala del fotogramma e al pano d volo; qualora, tale rcognzone evdenz una dstrbuzone spazale d tal vertc non conforme con le caratterstche collegate alla scala de fotogramm e del pano d volo, s rende necessaro la progettazone e l rlevo d ulteror vertc. I vertc d tale ret devono rsultare congruent con la rete IGM 95. I vertc della rete d appoggo hanno lo scopo d permettere la successva operazone d Trangolazone Aerea: ess dovranno essere costtut da punt corrspondent a partcolar fotografc su qual sa possble compere una scura e precsa collmazone TRIANGOLAZIONE AEREA A partre da punt d appoggo determnat sul terreno, dovranno essere dervat altr punt fotografc d appoggo (punt d concatenamento o d legame) medante trangolazone area. Per l orentamento assoluto de modell devono essere utlzzate le coordnate planoaltmetrche d almeno 6 punt fotografc n cascun modello, stuat al bordo nella zona d sovrapposzone laterale e longtudnale, nonché la quota d almeno un punto posto al centro del modello VERIFICA DELLE RETI DI INQUADRAMENTO E DI APPOGGIO E DELLA TRIANGOLAZIONE AEREA La verfca consste nell esame de document relatv alle msure e quell relatv a calcol. In tale esame dovrà esplctamente rsultare: - che gl strument usat sano d precsone suffcente; - che gl schem operatv corrspondono ad una prass adeguata e d tpo moderno; - che per tutte le determnazon metrche sano state esegute msure esuberant n numero suffcente da rendere statstcamente sgnfcatve le compensazon e controll ntern. Qualora dall'esame rsultasse che la documentazone é nsuffcente, che alcun dat, pur senza essere fuor tolleranza, lascano sussstere dubb sulla adeguatezza della rete, la Drezone d progetto può rchedere alla Dtta d esegure ulteror msure drette sul terreno per controllare le coordnate de vertc. Se per la determnazone delle coordnate de punt d'appoggo la Dtta adotta l procedmento della trangolazone aerea, la Drezone d progetto esamna document predspost e verfcherà l rspetto delle prescrzon. Qualora sussstano dubb sulla precsone de rsultat 80

97 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I delle trangolazone aerea, la Drezone d progetto può far esegure dalla Dtta msure drette sul terreno per controllare le coordnate planmetrche d alcun punt d'appoggo. 4.4 PRODUZIONE DELLE ORTOIMMAGINI Devono essere prodotte ortommagn con pxel quadro d m terreno a color. Il taglo delle mmagn deve essere concordato con la Drezone d progetto e ottmzzato n funzone dell andamento planmetrco del corso d acqua SCANSIONE DEI FOTOGRAMMI I fotogramm devono essere dgtalzzat a 6,8 mlon d color (per flm a color), mpegando uno scanner pano con dmensone mnma utle 300x300 mm, n grado d fornre una defnzone par ad almeno 4 volte quella rchesta d 8 µm. dp (per una rsoluzone massma della foto d almeno 7 µm.). La conversone analogco dgtale deve garantre una rsoluzone geometrca d µm ed un accuratezza d almeno 3 µm/sqm. La stazone collegata allo scanner deve essere dotata d opportuno software che consenta d analzzare prelmnarmente le qualtà dell mmagne n corso d acquszone e d attrbure le caratterstche radometrche ottmal. Essa deve noltre consentre d vsualzzare pù mmagn per esegure un omogenezzazone delle caratterstche d enhancement e l controllo della saturazone e della rsoluzone radometrca ORIENTAMENTO DEI FOTOGRAMMI Ogn sngolo fotogramma deve essere sottoposto alla procedura dell orentamento sotto l dretto controllo vsvo dell operatore l quale mpega un sstema vdeografco d precsone ampamente automatzzato e collaudato. Vengono collmat gl element geometrc della foto ed ndvduat punt fotografc d appoggo plano-altmetrc. A conclusone dell attvtà deve essere eseguta la verfca degl s.q.m. ottenut e deve essere effettuato l controllo de parametr angolar d presa calcolat nonché produrre rapport con l ndcazone degl scart d orentamento ottenut RADDRIZZAMENTO DIFFERENZIALE I fotogramm dgtalzzat vengono sottopost a procedura d raddrzzamento dfferenzale mpegando applcazon software specalzzate e rconoscute dalla comuntà tecncoscentfca come adeguate al fne d garantre la rspondenza fra la dmensone del pxel e la quanttà d terrtoro metrcamente predefnta. Tale procedura vene eseguta utlzzando l modello dgtale del terreno (ved punto successvo MODELLO DIGITALE DEL TERRENO (DTM. 8

98 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I L applcazone software mpegata deve consentre l rcamponamento dell mmagne mponendo la dmensone del pxel terreno. Nel caso specfco vene mposto l valore d metro MOSAICATURA DEI FOTOGRAMMI A valle del processo d raddrzzamento, vengono scelte le porzon central de fotogramm (medamente par al 0% della superfce del fotogramma) e, qund, s procede con la loro masacatura sommando le vare porzon central delle mmagn nteressate. Nelle zone d sovrapposzone d foto adacent deve essere eseguta un operazone d relaborazone de pxel che, medante l equalzzazone de relatv stogramm, consenta d mnmzzare le possbl dverstà radometrche esstent fra le sngole mmagn. Per ognuna delle ortommagn deve essere controllata la precsone planmetrca mpegando un congruo numero d punt d coordnate note. I bord d ogn ortommagne devono essere controllat con quell delle ortommagn contgue al fne d controllare gl scart planmetrc MODELLO DIGITALE DEL TERRENO (DTM) Al fne d garantre la rspondenza planmetrca delle ortommagn, deve essere prodotto un modello dgtale del terreno ordnato secondo una grgla quadrata regolare a passo 0 m a partre da dat Laser prodott nel rlevo appostamente condotto COLLAUDO DELLE ORTOIMMAGINI Nel caso n cu la Drezone d progetto vorrà procedere, avvalendos d strutture e/o consulenze esterne dalle comprovate specfche competenze, al collaudo, n corso d opera, l Collaudatore potrà rchedere d verfcare la qualtà del cclo d produzone delle ortommagn ed n partcolare n ordne alle procedure prevste dalle applcazon software specalstche, oltre alla rspondenza alla tpologa d formato del fle rchesta per la consegna. 8

99 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I FORNITURA DEI PRODOTTI E DEGLI ELABORATI Per ogn tpologa d elaborato, n funzone degl obettv prefssat, l Autortà d bacno ha defnto, nell Allegato Specfca per la consegna degl elaborat su base cartacea e numerca prncpal e fondamental crter d rconoscmento, redazone e consegna, nonché le essenzal nformazon necessare per organzzare le consegne e la documentazone degl elaborat. Per partcolar tpologe d elaborat, legat alla specfctà delle attvtà descrtte da questa specfca tecnca, s farà rfermento a seguent formato e tpologe d elaborato. Elaborato Formato fle Tpologa elaborato descrtta nell Allegato X Specfca per la consegna degl elaborat su base cartacea e numerca Punt quotat ASCII xyz; grd (tpo.asc x ESRI ArcVew o.grd x Surfer Golden Software) DTM grd (tpo.asc x ESRI ArcVew o.grd x Surfer Golden Software) Fotografe dgtal Modell stereoscop c dgtal Immagn ortorettfc ate ECW (compressone max 0) ECW (compressone max 0) fle TXT parametr orentamento ECW (compressone max 0) TIFF 56 color (compressone LZW) fle TFW d georeferenzazone Breaklnes DXF 3D (formato d nterscambo vettorale AutoCAD) D - Dat con formato D - Dat con formato F - mmagne F mmagne e D - Dat con formato F mmagne e D - Dat con formato N dsegno (georeferto planmetrcamente e altmetrcamente) Nell Allegato Specfca per la consegna degl elaborat su base cartacea e numerca s fa rfermento a un modello per metadat. S rchede, oltre alla complazone d tale modello per ogn strato nformatvo consegnato (data set, data set cartografc, bas dat geografche, foto aeree, ecc.), anche la redazone d una scheda d repertoro (n sostanza una forte sntes del metadato) l cu modello verrà fornto e dscusso con la dtta n sede d nzo lavor. 83

100 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I In ultmo è rchesto una consegna a parte d una selezone rordnata de dat prodott fnalzzata alla messa a dsposzone degl stess per la condvsone con altr soggett o per uso nterno. La defnzone d questa consegna sarà realzzata asseme alla drezone d progetto. Vengono d seguto elencat alcun prodott che dovranno essere consegnat al termne d cascuna fase. Il programma prelmnare conterrà nel dettaglo l elenco e le caratterstche degl elaborat che la Dtta ntende consegnare. 5. ELABORATI DEL PROGRAMMA PRELIMINARE D INDAGINE Elaborat attes n formato numerco e cartaceo:. relazone tecnca descrvente le attvtà;. cartografa su bas CTR :0.000 che rporta l pano d volo organzzato n blocch con strscate e le stazon d terra; 3. tabella de Prodott ed Elaborat, con contenut d cu al paragrafo 3., punto 4 e al paragrafo 4 della presente Specfca tecnca; 4. documento PDA (Pano Dettaglato delle Attvtà) con Cronoprogramma de lavor. 5. PRODOTTI DA DETERMINAZIONE DELL ASSETTO PLANO-ALTIMETRICO Prodott attes:. relazone metodologca tecnca descrvente le attvtà e le metodologe mpegate;. quadro d unone de vol su base CTR :0.000, che rporta vol effettuat organzzat n blocch con strscate e le stazon d terra mpegate; 3. dat grezz d rlevo; 4. DSM a punt; 5. DSM a magla regolare; 6. Breaklnes o lnee d dscontnutà; 7. Modello dgtale del terreno draulco; 8. Modello dgtale del terreno draulco senza gl edfc; 9. Modello dgtale del terreno naturale; 0. Modello dgtale degl oggett sovramontant e sottomontant. Modello dgtale del terreno a meda rsoluzone;. Monografe de capsald; 3. Documentazone delle fas operatve de rlev. I dat d rlevo da 3. a 0. sono strutturat secondo un taglo cartografco da concordare con la Drezone d progetto. 84

101 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda Parte I 5.3 PRODOTTI DA PRODUZIONE DI MODELLI STEREOSCOPICI DIGITALI E DI ORTOIMMAGINI Prodott attes:. fotografe dgtal;. fotondce; 3. modell stereoscopc dgtal comprensvo de dat d orentamento della fotocamera; 4. mmagn ortorettfcate; 5. DTM utlzzato per ortorettfcare le fotoaeree. 85

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103 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO 5 STIMA DEI COEFFICIENTI DI RESISTENZA La corrente ncontra una resstenza nel suo movmento poché le partcelle prossme al contorno fsso, che sono ferme, rallentano quelle adacent, essendo l fludo vscoso: questo effetto resstente s propaga dal contorno al centro nteressando tutta la corrente. Per vncere questa resstenza, parte della potenza meccanca che fa muovere la corrente s dsspa n quanto vene trasformata n flusso d calore. Lo sforzo tangenzale, o resstenza untara, alla parete τ 0 ha dmenson, espresse nel sstema d rfermento ( M,L,V : massa, lunghezza, veloctà): [M L -3 V ]. Dunque, sulla base de crter della teora della smltudne de fenomen drodnamc (ad esempo attraverso l teorema Π d Buckngham), esso può esprmers come: τ 0 = a ρ U [M L -3 V ] (5.) dove s è ndcato con ρ la denstà del fludo o anche, esplctando n funzone della cadente, come: γ R S f = a ρ U (5.) Nelle (5. e 5.) compare l coeffcente admensonale a = a ( k, Re, Φ ) che dpende da: k = k s / R scabrezza relatva del contorno bagnato essendo k s la scabrezza assoluta, Re numero d Reynolds, Φ funzone d forma della sezone bagnata. La relazone (5.) è stata trasformata da var autor n espresson pù adatte per l mpego pratco. Le espresson pù comun sono: la formula proposta da Chézy nel 768 ma entrata nell uso solo un secolo pù tard: 87

104 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I U = C R S f (5.3) ove C = g/a è l coeffcente d resstenza d Chézy, la formula d Darcy - Wesbach: f U S f = 4 R g (5.4) ove f = 8 g / C è l fattore, o ndce, d resstenza. Le espresson del coeffcente: C = C ( k, Re, Φ ) ovvero: f = f ( k, Re, Φ ) che varano con l regme d moto del fludo: lamnare, turbolento msto entro contorno lsco, turbolento msto entro contorno scabro, turbolento puro, sono state determnate, d norma, sulla scorta de rsultat d esperenze d laboratoro esegute su corrent n moto unforme; le pù antche espresson sono state dedotte da osservazon sul moto (crca unforme) dell acqua n canal o cors d acqua d alveo abbastanza regolare. D norma, l coeffcente d resstenza, o l ndce d resstenza, non vene fatto dpendere esplctamente dalla funzone Φ n quanto s rtene che la dpendenza della resstenza dalla forma dell alveo venga rappresentata n manera accettable, dal raggo draulco R come mostra uno studo della Amercan Socety of Cvl Engneers (963). Nel caso d canal avent una sezone d forma molto artcolata, sezon composte, debbono essere adottate opportune precauzon nell applcare le formule d resstenza al moto come vedremo n RESISTENZA DI SEZIONE E RESISTENZA DI TRONCO Ne canal, e ancor pù negl alve natural, alla resstenza del contorno s aggungono altre font d perdta d energa dovute alla contnua varazone d geometra del contorno ( allargament, restrngment, varazon d forma, ecc.) che non sono sngolarmente valutabl. Il loro effetto vene ncluso nel calcolo ncrementando adeguatamente l coeffcente d resstenza. Per valutare la resstenza al moto n un alveo naturale, Cowan (956) consgla d sommare tra loro gl effett d tutt fattor che ostacolano la corrente, determnando l coeffcente d scabrezza d Mannng con la relazone: n = (n 0 n n n 3 n 4 ) m 5 (5.5) ove l sgnfcato e l campo d varazone de valor de sngol termn è fornto n tab. 5.. La resstenza al moto dovuta alla sola scabrezza del contorno è espressa con n 0 dato n tab. 5. n funzone del materale costtuente l'alveo, se questo è ndeformable. Qualora l alveo, costtuto da materale scolto, sa a fondo moble, n luogo d adottare l valore dato n tab. 5.3, l coeffcente n 0 che ndca la resstenza dovuta al materale d alveo e alla confgurazone del fondo può calcolars con le procedure esposte al 5.3; è ovvo che, per alve molto rregolar e/o nerbt, la stma del precso valore d n 0 rsulta poco mportante. 88

105 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 5. RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI FISSI Al solto, ne canal e ne cors d'acqua natural la corrente ha numero d Reynolds d attrto (della scabrezza): Re* = ρ u* k s µ > 70 (5.6) e qund s muove n regme turbolento puro; pertanto l coeffcente d Chézy s defnsce n funzone della sola scabrezza relatva. S rchama che l lmte espresso dalla (5.6) non è nettamente defnto: n realtà l passaggo tra regm d moto turbolento - da msto a puro - avvene per valor d Re* compres tra 50 e 00. La resstenza al moto può, qund, essere calcolata con la formula d Prandtl rdefnta n termn d coeffcente d Chézy e d raggo draulco. Nelle corrent a superfce lbera è presente una ulterore forma d dsspazone energetca, causata dalle ondulazon che s formano sulla superfce della corrente e che crescono d mportanza con l crescere del numero d Froude. La veloctà meda U della corrente a superfce lbera s può calcolare, n funzone della scabrezza relatva R/ k s e della veloctà d attrto u*, con la equazone d Keulegan: U u* = A R 5.75 Log 0 ( R k s ) (5.7) nella quale compare l coeffcente admensonale A R che vara n funzone del numero d Froude come è stato mostrato da Iwagak. Il coeffcente d Iwagak è dato dalla: A R = Log 0 ( F 9) (5.8) Osservando che, per la (5.3) è: U u* = C g ottenamo dalla (5.7) l'espressone: (5.9) C 8g = g [ A R 5.75 Log 0 ( R ) ] = 5.75 k s 8g Log 0 [ 0 (A / 5.75) R R ] (5.0) k s Posto A R = 6.5, corrspondente a F =.87 per la (5.8), Keulegan ottene: C 8g = Log 0 (. R k s ) (5.) L'mpego della relazone d Keulegan (5.) è abbastanza dffuso. Dvers valor d altezza della scabrezza sgnfcatva k s (mm) sono elencat n tab. 5.. Nelle applcazon pratche s prefersce utlzzare n luogo della (5.) la espressone proposta da Mannng (885) e, prma d lu, da Hagen (88) e, n forma leggermente dversa, da Gauckler (867): C = R/6 n che rduce la espressone (5.3) alla forma: (5.) 89

106 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I U = R/3 n / Sf (5.3) Le esperenze d Wllamson (95) hanno mostrato che la (5.) nterpreta la dpendenza della resstenza al moto dalla scabrezza, soprattutto quando questa è elevata, meglo d altre formule d moto puramente turbolento; pertanto la (5.) può essere sosttuta dalla: C 8 g = 8.85 ( R k s ) /3 (5.4) che equvale alla (5.) ove sa posto: n = k s /6 (5.5) I valor del coeffcente d resstenza d Mannng sono tabulat n funzone del tpo d superfce costtuente le paret e l fondo del canale n tab. 5.. Ne cas n cu l rvestmento del canale sa deterorato e la scabrezza relatva sa mportante - 0. < k < l coeffcente della (5.5) non può essere rtenuto costante. In tal caso, Flntham e Carlng (99) consglano l'uso d una relazone analoga alla (5.) che, dopo semplc trasformazon, assume la forma: n = a R /6 (5.6) con: a = [7.98 Log 0 (3.04 / k )] (5.7) 5.3 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A FONDO MOBILE Gl alve fluval scavat n depost d materal alluvonal non coesv, sono modellat dalla corrente che n ess scorre e la scabrezza del contorno è determnata n larga msura da questa azone d modellamento. Tra process d modellazone fluvale dobbamo dstnguere quell: - a larga scala - morfologa fluvale -, che determnano la morfologa del corso d acqua: assetto planmetrco (fume rettlneo, multcursale o a trecca, meandrforme), proflo longtudnale d fondo, sezone trasversale. La nfluenza della morfologa del fume sulla resstenza al moto, che ancora ogg non è ben quantfcable, può essere valutata n modo semplfcato. - a scala locale - forme d fondo -, a qual s deve ascrvere la confgurazone del fondo. L effetto che la confgurazone (nseme delle forme) del fondo ha sul coeffcente d resstenza al moto della corrente che v scorre sopra è n molt cas estremamente rlevante. Alla perdta d energa procurata dalla sola scabrezza del fondo, supposto patto e prvo d forme, s deve aggungere la perdta dovuta al fenomeno d separazone della corrente che s verfca nel brusco allargamento a valle delle dune o delle altre forme d fondo. S stma che la perdta dovuta alle forme d fondo sa almeno 5 0 volte pù grande d quella provocata dalla scabrezza del contorno: Znamenskaya (967) ha valutato che le perdte d energa che s hanno sulla facca d valle delle forme d fondo sono d un ordne d grandezza maggor d quelle sulla facca d monte. Var stud spermental ctano cas d dmnuzone del fattore d attrto dell ordne d 0 volte con l aumento della portata al passaggo d una pena. Questa dmnuzone d resstenza non è gustfcata dalla dmnuzone del valore della 90

107 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I scabrezza relatva nella (5.3) ma deve ascrvers al fatto che le forme d fondo vengono spanate quando la veloctà della corrente aumenta e l proflo d dstrbuzone d veloctà sulla sezone trasversale vene alterato n senso favorevole al moto quando aumenta l ntenstà del trasporto soldo. In ragone de dvers stat del fume, l letto fluvale può assumere confgurazon dfferent a causa de fenomen local d erosone e d deposto che scavano o accumulano l materale d fondo fno a raggungere una stuazone d equlbro. Il letto costtuto da materale granulare ncoerente può atteggars varamente n rapporto alla portata della corrente che v scorre sopra: INCRESPATURE (rpples), che hanno la forma d pccole dune, a proflo trangolare con facca d monte dolcemente acclve e superfce leggermente convessa, facca d valle rpda, lunghezza d non pù d 5 30 cm e altezza d qualche cm. Le ncrespature, dsposte n rangh ad occupare la larghezza del letto, s formano n sedment pù fn d 0.6 mm e s spostano verso valle con una celertà molto pù bassa della veloctà della corrente; BARRE, che hanno proflo smle alle ncrespature ma lunghezza d cresta paragonable alla larghezza del letto e altezza smle al trante d acqua medo. S dstnguono 4 tp d barre: local (pont bar), alternate, trasversal, d confluenza; DUNE, che hanno dmenson ntermede tra le ncrespature e le barre e s spostano verso valle n manera smle alle ncrespature; FORME DI TRANSIZIONE, che consstono n un nseme non ordnato d ncrespature, dune e zone a fondo patto; FONDO PIATTO, che s verfca ove la corrente ha la capactà d spanare l letto, ANTIDUNE, che hanno un proflo snusodale e dmenson determnate dalla veloctà della corrente. Le antdune nteragscono fortemente con le onde alla superfce lbera e possono muovers verso monte, verso valle o rmanere ferme. Le dverse forme d fondo sono raggruppate nelle general categore d:. regme nferore (lower regme): ncrespature, dune;. regme d transzone (transtonal regme): forme d transzone, fondo patto; 3. regme superore (upper regme): antdune. È opportuno rcordare che la resstenza dovuta alle forme d fondo nteressa solo l letto del fume, sul quale, appunto, s muove l materale e s svluppano le forme d fondo. Invece, non nteressa le sponde, troppo pendent per consentre l'accumulo del materale mobltato e, qund, la formazone d forme d fondo, o le golene, rcoperte da vegetazone. Il fondo fluvale ncoerente vene dlavato dal passaggo della corrente, che rmuove e trasporta con sé granul pù pccol, lascando sulla superfce del letto uno strato - corazza - formato dagl element d maggore dmensone: l fenomeno è detto d corazzamento (armourng) del letto. Al passaggo delle portate mnor la corrente scorre sulla corazza la cu scabrezza sgnfcatva k s è maggore d quella degl strat sottostant - sottofondo - che contengono anche element pù mnut. 9

108 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Al passaggo d una pena, con l'aumento della portata e della azone d trascnamento della corrente, la corazza vene dstrutta e l sottofondo esce allo scoperto: d conseguenza dmnusce la k s del fondo. La valutazone dell'effetto della formazone e della dstruzone della corazza sulla varabltà del coeffcente d resstenza al moto, esula dalla matera qu trattata. Nel seguto s farà sempre mplcto rfermento alla dstrbuzone granulometrca del materale costtuente l sottofondo. 5.4 RESISTENZA DI ATTRITO La resstenza d attrto dovuta alla scabrezza de granul che costtuscono l letto fluvale è calcolable con le formule proposte da var autor qual però non concordano sul modo d defnre la scabrezza assoluta k s del letto n funzone delle dmenson de granul d materale ncoerente da cu è formato: quest granul non hanno dmenson unform ma hanno dmenson eterogenee dsposte secondo una dstrbuzone granulometrca che è caratterstca del tratto d fume esamnato. In generale le formule d resstenza per scabrezza de granul modfcano la (5.5) cambando l valore del coeffcente moltplcatvo e ponendo la scabrezza assoluta k s (m) par a un dametro sgnfcatvo d s (m), rappresentatvo della dstrbuzone granulometrca. Strckler pone d s par al dametro medano de granul d 50 che formano l alveo, Ensten e Barbarossa propongono k s = d 65, dametro passante al 65% ovvero dametro per cu l 65% n peso del materale costtuente l letto è pù pccolo, Smons e Rchardson usano k s = d 85, Engelund e Hansen adottano nella loro procedura, d cu s drà qu d seguto, k s =. d 65, altre formule mpegano k s = s g, scarto quadratco medo geometrco de dametr de granul: s g = ( d 84 d 50 d 50 d 6 ) (5.8) Tra le molte formule fornte da var Autor, rcordamo: la formula d Strckler (93): n=0.0474d 50 /6 la formula d Keulegan (938): n=0.0395d 50 /6 le formule d Irmay (949): n=0.046d 65 /6 n=0.049d 90 /6 la formula d Lane e Carlson (953): n=0.0473d 75 /6 la formula d Raudkv (967): n=0.0376d 65 /6 le formule d Bray (979) che correggono leggermente l'esponente: n=0.0593d 50 /5.586 n=0.056d 65 /5.586 la formula d Ensten e Barbarossa (95): 9 (5.9a) (5.9b) (5.9c) (5.9 d) ( 5.59e) (5.59f) ( 5.9)g ( 5.9 h)

109 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I n = 0.04 d 65 /6 la formula d Meyer-Peter e Müller (948): n = d 90 /6 (5.9) (5.9l) In generale, come s osserva confrontando la (5.9 a) con la (5.5), queste formule tengono parzale conto, n modo non esplcto, anche della resstenza d forma. Gl autor (5.9 ) e (5.9l) propongono l uso delle loro formule per valutare la resstenza delle forme d fondo all nterno d procedure d calcolo del trasporto d fondo e qund queste formule non sono consglate per l calcolo della sola resstenza de granul. Smons e Rchardson (966) rtengono che n un alveo moble con fondo patto (transtonal regme) sa: C g = 7.4 Log h 0 (5.0) d RESISTENZA DI FORMA A datare dagl stud d Ensten e Barbarossa (95) molt autor hanno cercato d caratterzzare la complessva resstenza al moto - costtuta da resstenza d scabrezza pù resstenza d forma - per cors d acqua a fondo moble. Tra le vare soluzon proposte ctamo qu due crter d mpego pù dffuso. Il METODO DI BROWNLIE (983), nterpretando rsultat spermental con metod della anals dmensonale, esprme l coeffcente d resstenza d Mannng con l prodotto: n = C F n S (5.a) tra l coeffcente d resstenza d attrto, defnto come s è vsto al paragrafo precedente: n S =0.045d 50 /6 (5.b) e l coeffcente che amplfca la resstenza d attrto per ncludere l effetto delle forme d fondo. Il coeffcente C F è espresso: - per alveo n condzon d lower regme, da: C F =.6940( R d ) S0 S g (5.c) 50 - per alveo n condzon d upper regme, da: C F =.03( R d ) S0 S g (5.d) 50 La transzone da lower regme a upper regme s determna confrontando l valore del NUMERO DI FROUDE DEL GRANULO: F g = U (s - ) g d 50 (5. e) ove compare l peso specfco relatvo, rspetto all'acqua, del materale costtuente granul: s = γ s γ 93

110 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I con l valore dscrmnante: F g ' =.74 S 0 /3 (5. f) Il deflusso è n lower regme se: F g F g '. Il deflusso è n upper regme se: F g > F g ' oppure se S 0 > La scala d deflusso ottenuta applcando l metodo d Brownle non è contnua, così come mostrano le msure d portata esegute n alve natural. Il METODO DI ENGELUND (966) s svluppa a partre da consderazon teorche estesamente confermate dalle verfche spermental. a) Consdera che la resstenza al moto, ossa lo sforzo d trascnamento sul contorno della corrente τ 0 sa esprmble come somma dello sforzo per resstenza d attrto τ 0 ' e per resstenza d forma τ 0 '', ossa che: τ 0 =τ 0 'τ 0 '' ( 5.) Cascuno de termn della (5.) può essere reso admensonale facendo comparre lo sforzo tangenzale admensonale o RESISTENZA UNITARIA DEL GRANULO: τ * = τ 0 γ (s -) d s (5.3) ove è adottato l dametro sgnfcatvo: d s = d 65. Introducendo la (5.3) nella (5.) ottenamo: τ * =τ * 'τ * '' ( 5.4) b) Ipotzza che la resstenza d forma sa addebtable alla brusca espansone della corrente al passaggo sopra le dune d fondo e qund sa esprmble con la formula d Borda: Η''=κ (U - U ) g 94 ( 5.5 a) nella quale compaono: l coeffcente d perdta κ e le veloctà mede, n m/s, sulla cresta U e nel cavo tra le due dune successve U. Presa una strsca d larghezza untara d letto fluvale e ntrodotte: la portata per untà d larghezza q (m /s), h (m) trante drco sul fondo medo, (m) altezza della duna, la (5.a) s scrve: Η''= κ g ( q - q h - / h / ) ~ κ g (q h ) ( h ) =κ U g ( h ) (5.5 b) Dstrbuendo le perdte d carco localzzate, che s rpetono rtmcamente a ntervallo λ (m) lunghezza della duna -, s scrve la cadente per resstenza d forma: S f '' = Η'' λ = κ λ h F (5.5 c) Rcordando l legame tra lo sforzo sul contorno e la cadente e ntroducendo le defnzone (5.3) s ottene: τ * ''= κ F (5.5 d) (s - ) λ d s c) Per rcavare l espressone dello sforzo sul contorno dovuto alla resstenza d attrto, rcordando che :

111 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I (u* ' ) = τ 0 ' / ρ u* ' = g R S f ' U u* ' = C' g = R/6 n' g / Engelund esprme la resstenza d attrto con una relazone smle a quella d Keulegan (5.): U u* ' = 6.5 ln ( R '.5 d s ) (5.6 a) nella quale compare un valore rdotto R ' del raggo draulco, al quale Engelund fa rsalre la resstenza per attrto, osservando che: u* ' = g R S f ' = g R ' S f (5.7) ed è pù comodo nelle applcazon fare rfermento a R ' puttosto che a S f ', poché l sgnfcato d cascuna delle due grandezze è puramente convenzonale e nessuna d esse è drettamente msurable. d) Infne, nterpretando rsultat d esperment d laboratoro, lega la resstenza al moto complessva τ * a quella d attrto τ * '. Per lower regme, che s verfca quando τ * '< 0.55, Engelund e Hansen (967) propongono: τ * =.58 (τ * ' 0.06) / (5.8a) valda solo se τ * ' > Per upper regme, che s verfca quando τ * ' > 0.55, Engelund e Hansen propongono una relazone che vale per 0.55 < τ * ' <.0: τ * = τ * ' (5.8b) che è stata estesa da Brownle (983) nella regone superore dell'upper regme con la relazone valda per.0 < τ * ' <.75: τ * = [.45 (τ * ' ) ] /.8 (5.8c) La soluzone della procedura d Engelund vene trovata per tentatv e consente, not la cadente S f (o la pendenza d fondo S 0 ) e l dametro sgnfcatvo d s, d determnare:. l trante d'acqua h a partre dalla portata Q, oppure. la portata Q a partre dal trante d'acqua h. Nel caso () la procedura rsolutva è la seguente: scelto un valore d tentatvo del raggo draulco rdotto R' s calcolano: τ * ' con la defnzone (5.3); la veloctà meda U con la formula (5.6a); b) con la approprata relazone (5.8a) o (5.8 b) oppure (5.8c) s calcola τ * ; c) noto τ * s rcava a rtroso l raggo draulco: R = τ * (s -) d s S f (5.9) 95

112 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I d) Dalla veloctà meda U calcolata al punto (a) e dall'area A = A(R) s calcola la portata Q. ^ Se la portata Q ^ così trovata non è uguale al valore d partenza Q, s scegle un nuovo valore R' d tentatvo e s procede fno a convergenza. Dalle grandezze caratterstche della corrente, così rcavate, s può calcolare l coeffcente d resstenza d Mannng. Anche nel caso della procedura d Engelund, notamo che, per le relazon (5.8), la resstenza d forma non è una funzone unvoca della resstenza del granulo n quanto, nella realtà, un alveo a fondo moble può assumere dfferent confgurazon d fondo n corrspondenza a medesm stat drc. 5.6 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI IN GHIAIA I lett n ghaa s trovano generalmente n regme d transzone e non presentano forme d fondo ben svluppate: qund la scabrezza complessva dell alveo può essere calcolata n funzone della scabrezza del granulo. La letteratura tecnca propone parecche formule che consentono d calcolare la resstenza opposta al moto dagl alve ghaos. La Federal Hghway Admnstraton degl Stat Unt mpega dal 975 una formula del tpo n = d 50 /6 (5.30) Hey (979) ha tarato sulle msure esegute n numeros pccol torrent della Gran Bretagna, con portata fno a 500 m 3 /s, nella quale compare, nseme con l dametro sgnfcatvo, anche la dmensone delle petre pù grand present nel letto: d max. Questa formula può scrvers esplctando l coeffcente d Mannng come: n=0.0556r /6 a R [Log 0 ( )] d 84 (5.3) Il coeffcente a aumenta da. a 3.46 al dmnure dal rapporto: larghezza d alveo / trante. Analoga alla precedente è la formula d Bray (979) che, rscrtta esplctando l coeffcente d Mannng, porge: n=0.083r /6 ( d 50 R )0.8 (5.3) Per lett n sabba grossa e cottol -.5 < d 84 < 50 (mm) - dffuso mpego è la formula d Lmernos (970): n=0.3r /6 [.6Log 0 ( R d )] - (5.33) 84 Successvamente è stato provato spermentalmente che la formula d Lmernos può essere utlzzata anche per lett sabbos con fondo patto e che l suo campo d valdtà è: 600 < R d 84 < 0 4 (5.34)(.34b) 5.7 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI VEGETATI Sono alve vegetat: - canal nerbt, con fondo e sponde rcoperte d erba, che generalmente è puttosto corta e non occupa tutta la sezone e non emerge sopra l pelo lbero. Anche la 96

