E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

Transcript

1 01 Introduzone Assocare una msura d probabltà al verfcars d un evento (come esto d un espermento) non sempre è suffcente a rsolvere gran parte de problem real con connotat d ncertezza Talvolta studando un certo fenomeno aleatoro s è pù nteressat a una qualche funzone de possbl est puttosto che agl est stess Consderamo un espermento dato dal lanco d due dad: E possble calcolare, ad esempo, la probabltà che la somma delle due facce sa un numero par, o un numero dspar, o sa esattamente uguale a sette, e così va Possamo consderare tutt possbl rsultat del lanco de due dad allo stesso tempo? E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

2 02 Le varabl casual Una varable causale(o aleatora) è una varable che assume valor numerc n corrspondenza de dvers rsultat d un espermento casuale (o aleatoro) S E 1 E 3 E 4 1 P[X(E 1 )] E 2 E 5 P[X(E 2 )] P[X(E 3 )] X(E 1 ) X(E 2 ) X(E 3 ) R 0 Una varable casuale X è qund una funzone, defnta sullo spazo camponaro S, che assoca ad ogn evento E S un unco numero reale

3 03 Esempo Corrspondenza tra event e valor della v. casuale X somma de puntegg nel lanco d due dad

4 04 Esempo (1) Consderamo un espermento casuale dato dal lanco d tre monete. Lo spazo camponaro è dato da: S = E 1 = CCC E 2 = CTT E 3 = CCT E 4 = TCC E 5 = TCT E 6 = CTC E 7 = TTC E 8 = TTT Se consderamo l evento E 2 e voglamo costrure la var. casuale n d teste uscte nel lanco d tre monete allora avremo E 2 = C T T X = 2 Anche per E 5 e E 7 s ha X = 2, qund s può scrvere la probabltàd ottenere 2 teste come P(X = 2) => E 2 E 5 E 7 => P(E 2 ) + P(E 5 ) + P(E 7 ) = 3/8

5 05 Esempo (2) Il valore assunto da X nonè noto a pror e percò è detta varable casuale Dervamo ora la dstrbuzone d probabltà della varable X: E 1 = C C C E 2 = C T T E 3 = C C T E 4 = T C C E 5 = T C T E 6 = C T C E 7 = T T C E 8 = T T T X P(x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 1 0,375 0,25 0,

6 06 Varabl casual dscrete e contnue È possble dstnguere due dvers tp d varabl casual, a seconda d come s scegle A IR: una v. casuale dscreta può assumere valor n un sottonseme dscreto de numer real una v. casuale contnua può assumere tutt valor compres n un ntervallo reale ESEMPI 1. N d pezz dfettos n un campone d 20 pezz estratt da un certo lotto 2. N d clent che arrvano n un ora, alla cassa d un supermarket 3. N d rcheste d ndennzzo, n un anno, relatve ad una certa polzza 1. Reddto annuo d una famgla 2. Quanttà d petrolo mportata n Itala n un certo mese 3. Varazone del prezzo d un azone o d un ndce d borsa telematco 4. Utl d una certa azenda o socetà In generale, una volta stablta qual è la natura della var. casuale e la corrspondente legge d probabltà, s procede all anals de dvers est d nteresse per l fenomeno oggetto d studo e al calcolo della probabltà assocata

7 Corso d Laurea: Economa Azendale Docente: M.Msuraca (aula1) / D.Costanzo (aula2) Untà n Le varabl casual dscrete Una v. casuale dscreta è nota attraverso la sua dstrbuzone d probabltà, formata da tutt valor possbl e dalle probabltà loro assocate (1) Una varable casuale X è dscreta se può assumere solo un numero fnto d valor ES. n d teste rsultant da 10 lanc d una moneta (2) Una varable casuale X è dscreta anche quando l numero d possbl rsultat è nfnto ma numerable ES. n d lanc necessar per osservare testa per la prma volta

8 08 Funzone d probabltà P(X=x ) Probabltà che la v.c.x assuma l valore x La funzone d probabltàd una varable casuale dscreta X assoca ad ognuno de possbl valor x la corrspondente probabltà P(X=x ) Valgono le seguent due propretà: 1) P(x) = 1 2) P(x) 0 Dal punto d vsta della notazone s utlzzano le lettere mauscole per ndcare la v.c.(es. X) e la corrspondente lettera mnuscola (es. x) per ndcare una sua realzzazone