113 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I vegetazone acquatca, che cresce sul fondo de canal sempre pen d'acqua, non s stacca molto dal fondo, pur avendo stel molto lungh, n quanto è molto flessble; - le golene e le sponde de cors d'acqua natural, sulle qual vegetano cespugl, arbust e alber a medo e alto fusto la cu flessbltà è molto scarsa. Tra l'altro, le golene sono spesso coltvate, a semnatvo o a poppeto. Al varare della portata quest element vegetal sono varamente sommers: può essere n acqua solo l tronco ovvero può essere mmersa anche la choma, fno alla completa sommersone. È evdente che la loro resstenza al moto della corrente sarà estremamente varable Resstenza al moto ne canal nerbt Nella sezone d un canale con fondo e sponde rcoperte d erba, l proflo d veloctà non ha l'andamento logartmco delle corrent n regme turbolento ma presenta un flesso appena sopra la sommtà degl stel. Il coeffcente d Mannng può essere stmato n prma approssmazone, consultando la tabella 5.a. Con maggore precsone, l valore del coeffcente d resstenza è dato dalle curve dell'abaco spermentale del U.S. Sol Conservaton Servce (Ree e Palmer 947) n funzone del tpo d vegetazone e del prodotto - U R - tra veloctà meda della corrente e l raggo draulco. Per la scelta della curva d rfermento per l calcolo della resstenza è utle la consultazone della tabella 5.4. Recentemente, nel 00, queste curve sono state approssmatvamente nterpretate con la formula: n =. R /6 C 9.97 Log 0 (5.75 R.4 S ) ( 5.35) nella quale compare l coeffcente d rtardo C l cu valore è dato, n funzone del tpo d vegetazone, n tabella 5.5. Kouwen (98) ha studato l comportamento degl stel d'erba mmers nella corrente per calcolarne la resstenza da quest opposta alla corrente. Il coeffcente d resstenza d Mannng vene espresso con una relazone logartmca analoga a quella d Keulegan, rpresa anche da Lmernos: n = 0.3 R /6 [ a b Log 0 ( R k ) ] - ( 5.36) nella quale compare k, altezza dell'erba flessa dalla forza della corrente, τ 0 (N m - ); la frecca d nflessone dpende dalle caratterstche meccanche della vegetazone che sono rappresentate dal prodotto M E I (N m - ) d: M numero d stel per m, E modulo d elastctà medo del sngolo stelo (Pa), I momento d'nerza della sezone trasversale dello stelo (m 4 ). Uno stelo d altezza h v (m), flettendos, s rduce alla altezza: 97

114 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I k = 0.4 h v [ ( MEI τ 0 ) 0.5 ( h v )].59 ( 5.37) Kouwen defnsce con relazon emprche la resstenza flessonale dell'erba, da ntrodurre nella (5. 37): - per erba verde, n pena fase vegetatva: M E I = 39 h v per erba morta o dormente: M E I = 5.4 h v. 6 ( 5.38) ( 5.39) I coeffcent a e b che compaono nella (5.36) sono dat n tabella 5.6, n funzone del rapporto tra la veloctà d attrto della corrente u* e l valore d veloctà d attrto n prossmtà del quale l'erba s pega u* crt, che è stato determnato spermentalmente per var tp d stel; a favore d scurezza s scegle: u* crt = mn [ ( M E I ) ; 0.3 ( M E I ) ] ( 5.40) 5.7.-Resstenza al moto negl alve boscat La vegetazone che cresce sulle parde e sulle golene de fum rallenta fortemente l deflusso; l coeffcente d resstenza della vegetazone può essere stmato n prma approssmazone consultando la tabella 5.b o la tabella 5.3. Per una valutazone pù crcostanzata della resstenza opposta da un bosco s può rcorrere al METODO DELLA DENSITÀ DI VEGETAZIONE. Consderamo dapprma un bosco (ftto, ossa prvo d sottobosco) d alber le cu chome escano dalla superfce lbera. Applcando l equazone globale dell equlbro drodnamco al tronco fluvale boscato, lungo L (m), nel quale la corrente s muove n moto unforme con veloctà meda U (m/s) e sezone bagnata A (m ), Petryk e Bosmajan (975) osservano che la resstenza al contorno e la resstenza opposta da tronch degl alber equlbrano l peso dell acqua: F v T = G ( 5.4) Proettata nella drezone della corrente e rcordato che: la resstenza al moto, per formazone d sca turbolenta alle spalle d un corpo mmerso nella corrente: F = ½ ρ C d U a T ( 5.4) ove C d è l coeffcente (admensonale) d resstenza drodnamca del corpo mmerso nella corrente, a T è l area della sezone del corpo, perpendcolare alla drezone della corrente ncdente e ρ è la denstà dell acqua; la proezone del peso dell acqua lungo l asse della corrente è: G 0 = γ A L S 0 (5.43) la (5.4) s scrve come: ½ ρ C d U A v τ 0 C L = γ A L S 0 ( 5.44) 98

115 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I ove: A v (m ) è l area complessva delle sezon d mpatto de tronch contro la corrente; gl altr smbol hanno l sgnfcato noto. Sosttuta a τ 0 la sua espressone rcavata dalla formula d Mannng: τ 0 = γ U n 0 R -/3 ( 5.45) ove n 0 (m -/3 s) è l coeffcente d resstenza d Mannng relatvo al suolo spoglo, senza alber, s rcava: ( C d g A v R 4/3 ) n A L n 0 R -4/3 U = S 0 ( 5.46) 0 Sosttuta alla veloctà meda la sua espressone data dalla formula d Mannng, nella quale s fa comparre l coeffcente d resstenza complessva n (m -/3 s), quest ultmo è dato dalla formula: n = n 0 C d g D vt R4/3 n 0 ( 5.47) Petryk e Bosmajan assumono che l coeffcente d resstenza de fust degl alber sa uguale a quello d un clndro mmerso n una corrente ad elevato numero d Reynolds: C d =.0 La denstà degl alber D vt (m - ) è: M D vt = A Σ d v A L = B L 99 ( 5.48) ove d (m) sono dametr de sngol tronch degl M alber che crescono sulla strsca d golena lunga L (m) e larga B (m) sulla quale è stata eseguta la conta. Il metodo rchede, dunque, che s eseguano de sopralluogh per contare e msurare le crconferenze degl alber. In prma approssmazone s possono utlzzare valor d D vt elencat n tabella 5.7. Nel caso n cu agl alber d alto fusto s accompagnano arbust e cespugl, che rsultano parzalmente o, anche, totalmente sommers dalla corrente, Fschench (996) osserva che l contrbuto alla resstenza al moto offerto dal suolo e dal sottobosco è nscndble da quello degl alber e percò la (5.47) s rduce alla formula: n = R /3 C d (D v D d ) ( 5.49) g nella quale è stata esplctata la denstà D d (/m) de detrt vegetal tronch e ram secch, cumul d fogle - defnta dal rapporto tra le aree frontal degl M detrt present n golena e l'area della sezone bagnata moltplcata per la lunghezza del tronco d golena, sul quale sono stat censt detrt: D d = M Σ A d A L (m - ) ( 5.50) La (5.49) è stata calbrata, con esperment condott alla scala reale, da rcercator del US Army Corps of Engneers che hanno aggornato gl orgnar coeffcent della formula d Fschench. La denstà d vegetazone D v che compare nella (5.49) s ottene sommando le denstà della vegetazone bassa e dell erba D ve e la denstà de tronch D vt con dametro maggore d.5 cm:

116 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I D v = D ve D vt Come rfermento, rcordamo che, nel corso degl esperment, sono stat msurat valor d denstà: D vt = (m - ), D ve = (m - ) D d = 0.88 (m - ) Il coeffcente d resstenza drodnamca della vegetazone C d è defnto n relazone alla stagone: - nella stagone nvernale, con alber spogl e suolo ngombro d detrt, e vscostà cnematca d acqua fredda (3 C) - ν =. 0-6 (m /s) - rsulta: C d = Re -. ( 5.5) - nella stagone calda (5 C), con alber con fogle e suolo sgombro d detrt, e ν = (m /s): C d = Re -. ( 5.5) Evdentemente, le (5.5) e (5.5) tengono conto, n manera mplcta, del fatto che la mportanza della vegetazone bassa e peghevole dmnusce al crescere del trante drco e della veloctà della corrente e vara con la stagone. Inoltre, gl spermentator hanno osservato che la corrente, quando nveste la choma degl alber, trascna con sé le fogle, che s dspongono secondo un proflo drodnamco; n questo modo la resstenza al moto s rduce con l'aumento della veloctà della corrente. Il foglame drge le lnee d flusso della corrente verso l terreno, facltando l'erosone del suolo. Le msure spermental sono state condotte su corrent n moto turbolento, con Re ~ 0 6. La RESISTENZA DI ARBUSTI E CESPUGLI è stata msurata recentemente (000) da rcercator US Army Corps of Engneers, qual hanno rcavato formule emprche valde per dverse condzon. A causa della sua flessbltà, la vegetazone vene completamente mmersa quando l trante d acqua h (m) raggunge l 80% dell altezza della panta a v (m). Pertanto, se: h 0.8 a v l coeffcente d resstenza del suolo vegetato rsulta: E n = 0.83 ( s A s ) a v 43 ( ρ A u * h )0. ( M A ) ( ν u * R ) 0. 5 R /3 / S 0 u ( 5.53) * Invece, la vegetazone è parzalmente sommersa se: h < 0.8 a v l coeffcente d resstenza del suolo vegetato rsulta: n = E ( s A s ) 0. 5 ( M A * ρ A u ) ( ν * u * R ) R /3 / S 0 u ( 5.54) * Nelle (5.53) e (5.54) compaono le grandezze: E s modulo d rgdezza flessonale della panta (N/m ) A s area complessva delle sezon trasversal de ram o tronch dell arbusto o cespuglo, msurata alla altezza h/4 (m ) 00

117 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I ρ denstà dell acqua (kg/m 3 ) A sezone trasversale della panta, consderata con la choma completamente mmersa (m ) * A sezone trasversale bagnata della panta, consderata con la choma parzalmente mmersa con trante h (m ) u * veloctà d attrto (m/s) a v altezza della panta (m) h trante drco (m) M denstà d vegetazone: numero d pante per untà d area (m - ) ν denstà cnematca dell acqua (m /s) R raggo draulco (m) pendenza d fondo S 0 La rgdezza flessonale della panta E s, se non può essere msurata, può essere stmata n funzone del rapporto: r = h d s ( 5.55) con una formula rcavata dalla anals statstca delle msure: E s = r 74 r 8 r 3 ( 5.56) Nella (5.55) compare l dametro d s (m) del tronco della panta msurato alla altezza h/4 dal suolo. 5.8 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A SEZIONE COMPOSTA Qualora la sezone del tronco fluvale non sa suffcentemente regolare ovvero la scabrezza var sgnfcatvamente sul contorno bagnato non è consentta la potes semplfcata α β. In tal caso è ancora possble procedere all anals del moto della corrente secondo lo schema nterpretatvo monodmensonale rcorrendo alla potes proposta da Lotter (933) d carco totale unforme su ogn sezone trasversale. Da questa potes derva che la cadente S f rsulta unvocamente defnta lungo la corrente: nella gran parte de cas pratc l potes d Lotter può essere consderata accettable. Operatvamente la sezone d alveo rregolare vene suddvsa n pù part contgue cascuna delle qual possa rteners regolare, per forma e rpartzone della scabrezza sulla sezone, che vene così a drs composta. Suddvsa la sezone n N part, sono defnt per =,,N: - coeffcent d ragguaglo, α β, - le aree bagnate, A = N Σ A - contorn bagnat, che non ncludono l segmento d separazone tra le part contgue, 0

118 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I C = N Σ C Questa ultma condzone la quale sottntende che le separazon sano traccate perpendcolarmente alle lnee sotachche, vene usualmente approssmata adottando segment d separazone vertcal. Ovvamente la estensone d crter nterpretatv monodmensonal al moto d una corrente con evdent aspett d trdmensonaltà rchede prudenza. Il pelo lbero non s mantene orzzontale sulla sezone. La quota meda del pelo lbero è defnta dalla meda pesata: y _ = N Σ ( y A A ) Per l calcolo della resstenza al moto della sezone composta, alla relazone d Mannng (5.5) vene data una forma pù generale. Per le potes d carco totale unforme sulla sezone, possamo scrvere che: S / f = Q K = = Q N K N (5.57) ove è stata ntrodotta la CONVETTANZA della sngola porzone d sezone: K = Poché deve essere: Q = A R/3 n (5.58) N Σ Q = N Σ K S / ( 5.59) f la formula d Mannng per la sezone composta rsulta: Q = K S / ( 5.60) f ove compare la convettanza complessva della sezone: K = N Σ K. ( 5.6) Qualora l contorno d una sezone d forma semplce sa costtuto da part avent dfferente scabrezza, come, ad esempo, n un canale d sezone trapeza con sponde realzzate n materale dverso da quello del fondo, la formula d Lotter cade n dfetto. In questo caso l valore del coeffcente d resstenza della sezone - coeffcente d resstenza effcace, n e - è calcolable come meda pesata de coeffcent d resstenza assegnat alle sngole porzon d contorno bagnato secondo la formula d Horton. Horton (933) e, successvamente, Ensten e Banks (950), dalle potes d: (a) carco totale unforme sulla sezone, (b) veloctà meda n ogn porzone d area par alla veloctà meda nella sezone, rcavano dalla formula d Mannng: A = ( Poché: U S 0 / ) 3/ n 3/ C ( 5.6) 0

119 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I A = N Σ A ( 5.63) rcavamo mmedatamente: n e = [ N Σ C n.5 C ] /3 (5.64) Introdotte le aree parzal, nelle qual l'area bagnata rsulta scomposta dalle bsettrc degl angol alla base delle sponde, la formula d Colebatch (94) ntroduce queste aree parzal nella meda pesata: n e = [ N Σ A n.5 ] /3 A ( 5.65) La formula d Colebatch s è dmostrata pù precsa della formula d Horton ma la sua applcazone è pù onerosa. 03

120 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB VALORI DELLA SCABREZZA SIGNIFICATIVA k s (mm) DA [HENDERSON, 966] TIPO DI SUPERFICIE NORMALE MASSIMO CALCESTRUZZO GETTATO IN OPERA SENZA IRREGOLARITÀ 0.5 RIVESTIMENTO CEMENTIZIO FINITO A MANO 0.30 CALCESTRUZZO IN OPERA: MINIME IRREGOLARITÀ 0.49 LEGNO, GRES VETRIFICATO, CALCESTRUZZO IN OPERA 0.6 CALCESTRUZZO IN OPERA CON GIUNTI CURATI, GUNITE, MATTONI.5 CANALETTE O CONDOTTE PREFABBRICATE CON GIUNTI.44 RIVESTIMENTO IN CALCESTRUZZO: GIUNTI NON LISCIATI, CANALI 3.05 CALCESTRUZZO CON EVIDENTI IMPERFEZIONI E AFFIORAMENTO 4.7 MURATURA 6.0 GUNITE NON LISCIATA

121 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB.5. A - VALORI DEL COEFFICIENTE DI RESISTENZA DI MANNING: n (s/m /3 ) DA [CHOW V. T.,959] Canal tpo d superfce Mnmo Normale Massmo GALLERIA O CONDOTTO A PELO LIBERO DI accao flangato o saldato ghsa rvestto ghsa non rvestto lamera ondulata (acque chare) lamera ondulata (acque con detrt) plastca vetro calcestruzzo (acque chare) calcestruzzo con manufatt (acque con detrt) gres vetrfcato gres vetrfcato con manufatt matton vetrfcat matton con ntonaco petrame con gunt stlat CANALI RIVESTITI IN accao (canalette) lamera ondulata legno con buon grado d fntura legno grezzo calcestruzzo lscato calcestruzzo grezzo conglomerato btumnoso lscato 0.03 conglomerato btumnoso grezzo 0.06 matton vetrfcat matton con ntonaco petrame con gunt stlat scoglera gunte (sezone d scavo regolarzzata) gunte (sezone rregolare) erba CANALI CON FONDO REGOLARIZZATO E SPONDE IN 05

122 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I petrame ben sstemato con gunt stlat petrame con gunt stlat blocch d calcestruzzo ben accostat scoglera CANALI CON FONDO IN GHIAIA E SPONDE IN lastre d calcestruzzo petrame con gunt stlat scoglera CANALI IN TERRA NON RIVESTITI rettlne, non vegetat, buona manutenzone rettlne, non vegetat, medocre manutenzone rettlne, non vegetat, con ghaa rettlne, poco nerbt, rare alghe ALVEI IN TERRA REGOLARIZZATI O ROGGE non vegetat poco nerbt, rare alghe molto vegetat, molte alghe con sponde n petrame con sponde ben nerbte con fondo n cotol e sponde non vegetate CANALI MANTENUTI CON DRAGAGGIO non vegetat poco nerbt, rare alghe ALVEI IN ROCCIA con sezone ben regolarzzata rregolar CANALI IN TERRA RINATURALIZZATI (CON ALGHE E CESPUGLI) con sezone nteramente occupata da alghe con rare alghe e sponde medamente cespuglate con alghe e sponde fortemente cespuglate

123 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB.5. B - VALORI DEL COEFFICIENTE DI RESISTENZA DI MANNING: n (s/m /3 ) DA [CHOW V. T.,959] CORSI D ACQUA MINORI (LARGHEZZA A PIENE RIVE < 30 m) tpo d superfce Mnmo Normale Massmo ALVEI DI PIANURA non vegetat, rettlne, corrente regolare come sopra ma con petre e alghe non vegetat, tortuos con mollent e rapde come sopra ma con petre e alghe come sopra, n magra non vegetat, tortuos, petre, mollent e rapde molto rregolar e alghe molto ftte ALVEI DI MONTAGNA (SPONDE CON ALBERI E CESPUGLI) sul fondo: ghaa, cotol e mass rad sul fondo: cotol e grand mass GOLENE E PIANE INONDABILI prato senza cespugl, erba bassa prato senza cespugl, erba alta camp ncolt coltvazon a flar colture d cereal n peno svluppo aree con cespugl spars e erba alta aree con cespugl bass e alber, n nverno aree con cespugl bass e alber, n estate cespugl ftt, n nverno cespugl ftt, n estate

124 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB. 5.3 TABELLA PER IL CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI RESISTENZA DI TRONCO COEFFICIENTE DI MANNING: n (s/m /3 ) DA [CHOW V. T.,959] Condzon del corso d acqua Valor del coeffcente sabbe e lm 0.00 Materale ghae e sabbe n d alveo cottol e sabbe 0.08 rocca 0.05 regolare Forma della abbastanza regolare n sezone trasversale moderatamente rregolare 0.00 molto rregolare 0.00 Grado d varazon gradual unformtà saltuare strettoe e varc n longtudnale frequent camb d sezone trascurable Effetto delle poco mportante n ostruzon apprezzable forte scarsa Vegetazone meda n mportante molto mportante scarso.00 Grado d apprezzable m 5.5 snuostà notevole.30 08

125 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB. 5.4 CLASSIFICAZIONE DELLA VEGETAZIONE DEI CANALI PER L'USO DELL'ABACO DEL U.S. SOIL CONSERVATION SERVICE ALTEZZA MEDIA DELL'ERBA: H V STELO RIGIDO CLASSE STELO FLESSIBILE H V > 750 mm A B 50 < H V < 750 mm B C 50 < H V < 50 mm C D 50 < H V < 50 mm D D H V < 50 mm E E TAB. 5.5 COEFFICIENTE DI RITARDO PER CLASSE DI VEGETAZIONE NEI CANALI CLASSE DI VEGETAZIONE M E I (N m - ) COEFFICIENTE DI RITARDO A B C D E TAB. 5.6 COEFFICIENTI DELLA FORMULA DI RESISTENZA DI KOUWEN (98) CONDIZI ONE CLASSIFI CAZIONE R = u* u* crt COEFFICIENTE Eretta R Prona.0 < R Prona.5 < R Prona.5 < R a b 09

126 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I TAB. 5.7 DENSITÀ DI VEGETAZIONE PER DIVERSE ESSENZE [DVWK, 99] ESSENZA ARBOREA D Vt (/m) Salc Betulle (meno d 5 ann) Betulle (pù d 5 ann) Grupp d alber 0.0 0

127 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I CAPITOLO 6 Influenza sulla corrente de pont e d altr restrngment La presenza d pont o restrngment n alveo provoca perdte d carco n corrspondenza della struttura, mmedatamente a monte e a valle della stessa a causa della contrazone e della successva espansone della corrente. Le perdte d carco possono essere modellate n var mod. La tecnca utlzzata pù d frequente per la smulazone del deflusso attraverso un manufatto s basa sull nsermento d 4 sezon d calcolo ntermede, una a monte (sez 4 n fg.6.), due n corrspondenza del manufatto ( sez 3 e n fg 6.), e una a valle dello stesso (sez n fg 6.) Fgura 6. Localzzazone delle sezon d calcolo per la smulazone draulca del deflusso attraverso un opera Uno studo dettaglato delle zone d contrazone ed espansone è stato svluppato dal Hydrologc Engneerng Center, per determnare la lunghezza della zona d espansone ( L e n fgura 6.) e d quella della zona d contrazone ( L C n fgura 6.). L utente non dovrebbe ma fare n modo che c

128 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I sa troppa dstanza tra le sezon e altrment le perdte d carco non saranno modellate n modo adeguato. Se s pensa che l tratto d espansone convolga una lunga porzone del corso d acqua è opportuno nserre delle sezon ntermede tra la e la n fg 6.. La sezone 4 dovrebbe trovars ad una dstanza tale da avere lnee d flusso approssmatamene parallele. Il Corpo degl ngegner amercano stma la dstanza L c come una volta la lunghezza meda della contrazone ( dstanza tra A e B e C e D n fgura 6.). Un problema mportante nella smulazone del deflusso attraverso un opera a fume è la defnzone dell area che non contrbusce al moto n corrspondenza della struttura del ponte. Nella fgura 6. la lnea tratteggata rappresenta l area che effettvamente contrbusce al moto. In fgura 6. è rappresentata una stuazone classca dove le ple del ponte sono poszonate all nterno dell alveo. Il problema n questo caso sta nel convertre le sezon e 3 dalla sezone mostrata n fgura 6..b a quella d fgura 6..c Fgura 6. Sezon trasversal n prossmtà d un ponte Per elmnare le aree che non contrbuscono al moto è possble rdefnre localmente la geometra o tenere n conto dell effetto dell ostruzone attraverso l modello d calcolo. L area che non contrbusce al moto può essere soggetta a cambament, come ad esempo nel caso d deflusso n pressone, quando l area al d la delle luc del ponte potrebbe tornare ad essere effcace. S sconsgla allora la rdefnzone della geometra ma puttosto s opta per la seconda tecnca.

129 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I 6. Stma delle perdte d carco Le perdte d carco dovute alla contrazone e all espansone della vena fluda n corrspondenza d un opera a fume sono comunemente calcolate come quota parte della varazone d altezza cnetca tra le due sezon d calcolo (eq 6.); se questa cresce andando verso valle s usa un coeffcente d contrazone, nel caso n cu dmnusca andando verso valle s parla d coeffcente d espansone. Generalmente la perdta dovuta all espansone della vena fluda rsulta maggore che quella per la contrazone. H = ( c c c ) e u g (6.) I valor comunemente utlzzat per coeffcent sono mostrat n tabella 6. Coeffcente d contrazone Coeffcente d espansone Nessuna perdta 0 0 Transzone graduale Tpca sezone ponte Transzone repentna Tabella 6. Coeffcent per stma perdte d carco n caso d corrente subcrtca In generale coeffcent d espansone e d contrazone della vena fluda n corrente supercrtca sono nferor a quell calcolat per corrente sub crtca. 6. Calcolo draulco n corrspondenza d un ponte Per smulare correttamente l deflusso attraverso un ponte è necessaro dsponete d routne che tengano conto d dvers metod senza dover cambare la geometra del ponte. S deve essere n grado d smulare l deflusso n corrente lenta, l deflusso n pressone e e l eventuale stramazzo sul ponte stesso. 6.. Deflusso a superfce lbera In questo caso generalmente s adotta l equazone d blanco della quanttà d moto per dentfcare l tpo d moto, calcolando la quanttà d moto e l altezza d stato crtco nella sezone del ponte, n quella a monte e n quella a valle. S determna la sezone d controllo e per questa s calcola l carco totale n corrspondenza dell altezza crtca, che vene confrontato con quello calcolato a valle nel caso do corrente subcrtca e a monte nel caso d corrente superctca.. Se l carco totale d valle è maggore d quello d stato crtco l regme d moto è consderato totalmente subcrtco, nel caso n cu sa nferore s assume che nella sezone d controllo del ponte la costrzone caus l passaggo attraverso lo stato crtco e che s form un rsalto draulco a valle dello stesso. Caso A- 3

130 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Se la superfce lbera attraverso l ponte è completamente subcrtca, le perdte d carco vengono calcolate come resstenza al moto e perdte per espansone della corrente. Tra le sezon e 3 possono essere applcat 4 metod per l calcolo delle perdte attraverso l ponte.. Equazone dell energa. Blanco della quanttà d moto 3. Equazone d yarnell 4. metodo FHWA WSPRO Equazone dell energa Il metodo che s basa sull equazone dell energa tratta un manufatto come una sezone qualsas del corso d acqua, eccetto per l fatto che l area d ngombro del ponte al d sotto della superfce lbera vene sottratta dall area totale e l permetro bagnato è aumentato consderando la porzone d acqua che è a contato con la struttura del ponte. Fgura 6.3 sezon d calcolo n corrspondenza del ponte Blanco della quanttà d moto S scrve l blanco d quanttà d moto tra la sezone e la sezone 3. S seguno seguent 3 pass: ) S scrve l blanco della quanttà d moto tra la sezone e la sezone BD dentro l manufatto. L equazone n questo caso vale: A BD Y BD βbdq ga BD BD βq = AY ga A p BD Y p BD F f W x ( 6.) dove s è ndcato con pedc BD,, e PDB le grandezze calcolate nella sezone BD e nella sezone e nella sezone BD consderando l solo ngombro delle ple e con 4

131 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I A l area attva della sezone Y la dstanza vertcale tra la superfce lbera e l barcentro della Β pes delle veloctà Q la portata g l accelerazone d gravtà F f la forza esterna dovuta alla scabrezza, per untà d peso dell acqua W x la forza dovuta al peso dell acqua n drezone del moto, per untà d peso ) S scrve l blanco della quanttà d moto tra la sezone BD e la sezone BU A BU Y BU βbuq ga BU BU = A BD Y BD βbdq ga BD BD F f W x (6.3) 3) S scrve l blanco della quanttà d moto tra la sezone BU e la sezone B3 β3q3 A3Y 3 ga 3 = A BU Y BU β BUQ ga BU BU A P BU Y P BU β BUQ CD ga BU BU (6.4) dove con CD s è ndcato l coeffcente d drag per l flusso vcno alle ple. I valor per l coeffcente sono tsat dervat spermentalmente, alcun valor s trovano n tabella 6. Forma della pla C D Crcolare.0 Ellttca con rapporto lung/largh : 0.60 Ellttca con rapporto lung/largh 4: 0.3 Ellttca con rapporto lung/largh 8: 0.9 Quadrata Trangolare con angolo 30 Trangolare con angolo Trangolare con angolo Trangolare con angolo 0.7 Tabella 6.3 Tpc valor del coeffcente d Drag per alcune forme delle ple Equazone d Yarnell E un equazone emprca utlzzata per determnare la varazone nella superfce bagnata dalla sezone mmedatamente a valle del ponte ( sezone d fgura 6.) alla sezone mmedatamente a monte del ponte ( sezone 3). Questa equazone è basata su un ampa campagna spermentale, che vanta 600 esperment d laboratoro dove rcercator hanno nvestgato l effetto della forma, delle dmenson, della poszone della pla rspetto alla corrente ncdente e alla portata. H = K 4 ( K 0ω 0.6)( α 5 ) 3 α g dove k è l coeffcente d forma delle ple d Yarnell ω l rapporto tra le altezze cnetca e trante alla sezone 5 V ( 6.5)

132 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I a l area ostruta dalle ple dvsa per l area complessva della sezone V la veloctà a valle della sezone In questo modo s prendono n consderazone solo le sezon e 3 e non BU e BD. L equazone d Yarnell tene conto della forma della pla attraverso l coeffcente K, della parte d area ostruta e della veloctà dell acqua. Il metodo non è però sensble alla forma delle luc, delle spalle o alla larghezza del ponte. Per questo motvo questo metodo è sconsglato nel caso n cu la maggor parte delle perdte d carco sano dovute alle ple. I valor del coeffcente k sono rportat n tabella 6.4 Forma della pla k Sem Crcolare 0.9 Ple clndrche con daframma 0.95 Ple clndrche senza daframma.05 Trangolar.05 Quadrata.5 0 ple.50 Tabella 6.4 Tpc valor del coeffcente d Yarnell per alcune forme delle ple Metodo FHWA WSPRO Il metodo WSPRO, svluppato dalla Federal Hghway Admstraton, calcola l proflo della corrente attraverso un ponte rsolvendo l equazone dell energa ( ved eq 6.5). E un metodo teratvo che rsolve l moto all ndetro, partendo dalla sezone d valle fno a quella d monte. h α V 4 4 = h hl 4 4 g α V g (6.6) dove con pedc e 4 s sono ndcate le grandezze alle sezon e 4, con h s è ndcata la quota d pelo lqudo nella sezone, con v la veloctà nella sezone, con hl le perdte d carco tra la sezone 4 e la sezone. Le perdte d carco sono calcolate nel modo seguente: tra la sezone e la sezone sono le perdte per resstenza al moto e quelle per espansone della corrente; tra la sezone e la sezone 3 e tra la sezone 3 e la 4 sono date solamente dalla resstenza al moto Deflusso n pressone S ha quando la superfce lbera vene n contatto con l estremo superore della luce del ponte. Per la soluzone d questo tpo d problema esstono tecnche: quella d utlzzare l equazone dell energa o usare equazon draulche per l deflusso n pressone e l eventuale stramazzo. 6

133 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Equazone dell energa L equazone dell energa è applcata come ga spegato per deflusso a superfce lbera. S mpone l equlbro dell energa attraverso l opera. La perdta d carco è data dalla scabrezza e dalle perdte per espansone/ contrazone della vena fluda. Deflusso a stramazzo e/o n pressone Una volta che la vena fluda ha toccato la luce del manufatto l deflusso avvene n pressone. S ha un effetto d rgurgto e s stablsce l deflusso a battente. S possono verfcare cas: se la vena fludo è n contatto solamente con la parte d monte del ponte ovvero quando è n contatto con tutta la struttura. Nel prmo caso l flusso è paragonable a quello che s staura sotto una paratoa pana ( ved fgura 6.4) Fgura 6.4 deflusso n pressone schematzzable come l deflusso sotto a una paratoa E allora valda la classca espressone : Q = C A D BU g Y3 z 3V3 α g / ( 6.7) dove Q è la portata che passa attraverso l ponte, Cd l coeffcente d efflusso; ABU l area netta dell apertura BU, Y3 la quota d pelo lbero della sezone 3 ( ved fgura 6.X), z dstanza vertcale dal fondo alla luce del ponte. Il coeffcente d efflusso può assumere valor compres tra 0. e 0.5, generalmente s utlzza l valore d 0.5. Quando nvece tutto l mpalcato è nvestto dalla corrente ( ved fgura 6.5) 7

134 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Fgura 6.5 Esempo d ponte n pressone Vene utlzzata la formula standard della luce a battente Q = C A gh (6.8) dove C può varare tra 0.7 e 0.9, per la maggor parte de pont s utlzza l valore d 0.8, H è la dfferenza tra l carco totale a monte e a valle del ponte, A è l area netta dell apertura. Deflusso a stramazzo Il deflusso al d sopra dell mpalcato è generalmente calcolato mponendo la classca equazone dello stramazzo 3 Q = C L H (6.9) dove Q è la portata stramazzante sull mpalcato, C l coeffcente d efflusso dello stramazzo, L la lunghezza dello stramazzo e H la dfferenza tra l carco totale a monte e sull mpalcato Fgura 6.6 Esempo d pone con deflusso n pressone e a stramazzo In condzon d deflusso a superfce lbera C vara tra.3 e.7 per stramazz a larga sogla. Le ostruzon come corp sold o vegetazone che possono ostrure qualche luce aumentano la 8

135 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I resstenza al moto, l valore d C può allora essere dmnuto per tenerne conto. I valor d C s trovano n tabella n funzone della forma dello stramazzo. Avendo a dsposzone poch dat spermental s può ragonevolmente assumere una forma rettangolare per lo stramazzo e un coeffcente C d.44. 9

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137 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I BIBLIOGRAFIA Abbot M.B (979). Computatonal Hydraulcs, London. Ptman Publshng lmted. Alcrudo F.,Garca Navarro P.(99). Hgh resoluton D schemes for unsteady open channel flow smulaton, Jornadas de encuentro trlateral para el estudo de la hdraulca de las ondas de submerson, Saragoza, 0- Settembre, -4 Alcrudo F.S.(99). Esquemaz de alta resolucon de varaton total decretente para el estudo de flujos dscontnuos de superfce lbre; Memora de Tess Doctoral presentada en la facultad de Cencas de la Unversdad de Zaragoza. Aurel F., Belcch M., Maone P., Mgnosa P., Tomrott M.(998). Fenomen d moto varo conseguent al crollo d opere d rtenuta II Indagn spermental e modellazone numerca n presenza d onde d shock, L Acqua, vol 5, 9-4 Aurel F., Mgnosa P., Tomrott M.(000). Numercal smulaton and expermental verfcaton of Dam-Break flows wth shocks, Journal of Hydraulc Research, vol 38, n 3, Bray, D. I. (979) Estmatng average velocty n gravel-bed rvers. J.Hydraul. Dv., Am. Soc. Cv. Eng., 05(HY9), 03. Brownle, W. R. (983). Flow depth n sand-bed channels. J. Hydraul. Eng., 09~7!, Colebatch, G. T.(94). Model tests on the Lawrence Canal roughness coeffcents. J. Inst. Cvl Eng. (Australa), 3~!, 7 3. Cowan, W.L. (956), Estmatng hydraulc roughness coeffcents: Agrcultural Engneerng, v. 37, no. 7, p Cunge J.A., Holly F.M., Verwey A.(980) Practcal Aspects of computatonal rver Hydraulcs, Ptman Advanced Publshng Program. Ensten, H. A., and Barbarossa, N. L. ~95!. Rver channel roughness. Trans. Am. Soc. Cv. Eng., 7, 46. Ensten, H.A. and Banks, R.B Flud Resstance of Composte Roughness. Transactons, AGU, 3(4): Engelund, F. (966). Hydraulc resstance of alluval streams. J. Hydraul. Dv., Am. Soc. Cv. Eng., 9(HY), Engelund, F., and Hansen, E. (967). A Monograph on Sedment Transport n Alluval Streams, Teknsk Vorlag, Copenhagen, Denmark. Fschench, J.C. (997). Hydraulc Impacts of Rparan Vegetaton; Summary of Lterature. U.S. Army Corps of Engneers, Techncal Report EL-97-9, Washngton, D.C.

138 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Flntham, T.P. and Carlng, P.A. (988). The Predcton of Mean Bed and Wall Boundary Shear nunform and Compostely Rough Channels. Internatonal Conference on Rver Regme, Whte, W.R. ed., John Wley & Sons, New York, NY: Glaster P.(998): Approxmate Remann soluton of the shalllow water equaton., Journal of Hydraulc Research, vol 6 n 3, Gauckler, P.-G. (867) " Etudes Théorques et Pratques sur l Ecoulement et le Mouvement des Eaux " Technologste, Tome 7: 6-65 Godunov (96) Bounds on the dscrepancy of approxmate solutons constructed for the equatons of gas dynamcs, Computatonal Mathematcs and Mathematcal Physcs, pp Hagen, G.W. (88). Neuere Beobachtung über de glechförmge Bewegung des Wassers. Zetschrft für Bauwesen 3, -3. Harten A., Peter D. Lax, and Bram van Leer (983) On Upstream Dfferencng and Godunov- Type Schemes for Hyperbolc Conservaton Laws, SIAM Rev. Volume 5, Issue, pp Hey, R.D.(979). Flow Resstance n Gravel-Bed Rvers. Journal of the Hydraulcs Dvson, Proceedngs of the ASCE 05(4): Henderson, F.M. (966) Open Channel Flow, McMllan, New York Hrsh C.(99). Numercal computaton of nternal and external flows, John Wley&Sons,,, Chcester,99 Horton, R. E. (933). Separate roughness coeffcents for channel bottoms and sdes. Eng. News-Rec., (), Irmay, S. (949). On steady flow formulae n ppes and channels. Proc., IAHR 3rd Congress, Paper III-3, Grenoble, France. Jameson A.(98), Transonc arfol calculaton usng the Euler equatons Numercal Models n Aeronautcal Flud Dynamcs, Ed. P.L. Roe, 98, Academc Press, New York Keulegan, G.H. (938) " Laws of turbulent flow n open channels " J. Nat. Bureau Standards : Lane, E. W., and Carlson, E. J. (953). Some factors affectng the stablty of canals constructed n coarse granular materals. Proc., IAHR 5th Congress, Mnneapols Lmernos, J.T.,(970),Determnaton of the Mannng coeffcent from measured bed roughness n natural channels: U.S. Geologcal Survey Water-Supply Paper 898-B, 47 p. Lotter, G. K. (933) Soobrazhena k Gdravlcheskomu Raschetu Rusel s Razlchno Sherokhovatostu Stenok. ~Consderatons on hydraulc desgn of channels wth dfferent

139 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I roughness of walls.!, Izvesta Vsesouznogo Nauchno-Issledovatel skogo Insttuta Gdrotekhnk Trans. All-Unon Sc. Res. Inst. Hydraulc Eng.!, Lenngrad, Vol. 9, pp Macchone, F. (994). Schem "shock-capturng" avanzat applcat all'ntegrazone delle equazon del moto varo d corrent a superfce lbera, Memore e Stud del Dpartmento d Dfesa del Suolo, Unverstà della Calabra n.48 Cosenza: Edtorale Bos. Macchone, F., Morell, M.A. (003). Practcal Aspects n Comparng Shock-Capturng Schemes for Dam-Break Problems. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 9 (3) : 87:95. Macchone F., Vggan G. (004). Smple modellng of dam falure n a natural rver. Proceedngs of the Insttuton of Cvl Engneers- Water Management, 004, n. 57, pp Mannng, R. (890). On the flow of water n open channels and ppes. Transactons of the Insttuton of Cvl Engneers of Ireland 0, Meyer-Peter, E., and Mu ller, R. (948). Formulas for bed-load transport. Proc. 3rd Meetng of IAHR, Stockholm, Sweden, pp Petryk S. and Bosmajan G. (975) Analyss of flow through vegetaton: Proceedngs, Amercan Socety of Cvl Engneers, Journal of the Hydraulcs Dvson, v. 0, no. HY7, p Raudkv, A. J. (967). Analyss of resstance n fluval channels. J. Hydraul. Dv., Am. Soc. Cv. Eng., 93(HY5), Ree, W.O. and Palmer, V.J. (949) Flow of Water n Channels Protected by Vegetatve Lnng. U.S. Sol Conservaton Servces, U.S. Department of Agrculture, Techncal Bulletn, no. 967, Washngton, D.C. Roe P.L.(98). Approxmate Remann solvers, parameter vectors, and dfference schemes, Journal of Computatonal Physcs, vol 43, Strckler, A. (93). Beträge zur Frage der Geschwndgkets formel und der Rauhgketszahlen für Ströme, Kanale und geschlossene Letungen. Mttelungen des Edgenössschen Amtes für Wasserwrtschaft No. 6, Bern, Swtzerland. Translated nto Englsh by: Roesgan, T. and Browne, W.R. (98). Contrbutons to the Queston of a Velocty Formula and Roughness data for Streams, Channels and Closed Ppelnes. Translaton No. T-0. Pasadena, CA: Calforna Insttute of Technology, W.M. Keck Laboratory of Hydraulcs and Water Resources Toro E.F. (997). Remann solvers and numercal methods for flud dynamcs: a practcal ntroducton, Sprnger Verlag, Berln Toro (00) Shock-Capturng Methods for Free-Surface Shallow Flows, John Wley & Sons U.S. Army Corps of Engneers (994) Hydraulc Desgn of Flood Control Channels, Engneer Manual

140 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte I Van Leer, B. (974). Towards the ultmate conservatve dfference scheme IV. A new approach to numercal convecton. J. Comp. Phys. 3, Ven te Chow (98) Open channel hydrulcs, McGraw-Hll Internatonal VonNeumann, R. D. Rchtmyer (950). A Method for the Numercal Calculaton of Hydrodynamc Shocks. Journal of Appled Physcs, Vol., No. 3., pp Wllamson, J. (95), The laws of flow n rough ppes. Strckler, Mannng, Nkuradse & drag-velocty, La Houlle Blanche, Znamenskaya, N.S. (968) Gryadovoe dvzhene nanosov (Dune-type sedment movement). Hydrometeozdat, Lenngrad. 4

141 PARTE II PROPAGAZIONE IN AREE URBANE ED EXTRAURBANE DA TRATTARE CON SCHEMATIZZAZIONI BIDIMENSIONALI A cura d: Sottogruppo D: Unverstà della Calabra - Dpartmento Dfesa del Suolo LAMPIT (Laboratoro d Modellstca Numerca per la Protezone Idraulca del Terrtoro) Responsable : Prof. Francesco Macchone Component: Ing. Perfranco Costable Ing. Carmelna Costanzo

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143 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO Modell matematc d fenomen d moto varo n corp drc natural I problem draulc sono normalmente caratterzzat da mot trdmensonal; tuttava, laddove cò sa possble, tal mot possono essere convenentemente rappresentat da schem mono e bdmensonal dervant da ntegrazon spazal d modell trdmensonal. Nel presente captolo, le Lnee Guda s rferscono alla descrzone fsco-matematca de fenomen d propagazone d pena su vaste aree con geometre complesse; a tal proposto, l'attenzone è rvolta alla modellstca D basata sulle equazon bdmensonal del moto varo per le corrent a superfce lbera note n letteratura come equazon delle acque basse (shallow water equatons). Ne prossm paragraf s descrverà la formulazone matematca d tal equazon e la loro dversa forma d rappresentazone sulla base della scelta delle varabl dpendent da utlzzare e da dvers aspett fsc matematc da evdenzare.. Aspett prncpal delle equazon bdmensonal del moto varo n canal a pelo lbero Molt fenomen fsc draulc possono essere rappresentat medante le shallow water equatons. La prncpale approssmazone fatta nel consderare tal equazon rspetto alla realtà rguarda la dstrbuzone della pressone. S consdera nfatt la dstrbuzone drostatca della pressone, trascurando così, gl effett su d essa dell accelerazone vertcale delle sngole partcelle del fludo. Le altre semplfcazon che s assumono sono le seguent: Il fludo è ncomprmble con denstà costante; 5

144 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II La pendenza del fondo è pccola n manera tale da consderare l trante drco h lungo l asse z vertcale al fondo; Gl sforz tangenzal agent al fondo, per la presenza dell attrto, sono assunt ugual a quell del moto unforme per cu s applca la formula del calcolo della scabrezza d Mannng. Le equazon rsultant sono un sstema bdmensonale, dpendente dal tempo, d equazon non lnear dfferenzal d tpo perbolco (PDEs). In letteratura contrbut mportant sulle equazon del moto varo n canal a pelo lbero s trovano n Stoker (957), Abbot (975), Cunge et al. (980), etc. Dverse sono le modaltà utlzzate per la deduzone del sstema d equazon dfferenzal che governano l moto varo bdmensonale a superfce lbera d un fludo ncomprmble. Una possble modaltà è quella d estendere alla seconda dmensone spazale le classche equazon d De Sant Venant monodmensonal (Abbott, 975; Cunge et al., 980; ecc.) Un altra, nvece, è quella d ottenere l sstema dalle equazon general trdmensonal (equazon d Naver-Stokes) medando valor lungo la dmensone vertcale. In generale le equazon s basano sul prncpo d conservazone della massa e della quanttà d moto lungo le due drezon spazal così come s evnce da seguent paragraf.. Equazon delle acque basse (shallow water equatons) Il sstema d equazon che descrve fenomen d propagazone d una corrente a pelo lbero (shallow water equatons) è costtuto da due equazon d conservazone della quanttà d moto (nelle drezon x e y) e da un equazone d conservazone del volume. Le prme due equazon s possono scrvere come segue: ( hu) ( hu ) h ( huv) z g = gh t x x y x ( ) ( ) ( hv ) (.) hv huv h z g = gh t x y y y (.) Le equazon (.) e (.) rappresentano le equazon della conservazone della quanttà d moto comunemente usate nella modellstca bdmensonale del moto varo n canal a pelo lbero. Nelle stuazon real bsogna aggungere al secondo termne d entrambe le equazon, gl sforz tangenzal dovut alla presenza dell attrto al fondo. L equazone d conservazone della massa s può scrvere come segue: h ( hu) ( hv) = 0 t x y (.3) In defntva l sstema d equazon bdmensonal del moto varo usate n questo lavoro, cosddette shallow water equatons, s possono scrvere come: 6

145 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II ( hu) ( hv) h = 0 t x y ( hu) ( hu gh / ) ( huv) = gh S t x y ( ) ( ) ( 0x S fx ) hv huv ( hv gh / ) = gh S t x y ( 0 y S fy ) (.4) con : t: tempo; x, y: coordnate spazal; h: profondtà della corrente; u, v: veloctà mede della corrente n drezone x e y; g: accelerazone d gravtà; z z S 0x, S 0y : pendenze del fondo n drezone x e y par a e ; x y S fx, S fy : termn d resstenza al fondo rspettvamente lungo x e y espress dalle equazon: S fx u u v = ; K 4 3 S h S fy v u v = (.5;.6) K 4 3 S h con K s coeffcente d scabrezza al fondo d Strckler. In forma vettorale l sstema (.4) s esprme come: U f(u) g(u) = S( U ) (.7) t x y con: h U = hu (.8) hv f(u) F(U) = g(u) hu f(u) = hu gh /, huv (.9) hv g(u) = huv (.0;.) hv gh / 0 S( U ) = gh( S0x S fx) (.) gh( S0 y S fy ) Le equazon così scrtte sono usualmente note come equazon n forma conservatva, n quanto strettamente rappresentatve d legg d conservazone (della massa la prma e della quanttà d moto le altre due). In generale un sstema d legg d conservazone per la quanttà U ha la forma (Leveque, 00): 7

146 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II U F( U ) = 0 (.3) t In partcolare l equazone (.3) è una forma conservatva n senso stretto, detta pura o d base. In realtà, per sstem non chus, v è la possbltà d avere una forma conservatva con la presenza d un termne sorgente, detta forma conservatva estesa e usata nella pratca ngegnerstca. Il sstema (.4) è, noltre, scrtto n funzone delle varabl global. Tale condzone rsulta necessara per l soddsfacmento delle propretà d conservazone della massa e della quanttà d moto, vste all nzo del captolo. Una dversa formulazone n termn d varabl prmtve h, u e v, mplca una forma non conservatva delle equazon come sarà precsato nel prossmo paragrafo. Il sstema (.7) può essere rscrtto n forma ntegrale come: t V Ω V Ud V = n F( U) d Ω S( U )dv (.4) dove n F(U) è la componente normale del flusso attraverso la superfce Ω racchudente l volume V. La forma ntegrale, che n partcolare è stata utlzzata n questo studo, ammette la presenza d dscontnutà nella soluzone al contraro d quella dfferenzale. Nel successvo captolo s mostra la metodologa a volum fnt, utlzzata n questo studo, che ntegra l sstema scrtto come nell equazone (.4)..3 Forma non conservatva delle equazon bdmensonal Il sstema (.7) può essere scrtto n forma equvalente dal punto d vsta matematco, n forma non conservatva che, espresso n funzone delle varabl global, dventa: U U U A B = S( U ) (.5) t x y dove: 0 0 f(u) qx qx A = = gh 0 U h h qxqy qy qx h h h 0 0 g(u) qxqy qy qx B = = U h h h qy qx gh 0 h h con: 8 (.6) (.7)

147 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II q x = hu e q y = hv portate untare lungo x e y. In funzone delle varabl prmtve h, u e v l sstema dventa: h u u h v u h v h = 0 t x x y y u h u u g u v = g( S0x S fx) t x x y v v h v u g v = g( S0 y S fy ) t x y y la cu forma matrcale è: (.8) V Aɶ V Bɶ V = Sɶ (.9) t x y con: h V = u ; v u h 0 A ɶ = g u 0 (.0;.) 0 0 u v 0 h 0 B ɶ = 0 v 0 ; S ɶ = g( S0x S fx) (.;.3) g 0 v g( S0 y S fy ) E mportante notare che le matrc degl jacoban delle equazon n termn d varabl prmtve s possono rcavare dagl jacoban della formulazone delle varabl global medante relazon d smltudne: Aɶ = N AN ; dove: ɶ = N BN ; B 0 0 U N = = u h 0 e V v 0 h S ɶ = N S (.4;.5;.6) 0 0 v / h 0 / h N = u / h / h 0 (.7;.8) Tal relazon evdenzano l uguaglanza degl autovalor delle due dverse formulazon. Da cò s può dedurre che esste una equvalenza matematca tra la formulazone conservatva e quella non conservatva tale da poter passare da una formulazone all altra medante passagg matematc. Sebbene essta una equvalenza matematca, dal punto d vsta numerco e fsco, le due formulazon dfferscono n partcolar modo nella smulazone d dscontnutà delle funzon convolte. È, nfatt, nota l ncapactà della formulazone non conservatva a smulare numercamente lo shock ed l rcorso, n tal caso, a tecnche numerche d tpo shock-fttng. 9

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149 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO Metod d ntegrazone numerca Per molt problem draulc d nteresse pratco non è possble avere una soluzone analtca delle equazon delle acque basse. Cò ha dunque portato allo svluppo d metod numerc dove l problema rappresentato nel contnuo medante le shallow water equatons è trasformato n una forma dscreta composta da un sstema d equazon algebrche la cu rsoluzone avvene medante un calcolatore. La soluzone del problema dscretzzato rappresenta un'approssmazone del problema contnuo e, a tal proposto, sono stat svluppat var concett con l obettvo d quantfcare l grado d approssmazone rspetto al fenomeno reale. La grande maggoranza d metod che ntegrano numercamente le equazon del moto varo ne canal a pelo lbero, rcadono, per cò che rguarda la dscretzzazone spazale, nelle seguent tre categore: metod alle dfferenze fnte, metod agl element fnt e metod a volum fnt. La popolartà nzale de prm è andata dmnuendo progressvamente, forse per essere meno adattabl da un punto d vsta geometrco. Tuttava la loro mplementazone è consoldata ed n letteratura esstono parecche applcazon che ne dmostrano la fattble mplementazone (CADAM, 998; Bento-Franco, 996; Aurel e Mgnosa, 000; Macchone e Morell, 003; etc.). L aspetto prncpale della formulazone dfferenzale rsede nella sua semplctà d mplementazone su grgla strutturata e prevalentemente per schem monodmensonal. I metod agl element fnt s basano su una dfferente formulazone dell equazone del moto. Il loro prncpale vantaggo consste nel partre da una rgorosa formulazone matematca anche se per la loro dffcoltà sono stat usat poco utlzzat ( v. ad es. Tuccarell e Termn, 000). La formulazone a volum fnt è attualmente la pù usata per ntegrare le equazon del moto varo. Il domno consderato è dvso n un numero d celle o volum elementar su cu vengono ntegrate le equazon. I metod a volum fnt possono essere applcat sa su domn strutturat che non strutturat quas sempre bdmensonal, e a pror garantscono la conservazone della massa e della quanttà d moto. 3

150 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II In questo captolo, dopo delle brev consderazon sulla dscretzzazone spazale del domno d calcolo e sulla dscretzzazone temporale, s presentano alcun concett matematc utl a determnare l grado d approssmazone de metod numerc rspetto alla rappresentazone contnua e reale de fenomen. Infne, s analzza l metodo numerco mplementato che è l metodo a volum fnt. Su tale metodo s basano gl schem numerc propost.. Cenn sulla dscretzzazone spazale e temporale de metod numerc L approcco computazonale che generalmente è alla base nell mplementazone d cascun metodo numerco, convolge procedure che partono dal modello matematco per fnre ad una soluzone numerca. Il prmo passo è la scelta del lvello d approssmazone del problema fsco da rsolvere che dpende dall accuratezza rchesta e dagl strument per ottenerla. Il secondo passo consste nella scelta del metodo d dscretzzazone del modello matematco che, a sua volta, nteressa due aspett: la dscretzzazone spazale e l modello d dscretzzazone. La dscretzzazone spazale consste nel fssare una grgla d calcolo n cu lo spazo contnuo è sosttuto da un numero fnto d punt o celle dove le prncpal grandezze draulche ncognte sono calcolate. E ntutvo consderare che l accuratezza dell approssmazone numerca sarà drettamente dpendente dalla fnezza d suddvsone del domno consderato. In altre parole, l errore della smulazone numerca tende a zero quando le dmenson delle celle tendono a zero e la rapdtà d questa varazone dpende dall ordne della dscretzzazone numerca delle equazon. D altra parte, per geometre complesse la soluzone dpende anche dalla forma delle celle e, negl ultm perod, s stanno svluppando tecnche numerche d generazone d celle complesse d qualsas forma (Anastasou e Chan, 997; Hagen et al., 999; Casull e Walters, 000; Dohrmann et al., 000; Hubbard e García Navarro, 000; Borthwck et al., 00; Jha et al., 00; Alabad et al. 00; Berger e Howngton, 00; Lehnhäuser e Schäfer, 00; Brufau et al., 004) su cu applcare le equazon del moto. In tale contesto, s nsersce l problema della generazone della grgla che può essere consderato un altro aspetto d rcerca dello stesso argomento. Su tale specfco argomento s rmanda al Captolo 5. L ntegrazone numerca delle equazon dscretzzate può essere d tpo esplcto o mplcto, ovvero se al passo temporale successvo n per la dscretzzazone spazale s usano le varabl note e gà calcolate al tempo n oppure s utlzzano anche le varabl ncognte dello stesso tempo n. Ne metod esplct la matrce del sstema, per un fssato passo temporale, è dagonale e termn a destra del sstema dpendono dalle varabl al tempo precedente. Questo porta all nversone della matrce e qund ad una soluzone con un numero mnmo d operazon artmetche per ogn passo temporale. Tuttava, questo vantaggo è controblancato dal fatto che le condzon d stabltà e d convergenza mpongono severe restrzon per l massmo passo temporale ammssble. Negl schem mplct la matrce da nvertre non è dagonale poché pù d una varable è ncognta nello stesso stante temporale. Cò mplca un numero d operazon maggor rspetto agl schem esplct ma con un numero mnore d pass per le lmtazon non present. 3

151 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II. Propretà de metod numerc L anals del metodo numerco utlzzato comporta lo studo delle condzon da mporre allo stesso modello n manera tale da ottenere un accettable approssmazone delle equazon d partenza. E mportante, noltre, capre le prncpal caratterstche de var modell con loro lmt d stabltà e una nformazone quanttatva sulla accuratezza della smulazone numerca. Tal aspett sono defnbl, appunto, dal soddsfacmento delle propretà d consstenza, stabltà e convergenza che caratterzzano un problema "ben posto" (well-posed). Queste tre condzon rcoprono dvers aspett delle relazon tra equazon dscretzzate, soluzone numerca e soluzone analtca esatta delle equazon dfferenzal o ntegral d partenza. Generalmente la condzone d consstenza defnsce una relazone tra l equazone dscretzzata e le equazon dfferenzal o ntegral, quella d stabltà mplca una relazone tra la soluzone numerca e l esatta soluzone delle equazon dscretzzate mentre la convergenza mette n relazone la soluzone numerca con la soluzone delle equazon orgnare. Infne, sono mportant altre due propretà strettamente legate all errore d troncamento che sono la dffusone e la dspersone mplcta... Consstenza La consstenza mplca che le equazon dscretzzate tendono alle equazon dfferenzal o ntegral d partenza al tendere d t, x e y a zero. Oppure, n manera equvalente, l errore d troncamento, dfferenza tra l equazone dscretzzata e quella ntegrale, s annulla tendendo le dmenson della magla a zero ndpendentemente. Lo studo della consstenza rchede lo svluppo d cascun termne delle equazon orgnare n sere d Taylor attorno ad un partcolare punto della grgla. L equazone ottenuta è detta equazone dfferenzale modfcata che dffersce da quella d partenza a causa dell errore d troncamento... Stabltà La condzone d stabltà mplca che qualsas errore tra la soluzone numerca e la soluzone esatta dell equazone dscretzzata rmanga unformemente confnato al tendere ad un numero nfnto d pass temporal, per un assegnato t (O Bren et al.,950). Una pù generale defnzone d stabltà ntrodotta da Lax e Rchtmayer (956) e dscussa n Rchtmayer e Morton (967) è basata sull aspetto temporale della soluzone nvece che sull errore. Questo crtero d stabltà mplca che cascuna componente della soluzone nzale non s deve amplfcare senza un lmte. Per analzzare la stabltà d un algortmo d dscretzzazone esstono dvers metod tra cu: l metodo della perturbazone dscreta, l metodo d Von Neumann, l metodo della matrce. In tale contesto s svluppa la condzone d stabltà d Courant-Fredrch-Lewy o CFL mplementata ne codc d calcolo usat. Nel caso d condzon al contorno perodche, l errore per cascun passo temporale, può essere decomposto n sere d Fourer nello spazo. Consderando una sngola armonca, la condzone d stabltà sarà soddsfatta se l ampezza d cascun errore non cresce nel tempo. Per le equazon perbolche la condzone d stabltà defnsce una regone nel pano a t complesso per cu 0<σ con σ = parametro chamato numero d Courant e a veloctà x 33

152 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II d propagazone della perturbazone. Questa condzone d stabltà applcata a molt schem esplct esprme che la dstanza percorsa dalla perturbazone con veloctà a deve essere mnore della mnma dstanza tra due celle consecutve, ovvero che l domno d dpendenza dell equazone dfferenzale deve essere contenuto nel domno d dpendenza dell equazone dscretzzata...3 Convergenza La propretà d convergenza comporta che la soluzone numerca tende alla soluzone esatta dell equazone dfferenzale o ntegrale d partenza al tendere della magla a zero. Charamente la condzone d consstenza, stabltà e convergenza sono correlate tra d loro dal teorema d Equvalenza d Lax per cu, per un problema ben posto (well posed) e per uno schema d dscretzzazone consstente, la stabltà è condzone necessara e suffcente per la convergenza...4 Dffusone e Dspersone Numerca Implcta La dffusone e la dspersone numerca mplcta sono error che nsorgono nella soluzone numerca a causa del comportamento de termn dell errore d troncamento. La dffusone numerca mplcta agsce sulle component d Fourer della soluzone producendo un errore e una dstorsone della loro dmensone. La dspersone numerca mplcta produce nvece un errore e una dstorsone d fase. Esse s comportano come real dffuson e dsperson fsche. Generalmente se l termne prncpale dell errore d troncamento contene una dervata spazale par, l errore d troncamento sarà del tpo dffusvo. D altra parte, se l termne prncpale dell errore d troncamento contene una dervata spazale dspar, l errore d troncamento sarà d tpo dspersvo. Molto spesso la soluzone numerca dell algortmo d dscretzzazone contene delle oscllazon non fsche che rendono necessara l ntroduzone d termn d dffusone numerca chamat esplct per dstnguerl da quell dovut all errore d troncamento..3 Formulazone del metodo a volum fnt Il metodo de volum fnt è stato ntrodotto tra metod numerc per la rsoluzone d problem d dnamca de flud, ndpendentemente da McDonald (97), MacCormack e Paullay (97) analzzando la soluzone bdmensonale dell equazone d Eulero. I maggor camp d applcazone del metodo sono l aerodnamca e la dnamca de gas con una successva estensone all drodnamca. Il metodo de volum fnt, nell'ambto della smulazone numerca delle nondazon, è molto utlzzato n letteratura specalmente nella modellstca bdmensonale. Esso, a dfferenza d quello alle dfferenze fnte, non focalzza l attenzone su un punto partcolare ma su una ntera superfce. Uno de suo aspett postv è quello d adattars alle stuazon topografche pù complesse senza, generalmente, rcorrere a delle funzon d cambamento d forma o a delle varabl generalzzate. Partendo da una formulazone ntegrale, resce a rspettare la conservazone della massa e a trattare le dscontnutà. Inoltre, esso permette l ntroduzone d semplc condzon al contorno come la presenza d sold 34

153 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II wall attraverso cu l flusso è nullo. La sua attuale applcazone all drodnamca convolge schem del tpo Godunov, schem approssmat del problema d Remann e schem central come quello d MacCormack d tpo bdmensonale d cu s drà nel successvo captolo. La tecnca è basata sulla schematzzazone dretta, n un domno fsco, della formulazone ntegrale dell equazone d conservazone anche se potrebbe essere altresì consderata come una metodologa alle dfferenze fnte applcata alla forma conservatva dfferenzale. Integrando su un domno volumetrco Ω le equazon dfferenzal d conservazone del tpo: U F = S (.) t con: U vettore delle varabl; F vettore flusso e S vettore sorgente così come defnt dalle equazon (.8)-(.), s ottene la seguente formulazone ntegrale: Ω U [ F ]dω = dω t S (.) Ω L applcazone del teorema d Gauss-Green al vettore F, secondo cu l ntegrale del flusso su un volume Ω è equvalente all ntegrale del flusso lungo la superfce chusa Ω, che esso racchude, per l vettore untaro normale alla superfce stessa n, permette d gungere all equazone ntegrale usata, generalmente, nel metodo: U dω ( F n) dl = S dω (.3) t Ω Ω Ω La forma dscretzzata su d un volume Ω, j, proposta dal metodo, per la rsoluzone dell equazone (.3) è la seguente: t ( ) U Ω ( F n) L = S Ω (.4), j, j, j, j lat dove la somma de termn d flusso è estesa a tutt lat, d lunghezza L che racchudono l volume Ω, j. Ad esempo, nella fgura., dentfcando con Ω, j l area ABCD, l flusso è somma de termn lungo quattro lat AB, BC, CD e CA che può essere calcolato come: lungo lat vertcal AB e CD: ( ) =, j ( ) =, F n y f y (.5) AB F n y f CD j y (.6) mentre per lat orzzontal BC e CD : ( F n) = g, x BC j x ( F n) = g, j x x DA Per l ntera espressone così s ottene: ( f, j f, j ) ( g, j g, j ) (.7) (.8) U, j = S, j (.9) t x y 35

154 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura.- Schematzzazone d una tpca cella d rfermento. I termn f e g espress come nelle equazon (.0) e (.) assumono l segno, per convenzone, del verso della normale uscente..3. Suddvsone del domno e defnzon del volume d controllo Il metodo de volum fnt possede un ampa flessbltà nella scelta del tpo d suddvsone del domno d nteresse. I due tp d suddvsone pù usat sono d tpo strutturato o non strutturato. Una volta stablto l tpo d suddvsone, s decde la valutazone delle le varabl present nello schema. Quando le varabl sono assocate ad una cella, l metodo s defnsce cell-centred. Fgura.. (a) cell-centred; (b) cell vertex I valor delle varabl sono così rappresentatv d un qualche punto all nterno della cella come, per esempo, l punto centrale della cella stessa (fgura. a). Quando le varabl sono valutate n punt partcolar, per esempo ne vertc delle celle, l metodo è del tpo cell-vertex (fgura. b). Con la prma scelta l volume d controllo rappresenterebbe la stessa cella con una evdente semplfcazone a lvello computazonale mentre la seconda scelta mplca un applcazone sul volume d controllo pù flessble e pù accurata n caso d non-unformtà geometrca. 36

155 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II.3. Determnazone de fluss numerc Concetto mportante (e prncpale dstnzone degl schem rguardant l metodo de volum fnt) è la valutazone delle component del flusso sul contorno del volume consderato. Cò sgnfca che, rferendos alla formulazone precedente, esstono parecche scelte sul calcolo de fluss present nel termne: ( F n ) dl ( F n ) L (.0) Ω lat La dfferenza tra modell a volum fnt consste, qund, oltre che nella scelta del tpo d suddvsone e d valutazone, gà sopra ctate, anche nella determnazone del flusso. Gl schem d rfermento, comunemente propost n letteratura, sono del tpo centrale o upwnd basat su una valutazone locale o secondo le drezon d propagazone rspettvamente. Per uno schema centrale e cell-centred possono essere genercamente consderate le seguent alternatve per l calcolo del flusso attraverso l lato AB d fgura. a: f AB = ( fj f, j ) (.) con f = f ( U ) j j Uj U, j f AB = f (.) f AB = ( fa f B ) (.3) con: U U U U U (.4;.5) 4 f A =f(u A ) e A = (, j, j, j, j ) f f f f f (.6) 4 oppure A = (, j, j, j, j ) Per uno schema centrale cell-vertex le ultme due espresson corrspondono ad un approssmazone del flusso f AB. In partcolare, l espressone (.3) corrsponde all applcazone della formula trapezodale f dy = f f ) ( y y ) /. AB ( A B B A Ad esempo, usando l espressone (.3), l ntegrale esteso al contorno del quadrlatero ABCD n fgura.3, s può calcolare come segue: C B D A Fgura.3. Cella d calcolo 37

156 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Ω ( F n) dl = fdy fdy fdy fdy gdx gdx gdx gdx AB BC CD DA AB BC CD DA ( f f )( y y )/ ( f f )( y y ) / ( f f )( y y ) / ( f f )( y y )/ A B B A B C C B C D D C D A A D ( g g )( x x ) / ( g g )( x x )/ ( g g )( x x )/ ( g g )( x x ) / A B B A B C C B C D D C D A A D = = ( A C ) ydb ( B D ) yac ( A C ) xdb ( B D ) xac f f f f g g g g (.7) n cu y DB =y B -y D ; y AC =y C -y A ; x DB =x B -x D ; x AC =x C -x A. Nel caso d una cella cartesana s ha: y = y = y DB DB AC x = x = x AC y = y = 0 CB AD x = x = 0 AB Ω = x y CD Pertanto la (.3) dventa: ( F n ) dl = ( A C ) y ( B D ) y ( A C ) x ( B D ) x = f f f f g g g g Ω fa fb fc fd ga gb gc gd = y x = ( ) y ( ) = f f g g x (.8) AB CD AB CD la quale nserta nella (.4), dà luogo all equazone: t U f f g g ( ) ( ), j x y AB CD y AB CD x = 0 U, j f AB fcd g AB gcd = 0 t x y (.9) Una tpca dscretzzazone d schema centrale e cell-centred, applcata alla rappresentazone Cartesana, medante l espressone (.) è: U, j f, j f, j g, j g, j = S, j (.0) t x y mentre, utlzzando l equazone (.3) con la (.6) s può scrvere: U, j f, j f, j f, j f, j f, j f, j [ ] t 4 x x x g g g g g g [ S 4 x x x, j, j, j, j, j, j =, j (.) Dalle equazon (.0) e (.) rsulta evdente che l metodo a volum fnt d tpo centrale porta, su celle cartesane, a dscretzzazon spazal accurate al secondo ordne. 38

157 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Per uno schema upwnd e cell-centred l flusso è valutato come funzone della drezone d propagazone assocata alla veloctà convenzonale. Quest ultma è determnata dalla matrce F f g Jacobana del flusso: A ( U) = = a x by con a( U) = e b( U) =. U U U Con queste consderazon, n base alla fgura. a, s può defnre: ( F n) AB = ( F n ), j se ( ) > 0 AB ( F n) AB = ( F n), j se ( ) < 0 AB A n (.) A n (.3) Mentre per uno schema upwnd e cell-vertex come n fgura. b s ha: ( F n) = ( F n ) se ( ) 0 AB CD A n (.4) AB > ( F n) = ( F n ) se ( ) 0 AB EF A n (.5) AB < 39

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159 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 3 Schem numerc d ntegrazone delle equazon bdmensonal del moto varo I metod numerc, come gà detto nel precedente captolo, sono strument mportant per rsolvere problem nel campo fsco e ngegnerstco e tra d ess l metodo a volum fnt è, n partcolare, molto usato per l ntegrazone numerca delle shallow water equatons. Una gran mole d lavoro è stata eseguta nel campo degl schem bdmensonal a volum fnt per l anals della propagazone su topografa complessa e rregolare (s vedano ad esempo: Zhao et al., 996; Bradford e Sanders, 00; Brufau et al., 00; Caleff et al., 003; Costanzo et al., 00a). Indagn complete sugl schem sono rportate n Hrsch (990), Toro (00) e Leveque (00). In questa captolo s esamnano alcun schem bdmensonal a volum fnt pù rcorrent n letteratura tra cu gl schem upwnd HLL, HLLC, lo schema d Roe e lo schema centrale d MacCormack corretto con l termne TVD d vscostà artfcale. 3. Formulazone del metodo a Volum Fnt applcato alle shallow water equatons Il metodo a volum fnt, applcato all drodnamca, è basato sulla formulazone ntegrale delle equazon bdmensonal delle acque basse su un domno volumetrco Ω, j, gà llustrata ne captolo precedent e che qu s rporta per charezza d esposzone: dove: U f g dω = dω t x y S (3.) Ω, j Ω, j 4