9 09 Esempo Assocando a cascun valore della varable casuale la probabltà corrspondente s ottene la dstrbuzone d probabltà: x P(x) È nteressante osservare come possbl rsultat della prova sano 36 mentre la v. casuale può nvece assumere 11 possbl valor dstnt P(X) 0,168 0,14 0,112 0,084 0,056 0, X s ha maggore facltà d trattazone se agl event s assocano delle quanttà numerche P(X=2) = P[(1,1)] = 1/36 P(X=3) = P[(1,2) o (2,1)] = 2/36

10 10 Approfondmento La dstrbuzone d probabltà è la sntes formale delle probabltà assegnate a var element dello spazo camponaro Sono evdent due grand dffcoltà: Nella maggor parte delle stuazon la dstrbuzone d probabltà è del tutto sconoscuta Poché esstono dvers meccansm d collegamento tra spazo camponaro e probabltà, n base a quale crtero sceglere la varable casuale? Uno de compt della Statstca è defnre modell d v. casual e d sceglere quello pù adatto alla partcolare stuazone d studo funzone d dstrbuzone teorca ( ) f = funzone,parametr E una rappresentazone semplfcata e astratta delle osservazon effettuate: astratta-non esste n realtà e non è proposta n forma fsca o analogca (le modaltà dervano da una funzone matematca e non sono stat effettvamente osservate) semplfcata-n essa non conflusce tutto cò che conoscamo o apprendamo da dat, ma solo cò che rtenamo rlevante

11 11 Esempo In una mpresa che ha l 70% d personale d genere maschle s scelgono a caso (con rpetzone) due persone per una commssone. Il numero d donne nella commssone è una v. casuale X possbl rsultat valor della v. casuale albero delle probabltà (f,f) (f,m) (m,f) (m,m) X = 0 se (m,m) 1 se (f,m) oppure (m,f) 2 se (f,f) m f m m m f f m f f Poché la scelta del secondo componente è ndpendente dalla scelta del prmo s applca l teorema delle probabltà composte P(X) evento (E) X P(E) (m,m) 0 0,7 0,7= 0,49 (f,m) 1 0,3 0,7 = 0,21 (m,f ) 1 0,7 0,3 = 0,21 (f,f) 2 0,3 0,3= 0,09 1,00 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ x P(X=x) 0 0,49 1 0,42 2 0,09 1,00 0,49 0,42 0, X

12 12 Funzone d rpartzone Quando s è nteressat alle probabltà cumulate, ossa alla probabltà che la v. casuale X assuma un valore mnore o uguale ad un dato valore x s ntroduce la funzone d rpartzone Data una v.c dscreta X, la funzone che fa corrspondere a valor x le probabltà cumulate P( X x ) k vene detta funzone d rpartzone ed ndcata con F x = P X x = P(x ) P(x ) = P X= x ( ) ( ) ( ) k k 1 k ESEMPIO Lanco d due dad x P(x) F(x)

13 13 Rappresentazone grafca e propretà F(x) 1 Tpcamente, la funzone d rpartzone d una varable casuale dscreta ha una forma detta a gradn 0,8 0,6 0,4 0,2 P(X=6) (1) È ancora una probabltà qund: 0 F(x) 1 (2) La funzone d rpartzone è non decrescente: se x 1 x 2 allora F(x 1 ) F(x 2 ) L altezza d cascun gradno è esattamente par alla probabltà che la X assuma un dato valore: F(x +1 ) -F(x ) = P(X x +1 ) -P(X x ) = P(X= x +1 ) X (3) La funzone d rpartzone è contnua a destra: lm x x + 0 ( ) ( ) F x =F x La contnutà a destra sgnfca che la funzone rmane costante per tutt valor pù grand d X fno a che non s camba valore 0

14 14 Esempo Basandos sulle vendte degl ann precedent l drettore d una concessonara sa che ogn gorno, l n d auto vendute per una certa categora vara tra 0 e 5. Come s può usare la funzone d probabltà per panfcare le scorte? X P(X) F(X) 0 0,15 0,15 1 0,30 0,45 2 0,20 0,65 3 0,20 0,85 4 0,10 0,95 5 0,05 1,00 Se nel salone c sono 4 auto la concessonara potrà soddsfare l 95% delle rcheste de clent mentre se ce ne sono 2 solo l 65%