160 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h hu U = hu, f = hu gh / (3.; 3.3) hv huv hv = huv, hv gh / g = gh( S0x S fx ) gh( S0 y S fy ) 0 S (3.4; 3.5) n cu: t è l tempo; x,y sono le coordnate spazal; h è l trante drco; u, v sono le veloctà mede rspettvamente lungo le drezon x e y; g è l accelerazone d gravtà; S 0x, S 0y sono le pendenze del fondo lungo le drezon x e y; S fx, S fy sono termn d resstenza al fondo rspettvamente lungo x e y espress dalle equazon : S fy v u = K v 4 3 S h, S fx u u v = (3.6; 3.7) K 4 3 S h dove K s è l coeffcente d scabrezza d Strckler. Nel metodo a volum fnt l domno fsco bdmensonale è dvso n volum elementar d controllo. Ovvamente, n ambto bdmensonale, volum sono puttosto delle superfc racchuse da un contorno. La cella elementare, dentfcata con (,j), è quadrangolare e crcondata da quattro lat (r=,,4) d lunghezza L r. Il vettore untaro normale è ndcato con l smbolo n. Il sstema (3.) è ntegrato su un arbtraro volume d controllo Ω,j e, applcando l teorema d Green a cascuna componente de vettor f e g n manera tale da ottenere un ntegrale d superfce, assume l espressone (Hrsch, 990): U dω F n dl = SdΩ (3.8) t Ω, j Ω, j Ω, j essendo Ω,j l contorno che racchude Ω,j e F = [f, g]. Chamando con U,j l valore medo delle varabl dpendent sul volume d controllo Ω,j ad un dato stante temporale, l equazone (3.8) può essere dscretzzata come: 4 n n t n U, j = U, j Fr nr Lr ts, j (3.9) Ω, j r= Tale formulazone necessta d ulteror approfondment per quanto rguarda l espressone del flusso numerco attraverso lat della cella. Questa scelta dstngue var schem a volum fnt che saranno llustrat ne prossm paragraf. 4

161 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 3. Determnazone de fluss d propagazone Nel sstema d equazon scrtto n forma algebrca (3.9), come s è gà vsto, compaono fluss F n attraverso l contorno d cascuna cella e n drezone normale agl stess lat. Per ogn stante temporale e per ogn cella, s calcolano quattro valor d flusso che attraversano quattro lat della stessa, la cu somma vettorale nfluenza l calcolo delle varabl d stato h, hu e hv al tempo successvo. Le dverse espresson, per la determnazone de fluss, dstnguono var schem a volum fnt. In letteratura, gl schem a volum fnt propost sono essenzalmente d due tp: schem d tpo upwnd e schem d tpo centrale. Negl schem upwnd le celle d calcolo sono scelte conformemente alla propagazone delle perturbazon. Ess, a loro volta s possono dstnguere n base alla costruzone del metodo n flux vector splttng e n flux dfference splttng. I contrbut n letteratura sugl schem del tpo flux vector splttng sono poch (Bermúdez e Vázquez, 994; Bermúdez et al., 998). Ess consderano l segno degl autovalor della relatva matrce jacobana, percò fluss sono dscretzzat n base al segno delle veloctà d propagazone. Inoltre, generalmente ess s applcano alla formulazone omogenea delle equazon del moto. Gl schem del tpo flux dfference splttng, pù usat, consderano, nvece, fluss come soluzone del problema d Remann a contorn tra le celle. In partcolare, tal schem possono essere caratterzzat, come proposto da Godunov, da varabl costant per l ntera cella e da fluss calcolat come soluzon del problema d Remann. Gl schem central sono caratterzzat appunto da una dscretzzazone del flusso d tpo centrale attraverso un lato della cella. Uno degl schem central pù dffuso è lo schema d MacCormack, gà ampamente svluppato e usato sn da prm ann 70 per l metodo delle dfferenze fnte e ntrodotto recentemente, nello studo de volum fnt da Alcrudo et al., (994). Gl schem d tpo centrale non rchedono esplctamente la conoscenza della drezone della perturbazone. Cò l rende pù semplc da mplementare. 3.3 Schem upwnd al prmo ordne Gl schem upwnd dscretzzano le equazon d tpo perbolco n base all nformazone della drezone d propagazone legata alle stesse. La maggor parte d ess s basano sulla soluzone locale del problema d Remann all nterfacca tra le celle. Questo approcco fu proposto da Godunov coscché gl schem upwnd s chamano anche schem d Godunov. Nello studo svolto da Godunov fluss sono calcolat come soluzone esatta del problema d Remann. Tale calcolo presenta una mplementazone onerosa dato che avvene medante una procedura teratva. Per questo motvo, l approcco basato sull esatta soluzone del problema d Remann è spesso sosttuto con una teora basata sulla soluzone approssmata. Gl schem analzzat nel seguto sono tutt solutor approssmat del problema d Remann. I solutor approssmat del problema d Remann, se propramente usat, rescono ad essere degl strument computazonal effcac con cost compettv. La scelta tra solutor esatt o approssmat del problema d Remann s basa su tre aspett fondamental: l costo computazonale, la semplctà d mplementazone e l accuratezza. 43

162 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Generalmente l tempo computazonale rveste un ruolo mportante n tutt problem d ntegrazone numerca d equazon dfferenzal, specalmente quando fenomen n esame tentano d rprodurre la realtà. A tal proposto, secondo Toro (00), solutor del problema approssmato d Remann comportano rspetto a quell esatt una dmnuzone del tempo d calcolo del 0%. Negl ultm vent ann n molt stud sono stat presentat vald contrbut su solutor approssmat del problema d Remann e mportant rsultat sono stat ottenut nell aerodnamca con l applcazone successva anche all drodnamca. Esstono due tpologe d solutor approssmat del problema d Remann. In alcun schem s approssmano le varabl d stato e successvamente, n base a tal valor, s calcolano fluss; n altr schem, nvece, s approssmano drettamente fluss. I pù mportant solutor approssmat del problema d Remann sono stat svluppat da Roe (98), Osher e Solomon (98) e Harten (983) ed estes alle equazon del moto varo da Glaster (998), Alcrudo e Garca Navarro (993), Nujc (995). Per gl schem bdmensonal solutor approssmat del problema d Remann, n partcolare, l calcolo de fluss avvene lungo cascuna delle due drezon spazal x e y n base a una teora d splttng e, n alcun cas, come nello schema HLLC, nella formulazone della soluzone s ntroduce un legame tra le varabl delle due drezon spazal. Il problema bdmensonale, qund, s trasforma nella rsoluzone d un problema localmente monodmensonale valutato, precsamente, d volta n volta, lungo la drezone normale al lato consderato della cella d nteresse. La struttura generca del problema d Remann può essere rappresentata come n fgura 3.. La soluzone delle equazon bdmensonal del moto varo ndvdua tre lnee caratterstche corrspondent agl autovalor λ, λ, λ 3. Proettando la soluzone del problema bdmensonale nel pano x n -t 0 come n fgura 3., dove x n è la drezone normale, esstono due regon del pano n cu le varabl d nteresse assumono un valore costante. Queste due regon sono precsamente quella al d sotto della prma caratterstca λ e quella al d sotto della terza λ 3. La soluzone del problema d Remann permette la conoscenza de valor ncognt delle varabl dpendent nella regone tra la prma e la terza caratterstca. Il problema d Remann vene, così, strutturato e rsolto per cascun lato della cella ottenendo un numero d soluzon par al numero d lat della cella d nteresse. Ne prossm paragraf sono esamnat solutor approssmat del problema d Remann propost rspettvamente da Harten Lax e Van Leer, da Toro e da Roe. t 0 λ λ λ 3 Regone snstra a valor costant Regone destra a valor costant 0 x n Fgura 3. Struttura del problema d Remann nel pano x n -t 0 44

163 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 3.3. Schema HLL Lo schema HLL è stato proposto da Harten et al. (983). La soluzone consdera soltanto le caratterstche snstra e destra rappresentant la mnma e la massma veloctà d propagazone, dvdendo l pano x n -t 0 n tre regon: la regone a snstra che sta al dsotto d 0D; la regone a destra al dsotto d 0B e la regone contrassegnata con * tra 0B e 0D (fgura 3.). Le varabl note appartengono alle regon destra e snstra con valor par a quell nzal del problema d Remann, mentre la regone * rappresenta la regone delle varabl ncognte della soluzone del flusso normale al lato della cella d nteresse. t 0 Regone * λ mn D U * C B λ max F(U L ) F(U ) F(U R ) * E -x n L U L 0 U R x n R A x n Fgura 3. Struttura dello schema HLL Consderando l problema localmente monodmensonale e n forma omogenea, lungo la drezone normale x n, l equazone (3.8) s può scrvere come: n ( U dx Fn dt) = 0 (3.0) con n versore d x n. Sapendo che x n L = -λ mn t e x n R = λ max t, ntegrando l equazone (3.0) sul volume E0CD s ottene: ( *) ( L ) * = L F U n F U n λmn U U (3.) ntegrando, nvece, la stessa equazone sul volume 0ABC s ottene: ( *) ( R ) * = R F U n F U n λmax U U (3.) Elmnando U * dalle equazon (3.) - (3.) s ottene l flusso nella regone * medante la seguente espressone: λ F( U ) n λ F( U ) n λ λ ( U U ) F U n (3.3) max L mn R max mn R L ( *) = λmax λmn La soluzone completa del flusso ottenble dallo schema HLL è data, così, da: F( UL ) n se λmn 0 Fn = F( UR ) n se λmax 0 F( U ) n se λ 0 λ * mn max 45 (3.4)

164 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Per la rsoluzone dello schema è necessaro determnare le veloctà massma e mnma d propagazone della perturbazone, λ mn e λ max. Gl approcc che possono essere usat sono dvers, quello mplementato n questo lavoro s basa sull approssmazone proposta da Toro (00) n presenza d due onde d tpo rarefacton. Le veloctà d propagazone sono calcolate usando gl nvarant d Remann. La procedura utlzzata è descrtta d seguto. t 0 λ λ st λ st3 Regone * P λ 3 λ 3 λ L 0 R x n Fgura 3.3 Stma delle veloctà d propagazone della perturbazone In fgura 3.3, λ st e λ st3 sono le caratterstche postve e negatve nella regone * e P un punto appartenente alla stessa regone. L obettvo è quello d trovare λ mn, che potrebbe essere sa λ che λ st e l valore d λ max, che potrebbe essere sa λ 3 che λ st3. Qund, è necessara la conoscenza, per l calcolo della pendenza della lnea caratterstca nella regone *, della veloctà u st e dell altezza drca h st. Lungo la caratterstca negatva λ, l nvarante d Remann è del tpo: ψ =u-c, mentre, lungo la caratterstca postva λ 3, l nvarante d Remann è ψ 3=uc. Qund, nel punto P, possono essere defnte le seguent due relazon: u g h = u g h (3.5) L L st st u g h = u g h (3.6) R R st st Sommando le due relazon s ottene: ul ur ust = g hl g hr (3.7) mentre sottraendo s ottene: g h st ( g hl g hr ) ul ur = (3.8) 4 Così, le veloctà d propagazone λ mn e λ max, da ntrodurre nell equazone (3.4), possono essere calcolate come: λ ( λ λ ) mn mn, st = (3.9) ( ) λ = λ λ (3.0) max max 3, st3 dove: λ = ul g h L ; λ 3 = u R g hr ; λ st = u st g hst ; λ st3 = u st g hst e u st e h st calcolate come n (3.7) e (3.8). 46

165 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II In presenza d alveo ascutto Fraccarollo e Toro (995) suggerscono l'utlzzo delle seguent espresson per valor delle veloctà d propagazone mnma e massma al posto delle (3.9)- (3.0): se la cella ascutta è a destra: λ λ mn = u L = max ul gh L gh se la cella ascutta è a snstra: L (3.) λ λ mn max = u R = u R gh gh R R (3.) La formulazone d questo schema non convolge la caratterstca ntermeda λ comportando effett dffusv nelle soluzon, n partcolare, n presenza d dscontnutà Schema HLLC Questo schema è una versone modfcata dello schema HLL. E stato ntrodotto da Toro et al.(994) come soluzone dell equazone d Eulero. Dversamente dallo schema HLL, s consdera anche la caratterstca ntermeda λ chamata Contact wave. La struttura del relatvo problema d Remann è rappresentata n fgura 3.4. In questo caso, la regone sede delle varabl ncognte, *, è suddvsa n due part dalla caratterstca λ. In aggunta alle veloctà d propagazone mnma e massma ottenbl come vsto per lo schema HLL, è necessaro la determnazone della veloctà ntermeda λ m. Per solutor esatt del problema d Remann l valore d λ m concde con l valore d u st (Toro, 00) e tale assunzone è stata applcata anche n questo caso. I fluss normal a lat della cella d rfermento sono stmat come nello schema HLL t 0 λ λ mn D U * C B λ max F(U L ) F(U ) F(U R ) * E -x n L U L 0 U R x n R A x n Fgura 3.4 Struttura dello schema HLLC con eccezone per la terza componente che, nfluenzata dalla veloctà ntermeda, è calcolata n funzone della prma componente dello stesso vettore flusso come: ( ) ( ) F U n v F U n v L R se λ 0 m se λ 0 m (3.3) Questa partcolare correzone permette una maggore adattabltà dello schema a problem tpcamente bdmensonal come s vedrà nelle applcazon a cas test successv. 47

166 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Schema d Roe Questo schema ntrodotto da Roe (98), per la soluzone numerca delle equazon d Eulero, è stato applcato per la soluzone delle equazon del moto varo ne canal a pelo lbero da Glaster (988) e po esteso da Alcrudo et al. (99). Anche per questo schema l problema bdmensonale è consderato localmente monodmensonale e s ntegra l equazone (3.0). L assunzone d Roe s basa sull approssmazone del problema tpcamente non lneare come localmente lneare, ovvero assume che n un pccolo ntervallo d tempo le curve caratterstche che propagano l nformazone con celertà par agl autovalor assocat alla F( U) n matrce jacobana A =, sano delle rette. In questo caso la matrce jacobana, così n x come gl autovalor e gl autovettor ad essa assocat, possono essere consderat costant. In partcolare, l problema da rsolvere è formato da una sere d dscontnutà local n cascuna facca della cella (problema d Remann), tra due stat costant U L e U R. Questa dscontnutà, evdenzata n fgura 3.5, s svluppa lungo la curva AB. Il problema è lnearzzato nel senso che nvece della curva AB, uno stato costante U * è assunto tra le caratterstche dervant dalla dscontnutà. Matematcamente cò sgnfca che alla matrce jacobana A s sosttusce la matrce approssmata A con valor costant e funzone de valor U L e U R. Fgura 3.5 Problema d Remann lnearzzato n base alla teora d Roe L espressone della matrce jacobana approssmata à è la seguente: 0 nx n y A ɶ = ( cɶ uɶ ) nx uvn ɶɶ y un ɶ x vn ɶ y un ɶ y uvnx ( c v ) ny vnx unx vn ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ y 48 (3.4) essendo n x e n y le component del vettore normale n, e le quanttà soprandcate con tlde le varabl approssmate così come defnte da Roe:

167 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h u R R L L ɶ (3.5) u = h h v R h u h L R R L L ɶ (3.6) v = h R h v h L g cɶ = ( hr hl ) (3.7) Gl autovalor λ e corrspettv autovettor ẽ della Jacobana approssmata sono: ɶ λ = un ɶ vn ɶ cɶ ɶ λ = un ɶ vn ɶ 3 x x ɶ λ = un ɶ vn ɶ cɶ x eɶ = uɶ cn ɶ v ɶ cn ɶ x y y y y 0, eɶ = cn ɶ cn ɶ y x, eɶ 3 = uɶ cn ɶ x v cn ɶ ɶ y 49 (3.8) (3.9) La matrce A è, noltre, caratterzzata dalle seguent propretà: deve soddsfare la propretà d perbolctà, ovvero deve avere autovalor real e dstnt con autovettor lnearmente ndpendent e funzon degl stat costant U L e U R ; deve essere consstente con A ovvero n caso d soluzone contnua n cu U L =U R =U deve essere valda l espressone: ( ) = A( U) Aɶ U ; (3.30) deve soddsfare la conservazone e la varazone del flusso lungo la dscontnutà medante l equazone: F n = Aɶ U (3.3) dove F e U sono gl ncrement d F e d U lungo la dscontnutà. L ultma relazone permette d conoscere la soluzone F * e U * nella regone ncognta contrassegnata dall astersco, come funzone degl stat costant U L e U R : ~ F F n = A U (3.3) ( ) ( ) * L * U L ~ ( F F ) n = Α( U U ) R * R * (3.33) Inoltre, la varazone d U può essere espressa a partre dalle varabl caratterstche α, secondo l espressone (Hrsh, 990): 3 U = U U = α ~ e (3.34) R L = n cu le varabl caratterstche o coeffcent d ampezza d onda elementare, hanno le seguent espresson: [(( hu) ( hu) ) n (( hv) ( hv) ) n ( un ~ vn )( h h )] hr hl α = ± ~,3 R L x R L y x y R L c ~ (3.35)

168 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II [(( hv) ( hv) v~ ( h h )) n (( hv) ( hv) u ( h h )) n ] α = ~ R L R L x R L R L y c~ (3.36) Il flusso numerco, normale ad un lato della cella d rfermento, può essere calcolato medante la seguente espressone: ~ [ F( U R ) n F( U L ) n A ( U R U L )] F* n = (3.37) Consderando che: ~ 3 A ~ ~ λ (3.38) ( U R U L ) = α e = con γ autovalore -esmo della matrce jacobana approssmata, l flusso espresso nella (3.37) s può scrvere come: 3 ~ F n = F( U R ) n F U L n ~ * ( ) λ α e (3.39) = Tra le possbl soluzon numerche è necessaro sceglere quelle fscamente realstche. Queste soluzon sono caratterzzate dal soddsfacmento della condzone d entropa ovvero dall ottenere una varazone entropca postva. La volazone della condzone entropca comporta che nello schema numerco l fattore dsspatvo svansce per γ =0. Per prevenre tale stuazone Harten e Hyman (983) proposero una modfca al modulo degl autovalor present nello schema. Tale modfca per l modulo dell autovalore rferto ad un lato della cella è del tpo: ~ ~ λ se λ ε ~ λ = mod f ~ ε se λ < ε ~ ~ ε = max [ 0, λ λ, λ λ ]. dove ( ) ( ) (3.40) 3.4 Schem upwnd al secondo ordne In cas d presenza d sgnfcatve dscontnutà, come rsalt draulc o propagazone d onde a fronte rpdo, s rchede l uso d schem accurat al secondo ordne. Generalmente ess fornscono rsultat pù accurat degl schem al prmo ordne con cost computazonal maggor. Poché problem d questo tpo sono anche dpendent dal tempo, deve essere raggunta una accuratezza al secondo ordne sa nel tempo che nello spazo. L accuratezza al secondo ordne nello spazo s può ottenere medante un approcco d estrapolazone delle varabl mentre nel tempo s possono usare tecnche come quella predctor-corrector (Hrsch, 990). 50

169 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 3.4. Accuratezza al secondo ordne nello spazo L estensone al secondo ordne nello spazo può essere ottenuta medante l estrapolazone delle varabl d tpo MUSCL (Monotone Upstream Schemes for Conservaton Laws). Il valore numerco della varable U n,j vene consderato, anzché costante, varable lnearmente nelle celle d calcolo come mostrato n fgura 3.6. Fgura 3.6 Tecnca MUSCL Per cascun lato della cella sono calcolat valor delle varabl a destra e a snstra dello stesso e successvamente ntrodott nelle funzon flusso. Per l lato / tal valor assumono la forma: U L = U 0.5δU (3.4) U δ (3.4) R = U 0. 5 U Gl ncrement δu e δu sono calcolat usando l lmtatore mnmod (Hrsch, 990): con: δu ( U U U U ) = mn mod, 5 (3.43) α se α < β e αβ > 0 mn mod( α, β ) = β se β < α e αβ > 0 (3.44) 0 se αβ 0 Generalmente una soluzone accurata al secondo ordne può produrre de mnm o massm local non fsc. Ess, nfatt, sono present nella soluzone numerca, quando la dfferenza de valor tra due celle dventa maggore della dfferenza tra valor med delle stesse celle. Il prncpo base nell uso de lmtator è quello d asscurare l soddsfacmento della propretà TVD, ovvero d una varazone totale non crescente della soluzone (Hrsch, 990; Dels e Skeels, 998; Toro, 00; Leveque, 00). Esstono due tp d lmtator: lmtator che agscono sul flusso (flux lmters) o funzon che lmtano la dfferenza tra le due soluzon d Remann nelle celle consderate (slope lmters). Gl slope lmters pù usat sono van Leer, Superbee, Mnmod e van Albada. In letteratura ess sono espress come: van Leer:

170 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II r r ϕ ( r) = (3.45) r con r gradente de valor d una qualsas componente del vettore U. Superbee: ( r ) = max[ 0, mn( r, ),mn( r,) ] ϕ (3.46) Mnmod come nell espressone (3.44) o pù semplcemente: ( r ) = max[ 0, mn(,r )] ϕ (3.47) van Albada: r r ϕ ( r) = (3.48) r 3.4. Accuratezza al secondo ordne nel tempo L accuratezza al secondo ordne nel tempo s ottene comunemente medante una sequenza predctor- corrector della soluzone (Hrsch, 990). Questo metodo, come gà detto, s basa su due pass: predctor e corrector. In entramb pass s ha una soluzone conservatva e solo nel corrector s applca la lnearzzazone delle varabl nelle celle descrtta nel paragrafo precedente per l accuratezza al secondo ordne nello spazo. La struttura della tecnca è rappresentable ne seguent punt: rsoluzone numerca delle equazon (3.9) così come proposto per gl schem accurat al prmo ordne ma consderando un passo temporale par a t/ nvece che t; costruzone delle varabl all nterfacca delle celle usando espresson come le (3.4) e (3.4); determnazone della soluzone numerca funzone delle varabl calcolate ne punt precedent medante l equazone (3.9) n cu l passo temporale stavolta è propro t. 3.5 Schem a dscretzzazone centrale Quest schem sono caratterzzat da una dscretzzazone d tpo centrale del flusso attraverso un lato della cella. Uno degl schem central pù dffuso è lo schema d MacCormack (969) esamnato nel prossmo paragrafo Schema d MacCormack Lo schema predctor-corrector d MacCormack è dffusamente utlzzato sn dagl ann 70 nello studo de fenomen d dam-break. Inzalmente mplementato alle dfferenze fnte (Garca e Kahawta, 986; García Navarro et al., 99), successvamente proposto anche nella metodologa de volum fnt (Alcrudo e García Navarro, 994). Esso può essere consderato un estensone dello schema d Lax-Wendroff. Alcun aspett postv dello schema sono seguent: 5

171 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II è d facle mplementazone numerca, come la maggor parte degl schem central d tpo esplcto con le varabl dpendent calcolate a partre da grandezze note; è un metodo shock-capturng, accurato al secondo ordne sa nel tempo sa nello spazo; possono essere faclmente ntrodott termn d dsspazone artfcale o correzon a Varazone Totale Decrescente (TVD) n modo da evtare l nsorgenza d shock non fsc ed oscllazon, mantenendo nello stesso tempo l accuratezza al secondo ordne dello schema orgnaro. La formulazone usata nello schema è: t n U dl t S, j (3.49) r = 4 p n n, j = U, j ( Frn r ) Ω, j r= r = 4 c n p, j = U, j ( Fr nr ) Ω, j r= r t p U dl t S, j (3.50) n p U, j = ( U, j U c, j ) r (3.5) a cu, nell ultma espressone, s aggunge l termne d dsspazone artfcale o la correzone TVD. Gl apc p e c stanno per predctor e corrector. Le funzon numerche del flusso sono dverse nel predctor e nel corrector. Prendendo, ad esempo, un lato d una cella, l flusso attraverso esso nel predctor è del tpo: n n ( F r n r ) F, j mentre nel corrector: p p F r n r ) F, j = n (3.5) r r ( = n (3.53) Tale scelta presume una dscretzzazone forward per l predctor e una backward per l corrector. Generalmente s prefersce a tale schematzzazone, la scelta d alternare ad ogn passo temporale, le quattro sequenze d tpo forward e backward rspettvamente nel predctor e nel corrector. Tale scelta mglora la smmetra del modello. 3.5 Oscllazon numerche e tecnche d smorzamento tradzonal Molt schem central, così come analzzato per gl schem upwnd, al secondo ordne d accuratezza presentano delle oscllazon. Per evtare tale nconvenente s aggunge un ulterore termne chamato vscostà artfcale per va dell effetto che produce sulla soluzone. S tratta d un termne che ha lo scopo d ndrzzare la soluzone verso l soddsfacmento della condzone d entropa, d prevenre nstabltà non lnear e dsspare oscllazon numerche. In letteratura esstono dverse procedure d questo tpo, una d queste venne svluppata da Jameson et al. nel 98 e rportata da Fennema e Chaudhry (990) n un loro studo. Altr stud fatt da Harten (983) comportano l ntroduzone d opportun fattor d correzone chamat lmtator, applcat anche per gl schem upwnd e mostrat n precedenza. 53

172 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Tale approcco ha portato all ntroduzone d schem central con propretà Total Varaton Dmnshng (TVD) 3.5. Lmtatore d Jameson Lo scopo d tale funzone è quello d rdurre le oscllazon numerche con de termn dsspatv, nelle regon con brusch gradent e lascare nvarate le altre. Quest termn artfcal dsspatv sono aggunt nella dscretzzazone nel modo seguente: n U p, = ( U, U c j j, j ) D( U) (3.54) dove con D s ndca un operatore dsspatvo defnto lungo gl ass prncpal come: D( U) = D ( U) D ( U) (3.55) x y Tal termn possono essere espress medante le equazon (Jameson,98; Chaudhry,983): n n n n D = ( ) ( ) x ( U) ε U x j, j U, j ε U x, j, j U,, j (3.56) n n n n ( U U ) ε ( U ) D ( U) = ε y y j j j y j j j,,,,, U (3.57), I termn ε assumono valor così come espresso per ε : ε x, j 54 x, j = α max( ν x, j ; ν x, j ) (3.58) dove per υ s assume l equazone: x, j h, j h, j h, j ν x, j = (3.59) h h h, j, j, j Il parametro α che compare n (3.58) è un parametro dsspatvo da tarare caso per caso, Chaudhry (983) consgla un range d valor che va da 0. a 3. Come s vede dalle espresson precedent, tale operatore s basa sulle varazon d altezze convolgendo, per ogn cella, n cascuna drezone cnque celle. L enttà della correzone, oltre ad essere proporzonale al parametro α, è proporzonale a termn ν rappresentant la dervata seconda della varable consderata, mantenendo così l accuratezza del secondo ordne dello schema orgnaro. Tale lmtatore, pur se d facle mplementazone, ha lo svantaggo d non nteressare le varazon d veloctà e le drezon d propagazone. Inoltre, la scelta arbtrara del parametro α può condurre ad una attenuazone delle oscllazon ma non alla loro completa scomparsa Tecnca TVD Ne paragraf precedent s è vsto come s possano ottenere schem numerc d ordne superore rcorrendo ad approssmazon d tpo lneare della soluzone all nterno della cella d calcolo. Tal approssmazon lnear sono determnate oltre che dal valore medo della soluzone nella cella, anche dalla pendenza che caratterzza la varazone lneare.

173 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Oscllazon numerche saranno orgnate se all nterno della cella -esma la pendenza è eccessvamente grande e confgura un salto maggore della dfferenza de valor med adacent. Per prevenre tal nconvenent occorre dunque evtare gradent troppo grand. Cò vene conseguto medante l ntroduzone d opportun fattor d correzone, chamat lmtator, qual, affnché s abbano schem con accuratezza del ordne, bsogna che sano non lnear. L approcco accennato è stato generalzzato da Harten(983) medante l ntroduzone degl schem Total Varaton Dmnshng (TVD). Ess s basano sulle seguent propretà d U f g monotonctà delle soluzon debol dell equazone d conservazone scalare = 0 t x y, propretà che s conservano al varare del tempo t: Lungo cascun asse non possono essere generat nuov massm o mnm relatv; Il valore d un mnmo relatvo è non decrescente; l valore d un massmo relatvo è non crescente. Ne consegue che, chamata TV la varazone totale della soluzone, ad esempo, lungo l asse x: U TV ( U ( t)) = dx (3.60) x la TV è non crescente nel tempo t; s ha coè: TV ( U( t )) TV ( U ( t )) per ogn t t (3.6) S consder ora uno schema alle dfferenze fnte n forma conservatva che dscretzz U f g l equazone = 0 t x y. Esso sarà detto schema TVD se: TV TV n n ( ) TV ( ) U U (3.6) ( ) = = U U U (3.63) Nel metodo a volum fnt, un vettore artfcale dffusvo D s ntroduce nella formulazone orgnara ntegrale n manera seguente: Ω U dω = t Ω F n dl Ω Dn dl Ω S dω 55 (3.64) La lnearzzazone d D, essendo un tensore correttvo del flusso, avvene tramte l teorema d Gauss-Green: 4 D n dl = ( Dn ) (3.65) Ω r= r dl r Applcando tale tecnca allo schema d MacCormack, l equazone precedente s aggunge all equazone (3.5) nella seguente forma: 4 n p c t U, j = ( U, j U, j ) ( Dn) r dlr Ω (3.66), j r= S ntroduce, qund, un termne correttvo per ogn lato della cella consderata, ad ogn passo temporale. n

174 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Secondo la tecnca TVD l calcolo del tensore D s basa sulla stessa teora proposta da Roe per la determnazone del flusso numerco. Per cu, l valore normale D r n, che comporta una varazone del flusso, medante l equazone (3.3), l successvo svluppo nelle equazon (3.34) e (3.38) e con l ntroduzone d opportun accorgment, può essere espresso come: k = ~ ~ ( λ k )[ ηλ k ][ ϕ( ρ k )] ~ k n 3 D ~ r Ψ e = α k (3.67) con: ~ α k : varable caratterstca espressa n base all equazone (3.35)-(3.36); ~ λ k, ~ ek : autovalor e autovettor della matrce Jacobana approssmata calcolat come n (3.8) e (3.9); η = t/d, dove d è la dstanza tra centr d due celle contgue; ~ Ψ ( λ k ) : correzone entropca al modulo dell autovalore ~ λ k, n manera tale da evtare la presenza d oscllazon numerche spure ed esprmble come: ~ Ψ( λ ) ~ λ = ε se ~ λ, j, j, j ~ se λ, j ε < ε (3.68) con ε parametro d valore consglato tra 0. e 0.3. ϕ = ϕ(ρ) rappresenta l lmtatore che permette l soddsfacmento della propretà TVD. Per esempo nella poszone (,j/), ρ k è: [ ~ ~ ~ αψ( λ )( η λ )] k, j / s ρ k =, j / ~ ~ ~ (3.69) αψ λ η λ dove: [ ( )( )] k, j / ~ ( ) s λ (3.70) = sgn k, j / In letteratura sono present molte espresson per l lmtatore ϕ gà analzzate n (3.45)-(3.48). 56

175 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 4 Trattazone del termne sorgente Negl ultm ann, n ambto scentfco, s è notato che nelle pratche applcazon, la soluzone può essere fortemente nfluenzata dalla modaltà d trattazone del termne sorgente. Cò comporta ulteror stud sullo svluppo e sull applcazone de metod numerc ne fenomen real d propagazone d pena. In partcolare l termne sorgente del sstema d equazone delle acque basse può essere decomposto n due contrbut prncpal: una rguardante la pendenza del fondo e l altra la scabrezza al fondo. Per cò che rguarda la prma alquota, n letteratura la corretta dscretzzazone numerca d essa da ann è argomento centrale nell'ambto della modellstca della propagazone delle pene su topografa complessa. La questone centrale rsede nella dscretzzazone della pendenza, o delle altre varazon geometrche, che deve essere compatble n qualche modo con la dscretzzazone de fluss n manera tale da garantre rsultat numerc fscamente corrett. Rguardo la stessa resstenza al fondo, spesso, n presenza d pccol trant d acqua, sorgono delle anomale numerche dovute alla presenza, nella formula d resstenza, del trante drco al denomnatore. In tale caso, la letteratura propone dscretzzazon ad hoc al fne d rendere pù stable l metodo numerco. Inoltre, non è superfluo sottolneare che la valutazone quanttatva della resstenza al moto rchede la scelta d uno de parametr present nelle equazon del moto varo rappresentat da coeffcent d scabrezza nelle due drezon. Molt autor hanno sottolneato che la scelta d tale coeffcente nfluenza notevolmente rsultat numerc n termn d forma dell onda d pena, d valore della portata al pcco e del tempo n cu essa s raggunge n una assegnata sezone d rfermento. Nell ambto applcatvo degl schem numerc è orama prass calbrare l modello effettuando un anals d sensbltà sull nfluenza d parametr come l coeffcente d scabrezza su rsultat numerc. L obettvo n questo captolo è quello d fornre delle utl consderazon sull applcazone e sulla combnazone tra la dscretzzazone delle equazon n forma 57

176 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II omogenea medante gl schem consderat, e la dscretzzazone della pendenza del fondo e del termne d resstenza. 4. Il termne sorgente nelle equazon D del moto varo Nelle equazon delle acque basse, presentate nel prmo captolo, compare l termne S che vene comunemente ndcato come termne sorgente. Esso tene conto delle resstenze al moto e della pendenza al fondo lungo le due drezon spazal: n cu: 0 S ( U) = gh( S 0x S fx) (4.) gh( S0 y S fy ) S 0x e S 0y sono le pendenze del fondo n drezone x e y par a z x e z ; y S fx e S fy sono termn d resstenza al fondo rspettvamente lungo x e y espress dalle equazon: S fx u u = v ; K 4 3 S h S fy v u K v = (4.,4.3) 4 3 S h con K s coeffcente d scabrezza al fondo d Strckler. 4. Trattazone della pendenza del fondo Come gà detto n premessa, la topografa ha un ruolo mportante nella smulazone de fenomen d pena. Una errata dscretzzazone della pendenza del fondo che compare nell equazone (4.) comporta l ottenmento d rsultat numerc fscamente non realstc. E l caso della smulazone d acqua n quete, ovvero d un volume d acqua n condzone drostatca, su un fondo a geometra complessa. L acqua dovrebbe rmanere ferma e la superfce lbera orzzontale; tuttava s manfesta una portata non nulla e l acqua s mette n movmento. La smulazone numerca d un apparente semplce caso d un volume d acqua n condzone drostatca su un fondo a geometra rregolare rappresenta l esempo tpco de problem che nsorgono allorquando la dscretzzazone della pendenza del fondo non è approprata. Applcando a questo caso le equazon dscretzzate delle acque basse, l acqua che dovrebbe rmanere ferma nza a muovers e la superfce lbera non rmane costante. Questo comportamento numerco è stato analzzato partendo dalla formulazone delle stesse equazon. In condzon drostatche, le dervate temporal sono nulle così come le veloctà lungo entrambe le due drezon spazal. Le equazon delle acque basse n forma dfferenzale costtuscono l seguente sstema: 58

177 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h g = ghs x h g = ghs y 0x 0 y (4.4) Così, per evtare l nsorgenza d veloctà non nulle, due termn a destra e a snstra del sstema (4.4) devono equlbrars l un l altro. Cò comporta una dscretzzazone accurata della pendenza del fondo medante partcolar tecnche, alcune delle qual, maggormente proposte n letteratura, sono presentate ne successv paragraf. Ne prossm paragraf, dopo delle consderazon teorche sul problema dell acqua n quete, sono analzzate le tecnche pù dffuse per la trattazone della pendenza del fondo che, oltre alla pù semplce d tpo centrale, consstono n una tecnca proposta da Nujc (995) e nella trattazone upwnd del termne sorgente. 4.. Trattazone d tpo centrale della pendenza del fondo La dscretzzazone centrale è quella pù semplce ed ntutva da applcare. Essa s basa sulla seguente formulazone: z z, j z, j gh gh, j ghs0 x x x ghs = = z z z 0 y, j, j, j gh gh, j y, j y 59 (4.5) Al contorno l equazone (4.5) s modfca consderando solo le celle facent parte del domno d calcolo. Benché la tecnca sa molto semplce, essa è quella che presenta le maggor nesattezze soprattutto se dscretzzata con lo schema d MacCormack-TVD. Infatt, nel caso d acqua n quete, l non consderare n qualche modo la superfce lbera costante nella (4.5), comporta che per la varazone delle altezze del fondo e, come conseguenza, de trant drc, l acqua s mette n movmento. 4.. Tecnca d Nujc (995) L errata dscretzzazone delle equazon del moto è attrbuble secondo Nujc (995) ad una ncompatbltà numerca tra la pendenza del fondo ghs 0x (o ghs 0y ) e l temne d pressone gh /. Per rsolvere questo problema, l autore propone due metod alternatv per uno schema monodmensonale alle dfferenze fnte al fne d smulare un fenomeno d moto permanente su un canale rettangolare a fondo varable. Uno d quest, non mplementato dall autore e applcato n Costanzo et al. (00 a), consste nell estrarre l termne gh / dalla funzone flusso F, dfferenzarlo e combnarlo con la pendenza del fondo. Questa operazone comporta che nel termne sorgente non compare pù la pendenza del fondo ma la varazone d quota della superfce lbera rspettvamente lungo le due drezon spazal. Questa tecnca è stata applcata per la dscretzzazone del termne sorgente nello schema d MacCormack. E possble notare che le equazon delle acque basse, modfcate come sopra, sono scrtte n forma non conservatva. Tuttava è stata analzzata l adeguatezza d questa tecnca da un punto d vsta numerco.

178 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II La funzone flusso è modfcata dervando n essa l contrbuto d gh / n manera tale che termn: z = x S0 x ; S y sano sosttut con: S Hx H = ; x z 0 = (4.6; 4.7) y S Hy H = (4.8; 4.9) y dove H = h z è la quota della superfce lbera. Sa la pendenza del fondo che la pendenza della superfce lbera sono state dscretzzate n manera centrale Tecnca upwnd d dscretzzazone della pendenza del fondo Per rsolvere l problema dell acqua n quete, nel sstema (4.4), la pendenza del fondo dovrebbe esattamente blancare la varazone d pressone drostatca. In Bermudez e Vasquez (994) questa propretà vene chamata propretà C ovvero propretà d conservazone. La tecnca, proposta n molt contrbut d letteratura (Vazquez Cendon 999, García Navarro e Vazquez Cendon 000, Hubbard e García Navarro 000, Bruguete e García Navarro 00), consste nel dscretzzare la pendenza del fondo così come fluss numerc d uno schema upwnd, coè medante una lnearzzazone lungo gl autovettor della rspettva matrce Jacobana. Consderando con S l termne sorgente dovuto alla sola pendenza del fondo, per cascun lato k della cella consderata, la dscretzzazone del termne sorgente è decomposta n un contrbuto entrante e n uno uscente: essendo: Sɶ = Sɶ Sɶ (4.0) k k k ( λ λ ) 3 ± m m k = ± ɶ ɶ ɶ k = β ± m= Sɶ Pɶ I Pɶ S eɶ (4.) con P matrce che dagonalzza la matrce jacobana approssmata; I matrce denttà; λ autovalor della matrce jacobana approssmata; ~ S k ~ 0 = g h z ~ gh z x y h valor medo delle altezze drche a destra (R) e a snstra (L) del contorno della cella par a 0.5 (h R h L ); z x e z y varazon della pendenza al fondo rspettvamente lungo l asse x e y. ẽ m m-mesmo autovettore della matrce jacobana approssmata; β m m-mesmo coeffcente d lnearzzazone. Per cascuna cella l contrbuto totale della pendenza del fondo consste nella somma de contrbut legat alla veloctà normale entrante n cascun lato k della stessa S. 60 k k

179 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Dall equazone (4.) coeffcent β assumono l espressone par a: hɶ z β = g cɶ β = 0 \ (4.) hɶ z β = g cɶ con z = (z R -z L ). Se s consdera l espressone per cu gl autovalor entrant o uscent nella cella d rfermento sono par a: λ ± = ( λ ± λ ) (4.3) l termne sorgente della pendenza del fondo può essere scrtto n base al segno degl autovalor: s λ = = λ uɶ n vɶ n cɶ x uɶ n vɶ n cɶ x y y (4.4) s λ = = λ uɶ n vɶ n x uɶ n vɶ n x y y (4.5) s λ 3 3 = = λ3 uɶ n vɶ n cɶ x uɶ n vɶ n cɶ x y y (4.6) e, consderando sol contrbut entrant nella cella, l espressone fnale del termne sorgente upwnd è: S ( ) βɶ ( ) ( ) βɶ ( ) ( ) βɶ ( ) s e s β eɶ = s e s3 β3eɶ s e s3 β3eɶ 3 (4.7) 4.3 Applcazon a cas con geometra del fondo complessa A ttolo d esempo, n questo paragrafo sono mostrate le conseguenze d una scorretta trattazone del termne sorgente e benefc dervant dalla tecnche suddette. Le tecnche d trattazone del termne sorgente, rguardant la sola dscretzzazone della pendenza del fondo, sono state applcate nseme a var schem per smulare fenomen d propagazone d pena su topografe rregolar. I test scelt rappresentano cas rcorrent n ambto scentfco per lo studo dell nfluenza della dscretzzazone della pendenza del fondo su fenomen d propagazone. I codc d calcolo mplementat, con l ntroduzone alternatva delle tecnche per la trattazone del termne sorgente, sono stat applcat nzalmente sul classco esempo del volume d acqua n condzon drostatche dentro un nvaso con pendenza del fondo varable. Il fondo 6

180 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II presenta una forma d tpo snusodale esaltata propro per analzzare possbl rsultat non fsc che s ottengono. Il domno d calcolo è suddvso n 3 3 celle quadrate con x= y=0.5m. Il volume d acqua nzalmente n quete con superfce lbera H=4.5m, è racchuso da paret vertcal alte 6 m su cu vengono mposte condzon al contorno d tpo rflessve. Il coeffcente d Courant, utlzzato per soddsfare la condzone d stabltà, è par a 0.5. Questo caso è stato smulato con tutte le vare combnazon tra le trattazon della pendenza del fondo e gl schem numerc. In partcolare, non s rportano rsultat ottenut con lo schema HLL sa al prmo che al secondo ordne n quanto concdent con rsultat dello schema HLLC. La dscretzzazone centrale della pendenza del fondo (la pù semplce trattazone del termne sorgente), è stata nzalmente applcata, combnata con tutt gl schem, per smulare l acqua n quete (fgura 4.). Come era da prevedere, n nessun caso l acqua rmane n quete, ma nzano a manfestars delle veloctà non nulle tal da comportare una superfce lbera non costante. E possble notare che, comunque, per tutt gl schem upwnd, le varazon d altezza rspetto alla superfce lbera sono d pccola enttà, mentre per lo schema centrale d MacCormack s manfestano veloctà e varazon d superfce lbera pù consstent. Questa stessa caratterstca degl schem upwnd, coè d fornre comunque buon rsultat anche senza una tecnca complessa del termne sorgente, è stata rscontrata anche ne successv test come verrà d seguto presentato. 6 5 H (m ) z Condzone nzale MacCormack Roe II HLLC II Roe I HLLC II x (m) Fgura 4. Dscretzzazone centrale del termne sorgente (da Costanzo e Macchone 006) La tecnca d Nujc applcata allo schema centrale d MacCormack soddsfa la condzone drostatca nzale dell acqua n quete. Se però, nella stessa smulazone s applca anche la tecnca TVD, nzano a sorgere veloctà non nulle e la superfce lbera non è pù costante come s vede nella fgura 4.. E nteressante notare che la tecnca TVD, nzalmente formulata per un problema omogeneo lneare, applcata n equazon non lnear bdmensonal e sopratutto n presenza d un termne sorgente che nfluenza la stessa smulazone, contrbusce all ottenmento d rsultat non soddsfacent penamente la condzone d acqua n quete. La tecnca del termne sorgente upwnd, mplementata n tutt gl schem upwnd, fornsce buon rsultat che sono mglor, n partcolare, per gl schem al prmo ordne. 6

181 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II I rsultat che s ottengono con gl schem upwnd al secondo ordne non rescono a rprodurre esattamente la superfce lbera costante anche se la varazone è dell ordne del decmo d mllmetro e percò trascurable (fgura 4.3). Queste consderazon, nseme a quanto vsto per l applcazone della tecnca TVD, trovano un rscontro n letteratura n Hubbard e García Navarro (000) H (m ) z Condzone nzale Centrale Nujc senza TVD Nujc con TVD x (m) Fgura 4. - Schema d MacCormack con tecnche d dscretzzazone della pendenza del fondo (da Costanzo e Macchone 006) 6 5 H (m ) z Condzone nzale Roe II HLLC II Roe I HLLC I x (m) Fgura 4.3 Tecnca d dscretzzazone upwnd della pendenza del fondo (da Costanzo e Macchone 006) I rsultat ottenut con la tecnca del termne sorgente upwnd e le altezze della superfce lbera come varabl al posto de trant drc nelle equazon, rescono a rprodurre la stuazone d acqua n quete, così come s vede n fgura 4.4, e rsultat che s ottengono sono mglor rspetto alle altre tecnche d trattazone della pendenza del fondo. 63

182 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 6 5 H (m) 4 3 z Condzone nzale Roe II HLLC II Roe I HLLC I x (m) Fgura 4.4 Tecnca upwnd d dscretzzazone della pendenza del fondo e altezza della superfce lbera come varable (da Costanzo e Macchone 006) Da rsultat ottenut n questo semplce caso s può dedurre come, n realtà, l problema della trattazone della pendenza del fondo sa molto complesso poché, oltre alla determnazone d una tecnca d dscretzzazone, esso è strettamente legato a quella che è la dscretzzazone propra delle equazon n forma omogenea medante var schem d calcolo. Per cu una tecnca che rsulta effcace per uno schema può non esserlo per un altro. L applcazone delle sopra descrtte tecnche d trattazone della pendenza al fondo a var test case propost n letteratura (Costanzo e Macchone 005; Costanzo e Macchone 006), ha evdenzato che lo schema d MacCormack non resce a smulare l fenomeno con la dscretzzazone centrale della pendenza, mentre applcando allo stesso la tecnca d Nujc, s ottengono buon rsultat. Gl schem upwnd, nvece, sa al prmo che al secondo ordne, untamente a tutte le tecnche basate sulla dscretzzazone upwnd e alla tecnca d dscretzzazone centrale, fornscono soluzon numerche molto sml ndfferentemente dal tpo d dscretzzazone della pendenza. 4.4 Termn d resstenza al fondo Nell equazone (4.) compare la resstenza al moto, funzone d parametr d scabrezza. Cò mplca la stma d tal coeffcent d scabrezza per var tratt del corso d acqua e per le vare porzon d eventual sezon composte. Numeros sono gl element da consderare, tra qual: la scabrezza della superfce, la vegetazone, le rregolartà geometrche del corso d acqua, depost e le eroson etc. Inoltre è da tener presente che l valore n del coeffcente d Mannng, e d conseguenza l coeffcente K s d Strckler uguale a /n, è nfluenzato n qualche modo dal trante, come dmostra la seguente relazone che stma n n funzone del dametro caratterstco ε de sedment present: 64

183 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II ( ) 6 R ε R n = * ε = f * R ε g ( log ) ε ε 6 6 (4.8) Nelle shallow water equatons termn d resstenza al fondo assumono le seguent espresson lungo le due drezon del moto: S fx u u v =, S K 4 3 S h fy v u v = (4.9) K 4 3 S h dove Ks è l coeffcente d scabrezza d Strckler. 4.5 Dscretzzazone del termne d resstenza al moto e problem numerc In letteratura poch lavor trattano n dettaglo le conseguenze della dscretzzazone del termne d resstenza al fondo. La dscretzzazone pù semplce e comune è quella pontwse che fa rfermento alle varabl local della cella d rfermento al tempo precedente d calcolo, ndpendentemente dalla schematzzazone usata per gl altr termn delle equazon. Tuttava questo crtero n presenza d una elevata resstenza o d bass trant d acqua, comporta l nsorgenza d nstabltà numerche. Cò comporta una drastca rduzone dell ntervallo d dscretzzazone temporale, medante la condzone d stabltà, o l mplementazone d una tecnca sem-mplcta nel tempo per la dscretzzazone de termn d resstenza al moto (Lang et al., 007; Costanzo and Macchone, 006; Yoon & Kang, 004; Caleff et al., 003). In Burguete et al. (007), s mplementa una tecnca numerca basata sulla lmtazone del valore del termne d attrto n manera tale da evtare anomale numerche. Consderato che l massmo effetto della forza d attrto al fondo è quello d arrestare l moto, una condzone fscamente realstca è quella che le portate lungo le due drezon spazal (hu) and (hv) al tempo n dopo l aggunta de termn d attrto rmangano dello stesso segno che avevano all stante precedente n. Cò mplca che quando termn d attrto eccedono la somma de contrbut degl altr termn delle equazon del moto ess sono lmtat n manera tale da comportare veloctà nulle. In termn numerc lungo la drezone x e n manera equvalente lungo y, cò può essere scrtto come: t ( hu) ( hu) f x g y ts ts ( ) n n n n, j =, j x x bx, j frx, j Ω, j 65 (4.0) In cu f x e g x sono le component de vettor F e G lungo la drezone x, S bx and S frx sono le component lungo la drezone x del termne d pendenza e d attrto al fondo. Consderando la portata untara (hu),j * come: t ( hu) ( hu) f x g y ts ( ) * n n, j =, j x x bx, j Ω, j (4.) La condzone suggerta n Burguete et al. (007), n manera tale da non cambare l verso alla veloctà per effetto dell attrto, è: n *, j hu, j ( hu) ( ) 0 (4.) o pù semplcemente :

184 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II * * ( hu), j ( hu), j ts frx 0 che mplca : S frx ( hu) * t (4.3) quando tale condzone non è soddsfatta la veloctà è posta par a zero. In presenza d bass d trant, noltre, è consuetudne dscretzzare nel tempo l termne d resstenza n manera sem- mplcta. In letteratura sono present dvers approcc per dscretzzare n manera sem-mplcta termn d attrto. Un metodo (Caleff et al. 003, Costanzo and Macchone 006, Aurel et al. 008) ntroduce un approprato coeffcente β che esprme l grado d mplctà nel tempo: ( ) ( ) S = βs β S = S β S S (4.4) n n n n n fr fr fr fr fr fr Medante una sere d passagg matematc le equazon del moto n forma vettorale s possono scrvere come: 4 n t n n U = ( I tβq f ) ( δx δ y) fr t F G S S b, j (4.5) Ω, j r = r S fr dove I è la matrce denttà e Q f è la matrce jacobana U. Un altro approcco sem mplcto (Fedler and Ramrez 000; Brufau et al. 004; Dels et al. 008; Burguete et al. 008) ntroduce un coeffcente θ per dscretzzare termn: ( θ)( ) u v S frx g uh 4/3 K h n = ( ), S = g ( vh) n rx n ( uh ) fry u v 4/3 K h delle equazon del moto, ad esempo lungo la drezone x s ha: u v n n n u v n t g θ 4/3 ( uh ) ( θ)( uh ) = tθs frx t g 4/3 ( θ)( uh ) = K h K h n = tθs frx t uh Sf Introducendo la precedente espressone nell equazone del moto s ottene: (4.6) S (4.7) 4 n n n n t n frx, j, j, j bx, j frx, j, j n Ω, j r= r ( uh), j n n ( uh) = ( uh) ( fδx gδ y) ts tθ S t ( θ )( uh) coè: n 4 n n Sf rx n t n n uh θ t = ( uh) ( ), j n, j fδx gδ y tsbx tθ S, j frx, j ( uh) Ω (4.8), r r, j j = ( ) ( ) ovvero: 66

185 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II ( uh) 4 n n t n n ( uh) ( ), j fδx gδ y tsbx tθ Sf, j rx, j n Ω, j r = r, j = ( θ ) t S n frx, j n ( uh), j (4.9) I due dvers approcc nelle pratche applcazon danno rsultat sml per cu, per semplctà d mplementazone, è preferble utlzzare l secondo approcco. 67

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187 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO CAPITOLI -4 Abbot, M.B Unsteady flow n open channels, Eds. Mahmood & Yevjevch, Water Resources Pub., USA Alcrudo, F., García-Navarro, P A hgh resoluton Godunov-type scheme n fnte volumes for the d shallow-water equatons. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 6: Alcrudo, F., García Navarro, P Computng two dmensonal flood propagaton wth a hgh resoluton extenson of McCormack s method. In Molnaro, P. e Natale, L. (eds.), Modellng of flood propagaton over ntally dry areas, New York, ASCE, 3-7. Alcrudo, F., P. García-Navarro, e J. M. Savron.99. Flux dfference splttng for -D open channel flow equatons. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 4, Alabad, S., Johnson, A., Abed, J., Bota, K., Zellars, B. 00. Fnte Element Smulaton of Hydrodynamcs Problems Usng Unstructured Meshes wth more than One Bllon Elements. Numercal Grd Generaton n Computatonal Feld Smulatons, The Internatonal Socety of Grd Generaton, Anastasou, K., e Chan, C.T. 997 Soluton of the D shallow water equatons usng the fnte volume method on unstructured trangular meshes. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 4: 5-45 Arts, T On the consstency of four dfferente control surfaces used for fnte area blade-to-blade calcutatons. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Wley, 4 : Aurel, F., Mgnosa, P., Tomrott, M Numercal-Smulaton and Expermental-Verfcaton of Dam- Break Flows wth Shocks. Journal of Hydraulc Research, 38 (3): Aurel, F., Maranzon, A., Mgnosa, P Two dmensonal modelng of rapdly varyng flows by fnte volume schemes.. In Rver Flow 004, Greco, Carravetta e Della Morte (eds.), Taylor & Francs Group, London, Vol. : Bellos, C., Sakkas, J.G D dam-break flood-wave propagaton on dry bed. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 3(): Bento Franco, A Modelacao computaconal e expermental de escoamentos provocados por roturas de barragens. Ph. D. Thess, Unversdade Tecnca de Lsboa, Portugal Berger, R. C., Howngton, S. E. 00. Dscrete Fluxes and Mass Balance n Fnte Elements. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 8 (): 87-9 Bermudez, A., Vazquez, M.E Upwnd methods for hyperbolc conservaton laws wth source terms. Computers Fluds, 3(8): Bermudez, A., Derveux, A., Desder, J. Vazquez, M.E Upwnd schemes for the two dmensonal shallow water equatons wth varable depth usng unstructured meshes. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 55: Borthwck, A. G. L., Cruz Leon, S., Jozsa, J. 00. Adaptve quadtree model of shallow-flow hydrodynamcs. Journal of Hydraulc Research, 39 (4) : Bradford, S. F., Sanders, B. F. 00. Fnte-Volume Model for Shallow-Water Floodng of Arbtrary Topography. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 8 (3): Brufau, P., García Navarro, P Dmensonal Dam-Break Flow Smulaton. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 33 (): Brufau, P., Vazquez-Cendon, M. E., García-Navarro, P. 00. A numercal model for the floodng and dryng of rregular domans. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Wley, 39: Brufau, P., García-Navarro, P., Vazquez-Cendon, M. E Zero mass error usng unsteady wettngdryng condtons n shallow flows over dry rregular topography. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Wley, 45: Burguete, J., García Navarro, P. 00. Effcent Constructon of Hgh-Resoluton TVD Conservatve Schemes for Equatons wth Source Terms - Applcaton to Shallow-Water Flows. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 37 (): Burguete, J, García-Navarro P., Murllo J. and García-Palacín I. (007). Analyss of the frcton term n the one-dmensonal shallow water model. Journal of Hydraulc Engneerng 33(9), Burguete, J., Garcìa-Navarro, P. & Murllo J Frcton term dscretzaton and lmtaton to preserve stablty and conservaton n the D shallow-water model: Applcaton to unsteady rrgaton and rver flow. Internatonal 69

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191 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Toro, E. F., Spruce, M., Speares, W Restoraton of the Contact Surface n the Harten-Lax-van Leer Remann Solver. Journal of Shock Waves, 4: Tseng, M. H Explct Fnte Volume Non-Oscllatory Schemes For D Transent Free-Surface Flows. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, John Wley & Sons, 30: Tseng, M. H., Chu, C.R The smulaton of dam-break flows by an mproved predctor- corrector TVD scheme. Advances n Water Resources, 3: Tuccarell, T., and Termn, D Fnte-element modelng of floodplan flow. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 6(6), Turkel, E., Yanv, S., Landau, U Accuracy of schemes for the Euler equatons wth non-unform meshes. ICASE Report No , NASA, Langley Research Center. Unted States Army Corps of Engneers Waterways Experment Staton. Floods Resultng from Suddenly Breached Dams Mscellaneous Paper No.-374 Vcksburg Msssspp Report : Condtons of Mnmum Resstance 960; Report : Condtons of Hgh Resstance 96. Valan, A., Caleff, V., Zann, A. 00. Malapsset Dam Break Smulaton usng a two dmensonal fnte volume method. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 8 (5) : Vazquez Cendon, M.E Improved Treatment of Source Terms n Upwnd Schemes for the Shallow- Water Equatons n Channels wth Irregular Geometry. Journal of Computatonal Physcs, 48 (): Zhao, D.H., Shen, H.W., Tabos, G.Q., La, J.S Approxmate Remann solvers n FVM for D hydraulc shock wave modellng. Journal of Hydraulc Engneerng, (): Zhou, J.G., Causon, D.M., Mngham, C.G., Ingram, D.M. 00. The Surface Gradent-Method for the Treatment of Source Terms n the Shallow-Water Equatons. Journal of Computatonal Physcs, 68 (): -5 Zoppou, C., Roberts, S Catastrophc Collapse of Water-Supply Reservors n Urban Areas. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 5 (7): Zoppou, C., Roberts, S Explct Schemes for Dam-Break Smulatons. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE 9 ():

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193 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 5 Crter per la generazone d DEM per modell d propagazone draulca bdmensonale L applcazone della modellstca bdmensonale del moto varo alla valutazone delle aree nondabl rchede la conoscenza topografca dell'area d oggetto d nteresse. L andamento altmetrco del terreno entra nelle equazon del moto per l tramte de termn legat alla pendenza della superfce nelle due drezon spazal. Cò rchede la dsponbltà d dat cartografc d dettaglo n base a qual poter operare nella stma delle suddette grandezze. In questo contesto, l'utlzzo d un DEM è d notevole utltà n quanto, come è noto, esso è la rappresentazone delle quote d una superfce topografca n formato dgtale; d solto la superfce vene rappresentata da punt dstrbut n forma regolare o rregolare cu s aggungono altr element che descrvono morfologcamente l terreno come ad esempo le cosddette breaklnes ovvero lnee che ndvduano varazon repentne della pendenza o dscontnutà del terreno. I punt e le lnee, asseme alla nterpolazone che è possble fare tra loro, rappresenta nteramente la superfce del terreno. Rsulta evdente qund che l'ottenmento d un DEM è operazone propedeutca all'applcazone d un modello D d propagazone draulca. Non sembra qu superfluo osservare che, come s drà nel seguto, rsultat consegubl con la modellstca d moto varo sono partcolarmente nfluenzat dalla qualtà del dato topografco presente nel DEM utlzzato. D conseguenza, nel presente captolo saranno llustrate una sere d tematche relatve alla generazone e all'utlzzo de DEM per uso draulco. In partcolare, dopo un rapdo cenno alle font d dat per la creazone d un DEM, saranno fornte ndcazon sulle tecnche pù opportune per la generazone d quest ultm e nformazon su rsultat delle relatve ndagn comparatve compute n ambto nternazonale. S farà rfermento al problema della generazone d depresson artfcal e natural e al concetto d DEM drologcamente corretto. Infne, sarà evdenzata l'nfluenza della qualtà del DEM su rsultat degl stud d permetrazone d aree nondabl. 75

194 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 5. Cenn sulla fonte de dat per la generazone d un DEM I dat d orgne su cu s basano modell dgtal del terreno possono provenre da numerose font, le pù comun delle qual sono: cartografa esstente rlevo topografco a terra rlevo aerofotogrammetrco laser a scansone Il modo pù semplce per ottenere le nformazon d partenza necessare per la costruzone d un DEM è probablmente l'acquszone d element quotat dalla cartografa esstente; quest ultm, n partcolare, sono rappresentat essenzalmente da sospe (element lnear) o da punt quotat (element puntual). Nel caso n cu non dovesse essere dsponble una cartografa n formato numerco, l'acquszone de suddett element può avvenre medante la dgtalzzazone d mappe dsponbl su supporto cartaceo. Una ulterore fonte d nformazon per la costruzone d un DEM è rappresentato dal rlevo topografco classco anche se ultmamente vengono anche utlzzat sstem GPS le cu strumentazon pù sofstcate s basano su sstem dfferenzal (fgura 5.) n cu gl error vengono calcolat sa con tecnca dfferenzale n post processng che n tempo reale. Il metodo dfferenzale permette d rdurre tutt gl error; s tratta d un metodo n cu le coordnate d un punto vengono determnate rspetto ad una stazone d rfermento posta n un punto noto. Il rlevo tramte aereofotogrammetra è n grado d fornre la rappresentazone cartografca del terrtoro nquadrato medante l'utlzzo d foto aeree. In partcolare, al fne d ottenere una relazone bunvoca tra mmagne e oggetto fotografato è necessaro consderare due fotografe dello stesso oggetto ottenute da poszone dverse per po applcare tecnche d proezon ortogonal de punt delle mmagn per rcavare l poszonamento de punt dell'oggetto nello spazo (ortommagn). Le due mmagn sono rcavate montando un appareccho fotografco su un aeroplano che sorvola l'area d nteresse e scattando fotogramm con una frequenza temporale prestablta. Il Laser a scansone (LIDAR) è una tecnca recente d rlevo topografco ad alta rsoluzone. Ultmamente, nfatt, sono stat mess n commerco de laser avotrasportabl n grado d compere msure molto precse del terreno e sulla base della quota d volo, restture l valore d elevazone sul lvello del mare d ogn elemento scansonato sulla superfce della terra. Tal sstem possono fornre dat d elevazone con accuratezza molto elevata. Per esempo per quote d volo d m l'accuratezza della stma dell'elevazone della superfce topografca è sempre nferore a 5 cm, mentre quella planmetrca è dell'ordne del decmetro. I laser avotrasportat scansonano strsce successve d terreno perpendcolare alla drezone d volo e contgue n tale drezone. 5. Tecnche d costruzone del DEM Il modello dgtale del terreno è rappresentato da un nseme d punt d coordnate spazal (x,y) a qual è attrbuto un sngolo valore d quota z. In altre parole, s suppone l'esstenza d una relazone funzonale del tpo: z=f (x,y) n cu f può essere consderato 76

195 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II l'algortmo d nterpolazone de punt rlevat. La costruzone d un modello dgtale del terreno avvene con procedment nterpolatv local. I metod comunemente usat per la rappresentazone dgtale del terreno sono d tre tp: grgla regolare d quote (raster): l'nterpolazone avvene su punt dspost su grgla regolare con funzon d dvers tpo; cascuna terna (x,y,z) nterpolata rappresenta un quadrato della grgla chamato anche cella. Un fle DEM d questo tpo s presta ad essere vsualzzato n due dmenson medante un'mmagne raster (ad es. bmp, tf) assegnando a cascun pxel dell'mmagne un colore corrspondente all'elevazone della corrspondente cella del DEM. Tanto che l formato raster è dventato l modo pù dffuso per memorzzare un GRID DEM. trangol rregolar (TIN): l'nterpolazone avvene medante pan su punt comunque dspost collegat tra loro n modo tale da formare una magla rregolare d trangol. La scelta de punt sgnfcatv può basars su var metod, così come l collegamento de punt può avvenre secondo var crter (ad es. crtero d Delaunay) che asscurno la contnutà della superfce. La superfce d ogn trangolo è defnta dall'elevazone de suo tre vertc ed n genere è assunta pana. Per memorzzare un TIN esstono sostanzalmente due format vettoral: a) per trangol: n questo caso una rga d solto contene un numero d rfermento per l trangolo, le coordnate (x, y, z) de tre vertc, numer d rfermento de tre trangol confnant. Pochè un vertce appartene n genere a pù trangol, s può evtare la rpetzone d coordnate creando un fle separato contenente le coordnate d tutt vertc ed un loro rfermento al fle de trangol. b) per punt: n alternatva s può memorzzare per cascun vertce un numero dentfcatvo, le coordnate (x, y, z), rferment a vertc confnant ordnat ad es. n senso oraro. Entramb metod trovano valdo mpego, anche n funzone del tpo d nformazone da trarre a partre dal TIN: ad esempo un'anals delle pendenze necessta del prmo metodo, mentre l'estrazone delle curve d lvello funzona meglo con l secondo. Il secondo metodo generalmente rchede meno spazo per la memorzzazone, ma comunque l guadagno è pccolo se confrontato con quello ottenble mpegando la modellazone a trangol nvece della modellazone a magle quadrate. Il modello TIN consente d rappresentare la superfce vera con meno punt rspetto al modello GRID. Infatt la denstà de punt può essere adattata al lvello d complesstà locale della superfce: pù punt per terren accdentat, meno punt per terren con pendenze che varano dolcemente. Il formato GRID non è adattable, tende a semplfcare troppo le superfc montuose e a rappresentare con sovrabbondante numero d punt quelle paneggant. I trangol rregolar s prestano molto meglo delle magle quadrate ugual a rappresentare aree ove le pendenze varano bruscamente (pcch, rotture nella pendenza come creste, strette vall, salt,...) o rsultano partcolarmente elevate (s pens ad esempo ad una rupe roccosa pressoché vertcale). In aree come queste lat del TIN possono allnears esattamente con le lnee che segnano dscontnutà d pendenza. Cò nonostante l formato GRID è molto pù utlzzato del formato TIN per va della struttura pù semplce e "pronta all'uso" per le operazon GIS. E' pù semplce da manpolare, analzzare ed ntegrare con altr dat GIS, specalmente nelle applcazon d Anals Dgtale del Terreno. 77

196 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 5.. Esemp d nterpolazone A ttolo d esempo s rporta un'applcazone d dverse tecnche d nterpolazone che mettono n luce l ruolo fondamentale eserctato dalla stesse. Tale applcazone è reperble sul web alla pagna S supponga nota una dstrbuzone d punt spazata d 0 m (fgura 5.) da cu s vogla ottenere una rsoluzone spazale d m. Fgura 5.. Dstrbuzone d punt nzale Medante una polnomale globale del X grado s ottene una superfce molto lsca caratterzzata dalla perdta d una sere d dettagl topografc (fgura 5.a). In generale s sconsgla l'utlzzo d tale algortmo se non per cas d superfc caratterzzate da varazon topografche molto gradual. Un leggero mgloramento può essere ottenuto utlzzando una polnomale locale, ad esempo del III grado (fgura 5.b). Nel caso n cu s abbano grand quanttà d punt da nterpolare e n presenza d aree caratterzzate da assenza d dat (no-data) è possble utlzzare una meda pesata sulla base de valor d un fssato numero d pxel crcostant ("Natural Neghbor"); tale algortmo, tuttava, fornsce varazon local della superfce partcolarmente repentne (fgura 5.3a). In fgura 5.3b è rappresentata nvece, la superfce che s può ottenere utlzzando algortm "Splnes" che generano superfc lsce che passano esattamente da punt quotat. In fgura 5.4a è mostrato l TIN ottenble dall'nseme d punt d partenza. La superfce rprodotta è certamente affdable dato che rspetta fedelmente valor ntrodott; tuttava possono generars artefatt (d cu s drà) localzzat prncpalmente lungo le lnee d thalweg. Ulterore possbltà è offerta dagl algortm basat sulle tecnche d geo-statstca (Krgng) che consente d ottenere rsultat affdabl; tuttava è rchesta la conoscenza e l corretto utlzzo de parametr d un varogramma (fgura 5.4b). 78

197 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 5.. Interpolazone medante polnomale globale del X grado (a) e polnomale locale del III ordne (b) Fgura 5.3. Interpolazone medante tecnche "Natural Neghbour" (a) e "Splne" (b) Fgura 5.4. Interpolazone medante tecnche "TIN" (a) e "Krgng" (b) 79

198 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 5.5. Interpolazone medante tecnca "ANUDEM" (a) e "ANUDEM con mposzone del retcolo drografco" (b) Un algortmo recente che consente d ottenere una buona rappresentazone della superfce calcolata n termn d parametr d nteresse draulco-drologco drologco è noto come ANUDEM (fgura 5.5a). 5a). Tale tecnca, che oltre a punt consente d ntrodurre anche curve d lvello, lagh, lnee d cresta, resce a ben rprodurre la pendenza de versant ed elmna parte della depresson spure (d cu s drà nel seguto); mponendo al modello un retcolo drografco, s resce a consegure l rsultato evdenzato n fgura 5.5b. Benché s regstr una abbondanza d stud sulla valutazone della qualtà d un DEM e sugl effett delle tecnche d nterpolazone su rsultat, non sembra esserc una ndcazone unvoca sull'algortmo d nterpolazone da utlzzare n ogn stuazone. 5.3 Valutazone della qualtà d un DEM per scop draulc - drologc Le font d error nella generazone fnale d un DEM possono essere d due tp: error nel DEM stesso (nella fase d msura delle elevazon) e nell'algortmo d nterpolatzone utlzzato per la sua nterpretazone La qualtà d un DEM con formato GRID è una msura dell'accuratezza dell'elevazone (rferta ad una superfce d rfermento, quale ad es. geode terrestre, l'ellssode WGS84) d ogn cella; è anche una msura dell'accuratezza dell'altezza d una cella rspetto alle celle lmtrofe, coè dell'accuratezza con la quale vengono rappresentate le forme. Il metodo pù tradzonale per valutare la qualtà d DEM è l confronto tra un nseme d punt estratt dalla superfce del DEM e un altro composto da un punt quotat not normalmente ottenut da una fonte d dat pù dettaglata: l lvello d accordo tra due nseme è valutato medante la radce quadrata dell'errore medo (noto con l'acronmo RMSE nella termnologa anglosassone). Tuttava è stato mostrato che pccol error n termn d elevazone, e qund d RMSE, possono contestualmente coesstere con grand error nella stma delle grandezze dervate, come la pendenza, che rsultano d fondamentale mportanza per un DEM per uso draulco. Qund la valutazone d una qualtà del DEM deve essere condotta rcorrendo alle dervate della superfce come la pendenza e la curvatura. 80

199 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Un DTM prodotto dalle curve d lvello utlzzando un'nterpolazone lneare conduce n genere a mappe de parametr morfometrc poco realstche qund d scarsa qualtà. Lo stesso accade con DTM con valor d elevazone arrotondat al metro. Una mappa delle pendenze n questo caso presenterà aree poco plausbl, come "terrazzament", "spanament" d vette, "rempment" d vall ecc. I terrazzament s formano quando l'algortmo d nterpolazone trova lo stesso valore d sopsa nelle vcnanze. In queste aree l calcolo della mappa della pendenza e parametr sml resttusce valor ndefnt a causa della dvsone per zero. Quest artefatt spesso sfuggono alla vsta nella rappresentazone del DTM orgnale, ma dventano ben vsbl nelle mappe de parametr del terreno dervate Generazone d artefatt e concetto d DEM drologcamente corretto Gl artefatt sono error dovut all'acquszone de dat altmetrc, alle tecnche d nterpolazone, alla lmtata rsoluzone plano-altmetrca de DEM. Ad esempo, è noto che DEM n formato grd spesso contengono artefatt a causa della loro ncapactà d rappresentare n modo corretto le creste e le aste fluval. La presenza degl artefatt rappresenta un grande problema per l calcolo de parametr topografc necessar alla modellazone draulca bdmensonale. Cò è essenzalmente dovuto al fatto che tal artefatt possono alterare o nterrompere la rete d scorrmento superfcale. Le depresson topografche spesso ndcate con termn ngles "pts" or "snks" sono qund normalmente elmnat dal DEM generato, prma del suo utlzzo per scop drologc - draulc, ottenendo l cosddetto DEM drologcamente corretto. Tale termnologa sta a ndcare fscamente che una gocca d acqua che cade sulla sommtà d un rlevo é "forzata" a segure un percorso che non s nterrompe n una depressone, ma s drge verso la parte con mnore valore altmetrco per uscre dal modello topografco generato. La suddetta pratca d rmozone d tutte le depresson è stata gustfcata nel passato ntroducendo dfferent argomentazon tra le qual 'nadeguatezza dell'accuratezza d un DEM per rappresentare le depresson effettvamente esstent e la scarsa presenza delle depresson nelle topografe natural rspetto gl artefatt dgtal; c'è da dre a tal proposto che lo svluppo d DEM ad alta rsoluzone (come quell provenent da rlev LIDAR) lmta la ragonevolezza delle precedent osservazon. Per tale ragon s nzano ad ntrodurre tecnche per l'ndvduazone d depresson real e depresson artefatte. Indpendentemente dagl algortm che tentano d ndvduare eventual artefatt, l metodo mglore per l'ndvduazone d depresson real è, ovvamente, la verfca concreta sul terrtoro stesso. Non sembra superfluo osservare che, a scala locale, le depresson topografche possono una mportanza non secondara nell'ambto delle smulazon bdmensonal oggetto d nteresse delle present lnee guda Effett della qualtà d un DEM sulle permetrazone delle aree nondabl Il rsultato dervante dall'applcazone d un modello D n termn d aree nondabl può essere nfluenzato n modo sgnfcatvo dalla qualtà del DEM. In partcolare è mportante tenere n mente quanto segue: l'area nondata dmnusce al crescere della rsoluzone spazale e dell'accuratezza vertcale del dato topografco d partenza; l'accurata descrzone del corso d'acqua è d fondamentale mportanza; calcol draulc D perdono d attendbltà se l canale prncpale non è descrtto da almeno tre punt: uno rappresentante l thalweg e gl altr due relatv alle quote argnal n destra e n snstra 8

200 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II draulca. Come conseguenza, se la larghezza del corso d'acqua è nferore al doppo della rsoluzone del DEM l rsultato del calcolo deve essere preso con cautela n quanto modell tendono a sovrastmare l'estensone dell'area nondata e ad aumentare la veloctà della corrente. E' buona norma qund effettuare sopralluogh ad hoc nelle stuazon n cu l DEM d partenza non possegga le suddette nformazon; molt dat topografc, compres quell provenent da LIDAR, non ncludono dettagl batmetrc del canale d magra del corso d'acqua; come conseguenza, la batmetra del fondo del corso d'acqua non vene descrtta adeguatamente n fase d costruzone del DEM. E' stato vsto che l'aggunta d nformazon d dettaglo relatve alla topografa del fondo alveo comporta una rduzone dell'area nondata; la qualtà del DEM da utlzzare opportunamente per stud d permetrazone draulca può dpendere anche dal tempo d rtorno T dell'evento che s ntende analzzare; ad esempo, le pene ordnare (T=0 ann) rchedono un DEM a maggore rsoluzone d quelle delle pene eccezonal (T= ann) o quelle causate da rottura d sbarrament. Cò è dovuto al fatto che le pene ordnare sono spesso contenute n alveo e qund è necessara un'elevata rsoluzone spazale per la descrzone topografca d quest'ultmo. 8

201 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 6 Crter per la generazone del domno d calcolo Come gà llustrato n precedent captol delle Lnee Guda, le equazon D del moto varo non possono essere ntegrate analtcamente; cò mplca l'abbandono dell'dea d poter dsporre d una funzone che n ogn punto dello spazo, e per tutt gl stant d tempo, possa determnare l valore delle varabl drodnamche (trant drc e veloctà). Per tale ragone s rende necessaro l'utlzzo d schem numerc d ntegrazone che mrano a fornre l evoluzone temporale delle varabl n un nseme d punt nello spazo che dentfcano la dscretzzazone spazale, o domno computazonale, dell'area d studo. Esstono dverse tecnche per la generazone d un domno computazonale. Nel seguto, s presenteranno le due tecnche pù utlzzate nell'ambto degl stud d permetrazone delle aree nondabl: la generazone d grgle strutturate e d non strutturate. 6. Dscretzzazone spazale medante grgle strutturate In una grgla strutturata nod della grgla vengono generat dall ntersezone d due famgle d lnee appartenent a determnat sstem d coordnate cartesane o curvlnee. In grgle d questo tpo la numerazone de nod appartenent a cascun elemento può essere ottenuta attraverso semplc operazon algebrche (ved fgure 6., 6. e 6.3). Tra codc commercal pù dffus n ambto tecnco-scentfco basat su grgle strutturate s rcordano SobekD e FLO-D. 83

202 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 6. Dscretzzazone del domno fsco secondo grgla strutturata Fgura 6. - Smulazone numerca della propagazone della pena sul modello fsco del fume Toce eseguta con codce D su grgla struttura (celle quadrate) (smulazone LAMPIT- Dfesa del Suolo - Unverstà della Calabra) Fgura Grgla d calcolo e smulazone numerca dell'alluvone dell'esaro d Crotone (996) (smulazone LAMPIT- Dfesa del Suolo - Unverstà della Calabra) 84

203 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 6. Dscretzzazone spazale medante grgle non strutturate La generazone del domno computazonale medante grgle strutturate offre ndubb vantagg legat prncpalmente alla sua topologa regolare che consente d attrbure consecutvamente una numerazone ordnata agl element del domno: cò nduce un notevole grado d semplctà nella programmazone per va della mmedata ndvduazone automatca della generca cella del domno d calcolo e d quelle ad essa confnant. Un effcente mpego d tale tecnca, tuttava, è lmtato a stuazon puttosto semplc da un punto vsta geometrco n quanto la generazone d grgle strutturate d buona qualtà è operazone partcolarmente ardua su confgurazon geometrche molto complesse. In queste stuazon l utlzzo d grgle non strutturate garantsce un notevole grado d flessbltà e adattabltà al domno oggetto d studo. Tal strument consentono all utente d poter concentrare punt della grgla n quelle part del domno reale dove c s aspettano cambament maggor de gradent delle grandezze drodnamche. Ad esempo, nelle stuazon caratterzzate da propagazone d onde a fronte rpdo (onde d shock) o d rsalt draulc, la grgla può essere manpolata opportunamente n modo da asscurare la determnazone d una soluzone localmente pù accurata. Per la gestone d una magla sffatta, è necessaro ndvduare opportunamente gl element che caratterzzano l domno dscretzzato medante una attenta numerazone delle celle e de corrspondent vertc. In una grgla d tpo strutturato l elemento -esmo è adacente all ()-esmo mentre cò non avvene n una non strutturata, d conseguenza è necessaro produrre sa nformazon geometrche sulla mesh sa nformazon sulla connettvtà de nod. Tale operazone è possble medante una matrce spesso ndcata con l termne matrce d connettvtà (ved fgura 6.4). Da un punto d vsta computazonale, l uso d una grgla non strutturata comporta un maggore utlzzo d memora rspetto alle grgle strutturate, dovendo memorzzare la matrce delle connettvtà e una mnore effcenza a causa degl ndrzzament ndrett. Alcun dettagl sulle tecnche d generazone d mesh non strutturate d tpo trangolare sono rportat nell'appendce. Nelle fgure 6.5 e 6.6 sono rportat esemp d dscretzzazone del domno medante grgle non strutturate. j k Fgura 6.4. Dscretzzazone del domno fsco secondo grgla non strutturata e ndvduazone automatca dell elemento delle grgla attraverso la matrce d connettvtà. 85

204 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura Esempo d generazone d grgla non strutturata (sopra) da cu s può notare la dfferente rsoluzone della grgla nelle dverse zone dell'area d studo (n alto) ( Tra codc commercal pù dffus n ambto tecnco-scentfco basat su grgle non strutturate s rcordano TELEMACD, RverFLOD, Mke FLOOD. 86

205 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 6.6. Smulazone numerca dell'onda d pena generata dal collasso della dga d Malpasset (959) su grgla non strutturata; s not anche n questo caso la dversa rsoluzone spazale della grgla d calcolo (da Indcazon sull'nfluenza della dmensone della cella d calcolo su rsultat de calcol draulc L'ndvduazone d una opportuna dmensone della cella d calcolo non è un problema d secondara mportanza poché tale scelta può avere delle sgnfcatve rcadute sa sulla accuratezza de rsultat sa su temp d calcolo. Non esstono de crter general da segure per stablre la pù opportuna dmensone della cella. Come ndcazon general è opportuno segnalare quanto segue: da un punto d vsta teorco, l'errore commesso da uno schema numerco s rduce al dmnure della dmensone della cella; gl schem al I ordne d accuratezza rchedono una rsoluzone della grgla d calcolo maggore rspetto a quella necessara agl schem del II ordne per rdurre gl effett legat alla dffusone numerca e per consegure, qund, rsultat confrontabl; l'aumento della rsoluzone della grgla d calcolo comporta un sgnfcatvo aumento de temp computazonal; la scelta della dmensone della cella deve essere presa valutando prelmnarmente la scala sgnfcatva dell'evoluzone spazale de fenomen draulc; partcolare attenzone deve essere qund prestata n prossmtà ad esempo d manufatt n alveo a fn d una adeguata descrzone d fenomen draulc local. Cò n generale suggersce l'utlzzo d grgle non strutturate che consentono d dfferenzare l grado d dettaglo della grgla a seconda delle esgenze; all'aumentare della rsoluzone della grgla n genere s regstra un aumento de massm valor d portata e una rduzone delle aree nondabl; è n generale possble ndvduare spermentalmente una rsoluzone spazale lmte al d sopra della qual rsultat non varano n manera sgnfcatva; è buona norma rpetere le smulazon utlzzando grgle d dversa rsoluzone. 87

206 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Appendce METODI PER LA GENERAZIONE DI GRIGLIE NON STRUTTURATE Gl approcc d base maggormente utlzzat per la generazone d grgle non strutturate sono essenzalmente due: la trangolazone d Delaunay e l metodo d Avanzamento del Fronte (Advancng Front). Trangolazone d Delaunay Alla fne del 9 secolo Drchlet dmostrò che è possble, per un nseme d punt n due dmenson, dvdere l pano n celle basandos su crter d vcnanza. Pù tard Vorono, studando le forme quadratche estese l crtero d Drchlet allo spazo trdmensonale. La Trangolazone d Delaunay è la base per la costruzone d grgle non strutturate ed è mpernata sulla Suddvsone d Vorono, essendone pratcamente l complemento (fgura 6.7). Dato un nseme fnto d punt S, non allneat e dstrbut n modo tale che non possano gacere su d una crconferenza, l dagramma d Vorono per S è la partzone del pano che assoca una regone V(p) ad ogn punto p appartenente ad S n modo tale che tutt punt d V(p) sano pù vcn a p che ad ogn altro punto n S. Ad esempo, a partre da un nseme nzale d punt n due dmenson N, N,..., N 0, è possble ndvduare determnat polgon convess T, T,..., T 0, mostrat n fgura 6.7, denomnat appunto regon (o polgon) d Vorono. Il grafo duale per un dagramma d Vorono corrsponde alla trangolazone d Delaunay rspetto allo stesso nseme d punt S. Dato un punto P del domno ed un cercho d raggo r centrato n esso, la trangolazone d Delaunay è tale da non generare punt gacent nelle vcnanze d P che sano contenut all nterno del cercho. Fgura 6.7. Regon d Vorono e trangolazone d Delaunay La trangolazone d Delaunay produce grd che godono delle seguent propretà: ) Dato un nseme d punt, la trangolazone del domno è unvoca. ) Per un assegnato nseme d punt, la trangolazone d Delaunay produce trangol l pù equlater possble. 3) La generazone de punt della grgla e la trangolazone sono due process separat. 88

207 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Esstono var metod per generare grgle non strutturate. Uno degl algortm pù usat è l Bowyer-Watson (98), applcable a sstem b e tr dmensonal. L algortmo procede come d seguto descrtto:. vene generato l trangolo nzale,. vene aggunto un punto n manera casuale, 3. vengono rcercat trangol cu crcocentr contengono l nuovo punto, 4. trangol vengono cancellat creando delle aree sempre convesse, 5. tutt punt che rsedono nelle vcnanze del punto n esame vengono congunt ad esso creando n tal modo una nuova famgla d trangol, 6. la struttura de dat vene rgenerata e s torna al punto (). La trangolazone d Delaunay è la pù veloce possble, ma può produrre trangol non done al calcolo, per esempo trangol con angol troppo pccol. E necessaro, qund, provvedere ad un controllo sulla geometra della mesh al termne della generazone della stessa. Tale controllo è effettuato n manera automatca da programm d generazone d grd. Normalmente è prevsto un nput dall utente che può decdere quant punt dsporre sulle superfc nzal, mpostare lmt d accettabltà de trangol (d solto angol compres fra 30 e 0 ) oppure decdere la rapdtà con cu la mesh deve crescere a partre dalle superfc della geometra n esame. Un problema che può nsorgere con l utlzzo della trangolazone d Delaunay è rappresentato dal fatto che, sebbene nod sul contorno possano dvenre vertc nella trangolazone fnale, non è garantto, n generale, che lat del contorno compres tra rspettv nod possano dvenre altrettant lat della trangolazone. In altre parole, l ntegrtà del contorno può non essere preservato, rchedendo ulteror step per mglorare la trangolazone. Metodo d Avanzamento del Fronte Il metodo d avanzamento d fronte è una tecnca alternatva per svluppare grgle non strutturate n cu punt vengono generat e conness allo stesso tempo. Tale tecnca preserva l ntegrtà del contorno e ha la capactà d creare un nseme d trangol con elevato rateo d esposzone delle regon del contorno stesso. In generale, l effcenza è nferore rspetto al metodo d Delaunay. Essa è essenzalmente dovuta a George (97) e Perare (987). La generazone della mesh avvene partendo da segment n D: vengono creat de punt che consentono d espandere la mesh nello spazo fnché non s è rempto l domno d nteresse con trangol. La generazone del grd è controllata n manera tale da garantre una certa regolartà delle geometre generate. L algortmo è nzalzzato da una dstrbuzone d nod, scelt sul contorno del domno, che dentfcano de segment rettlne rappresentatv della dscretzzazone dello stesso. Tale nseme d segment è denomnato fronte nzale. Il fronte s muove verso le zone nterne del domno secondo un processo d avanzamento (marchng process) n cu vengono creat nuov punt e lat, producendo nuov element trangolar (fgura 6.8). 89

208 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 6.8 Esempo d trangolazone con l metodo dell avanzamento del fronte (Advancng Front) L algortmo mpegato n D è qund l seguente:. le curve che defnscono l contorno del domno vengono dscretzzate.. Vengono pazzat de nod su tal curve e qund creat de segment unent nod contgu avent dmensone congrua con la denstà d mesh desderata. L nseme de nod e de segment costtusce, n un dato stante, l fronte d avanzamento della grgla. 3. A partre dal fronte vengono generat trangol. La generazone può avvenre o per creazone d nuov punt, o per connessone d punt gà esstent. 4. La procedura vene reterata fnché l domno non è stato suddvso completamente. Durante l processo d crescta della mesh è possble varare l altezza de trangol n modo tale da sfoltre la grgla a mano a mano che c s allontana dal bordo delle curve madr. 90

209 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 7 Condzon nzal e al contorno Come gà llustrato precedentemente, l modello matematco de fenomen dscuss nelle present Lnee Guda è costtuto da un sstema d equazon dfferenzal, la cu ntegrazone deve essere necessaramente condotta per va numerca medante l'auslo d opportun schem d rsoluzone. Quest ultm, a loro volta, necesstano d adeguate condzon da mporre al domno spazo-temporale che consentano la defnzone completa del problema da rsolvere. Le suddette condzon, untamente al sstema d equazon, deve garantre, noltre, la formulazone d un problema ben posto (well-posed) caratterzzato dalle seguent caratterstche: esstenza della soluzone; unctà della soluzone; contnua dpendenza della soluzone dalle condzon nzal e al contorno. Nel presente captolo s fornranno crter per la corretta poszone delle condzon nzal e al contorno da utlzzare ne modell D d propagazone della pene per la permetrazone delle aree nondabl. 7. Condzon nzal Le equazon bdmensonal del moto varo, come gà evdenzato, consentono d descrvere l'evoluzone spazo-temporale delle tre grandezze drodnamche: trant e portate lungo le due drezon; tal ncognte possono essere vste come le component d un vettore U(x, y, t), contenente le ncognte del sstema, che sarà qund funzone dello spazo e del tempo. Generalmente, n sstem con varabl dpendent dal tempo, l prmo problema è 9

210 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II rappresentato dalla conoscenza del valore nzale della soluzone; è necessaro, qund, la defnzone del valore spazale delle tre grandezza drodnamche al tempo nzale ovvero della nformazone del vettore U al tempo nzale: U(x, y, t=0). La condzone nzale dpende charamente dal fenomeno che s ntende smulare. In generale è possble fornre le seguent ndcazon: Propagazone d pene natural: la condzone nzale è rappresentata da un proflo d moto permanente n alveo assocato alla portata d base Propagazone d onde conseguent a rottura d sbarrament: la condzone nzale è d tpo dscontnuo n termn d trant con dscontnutà localzzata a cavallo della sezone d mposta della dga. Un aspetto che deve essere tenuto n debta consderazone è la smulazone d fenomen d propagazon su aree ascutte. In questo caso un espedente, peraltro usato molto spesso per prevenre l nsorgenza d valor negatv delle varabl del moto, consste nell assumere una condzone d alveo bagnato e coè nel consderare come condzone nzale sulla superfce ascutta del domno, un valore d trante suffcentemente pccolo, un valore mnmo sogla a veloctà nulla, tale da non nfluenzare la soluzone e nello stesso tempo d evtare gl nconvenente numerc su descrtt. 7. Condzon al contorno La defnzone completa d un problema ben posto avvene medante la defnzone d partcolar condzon agguntve poste lungo la superfce che racchude l domno d calcolo al tempo t = 0. La conoscenza delle suddette condzon concorre alla defnzone del problema noto come Intal Boundary Value Problem (IBVP). Come le condzon nzal, anche le condzon al contorno sono element necessar per la rsoluzone d modell basat su equazon perbolche. Le condzon al contorno devono essere consstent con l senso fsco del problema e stabl altrment s possono avere error maggor d quell che s accettano per l troncamento dello svluppo d Taylor delle equazon. Generalmente, le modaltà della condzone da mporre al contorno possono essere d tre tp dvers: s parla d condzon al contorno d Drchlet quando, n corrspondenza del contorno, vene specfcato l valore della funzone; d condzone al contorno d Neumann quando nvece vene specfcato l valore della dervata normale al contorno; e nfne d condzone al contorno msta se vene specfcata una combnazone della funzone e della sua dervata normale sul contorno. Per problem governat da equazon d tpo perbolco, le condzon auslare da mporre per la determnazone della soluzone esatta consstono d una o pù condzon al contorno sul domno fsco consderato. E' opportuno rcordare che ne domn D, è frequente esegure la seguente classfcazone: condzon al contorno d monte o d ngresso (nflow boundary condton), condzon al contorno d valle o d uscta (outflow boundary condton) condzon specfche sulla restante parte del contorno, spesso vsto come contorno soldo (sold boundary condtons). Le prme due categore fanno generalmente parte de cosddett contorn apert (open boudary) con potetche superfc a contatto con l fludo, mentre l'ultma spesso è ndcata come contorno chuso (wall boundary) con contorn fsc mpenetrabl dalla corrente. 9

211 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Le possbl condzon da mporre su contorn sono (Tan Weyan, 99): fsche, se l nformazone della perturbazone s propaga dall esterno verso l nterno del domno; numerche, se la perturbazone s propaga dall nterno del domno verso l esterno. Il numero totale d condzon al contorno è par al numero complessvo d autovalor. In partcolare, l numero d condzon fsche da mporre dall esterno è par al numero d autovalor entrant nel domno. Ad esempo, se n corrspondenza della sezone d contorno d monte, lungo la drezone normale ad essa, la corrente è lenta, due autovalor sono postv ed uno è negatvo. Per cascun autovalore postvo, l nformazone portata dall assocata caratterstca, s propaga dal contorno verso l nterno del domno d calcolo e una condzone d tpo fsco deve essere mposta. Nel caso dell'autovalore negatvo, l nformazone dell assocata caratterstca s propaga dal domno verso l contorno nfluenzando lo stesso. Questo effetto deve essere espresso numercamente attraverso una condzone al contorno d tpo numerco. Qund due varabl devono essere mposte secondo requst fsc, mentre la rmanente è determnable da condzon nterne attraverso una condzone d tpo numerco. 7.. Condzon al contorno d tpo fsco Come sottolneato n precedenza, l numero d condzon d tpo fsco da mporre su contorn è funzone del regme d corrente. Nel seguto s fornranno crter per porre n manera corretta le condzon d tpo fsco ne cas d corrente lenta e corrente veloce Corrente lenta Per cò che concerne le condzon da porre al contorno d monte, classcamente s fssa l valore dell'drogramma d pena, coè l valore della varable uh normale al contorno stesso, e s consdera nulla la veloctà tangenzale. Nella sezone al contorno d valle, s deve mporre una sola condzone d tpo fsco n quanto due autovalor sono negatv e uno postvo. Generalmente s mpone l lvello drco (costante o varable nel tempo) o una scala delle portate Corrente veloce Se la corrente è veloce, nvece, nella sezone a monte s hanno tre autovalor postv e qund tre condzon al contorno d tpo fsco rferbl alle due component del vettore veloctà e al lvello drco h. Nella sezone a valle, s hanno tre autovalor negatv e qund le condzon al contorno saranno esclusvamente d tpo numerco; tpcamente queste ultme possono rappresentare un'uscta lbera e qund senza che l'onda subsca rflesson (free outflow boundary condtons) n cu le varabl alla facca d contorno assumono gl stess valor delle varabl nterne. 93

212 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 7.. Condzon al contorno d tpo numerco Il calcolo delle condzon al contorno d tpo numerco può essere condotto con modaltà dfferent. Fra le tecnche pù comun s rcorda l'utlzzo degl nvarant d Remann per l calcolo del flusso sul lato d contorno e la tecnca basata sull'ntroduzone d cosdette "celle fantasma" (ghost cells) sulle qual fssare un opportuno valore delle varabl. La prma tecnca s basa sulla teora delle lnee caratterstche mentre la seconda ha come dea d fondo l'applcazone dello stesso schema numerco usato per la valutazone del flusso tra celle nterne al domno anche per l'nterfacca tra cella nterna e cella fantasma. I dettagl numerc d entrambe le tecnche sono rportat n appendce (nvarant d Remann) e (ghost cells). 94

213 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Appendce - Calcolo delle condzon al contorno medante nvarant d Remann In accordo alla teora delle lnee caratterstche è possble calcolare la varable al contorno medante l'nformazone che s propaga lungo la stessa nel pano oraro. In partcolare, mmagnando d trascurare l contrbuto del termne sorgente; lungo la lnea caratterstca con pendenza (u-c) la quanttà R =(u-c) è costante mentre lungo la lnea caratterstca con pendenza (uc) la quanttà R - =(uc) è costante, per tale ragone s parla d nvarant d Remann. In generale, dunque, nel caso D s possono rtenere valde le seguent relazon: dr d dx = ( u c) = 0 lungo = u c dt dt dt dr d dx = ( u c) = 0 lungo = u c dt dt dt (7.) Le stuazon d contorno aperto possono essere trattate nel modo seguente. Nel caso D, s può mmagnare che R - rappresenta lo stato a destra dell'nterfacca d contorno e R quello a snstra. Dato che la facca d destra d una cella poszonata sul contorno è sempre esterna al domno d calcolo, la condzone R - è sosttuta dalla condzone al contorno stessa. Per le equazon D del moto varo la condzone R - è data da: ( ) ( ) u, v n ghl = u, v n gh (7.) L n cu pedc * e L rappresentano rspettvamente le varabl al contorno e sulla facca snstra. Utlzzando l'equazone precedente n aggunta alla condzone fsca mposta, è possble arrvare alla seguente espressone del flusso al contorno: h ( u, v) n F, G n = (, ) n (, ) ( ) h u u v gh n x h v u v n gh n y (7.3) Nel caso d corrente lenta, come s è gà detto, due condzon al contorno devono essere mposte; tal condzon possono essere specfcate sul valore del trante, delle veloctà o della portata untara. Nel caso n cu la condzone al contorno venga mposta sul trante (h * nota), s può calcolare l termne (u,v) n dall'equazone (7.) nel modo seguente: ( ) ( ) u, v n = u, v n gh L gh (7.4) L 95

214 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Se vceversa è mposto l valore (u,v) * n, s può valutare h * come segue: h = (( u, v) n gh (, ) ) L L u v n 4g (7.5) Infne se è specfcato l valore untaro della portata q = h ( u, v) n, s può valutare (u,v) * n=q/h * ed nserrlo nella equazone (7.) ottenendo una equazone non lneare nella varable h * che può essere rsolta con un metodo teratvo tpo Newton-Raphson. Le ndcazon precedent rappresentano l'applcazone dell'equazone relatva all'nvarante d Remann per l calcolo della varable al contorno una volta fssata la condzone al contorno fsca. La seconda condzone fsca al contorno, necessara n corrente lenta, s ottene mponendo l'uguaglanza della veloctà tangenzale ovvero: (u,v) * t=(u,v) L t con t versore tangenzale alla facca d contorno. La procedura presentata consente la valutazone delle varabl u *, v * e h * da nserre nell'espressone (7.3) per l calcolo del flusso al contorno n condzon d corrente lenta. Nel caso d corrente veloce, le grandezze u *, v * e h * devono essere specfcate e qund è mmedato l'utlzzo dell'equazone (7.3) per la valutazone del flusso. Anche la condzone d contorno chuso può essere agevolmente trattata nel contesto degl nvarant d Remann. La cosddetta condzone free slp sold boundary consste nel consderare nulla la componente d veloctà normale all'nterfacca ovvero: (u,v) * n=0. In questo modo l flusso al contorno s rduce alla seguente espressone: 0 F G n = gh n x (7.6) gh n y (, ) 96

215 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Appendce - Calcolo delle condzon al contorno Ghost Cells Come gà ndcato, le celle fantasma (ghost cells) sono celle fttze collocate all'esterno del domno che hanno esclusvamente la funzone d conservare opportune nformazon delle varabl che smulano la tpologa d contorno. Tal celle s estendono sa lungo l contorno d monte e valle che lungo due contorn longtudnal. Una rappresentazone schematca è fornta n fgura 7.. Fgura 7.. Rappresentazone schematca delle celle fantasma Il valore delle varabl n tal celle può essere fatto conformemente alle ndcazon fornte n appendce e qund n funzone del regme d moto, de contorn apert o chus. Cò che dversfca tale tecnca dalla precedente è l'utlzzo dello schema numerco per la valutazone del flusso all'nterfacca d contorno. La cella d contorno, confnante ora con la cella fantasma, può essere vsta come cella nterna al domno e, d conseguenza, l'evoluzone temporale delle varabl può essere condotta come qualunque altra cella nterna del domno. 97

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217 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 8 Interferenza tra la corrente e gl edfc: crter per la messa n conto d edfc solat I fenomen d allagamento n ambente urbano costtuscono uno de problem pù rlevant della protezone draulca del terrtoro, per l enorme numero delle persone potenzalmente convolte e per l valore, non solo economco ma spesso anche storco, culturale e artstco degl element espost a rscho. La modellstca numerca può essere consderata un utle strumento per valutare l enttà de fenomen d allagamento n ambto urbano da event alluvonal natural o artfcal e, dunque, un prezoso supporto alla panfcazone terrtorale per programmare stratege d prevenzone. In ambto urbano, la descrzone d un fenomeno d pena che causa l allagamento è resa molto complessa, oltre che dalla topografa rregolare, anche dalla presenza d numerose costruzon come edfc e nfrastrutture. Per tale motvo, n ambto scentfco, da alcun ann sono stat propost modell numerc basat su dverse manere d schematzzare, dal punto d vsta draulco, la rete stradale urbana e la presenza degl edfc e delle nfrastrutture, al fne d smulare l fenomeno d allagamento d tal aree con suffcente grado d accuratezza (Macchone, 008). L nteresse crescente per tale problematca, da parte delle comuntà scentfca nternazonale, è testmonato anche da numeros progett d rcerca europe n cu l argomento ha avuto partcolare rlevanza (.e. IMPACT, FLOODste). Le tematche pù rlevant nell ambto delle nondazon n aree urbane possono essere dvse n tre grupp (Yu e Lane 007): parametrzzazone topografca, schematzzazone de process fsc, algortm d rsoluzone delle equazon del modello. Un accurata rappresentazone topografca delle aree potenzalmente nondabl è n genere fornta da un modello dgtale del terreno (DTM). La varazone della rsposta de modell d nondazone n funzone della scala d rfermento topografca, e pù n generale della fonte d nformazone de dat per la generazone d un DTM, è ampamente dscussa n un altro captolo delle medesme Lnee Guda anche se ne prossm paragraf s rtene opportuno sottolneare alcun aspett relatv alla problematca n questone. Da un punto d vsta modellstco, sa n letteratura che n commerco sono present una sere d modell bdmensonal a dverso grado d complesstà per lo pù rfert ad un approcco 99

218 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II basato sulle shallow water equatons, eventualmente semplfcate secondo un approcco dffusvo. Gl approcc s dversfcano a seconda che l allagamento sa dovuto ad una nsuffcente capactà d smaltmento delle opere d drenaggo urbano durante precptazon partcolarmente gravose (Gómez et al. 006, Gomez et al. 009) ovvero ad esondazon d un corso d acqua con conseguente espansone nelle aree golenal. Nel prmo caso modell presentano una descrzone combnata della componente superfcale e subsuperfcale del deflusso; esemp d tale approcco sono reperbl ad esempo n Hsu et al. (000) Nasello e Tuccarell (005), Aronca e Lanza (005), Lang et al. (007). Nel secondo caso l evoluzone della pena è descrtta n letteratura secondo stud basat su approcc a dfferente grado concettuale d dffcoltà. Una prma categora d modell, cosddett raster based models, consstono nell abbnare modell D per l deflusso n canal e trattamento D del moto nelle aree nondabl, quest ultmo generalmente eseguto attraverso un approssmazone dffusva (Bates e De Roo 000, Horrtt e Bates 00, Yu e Lane 006, D Baldassarre et al. 009). La letteratura rporta anche de modell basat su schematzzazon dell area d studo n celle, le qual possono comuncare draulcamente con celle contgue secondo equazon d efflusso lbero o rgurgtato (Frega et al. 999). Approcc pù accurat sono basat sulle equazon complete D e sulle robuste tecnche d rsoluzone numerca svluppate per la propagazone delle pene dovute a rotture d sbarrament (Mgnot et al. 006, Gunot e Soares Frazão 006, Costanzo e Macchone 006ab, Lang e Marche 009). La scelta del tpo d modello è strettamente legata al fenomeno da smulare, al grado d dettaglo che s vuole consegure e alla potenza d calcolo dsponble. La descrzone dell nterferenza sulla corrente d ogn sngolo edfco comporta un dettaglo topografco molto spnto a cu necessaramente fa seguto l utlzzo d un modello molto accurato che ben rappresent fenomen draulc localzzat che s formano. Un modello n grado d smulare cò dovrà scuramente essere basato sulle equazon bdmensonal complete del moto varo. Ne paragraf successv s descrverà l grado d dettaglo topografco necessaro per lo studo d questa problematca e s llustreranno alcune tecnche numerche n grado d smulare l nterferenza de sngol edfc sulla corrente. 8. Relazone tra dettaglo topografco e dettaglo fscomatematco del modello La maggore dffcoltà per l applcazone de modell numerc alla smulazone delle onde d pena n presenza d edfc consste nell acquszone de dat topografc e n una opportuna dscretzzazone spazale del domno d calcolo. Con l utlzzo della tecnca LDAR (Lght Detecton and Rangng), l dettaglo topografco cu ogg s può accedere per la rappresentazone delle aree a rscho d nondazone può arrvare a precson molto spnte, dell ordne d 0 - m n senso altmetrco e rsoluzon planmetrche dell ordne d m come gà ben specfcato n altr captol delle Lnee Guda. Pertanto l domno spazale può essere costruto con celle d calcolo d dmenson molto rdotte. Comnca dunque a dventare concretamente perseguble l obettvo d smulare process d allagamento alla scala del sngolo edfco. Tuttava tale obettvo trova un ostacolo 00

219 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II nell onerostà de calcol e nella capenza d memora degl strument d calcolo d potenza standard. Inoltre la fase d realzzazone della cartografa dgtale rsulta essere anche la pù costosa d tutto l procedmento. In genere la cartografa prodotta da una socetà cartografca è costtuta da un numero notevole d layer n formato vettorale, content cascuno delle nformazon del sto n esame. In partcolare, n presenza d edfc, oltre alla cartografa orgnale e al modello dgtale draulco con e senza edfc e/o strutture sormontant, è necessaro ndvduare n un layer le strutture sormontant prncpal qual: argn e opere d dfesa draulca; rlevat autostradal/stradal/ferrovar che svolgono anche la funzone d contenmento delle pene; vadott, sovrappass e quanto possa nfluenzare l moto della corrente. e le strutture sottomontant prncpal come: vabltà n trncea; cave e sbancament; canal prncpal. Contestualmente alla attvtà d nterpretazone del modello dgtale e all ndvduazone delle strutture sormontant e sottomontant, dovranno essere resttute alcune strutture vettoral trdmensonal, denomnate genercamente breaklnes o lnee d dscontnutà. Le dscontnutà da rlevare n ambto urbano sono d dverso tpo tra le qual tutte dscontnutà d tpo altmetrco e n partcolare contorn degl edfc o degl aggregat urban e ndustral. Successvamente a quanto detto, la generazone, con l auslo d un mesh generator, d una mesh d calcolo, rchede, oltre all assegnazone del contorno esterno del domno, anche l assegnazone de contorn ntern, ovvero delle lnee lungo le qual andranno a sovrappors alcun lat degl element, senza che queste lnee ne attraversno nessuno. In questo modo è possble utlzzare questo strumento per modellare l retcolo lungo le superfc mpermeabl al flusso bdmensonale. Ovvamente nel caso specfco queste superfc sono costtute dalle paret degl edfc e da altre strutture rtenute nsormontabl. Poché l generatore garantsce una certa contnutà alla dmensone degl element, qualora la dmensone d una struttura sa molto pccola, l nclusone della sua sezone nel domno d calcolo comporta un aumento d denstà della mesh n un ampa zona dell ntorno, con conseguente appesantmento computazonale. E qund gocoforza, n quest cas, valutare prelmnarmente se l nsermento d pccole strutture possa produrre una sgnfcatva varazone al campo d moto, che gustfch l maggore sforzo computazonale. Alla rchesta d un tale dettaglo topografco non può che segure una modellstca altrettanto accurata anche se esstono approcc che tentano d massmzzare l dettaglo della descrzone topografca a spese del dettaglo della descrzone fsco-matematca del modello: n quest approcc le equazon del moto sono formulate n forma semplfcata alle manere cnematca o dffusva o seguendo approcc concettual cosddett quas-bdmensonal. Così, un po paradossalmente, la dsponbltà d un dettaglo topografco spnto sta facendo tornare n auge modell semplfcat. 0

220 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 8. Tecnche d smulazone degl allagament n aree urbane La corrente d una pena che s propaga n presenza d edfc assume de partcolar aspett che n qualche modo devono essere rprodott dalla modellstca numerca che smula tal fenomen. Un volento rsalto trdmensonale s forma allorquando la corrente ncontra un edfco come s può vedere n fgura 8. nel caso d un modello d laboratoro e n un caso reale n fgura 8.. Fgura 8.. Impatto della corrente su una struttura n un test d laboratoro (da Soares et al., 007) Spesso gl edfc non sono allneat al movmento della corrente per cu s formano rsalt oblqu con brusco cambamento della drezone del moto (fgura 8.3) che n alcun cas comportano la parzale dstruzone degl edfc stess (fgura 8.4). Fgura 8.. Impatto della corrente su una struttura n Spagna nel novembre del 98 (da Soares et al., 007) 0

221 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 8.3. Brusch cambament d drezone del moto e rsalt oblqu al passaggo della corrente tra edfc n un test d laboratoro (da Soares et al., 007) Fgura 8.4. Brusch cambament d drezone del moto e crollo parzale d edfc n Germana nell estate 00 (da Soares et al., 007) Le equazon bdmensonal del moto varo, gà descrtte n precedenza, possono senz altro essere applcate alla smulazone d cas d allagamento n presenza d edfc e smulare alcun fenomen sopra descrtt, se s dettagla l domno d calcolo con celle suffcentemente pccole da poter descrvere contorn de sngol edfc. La presenza del rsalto a monte degl edfc e la varazone del flusso d corrente ntorno ad ess possono essere accuratamente smulat da un modello bdmensonale come mostrano le fgure dove un modello D è stato utlzzato per smulare gl effett sulla corrente d un edfco solato. 03

222 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II In partcolare, n fgura 8.5 è evdente come l modello bdmensonale resca a smulare la varazone del flusso della corrente dovuta alla presenza dell edfco e nello stesso tempo la formazone d un brusco rsalto a monte dell edfco e l campo d altezze drche a valle dello stesso. Fgura 8.5. Smulazone medante un modello bdmensonale dell nfluenza d un edfco solato sulla drezone del moto d una corrente (da Soares et al., 007) Fgura 8.6. Smulazone medante un modello bdmensonale della formazone d un solato sulla drezone del moto d una corrente (da Soares et al., 007) 04

223 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Quando s arrva a un dettaglo d questo tpo, gl edfc possono essere trattat come contorn ntern al domno (paret vertcal). È evdente l onere computazonale che consegue a tale tpo d dettaglo. Occorre nfatt che le celle d calcolo sano così ftte da rprodurre con fedeltà l andamento degl spaz tra gl edfc e loro contorn. Un altra tecnca applcable con un dettaglo topografco spnto consste nell ntroduzone d brusch nnalzament delle quote del fondo n corrspondenza degl edfc. S daranno qu alcun dettagl per cascuna delle suddette tecnche. 8.. Rappresentazone degl edfc come contorn Questa tecnca consste nel trattare contorn degl edfc come contorn ntern del domno d calcolo. Percò s predspone la grgla d calcolo n modo tale che contorn degl edfc concdano con lat delle celle ad ess adacent. Su tal lat devono essere mposte le opportune condzon al contorno, che sono le tpche condzon che vengono poste n presenza d parete vertcale. In partcolare le celle occupate dagl edfc sono escluse dal calcolo computazonale mentre per l calcolo nelle celle confnant de fluss d nterfacca, vengono mpost n esse specularmente gl stess valor de trant delle celle nterne e le stesse ntenstà delle veloctà normal alla parete, ma col segno opposto; tale poszone, per la propretà d smmetra, garantsce l annullamento della componente della veloctà normale alla parete, come è naturale che sa. Inoltre, all nterno delle celle occupate da edfc, è prass porre la componente della veloctà tangenzale alla parete uguale a quella della cella nterna adacente (fgura 8.7). Questo accorgmento consente d applcare correttamente n tutte le celle adacent agl edfc le equazon numerche dello schema d calcolo utlzzato. h L n u L n v L n Edfco h R n = h L n u R n = - u L n v R n = v L n Fgura 8.7. Condzon al contorno nterne Se s desdera rappresentare n manera fedele contorn degl edfc è auspcable applcare questa tecnca su una grgla non strutturata. Infatt una grgla strutturata a celle costant comporta una rappresentazone del contorno a dent d sega, tanto pù grossolana quanto pù grand sono lat della cella. Il vantaggo dell uso della grgla non strutturata sta nella possbltà d nfttmento delle celle nelle zone d passaggo tra edfco ed edfco. Esemp d schematzzazone d utlzzo d questa tecnca sono rportat n fgura

224 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 8.8. Esemp d schematzzazon per l utlzzo della tecnca d rappresentare gl edfc come contorn ntern (da Alcrudo, 004) Tra le tecnche numerche per rappresentare l nfluenza degl edfc sulla corrente questa è senza dubbo la pù accurata e rgorosa ma nello stesso tempo la pù onerosa sa n termn d temp computazonal che d memora d calcolo. Per tale motvo è necessaro, qund, valutare prelmnarmente l opportuntà d spngers ad un così elevato dettaglo. 8.. Rappresentazone degl edfc medante brusch nnalzament delle quote del fondo Questa tecnca consste nell assegnare alle celle che rcadono all nterno de contorn degl edfc una quota d fondo par a quella della sommtà degl edfc. Nella pratca questa brusca varazone d quota non dà luogo a paret vertcal, poché la stessa rappresentazone a celle darà luogo ad una cella ntermeda tra quella posta a quota terreno e quella posta alla quota sommtale dell edfco. Pertanto tale cella ntermeda sarà caratterzzata da una pendenza molto elevata ma fnta e tanto pù elevata quanto pù pccolo è l lato della cella rspetto all altezza dell edfco (Fgure ). Se la cella ha dmenson crca par all altezza dell edfco, s ha un valore della pendenza all ncrca par a. Questa notevole pendenza nella pratca equvale alla presenza d una sponda, coscché può rappresentare n manera abbastanza soddsfacente l reale andamento locale della corrente attraverso gl edfc. La presenza dell elevata pendenza può, n questo caso, volare l potes, che sta alla base della formulazone delle equazon delle acque basse, consstente nel sostture, n presenza d pccole pendenze, sa l seno che la tangente con lo stesso angolo. In realtà cò non nvalda le stesse equazon per l seguente motvo: trascurando gl effett trdmensonal che la presenza d un edfco può causare (vortc etc.), che con la modellstca D non s rproducono, quello che un ostacolo vertcale posto all nterno d un flusso d corrente causa è la stagnazone del fludo ntorno ad esso, qund l potes delle acque basse contnua ad essere valda come mostrato nelle fgure

225 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 8.9. Esempo d un gruppo d edfc rappresentato come brusca varazone del fondo su grgla grossolana (da Alcrudo, 004) Fgura 8.0. Esempo d un gruppo d edfc rappresentato come brusca varazone del fondo su grgla ftta (da Alcrudo, 004) Il problema che rguarda questa tecnca è la dscretzzazone numerca della pendenza che, essendo elevata, da un grande peso al termne sorgente nell equazone del moto. Cò a volte può numercamente nstablzzare o dstruggere l calcolo. E necessaro, pertanto, utlzzare gl accorgment nella trattazone del termne sorgente gà llustrat nel captolo d rfermento. 07

226 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 8.. Smulazone d un fenomeno d pena n presenza d edfc con la tecnca della brusca varazone d pendenza (da Alcrudo, 004) Edfco Fgura 8.. Rstagno della corrente n prossma dell edfco 08

227 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 8.3 Valdazone delle tecnche numerche Le tecnche numerche sopra llustrate per smulare l nterferenza degl edfc sulla corrente, rchedono d essere valdate; a tale scopo occorre dsporre d cas real con nformazon sulla dstrbuzone spazale e temporale delle grandezze d nteresse da poter paragonare con rsultat numerc fornt dal modello; altr strument utl sono rsultat d test d laboratoro per la smulazone d effett local della corrente. In realtà esstono pochssm cas real ben documentat mentre, nel corso d var progett d rcerca, sono stat realzzat alcun test d laboratoro molto accurat. Tra quest ultm è utle fornre delle ndcazon su pù frequent utlzzat per testare l accuratezza delle tecnche mplementate e pù n generale per valutare la correttezza de rsultat ottenut, n termn d grandezze draulche, n presenza d edfc anche allorquando s utlzz un software commercale. In partcolare uno de test pù dffuso, per valutare l nterferenza sulla corrente del sngolo edfco, realzzato nel Progetto Europeo Impact (Soares e Zech, 003), è l seguente: Propagazone d una pena n presenza d un edfco solato La scheda dettaglata d questo test case, nel caso s volesse smulare l fenomeno e capre la bontà de rsultat ottenut dalla modellstca utlzzata, è rportata n appendce. Bblografa d rfermento Alcrudo, F. (004). Mathematcal modellng technques for flood propagaton n urban areas. IMPACT Project Techncal Report, Aronca, G. T., Lanza, L. G. (005). Dranage effcency n urban areas: a case study. Hydrologcal Processes, Wley, 9:05-9. Bates, P.D., De Roo, A.P.J. (000). A smple raster-based model for flood nundatons smulaton. Journal of Hydrology, Elsever, 36: Costanzo C., Macchone F. (006a). Two-dmensonal numercal smulaton of flood propagaton n presence of buldngs. Proceedngs of the Internatonal Conference on Fluval Hydraulcs Rver Flow 006, Ferrera, R., Alves, E., Leal, J., and Cardoso, A. (eds.), Lsboa, Portugal, Taylor & Francs/ Balkema Group, London, Vol. :9-30. Costanzo C., Macchone F. (006b). Modell d smulazone de fenomen d allagamento n zona urbana: applcazone ad un caso reale. Att del XXX Convegno d Idraulca e Costruzon Idraulche, Roma, Casa Edtrce Unverstà degl Stud d Roma La Sapenza, cd. D Baldassarre, G., Schumann, G., Bates, P. D. (009). A technque for the calbraton of hydraulc models usng uncertan satellte observatons of flood extent. Journal of Hydrology 367: Frega G., Macchone F., Rnald L. (999). Schema quas-bdmensonale per la smulazone degl allagament d aree urbane. In L'draulca ne problem d protezone del terrtoro, Frega G. (a cura d), Cosenza: Edtorale Bos, Gómez, M., Macchone, F., Russo, B. (009). Hydraulc behavor of urban streets durng storm events. INGENIERIA HIDRAULICA EN MEXICO, vol. 4; p. 5-6, ISSN:

228 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Gómez, M., Macchone, F., Russo, B. (006). Comparatve analyss among dfferent hydrologc models to study the hydraulc behavour of urban streets. 7th Internatonal Conference on Hydroscence and Engneerng, Phladelpha, USA, cd. Gunot, V., Soares-Frazão, S. (006). Flux and source terms dscretzaton n two-dmensonal shallow water models wth porosty on unstructured grds. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, 50: Horrtt, M.S., Bates, P.D. (00). Evaluaton of D and D numercal models for predctng rver flood nundaton. Journal of Hydrology, Elsever, 68: Hsu, M. H., Chen, S. H., Chang, T. J. (000). Inundaton smulaton for urban dranage basn wth storm sewer system. Journal of Hydrology, Elsever, 34: -37. Lang, D., Falconer, R. A., Ln, B. (007). Couplng surface and subsurface flows n a depth averaged flood wave model. Journal of Hydrology, Elsever, 337: Lang, Q., Marche, F. (009). Numercal resoluton of well-balanced shallow water equatons wth complex source terms. Advances n Water Resources, 3: Macchone, F. (008). Allagament d aree urbane. In Tecnche per la Dfesa dall'inqunamento, Frega G. (a cura d), : Nuova BIOS, 008, Vol. 9, pp Mgnot, E., Paquer, A., Hader, S. (006). Modelng floods n a dense urban area usng D shallow water equatons. Journal of Hydrology, Elsever, 37: Soares Frazão, S., Alcrudo, F., Mulet, J., Noël, B., Testa, G. and Zech, Y. (007). The Impact European Research Project on Flood Propagaton n Urban Areas: Expermental and Numercal Modellng of the Influence of Buldngs on the Flow. In Flood Rsk Management n Europe, Sprnger Netherlands, Secton III :9-. Soares Frazão, S., Zech, Y. (003). Dam-break flow experment : The solated buldng test case. IMPACT Project Techncal Report, Nasello, C., Tuccarell, T. (005). Dual multvel urban dranage model. Journal of Hydraulc Engneerng, ASCE, 3: Yu, D., Lane, S.N. (006). Urban fluval flood modellng usng a two-dmensonal dffuson-wave treatment, part: mesh resoluton effects. Hydrologcal Processes, Wley, 0: Yu, D., Lane, S.N. (007). Couplng of a D dffuson based flood nundaton model to a D rver flow for urban flood nundaton modellng. Proceedngs of 3ndCongress of IAHR, Vence (Italy), Cd-Rom. 0

229 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II APPENDICE Propagazone d una pena n presenza d un edfco solato Questo test spermentale nvestga sugl effett d un edfco solato nella propagazone d una pena creata dal rlasco mprovvso d un volume d acqua (dam break). Il test rentra tra benchmark propost nell ambto del progetto europeo IMPACT. Negl stud prelmnar, s è notato che, ne prm stant dopo l rlasco mprovvso del volume d acqua l nfluenza della presenza degl edfc sulla corrente è predomnante. In partcolare l flusso della corrente camba e l onda d pena che s rflette contro le strutture provoca un brusco nnalzamento de trant a monte delle stesse. Descrzone del test case Per nvestgare sugl effett della presenza de sngol edfc sulla corrente è stato proposto un modello dealzzato d laboratoro n cu s rproduce tale fenomeno. Gl esperment sono stat realzzat presso l Laboratoro d Ingegnera cvle dell Unverstà Cattolca d Louvan (UCL) n Belgo. Le dmenson del canale e dell edfco sono rportate n fgura 8.3, così come la poszone delle stazon d msura delle altezze drche. La sezone trasversale del canale è leggermente trapezodale vcno al fondo. La paratoa che dvde l canale ascutto a valle e l nvaso a monte, è collocata tra due blocch mpermeabl n una sezone d mposta rettangolare e pù stretta d quella del canale. La pendenza del canale è orzzontale. La durata del test case è par a 30s. Localzzazone delle stazon d msura La localzzazone delle stazon d msura de lvell drc al varare del tempo è ndcata n fgura 8.3. La loro esatta poszone rspetto all orgne degl ass posta al centro della paratoa è rassunta nella tabella 8.: x(m) y(m) G.65.5 G G G G G Tabella 8.. Coordnate delle stazon d msura

230 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Localzzazone dell edfco La localzzazone e le dmenson dell edfco sono rportate n fgura 8.3. Le esatte coordnate de quattro vertc rspetto all orgne degl ass sono (tabella 8.): x(m) y(m) b b b b Tabella 8.. Coordnate vertce edfco Condzon nzal Altezza drca nell nvaso: h0 = 0.40 m Altezza drca nzale nel canale a valle dell nvaso: h0 = 0.0 m Condzon al Contorno A monte l nvaso è chuso con paret vertcal. A valle del canale (9 metr dalla paratoa) è posto un sstema d raccolta che confgura condzon al contorno mste tra efflusso su una sogla e paret vertcal. In realtà è stato osservato che ne prm 30 s, par alla durata dell evento, l contorno d valle non nfluenz al corrente, per cu è lecto porre a valle delle condzon d corrente d tpo trasmssvo. Rsultat attes I rsultat del modello numerco utlzzato, n termn d altezze drche, possono essere confrontat con dat osservat ogn 0.0 s nelle stazon d msura e con rsultat ottenut da altr autor che n letteratura hanno smulato questo test.

231 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 8.3. Apparato spermentale del test case d propagazone d una pena n presenza d un edfco solato 3

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233 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 9 Interferenza tra la corrente e gl edfc: crter per trattare cas d tessut urban con le tecnche pù recent compatbl con le potenze d calcolo standard L utlzzo delle tecnche numerche descrtte nel paragrafo precedente per la smulazone della propagazone d una pena n ambto urbano, rchede un accuratezza elevata se s ntende smulare l fenomeno fno al dettaglo della corrente tra gl edfc. La smulazone spnta fno a tale dettaglo è computazonalmente molto onerosa se eseguta con la potenza d calcolo standard. Come mmedata conseguenza, modell d nondazone sono spesso rfert ad una rsoluzone spazale tale che gl effett dovut alla vegetazone, agl edfc e a tutte le nfrastrutture devono essere consderat come sub-grd processes. E evdente qund che all nterno d modell D, su grgle grossolane, s deve procedere con una parametrzzazone de process precedent, spece n aree urbane n cu l effetto degl edfc non può essere certamente trascurato. Molt approcc esstent, ad esempo, tengono conto degl effett suddett attraverso un ncremento della scabrezza; n partcolare d recente è stato proposto un metodo per la determnazone del coeffcente d scabrezza valutato per cella n funzone della percentuale d area occupata dagl edfc all nterno della cella stessa (Néelz e Pender 007). Altre tecnche prevedono l ntroduzone d un coeffcente d porostà nelle equazon del moto varo per lo studo dell evento alluvonale su grgle la cu dmensone eccede quella dell edfco (Brasch e Gallat 989, Gunot e Soares Frazão 006); tale approcco sembra pù corretto da un punto d vsta concettuale rspetto ad una parametrzzazone del coeffcente d resstenza (Yu e Lane 006, Brown et al. 007). In Costanzo e Macchone (006a) è stato condotto uno studo comparatvo sulle prestazon delle tecnche per la trattazone del tessuto urbano descrtte nel precedente e n questo captolo, n relazone ad alcun test d laboratoro. Dallo studo è emerso che l metodo basato sulla schematzzazone degl edfc come contorn rgd fornsce mglor rsultat mentre quello basato sulla varazone del fondo genera rsultat meno accurat; l approcco che smula l effetto degl edfc come ncremento d resstenza dpende fortemente dalla scelta del coeffcente d attrto. E stato altresì evdenzato che una smulazone condotta con grgla pù 5

234 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II grossolana ma con l ntroduzone del coeffcente d porostà è n grado d produrre rsultat comparabl a quell ottenbl con grgle pù dense utlzzando la tecnca sold wall. Tale ndagne è stata rpresa n Costanzo e Macchone (006b) con rfermento alla rcostruzone dell allagamento della cttà d Crotone del 4 ottobre 996. In partcolare, dall anals delle soluzon numerche rsulta che l approcco basato sulla scabrezza, benché semplce, è strettamente legato alla scelta de coeffcent utlzzat e, n condzon topografche complesse come quelle n ambto urbano, rsultat pù accurat s ottengono dversfcando valor d scabrezza nel domno d calcolo. L approcco basato sull ntroduzone del coeffcente d porostà nelle equazon è nvece legato alla descrzone geometrca del domno e rsulta, dunque, meno nfluenzato dalla scelta de parametr d scabrezza. I rsultat ottenut medante l uso d approprat coeffcent d scabrezza o ntroducendo coeffcent d porostà nelle equazon, sono sml a quell osservat sa n termn d delmtazone dell area nondable che ne massm lvell drc. 9. Tecnche d smulazone degl allagament n presenza d tessuto urbano La necesstà d rendere meno oneroso l aspetto computazonale spnge verso modaltà ndrette d messa n conto della presenza degl edfc nel domno d calcolo utlzzando alcune tecnche d modellzzazone. In tal modo è possble condurre le smulazon numerche utlzzando celle computazonal pù grossolane, con evdente dmnuzone dell onere d calcolo. Una d queste, gà descrtta nel precedente captolo, consste nell ntroduzone d brusch nnalzament delle quote del fondo n corrspondenza degl edfc; un altra s basa sulla scelta d opportun ncrement d scabrezza nella porzone del domno occupata dal tessuto urbano; una terza modaltà è quella dell ntroduzone d coeffcent che tengano n conto, per cascuna cella, dell area non occupata dagl edfc (tecnca della porostà) (Macchone, 008). S daranno qu alcun dettagl per le ultme due tecnche, essendo la prma gà llustrata nel captolo precedente nell ambto delle tecnche numerche per la smulazone dell nfluenza de sngol edfc sulla corrente. 9.. Rappresentazone ndretta degl edfc medante ncremento del coeffcente d scabrezza Questa tecnca consste nell assegnare alla zona occupata dal tessuto urbano un valore pù elevato del coeffcente d scabrezza. Un esempo della sua applcazone è rportato n fgura 9.. 6

235 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Edfc Fgura 9.. Applcazon della tecnca ndretta d ncremento del coeffcente d scabrezza n presenza d edfc come nell mmagne a snstra: medante ncremento d scabrezza sull ntera area (mmagne al centro); medante aumento del coeffcente d scabrezza sulle sole celle totalmente occupate dagl edfc (mmagne a destra) (da Alcrudo, 004) In Franca, per l passaggo attraverso zone urbane negl stud d dam break, s suggersce d utlzzare un valore del coeffcente d Strckler par a 5 m /3 /s (Bonald et al. 995). S può ravvsare qu una qualche analoga con quanto s fa per tener conto della resstenza al moto offerta dalla vegetazone. Ovvamente tale tecnca non è esente da crtche. Infatt essa non resce a rappresentare fenomen local che n realtà avvengono tra gl edfc, pertanto valor local delle veloctà e de trant ottenut dal calcolo saranno dvers da quell che n realtà s verfcano. Tale metodo è dunque nadatto se l obettvo è quello della valutazone delle condzon d rscho con grado d dettaglo elevato all nterno della zona urbana, che s basano sul calcolo de valor local de trant e delle veloctà. Non è nemmeno adatto alla rappresentazone d dettaglo dell evoluzone spazo-temporale del fenomeno d nondazone. Può nvece essere utle per tener conto della presenza d zone urbanzzate all nterno d un domno pù vasto, al fne d non appesantre troppo l onere del calcolo. Per l consegumento d un dettaglo maggore s potranno po utlzzare rsultat del calcolo così ottenut per rcavare le condzon al contorno per una smulazone d maggor dettaglo nell area occupata dagl edfc. Una varante d questa tecnca è quella d assegnare alle sole celle d calcolo che cadono all nterno de contorn degl edfc un opportuno valore del coeffcente d scabrezza che abbass localmente d molto la conveyance. Questo ovvamente vale nel caso d celle avent dmenson paragonabl a quelle degl edfc, o ancora pù pccole. Un aspetto delcato d questa tecnca è quello dell opportuna scelta de valor de coeffcent d scabrezza. In un applcazone ad un caso reale s sono ottenut buon rsultat utlzzando celle quadrate d lato par a 50 m e valor de coeffcent d Strckler varabl nell ntervallo da 5 m /3 /s per le celle nteressate da una pù alta denstà d abtazon a 5 m /3 /s per celle n cu rcadevano poche strutture (Costanzo e Macchone, 006a). Come s può faclmente nture, anche per quanto detto sopra, tale tecnca non è esente dall nfluenza degl effett d scala. Inoltre n alcune applcazon d questa tecnca è emerso che l coeffcente d scabrezza è n qualche modo legato alla denstà degl edfc e alle condzon della corrente. Infatt poché le formule dell attrto al fondo hanno sempre una forte dpendenza (usualmente parabolca) con la veloctà della corrente, pù bass valor del coeffcente d attrto sono rchest n caso d corrente veloce rspetto alla presenza d corrente lenta. D altro canto è necessaro sottolneare che la presenza dell attrto al fondo nseme a bass trant drc può comportare delle nstabltà numerche che, n alcun cas, non consentono l proseguo della smulazone. In quest cas è dunque necessaro rcorrere a partcolar 7

236 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II trattazon del termne d attrto al fondo come la dscretzzazone sem mplcta nel tempo, gà llustrate nel captolo rguardante la dcretzzazone numerca del termne sorgente. 9.. Rappresentazone ndretta degl edfc medante nsermento d coeffcent d porostà all nterno delle equazon del moto varo Questa tecnca s concretzza nel marcare cascuna cella del domno d calcolo con l rapporto tra l area lbera da edfc e l area totale della cella; questo rapporto è chamato coeffcente d porostà φ. Tra prm ad applcare questa tecnca furono Brasch e Gallat (989), Defna et al. (994), Molnaro et al. (994). Quest ultm nserscono all nterno dell equazone d contnutà l coeffcente d porostà sopra defnto (che tene dunque conto della reale capactà d mmagazznamento della cella) ed noltre tengono conto, per cascuna cella, delle lunghezze effettvamente lbere lungo gl ass x ed y, con un altro coeffcente che tene conto della conveyance effettva lungo le drezon coordnate. Se s accetta d prendere n consderazone, lungo gl ass x ed y, non le lunghezze mnme che s rendono dsponbl al passaggo della corrente, ma loro valor med, è facle dmostrare che rapport tra quest ultm e le rspettve lunghezze total x e y lungo gl ass coordnat concdono con l coeffcente d porostà φ sopra defnto. Con questa osservazone, che può essere rtenuta congrua se s desdera lavorare con valor d porostà che connotano le dverse zone del domno senza arrvare necessaramente a calcolarle per cascuna cella, la formulazone delle equazon del moto che tenga conto, per un assegnata cella, delle aree mede d passaggo della corrente e dell area della cella dsponble per l nvaso dell acqua, porta al seguente sstema (Gunot e Soares-Frazão 006): n cu: S ( ϕ U) ( ϕ f ) ( ϕ g) = So S f (9.) t x y o 0 0 h ϕ = gϕhx g S f = gϕhj x gϕh sxu u v (9., 9.3) x, h ϕ gϕhj y gϕh syv u v gϕhy g y In partcolare termn x, ϕ y gϕh s u u v g h s v u v tengono conto delle perdte d carco localzzate provocate da brusch restrngment e allargament esstent all nterno della cella; valor de coeffcent s x ed s y dpendono dal tpo d tessuto urbano che connota l area n esame (Gunot e Soares-Frazão 006; Soares-Frazão et al. 008). La dscretzzazone del sstema (9.) conduce alla seguente equazone: 8

237 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II 4 n n t n n, j =, j ϕ, j r r r o, j f, j ϕ, jω, j r= ϕ, j t [, ] L ( ) U U f g n S S (9.4) n cu n è l versore normale al contorno e L ndca la lunghezza d cascun contorno della cella. Medante questa tecnca s possono ottenere rsultat accurat anche utlzzando una grgla grossolana e qund oner computazonal compatbl con le potenze d calcolo standard. 9. Valdazone delle tecnche numerche Le tecnche numerche sopra llustrate per smulare l nterferenza del tessuto urbano sulla corrente, rchedono d essere valdate allo stesso modo delle tecnche descrtte per valutare l nfluenza sulla corrente del sngolo edfco. In partcolare uno de test d laboratoro pù dffuso a tale scopo, realzzato nel Progetto Europeo Impact, è l seguente: Propagazone d una pena n presenza d un gruppo d edfc Le scheda dettaglata d questo test case, nel caso s volesse smulare l fenomeno e capre la bontà de rsultat ottenut dalla modellstca utlzzata, è rportato n appendce. 9.3 Applcazone del modello alla rcostruzone dell allagamento d Crotone del 4 ottobre 996 Il 4 ottobre 996 l fume Esaro esondando provocò l allagamento d una vasta zona della cttà. La stazone pluvometrca d Crotone regstrò tra le 0:00 e le :00 d quel gorno una precptazone orara d 7.8 mm e una precptazone nelle se ore che vanno dalle 7:00 alle 3:00 d.4 mm. L esondazone provocò se vttme e molt fert, abbatté l ponte ed l cavalcava Nord all uscta della cttà ne press del rone Gesù, danneggò l ponte all ngresso Sud della cttà e dstrusse le ve pù mportant d comuncazone, fra cu quella ferrovara. Molte abtazon, attvtà commercal e pccole ndustre subrono ngent dann Dscretzzazone del domno d calcolo e condzon al contorno La rappresentazone topologca dell area urbana d Crotone è stata realzzata medante una suddvsone del domno n celle strutturate quadrate avent lat d 50 m, per un numero totale 9

238 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II d celle par a 368. La dscretzzazone del domno è rappresentata n Fgura 9.. La descrzone topografca del domno d calcolo è stata eseguta utlzzando tutt punt quotat dsponbl n cartografa dgtale della zona urbana, aggornata e caratterzzata da un notevole dettaglo. Come condzone al contorno sono stat utlzzat gl drogramm d pena stmat per l Esaro n corrspondenza del ponte San Francesco e, per l fosso Lamps, all nzo dell area urbana (D Asaro & Nccol, 998; Frega et al., 999). A valle, sul confne tra la zona urbana e la spagga, le condzon al contorno sono caratterzzate da efflusso lbero. Fgura 9.. Dscretzzazone del domno d calcolo 9.3. Anals de rsultat La rcostruzone dell evento alluvonale d Crotone è stata eseguta n Costanzo e Macchone (006b) tramte quattro dverse smulazon. Le prme tre utlzzano l approcco d consderare l nfluenza del tessuto urbano sulla corrente come ncremento d resstenza ottenuto dmnuendo l valore del coeffcente d scabrezza d Strckler. L ultma ntroduce nelle equazon delle acque basse l coeffcente d porostà. Nelle prme tre smulazon, valor de coeffcent d scabrezza scelt per smulare l evento sono stat varat, da una smulazone all altra, per analzzare la loro nfluenza sulla soluzone numerca. 0

239 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II In tutte le smulazon, valor de coeffcent d scabrezza utlzzat sono n accordo con quell consglat n letteratura per smulare fenomen d allagamento n zona urbana (Ercol et al., 00; La Logga et al., 005; Alcrudo, 004). In partcolare, nella prma smulazone valor de coeffcent d Strckler scelt varano nel domno d calcolo assumendo un valore d 5 m /3 /s nelle celle nteressate da una elevata denstà d costruzon, un valore d 5 m /3 /s n celle con poche strutture e un valore d 30 m /3 /s nelle celle nteressant canal prncpal de due cors d acqua (Fgura 9.3a). Nella seconda smulazone, gl stess coeffcent sono stat assunt par a 5 m /3 /s per le celle nteressate dal tessuto urbano, 0 m /3 /s per le celle n zone extra urbane e 30 m /3 /s per le celle de canal prncpal de cors d acqua (Fgura 9.3b). Nella terza smulazone, nvece, è stato scelto un valore del coeffcente unco per tutte le celle par a 0 m /3 /s, eccetto per le celle degl alve prncpal n cu l valore posto è sempre d 30 m /3 /s (Fgura 9.3c). La quarta smulazone, nvece, è stata effettuata utlzzando la dscretzzazone del sstema d equazon rportata nell espressone (9.4) e utlzzando, per l calcolo de termn sorgente, le equazon (9.-9.3). Il valore del coeffcente d porostà φ, presente nelle equazon, è stato calcolato cella per cella ed ha assunto un valore compreso da 0. a (Fgura 9.3d). In questa smulazone, l valore del coeffcente d scabrezza è stato assunto par n tutto l domno a 0 m /3 /s, eccetto per le celle nteressant canal prncpal de cors d acqua, dove, anche n questo caso, la scabrezza è stata posta par a 30 m /3 /s. La Fgura 9.4 mostra l nvluppo de massm lvell drc nel domno n esame ottenut dalla prma smulazone. In seguto all evento è stata redatta dal Gruppo d lavoro per la raccolta dat dell alluvone d Crotone del del Dpartmento d Protezone Cvle, una carta rportante la delmtazone dell area nteressata dal fenomeno e massm lvell drc, suddvs n class, osservat n zone del terrtoro urbano che, n questo lavoro, sono state dentfcate con una numerazone da a 38 così come rappresentato n Fgura 9.5. Da un prmo confronto de rsultat numerc ottenut dalla prma smulazone con dat osservat, s evnce l buon accordo tra valor osservat e quell calcolat de massm lvell drc e una sostanzale concordanza nella delmtazone della massma area nteressata dall evento, dsponble storcamente solo per la zona urbana poszonata a destra del fume Esaro (Fgura 9.6). Per l anals dell accuratezza ottenuta dalle smulazon effettuate, s è proceduto al raffronto dapprma delle aree allagate e, successvamente, de massm trant drc. In partcolare, oltre ad un confronto grafco, come quello nteressante l area massma soggetta al fenomeno, sono state valutate numercamente le dfferenze tra massm lvell drc ottenut dalle vare smulazon con quell osservat.

240 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 9.3. a), b), c) varazone spazale della scabrezza rspettvamente nella prma, seconda e terza smulazone; d) varazone spazale del coeffcente d porostà nella quarta smulazone

241 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h (m Fgura 9.4. Invluppo de massm trant drc ottenuto dalla prma smulazone In Fgura 9.7 s confrontano le delmtazon delle aree nteressate dall evento ottenute dalle smulazon effettuate con quella osservata. Come s nota, la delmtazone della massma area nondable s dfferenza, tra le smulazon, maggormente nell area che nteressa la zona Porto Nuovo e nella zona ndustrale. La smulazone effettuata consderando l coeffcente d porostà nelle equazon, è quella che presenta la maggor area allagata della zona ndustrale e nteressa una superfce totale par a.7 km, estensone molto smle a quella ottenuta dalla prma smulazone. La terza smulazone, n cu s utlzza un unco valore del coeffcente d Strckler presenta, nvece, l area nondable mnore seguta da quella ottenuta dalla seconda smulazone. Per cò che rguarda massm trant drc nteressant l domno consderato, sono state calcolate le dfferenze tra valor ottenut dalle smulazon effettuate con quell osservat ne punt localzzat come n Fgura 9.5. Per cascun punto è stata posta una dfferenza nulla quando l valore numerco rcade all nterno della classe osservata; per valor estern, s è calcolata la dfferenza tra l valore numerco e l estremo della classe pù prossmo. Le dfferenze d altezza d acqua così ottenute, ordnate n manera crescente, sono rportate n Fgura 9.8 per cascuna smulazone e n tutt punt d osservazone. Come s può vedere, le dfferenze pù consstent s hanno, n tutte le smulazon, ne punt 5, 6, 3 e 5. I prm due, poszonat nella zona Porto Nuovo, sono prossm alla delmtazone dell area nondable e, a fronte d un valore d trante osservato d m, solo nella prma smulazone s rtrova un valore d crca 0.4 m, mentre nelle altre smulazon s hanno valor d altezza d acqua 3

242 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II trascurabl. Cò, molto probablmente, è dovuto al fatto che nelle smulazon effettuate non sono stat consderat gl effett local generat dall ostruzone e dsostruzone delle sezon n corrspondenza de pont e n partcolare, non s è smulato l fenomeno della rottura d un tratto dell argne destro dell Esaro. I punt 3 e 5, nvece, sono molto prossm al canale prncpale dell Esaro n cu s hanno consstent varazon della topografa e qund dfferenze rlevant ne lvell drc tra una cella e l altra. Questo aspetto è strettamente legato alla dmensone delle celle d calcolo. Per quanto detto, dalle smulazon effettuate s rscontra che al varare del valore del coeffcente d scabrezza utlzzato s hanno dfferenze non rlevant per cò che rguarda la delmtazone dell area nteressata dall evento. Invece dfferenze pù consstent s rscontrano ne valor de massm lvell drc. In partcolare, rsultat ottenut con la prma smulazone appaono pù concord con quell osservat mentre rsultat ottenut assumendo un unco valore del coeffcente d scabrezza sul terrtoro urbano, terza smulazone, mostrano le maggor dfferenze con dat osservat. Un buon accordo nvece s ha con rsultat della quarta smulazone, ottenuta ntroducendo nelle equazon l coeffcente d porostà sopra defnto. Fgura 9.5. Localzzazone e numerazone delle zone del domno n cu sono stat osservat lvell drc massm 4

243 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h ( Fgura 9.6. Confronto tra l estensone dell area allagata storca e valor massm de trant osservat con rsultat numerc ottenut dalla prma smulazone. Fgura 9.7. Confronto tra l estensone dell area allagable secondo le smulazon e la delmtazone dell area osservata 5

244 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II h (m) Smulazone Smulazone Smulazone 3 Smulazone Zone d osservazone Fgura 9.8. Dfferenze h de massm lvell drc smulat da dat osservat n dvers punt del domno Rferment Bblografc Alcrudo, F. (004). Mathematcal modellng technques for flood propagaton n urban areas. IMPACT Project Techncal Report, Alcrudo, F., García, P., Brufau, P., Murllo, J., Garca, D., Mulet, J., Testa, G., Zuccalà, D. (003). The Model Cty Floodng Experment. IMPACT Investgaton of Extreme Flood Processes and Uncertanty, Proceedngs of the 3rd Project Workshop, Louvan- La-Neuve, Belgum, 5 7 November. Bonald, P., Fenarol, P.G., Maone, D., Molnaro, P. (995). Metodologe usate n altr Paes. Valutazone delle onde d pena da rottura d dghe, CNR-GNDCI, Brasch G., Gallat M. (989). Smulaton of a levee-breakng submerson of planes and urban areas. In HYDROCOMP 89, Proceedngs of the Internatonal Conference on Computatonal Modellng and Expermental Methods n Hydraulcs, Elsever Appled Scence, pp Brown, J. D., Spencer, T., Moeller, I. (007). Modelng storm surge floodng of an urban area wth partcular reference to modelng uncertantes: A case study of Canvey Island, Unted Kngdom. Water Resources Research, AGU, 43 W0640. Costanzo C., Macchone F. (006a). Two-dmensonal numercal smulaton of flood propagaton n presence of buldngs. Proceedngs of the Internatonal Conference on Fluval Hydraulcs Rver Flow 006, Ferrera, R., Alves, E., Leal, J., and Cardoso, A. (eds.), Lsboa, Portugal, Taylor & Francs/ Balkema Group, London, Vol. :9-30. Costanzo C., Macchone F. (006b). Modell d smulazone de fenomen d allagamento n zona urbana: applcazone ad un caso reale. Att del XXX Convegno d Idraulca e Costruzon Idraulche, Roma, Casa Edtrce Unverstà degl Stud d Roma La Sapenza, cd. 6

245 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II D Asaro, A,. Nccol R. (998) Rcostruzon d event d pena del fume Esaro medante l drogramma untaro. In Crotone e l evento alluvonale del 4 ottobre 996, a cura d S. Gabrele, Presdenza del Consglo de Mnstr, Dpartmento della Protezone Cvle, (998). Defna, A., D Alpaos, L., Mattccho, B.(994). A new set of equatons for very shallow water and partally dry area sutable to D numercal models. Proceedngs of Modellng of Flood Propagaton Over Intally Dry Areas, a cura d Molnaro, P. e Natale, L., ASCE, 7-8. Ercol, P., Castellarn, A., Brath, A. (00). Alcun problem applcatv nella modellstca numerca de fenomen d allagamento. In Att del 8 Convegno d Idraulca e Costruzon Idraulche, Potenza, 6-9 settembre 00, Edtorale Bos, (00), pp Frega, G., Macchone, F., Rnald, L. (999). Schema quas bdmensonale per la smulazone degl allagament d aree urbane. In L draulca ne problem d protezone del terrtoro, a cura d G. Frega, Quadern d Idrotecnca (), Edtorale Bos, Gunot, V., Soares-Frazão, S. (006). Flux and source terms dscretzaton n two-dmensonal shallow water models wth porosty on unstructured grds. Internatonal Journal for Numercal Methods n Fluds, Wley, 50: La Logga, G., Nasello, C., Termn, D., Tuccarell, T. (005). Applcazone a 5 bacn sclan d una procedura ntegrata per lo studo della propagazone delle onde d pena medante modellazone bdmensonale e uso d cartografa dgtale. In Att del I Workshop MODECI (Modell Matematc per la Smulazon d Catastrof Idrogeologche), a cura d P. Versace, (005), pp Neelz S. and Pender G. (007). Parametersaton of square-grd hydrodynamc models of nundaton n the urban area. Proceedngs of the 3nd IAHR congress. July -6 Vence, Italy. Cd Rom Macchone, F. (008). Allagament d aree urbane. In Tecnche per la Dfesa dall'inqunamento, Frega G. (a cura d), Nuova BIOS, 008, Vol. 9, pp Molnaro, P., D Flppo, A., Ferrar, F. (994). Modellng of flood wave propagaton over flat complex topography n presence of dfferent nfrastructures. Proceedngs of Modellng of Flood Propagaton Over Intally Dry Areas, a cura d Molnaro, P. e Natale L., ASCE, Soares-Frazão, S., Lhomme, J., Gunot, V., Zech, Y. (008). Two-dmensonal shallow-water model wth porosty for urban flood modellng. Journal of Hydraulc Research, 46 (), Yu, D., Lane, S.N. (006). Urban fluval flood modellng usng a two-dmensonal dffuson-wave treatment, part: mesh resoluton effects. Hydrologcal Processes, Wley, 0:

246 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II APPENDICE Propagazone d una pena n presenza d un gruppo d edfc Questo test case (Alcrudo et al. 003) è fnalzzato allo studo dell applcazone d tecnche numerche per smulare la propagazone d una pena n ambto urbano. Il modello spermentale, realzzato dal gruppo d rcerca dell ENEL-CESI a Mlano all nterno del progetto europeo IMPACT, rappresenta una topografa rregolare con un gruppo d blocch che schematzza un tessuto urbano. Apparato spermentale Il gruppo d rcerca dell ENEL-CESI ha realzzato un modello n scala :00 del fume Toce che è stato ampamente utlzzato per sperment d propagazone d pene (ved progetto CADAM). Esso è un modello fsco strumentato lungo crca 50 m che rspeccha fedelmente la batmetra orgnale del fume (fgura 9.9). A monte del modello fsco è collocato un mpanto che solleva l acqua contenuta n un serbatoo e la mmette nel modello. La portata mmessa è controllata e regstrata elettroncamente. Nella parte nzale del modello fsco sono collocat blocchett che rappresentano l tessuto urbano (fgura 9.0) Gl esperment sono stat condott poszonando blocchett d 5 cm cascuno n manera allneata e sfalsata. Inoltre, per meglo evdenzare gl effett dovut alla batmetra rregolare da quell dovut propro all nfluenza del tessuto urbano, alcun test sono stat esegut confnando la zona urbana tra due barre parallele (fgura 9.). Le altezze drche sono state regstrate da 0 stazon d msura poszonate n approprat punt del domno come s vede nelle fgure La durata dell evento è d crca 60 s con msure regstrate dalle stazon n un ntervallo temporale d 0. s. Descrzone della batmetra Per questo test è dsponble un modello dgtale del terreno con rsoluzone 5cm. Il domno d calcolo d rfermento ha le seguent due confgurazon: l modello fsco orgnaro del terreno del fume Toce; per semplfcare la batmetra e solare sol effett sulla corrente dovut al tessuto urbano l domno d calcolo orgnaro è lmtato n larghezza da due barre parallele avent coordnate: 8

247 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II barra snstra : X =0.94 m Y =7.548 m ; X =5.70 m Y =7.0 m; barra destra : X = 0.08 m Y =5.855 m ; X =5.445 m Y =5.8 m. Fgura 9.9. Modello fsco del Toce: a) vsta verso monte; b) vsta verso valle 9

248 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 9.0. Modello fsco del Toce vsta verso monte con poszonamento de blocch Fgura 9.. Modello fsco del Toce vsta verso monte con poszonamento de blocch e batmetra modfcata per la presenza d bue barre longtudnal che delmtano la larghezza naturale dell alveo 30

249 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Poszone de blocch Gl edfc sono schematzzat con blocch cubc d dmensone 5 cm e sono poszonat nel domno d calcolo n manera allneata o sfalsata. Il numero d blocch utlzzat dpende dalla confgurazone del domno d calcolo utlzzata. Batmetra orgnale del fume Toce (Batmetra A) Nel caso che l domno d calcolo corrspond all orgnale batmetra del modello fsco del fume Toce, l numero d blocch nella dsposzone allneata è par a 0 mentre n quella sfalsata è par a 8. In fgura 9. s rporta parte del domno dove blocch, numerat e segnat con un quadrato verde, sono dspost n manera allneata e con l cercho sbarrato s dentfcano le stazon d msura. Nella dsposzone de blocch sfalsata s elmnano blocch 0 e 0 e rmanent blocch nella seconda e quarta colonna s dspongono allneat a vuot rspettvamente della prma e terza colonna. Fgura 9.. Batmetra orgnara del fume Toce con dsposzone allneata de blocch Le coordnate de blocch n entramb cas sono rportate nelle tabelle Batmetra modfcata del fume Toce per la presenza d due barre parallele (Batmetra B) Nel caso della batmetra confnata da due barre longtudnal, la dsposzone de blocch allneata e sfalsata è rportata rspettvamente n fgura 9.3 e n fgura

250 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Tabella 9.. Coordnate de blocch dspost n manera allneata sulla batmetra orgnale Tabella 9.. Coordnate de blocch dspost n manera sfalsata sulla batmetra orgnale 3

251 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Fgura 9.3. Batmetra modfcata del fume Toce con dsposzone allneata de blocch Fgura 9.4. Batmetra modfcata del fume Toce con dsposzone sfalsata de blocch 33

252 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Poszone delle stazon d msura Gl strument d msura elettronc sono n grado d msurare l altezza drca al varare del tempo. L altezza drca è regstrata per cascun espermento ad un ntervallo d 0. s per una durata complessva d 60s. Le coordnate delle dec stazon d msura sono rportate n tabella 9.3. La stazone è collocata nel serbatoo d monte per cu dat regstrat non sono utlzzat per l confronto. Tuttava essa può essere utlzzata per defnre la condzone al contorno d monte. La stazone è poszonata all nzo del domno d calcolo e fornsce una nformazone sull ntenstà della corrente entrante. Le stazon 3 e 4 sono poszonate subto a monte della prma colonna d blocch, mentre la stazone 5 è poszonata tra blocch n poszone centrale. Le stazon 6, 7, 8 e 9 sono poszonate ntorno al blocco 3. Infne la stazone 0 è poszonata a valle de blocch. Tabella 9.3. Coordnate delle stazon d msura Condzon nzal e al contorno Condzone nzale L ntero domno d calcolo è consderato ascutto Condzone al contorno d monte Come condzone al contorno d monte s può utlzzare la portata regstrata mmessa dalla stazone d sollevamento nel domno d calcolo oppure l altezza drca regstrata dalla stazone d msura. L angolo con cu la portata vene mmessa nel domno è crca par a 3.5. Condzone al contorno d monte Benché l modello fsco s estenda per 45 m, n realtà, per questo test, la lunghezza utle del domno è par a 5 m. Cò comporta l mposzone d condzon al contorno d valle che sono lascate a dscrezone dell utlzzatore del modello d calcolo. In molte applcazon gl autor hanno mposto delle condzon al contorno trasmssve. 34

253 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Coeffcente d scabrezza In coeffcente d scabrezza d Mannng consglato è par a 0.06 Esperment I test effettuat sul modello fsco descrtto varano secondo tre aspett: ) Batmetra del modello: orgnale o modfcata ) Poszone de blocch: allneat o sfalsat 3) Intenstà della pena n ngresso avente un pcco d 60 l/s, 80 l/s e 00 l/s. La scelta d dversfcare quest aspett nasce dall esgenza d evdenzare partcolar aspett della modellstca numerca per la smulazone delle pene. In partcolare, come gà detto la dversfcazone della batmetra dpende dal voler evdenzare gl effett degl edfc sulla corrente, l dverso poszonamento degl edfc nel voler capre come l loro poszonamento ncde sulla propagazone della pena mentre la varazone d ntenstà d portata derva dalla consapevolezza n ambto scentfco delle dffcoltà che s rscontrano nel smulare event che presentano bass valor d trante drco. Le vare combnazon d quest tre aspett rappresentano gl scenar d smulazone che possono essere rprodott medante modell numerc al fne d testarne l accuratezza confrontando rsultat ottenut con dat spermental e con rsultat consegut da altr autor. 35

254

255 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II CAPITOLO 0 Ambto d applcabltà d eventual approcc semplfcat, con partcolare rfermento alle schematzzazon quas - bdmensonal Le equazon bdmensonal del moto varo, ampamente descrtte ne precedent captol, possono essere rsolte ntroducendo var grad d semplfcazone. Ad esempo Natale e Sav (99), Defna et al., (994), Molnaro et al. (994), Tuccarell et al. (995) hanno proposto schem che trascurano, nell equazone del moto, termn d nerza convettva. La letteratura rporta anche de modell basat su schematzzazon dell area allagable n celle, le qual possono comuncare draulcamente con le celle contgue. Il prmo schema d questo tpo fu proposto da Zanobett e Lorgeré (968) e da Zanobett et al. (970). Altr schem sono stat propost da Balloffet e Scheffler (98), Laura e Wang (984), Maone et al. (986), Retano (99). Hromadka e Yen (986) descrvono n manera dfferenzata l moto monodmensonale della rete fluvale ed l moto bdmensonale de terrtor allagat. Sono trascurat termn nerzal, pervenendo così a uno schema dffusvo. La connessone tra celle e fume avvene sulla base dell equazone d contnutà. Bladé et al. (994) e Moussa e Bocqullon (009) schematzzano l moto n alveo con uno schema monodmensonale e l allagamento dell area crcostante con un modello a celle collegate draulcamente o con legg tpo stramazzo o con collegament tpo moto unforme. La smulazone dell nondazone che pogga sulla schematzzazone dell area n celle nterconnesse è descrtta da equazon d contnutà del tpo (Cunge et al., 980): dw = Q, j =,...,N (0.) dt j n cu W =W (Z ) è l volume drco mmagazznato nella cella, Z è la quota del pelo lbero nella stessa cella e Q,j è la portata scambata tra la cella e la cella j. La sommatora è estesa a tutte le celle j connesse con la cella, ed N è l numero delle celle. S assume noltre che la portata Q,j possa essere espressa solo n funzone delle quote delle celle contgue: 37

256 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Q,j = Q(Z, Zj) (0.) Le varabl dpendent nel sstema sono gl N valor della quota del pelo lbero Z (t). Un sstema d equazon come questo rchede N condzon nzal (ossa un nseme d valor Z (0)). Le condzon al contorno possono essere ntrodotte sotto forma d lvell dell acqua mpost, portate ntrodotte dall esterno ecc. Per quanto rguarda l espressone della portata scambata tra le celle, può essere usata una qualsas formula draulca approprata (stramazzo, orfzo, legge d Strckler-Mannng, ecc.). Yu e Lane (006a) hanno analzzato le prestazon d un modello basato sull equazone d contnutà e sull equazone d Mannng per descrvere l trasfermento d portata tra le celle adacent. Il domno d calcolo è formato da una grgla strutturata a celle quadrate. I rsultat del modello, applcato ad un caso reale d un esondazone fluvale coprente un area d crca km, s sono mostrat sensbl alle dmenson delle celle d calcolo e a coeffcent d Mannng. Gl effett sul calcolo rguardano sa temp d propagazone sa l estensone dell area allagata e, n defntva, le profondtà dell acqua. S è anche rlevata la necesstà d compensare l uso d celle pù grossolane con aggustament del coeffcente d scabrezza, operazone che resce solo n parte, poché coeffcent d scabrezza hanno qualche effetto sulla veloctà ma non sulla drezone del moto. Per superare suddett nconvenent, gl stess autor (Yu e Lane 006b) propongono un approcco, basato sulla dsponbltà d dat topografc ad alta rsoluzone, che tene conto del dettaglo topografco all nterno delle sngole celle, per una pù corretta rappresentazone de volum dsponbl all allagamento e del trasfermento d portata da cella a cella. Per una pù accurata descrzone del fenomeno, l suddetto modello può essere accoppato ad un modello completo monodmensonale per l corso d acqua che provoca l nondazone (Yu e Lane 007). Un modello appartenente alla medesma categora è stato proposto da Bates e De Roo (000) ed ulterormente svluppato da Hunter et al. (005). Esso è basato sull equazone monodmensonale dell equazone cnematca per le corrent ncanalate e la rappresentazone del moto sulle aree nondabl è eseguta medante l equazone d contnutà e l equazone d Mannng scrtte per ogn cella d calcolo. Un estensone dffusva del modello è presentata da Horrtt e Bates (00). 0. Descrzone d un modello quas bdmensonale Nel presente paragrafo s espone nel dettaglo un modello quas bdmensonale proposto da Frega et al. (999) e applcato ad un evento occorso n Calabra. Gl autor rappresentano l area allagata, compres gl alve fluval, attraverso una rete d celle trangolar cu vertc rappresentano la quota del terreno con l potes che lungo lat delle celle la quota var lnearmente. S fa l potes che lo speccho drco, n ogn cella, sa sempre orzzontale. Per ogn cella vene consderata un equazone d contnutà analoga all equazone (0.). Le celle trangolar comuncano draulcamente medante una relazone tpo stramazzo: ( ) Qk = C L D g Z Zk, Z > Z k (0.3) con C = coeffcente d portata, L = lunghezza bagnata del lato comune alle celle e k, D = trante medo sul medesmo lato, Z e Z k = quote delle superfc drche rspettvamente nelle celle e k. 38

257 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Le condzon nzal sono date da lvell dell acqua n cascuna cella. Le condzon al contorno sono rappresentate dalle portate che s mmettono nell area n studo e da lvell della superfce dell acqua al contorno. Nello schema qu presentato l equazone d contnutà può essere dscretzzata come segue: n Z = n Z dw t / dz n n Q (Z,Z ) n k k k (0.4) n cu le grandezze all stante t sono contrassegnate con l ndce n e le grandezze all stante t t sono contrassegnate con l ndce n Per determnare Z n, nell equazone (0.4) è necessaro calcolare la dervata dw / dz ) n ( e la portata che la cella -esma scamba con le celle k-esme adacent, all stante t; pertanto occorre defnre l legame esstente, nella cella -esma, tra l volume d rempmento W e l lvello dell acqua Z e bsogna defnre bene la topologa dell area nondata. Nel modello qu presentato lo scambo drco tra due celle è posto n funzone sa del lvello drco della cella d monte che d quello d valle. Inoltre per ogn lato sono dstnt l tratto n cu l efflusso é lbero e quello n cu l efflusso è rgurgtato. b I K a Fgura 0.. Schema topologco del modello quas-bdmensonale In partcolare se k ed sono due celle trangolar rspettvamente d monte e d valle (ved Fgura 0.) e se a e b ndvduano nod del lato n comune lo scambo drco s determna dalle consderazon seguent. w 3 k w, La dstanza L (Fgura 0.) n cu è verfcata la relazone Z Z (x) > [Z Z (x)] ndvdua la parte dello stramazzo n cu l efflusso è rgurgtato. S è ndcato con Z w (x) la quota del generco punto appartenente al lato a-b. Nella rmanente parte dello stramazzo s verfca un efflusso lbero. Per un tratto dx dello stramazzo s possono scrvere le seguent espresson della portata effluente: dq k 3 = C g Z Z (x) dx per stramazzo lbero (0.5) k w dq k = C g (Z Z ) Z Z (x) dx per stramazzo rgurgtato (0.6) k w S elencano d seguto cas che s possono verfcare e le equazon d efflusso che s rcavano ntegrando lungo l lato a-b le equazon (0.5) e (0.6). 39

258 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II a) Stramazzo n parte rgurgtato ed n parte lbero quando l lvello nella cella K bagna tutto l lato L b Z Zk Zb L x Zw(x) a Za Fgura 0. - Stramazzo n parte rgurgtato ed n parte lbero quando l lvello nella cella k bagna tutto l lato Q k = C L C g (Z k g 5 Z b Z ) L (Z Z a Z a Z b L Z a L ) 5 / Z Z L 5 / Z Z (Z Z b a L ) k b 5 Z Z k a L b a (0.7) Come cas partcolar, quando L =0 lo stramazzo è lbero su tutto l lato; quando L =L lo stramazzo è rgurgtato per l ntera lunghezza del lato. b) Stramazzo n parte rgurgtato ed n parte lbero quando l lvello nella cella k bagna una parte del lato L Lx b Zb L x Zw(x) a Z Zk Za Fgura Stramazzo n parte rgurgtato ed n parte lbero quando l lvello nella cella k bagna una parte del lato 40

259 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II Q k = C L C g (Z Z k g 5 Z b L ) Z a (Z Z a Z b (Z Z k a Z b Z a L Z a L L ) L 5/ ) (0.8) Come cas partcolar, per L =0 lo stramazzo è lbero su tutto l tratto bagnato L x del lato a-b; per L =L x l efflusso è nullo. Al fne d tener conto del tessuto urbano sa nell equazone d contnutà che nelle equazon del moto, sono stat ntrodott per ogn cella due tp d coeffcent. Il prmo coeffcente, C, caratterstco della cella, tene conto della rduzone della capactà d nvaso dovuta alla presenza degl edfc. Il secondo coeffcente, C k, caratterstco d cascun lato della cella, tene conto che lat d una cella possono ntersecare gl edfc ed n questo caso non tutta la luce del lato può essere utlzzata dall acqua per trasferrs da una cella all altra. Il prmo coeffcente ntervene nell equazone (0.4) come mostrato nella relazone seguente n Z = n Z C t dw / dz n n Q (Z,Z ) n k k k (0.9) mentre l secondo coeffcente modfca, per esempo, l equazone (0.5) come mostrato d seguto dq k 3 / = C C g Z Z (x) dx (0.0) k k w I coeffcent C e C k s potzzano costant al varare de lvell drc nelle sngole celle. 0. Applcazone del modello ad un caso a topografa complessa S mostra qu l applcazone del modello quas bmensonale sopra llustrato, all evento che ha rguardato l asta fnale dell Esaro d Crotone nell ottobre del 996 (Frega et al. 999), gà smulato con le equazon complete del moto e descrtto nel captolo precedente. 0.. Rappresentazone topologca dell area e condzon al contorno La rappresentazone topologca dell area è stata realzzata medante una rete formata da celle trangolar. L area presa n esame è pù vasta d quella nteressata dall evento n studo. La suddvsone dell area n celle è stata eseguta usando tutt punt quotat dsponbl n cartografa dgtale della zona urbana. La rappresentazone cartografca utlzzata è molto aggornata e caratterzzata da un notevole grado d dettaglo. I vertc delle celle sono stat fatt concdere con suddett punt quotat, ottenendo così l retcolo, rportato nella tavola 0., formato da 046 celle e 7 nod. Le celle sono state dsposte con lo scopo d rappresentare al meglo la topografa della cttà con partcolare attenzone nella descrzone 4

260 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II de punt caratterstc. Per esempo quando nello svluppo della rete s ncontrano rlevat stradal, un lato delle celle vene poszonato sull asse stradale per descrvere meglo l andamento del pano varo (Fgura 0.4). Panta d b J Sezone I c b=c a d a Fgura 0.4 Rappresentazone d un rlevato Per cò che rguarda le condzon nzal, s fa l potes che n ogn cella c sa un altezza d acqua d 5 cm. Come condzone al contorno sono stat utlzzat gl drogramm d pena stmat per l Esaro n corrspondenza del ponte San Francesco e, per l fosso Lamps, all nzo dell area urbana (D Asaro e Nccol, 998; Frega et al., 999). Tal drogramm fornscono le portate entrant nelle celle estreme d monte de rspettv cors d acqua. Sul confne tra la zona urbana e la spagga le condzon al contorno sono caratterzzate da relazon d stramazzo lbero. 0.. Smulazone numerca La rcostruzone dell evento alluvonale d Crotone è stata eseguta, usando l coeffcente d portata C nelle equazon d scambo draulco tra le celle come parametro d taratura. I rsultat numerc ottenut al varare d C sono stat comparat con dat de massm lvell drc osservat e rportat nella carta redatta dal Gruppo d lavoro per la raccolta dat dell alluvone d Crotone del , del Dpartmento della Protezone Cvle. Assumendo C=0.65, sono state ottenute altezze drche massme n gran parte concord con quelle osservate. Nella tavola 0. sono rportat, ne press de punt per qual s dspone de valor osservat, gl analogh valor fornt dal calcolo. In partcolare n prossmtà del ponte ANAS lvell drc assumono valor compres fra 3 e 4 m. Nella zona ndustrale e fra va Ncoletta ed l Porto nuovo lvell drc raggungono valor d -.5 m. Nelle vcnanze del ponte S.Francesco lvell s attestano a valor d 3.5 m. A rdosso del ponte stazone F.S. e ne dntorn del centro sportvo s hanno valor rspettvamente par a 3 m e.5 m. Nella medesma tavola sono rportat contorn dell area realmente allagata e d quella fornta dal modello numerco. S nota una notevole concordanza tra due contorn, con un leggero arretramento del contorno smulato n destra draulca dell Esaro nelle adacenze d va Cutro. L area massma allagata è rsultata par a 3.4 km. Il volume nvasato nell area allagata assume l valore massmo d crca.5 mlon d m3 a crca.5 ore dall nzo del fenomeno. L andamento temporale dell area sommersa dalle acque è llustrato nella sequenza d mmagn rportate nelle tavole da 3 a 9. Dopo 30 mnut l modello descrve due cors d acqua nella stuazone d ncpente esondazone. In partcolare le acque del Lamps nzano 4

261 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II ad nteressare n pù punt la zona ne press dell mpanto d depurazone. Dopo 45 mnut rsulta allagata la zona ad ovest della Stazone ferrovara ed una fasca rstretta all ntorno de cors d acqua. Le acque del Lamps nzano ad allagare localtà Morell e s drgono verso la zona ndustrale. Dopo un ora la zona allagata ad ovest della stazone ferrovara s è ulterormente estesa: rsulta sommersa localtà Morell con lvell drc nferor a 50 cm; l acqua lambsce localtà Gallucco. I lvell drc superano gà.5 m nell area a rdosso del ponte ANAS, m a monte del ponte del nucleo ndustrale e sono d crca.0 m presso l ponte S. Francesco. Nell arco della seconda ora l area allagata subsce una rapda estensone. La zona ndustrale è totalmente nondata e s allaga anche la zona tra va Ncoletta ed l Porto nuovo. I lvell drc superano.5 m nell area prossma al ponte San Francesco ed n quella vcno al ponte ANAS, mentre nell area prossma alla confluenza de due fum s raggunge l valore d.5 m. Dopo tre ore l area allagata è pressoché la stessa ma lvell drc contnuano ad aumentare. Ne press del ponte San Francesco e del ponte ANAS s raggungono lvell drc d 3.3 m; mentre vcno alla confluenza s toccano m e n molte altre zone s supera.5 m. Dopo quattro ore l area allagata è dmnuta e la massa d acqua s sposta sempre pù verso valle. Il lvello drco massmo s verfca vcno al ponte ANAS dove vale crca 3 m mentre al ponte San Francesco l calcolo rporta un lvello drco d crca m. Nell area ntorno alla confluenza lvell drc s mantengono ntorno a.3 m. Dopo cnque ore l allagamento nteressa prevalentemente la zone ndustrale e l area compresa tra va Ncoletta e l porto nuovo e parte della confluenza. In molte altre zone della cttà s regstrano lvell drc nferor al mezzo metro Anals de rsultat La concordanza, n molt punt dell area allagata, de valor calcolat con quell osservat ndca che è suffcente l assunzone d un unco valore per l coeffcente d portata C. Inoltre, prove prelmnar condotte assumendo par ad coeffcent C e C k hanno fornto rsultat caratterzzat da lvell drc pù bass. Cò ndca la necesstà d tener conto, per le aree urbane, de volum sottratt dagl edfc alla capactà d nvaso. Il modello rprende puttosto fedelmente contorn dell area storcamente allagata. Il contorno numerco rsulta arretrato per un tratto n destra draulca del fume Esaro. Cò segnala forse la necesstà d un maggor nfttmento de punt quotat per quella zona e per lo stesso alveo. I temp smulat appaono del tutto plausbl rspetto al decorso reale dell evento. Cò ndca che l modello resce a rappresentare complessvamente l aspetto propagatoro dando così conferma che le equazon del moto utlzzate sono donee per la descrzone dello scambo drco tra le celle. Sembra noltre che n qualche msura alla essenzaltà dello schema adottato soppersca l dettaglo della descrzone topologca. A questo ultmo rguardo, la scelta della schematzzazone dell area medante celle trangolar consente una facle descrzone topologca, che può essere drettamente rcavata da punt quotat e può essere faclmente nfttta. L adozone dello schema esplcto per l ntegrazone numerca vncola l calcolo a pass temporal molto pccol, coscchè temp d calcolo, con l computer utlzzato, sono stat dell ordne delle ore. 43

262 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II In conclusone l modello, pur semplfcando molto la descrzone fsca del fenomeno, s è rvelato n grado d smulare un caso d allagamento, con aspett d una certa complesstà come la natura mpulsva degl drogramm d pena n ngresso, la varabltà temporale e spazale de contorn dell area allagata e la presenza del tessuto urbano. 44

263 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II tavola 0.: Schematzzazone topologca 45

264 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II tavola 0. : Confronto contorno e punt osservat e smulat 46

265 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II tavola 0.3 : t=30 mn tavola 0.4 : t=45 mn 47

266 POR Calabra Asse - Msura.4- Azone.4.c Lnee Guda - Parte II tavola 0.5 : t=ora tavola 0.6 : t= ore 48