15 15 Sntes delle varabl casual dscrete S può rcondurre una v.c. a poch parametr descrttv delle sue caratterstche prncpal: CENTRALITA VARIABILITA SIMMETRIA L'dea è che l verfcars d alcun event (con una certa probabltà) rsulta legato ad aspett comprensbl e not della varable Valore atteso d una v. casuale Varanza d una v. casuale E X = μ = x P x 2 2 VAR ( X ) = σ = x-e ( X) P( x ) ( ) ( ) Il valore atteso d una v. casuale X dpende uncamente dalla sua funzone d probabltà: se due varabl X e Y hanno la stessa funzone d probabltà avranno anche lo stesso v. atteso

16 16 Esempo ( ) = = 7 E X x P(x) P(X) 0,168 0,14 0,112 0,084 0,056 0, X Nelle dstrbuzon d probabltà smmetrche l valore atteso s trova esattamente al centro della dstrbuzone: l valore centrale è anche quello pù probable (valore modale)

17 17 Alcune consderazon sul valore atteso Dall esame d dvers lbr d testo d economa azendale è stato rlevato che l 81% d tutte le pagne è prvo d error; l 17% ne contene 1 e l 2% ne contene 2. Usando la v.c.x per ndcare l n d error n una pagna scelta a caso, la dstrbuzone d probabltà è: P(0) = 0,81 P(1) = 0,17 P(2) = 0,02 Nel determnare la meda d X (n medo d error per pag.che c aspettamo d trovare) dvers rsultat debbono essere pesat tramte le probabltà del loro verfcars: (0)(0,81)+(1)(0,17)+(2)(0,02) = ( ) = ( ) = = 0, 21 x P x E X µ

18 18 Eserczo Rprendamo l esempo delle automobl: basandos sulle vendte degl ann precedent l drettore d una concessonara sa che ogn gorno, l n d auto vendute vara tra 0 e 5 X P(X) 0,15 0,30 0,20 0,20 0,10 0,05 0,3 0,2 Calcolamo l valore atteso e la varanza ( ) µ x P ( x ) E X = = = 0 0, , ,05 = 1,95 ( ) ( ) V( X) = σ = ( x µ ) P x = x P x µ = , (0 1,95) 0,15 + (1 1,95) 0,3 + + (5 1,95) 0,05 = 1,9475

19 19 Esercz Il n d PC vendut gornalmente n un negozo specalzzato è defnto dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) 0,05 0,10 0,20 0,20 0,20 0,15 0,10 Trovare: P(3 x<6); P(x>3); P(x 4); P(2<x 5) La compagna aerea VOLARE ha chesto ad un consulente d studare rtard de vol nella settmana prma d Natale, dall aeroporto d Lameza. Se la varable X rappresenta l n d vol n rtardo n un ora: X P(X) 0,10 0,08 0,07 0,15 0,12 0,08 0,10 0,12 0,08 0,10 Trovare: (a) la FdR(b) la probabltà che l n d vol n rtardo sa superore a 5 (c) la probabltà che l n d vol n rtardo sa tra 3 e 7 (estrem nclus)

20 20 Dal dscreto al contnuo Le varabl casual studate fnora sono caratterzzate dal fatto che possono assumere un numero fnto o nfnto numerable d valor, ognuno con una probabltà postva o nulla L nseme de valor possbl è formato da punt solat che possono essere contat, coè post n corrspondenza bunvoca con l nseme de numer natural In molt problem emprc convene però pensare alla v. casuale come alla realzzazone d un processo contnuo: da un punto d vsta teorco s suppone che possa assumere ogn possble valore n un ntervallo fnto o nfnto Se la v. casuale è contnua non è possble elencare tutte le sngole realzzazon (coè tutt valor) perché quest sono una nfntà pù che numerable e qund non s può attrbure una probabltà a sngol valor ESEMPIO: la probabltà che ogg la temperatura maxsa esattamente 15 è par a 0 Possamo però determnare la probabltà per ntervall d valor (probabltà che ogg la temperatura massma sarà tra 15 e 16 )

21 21 La varable casuale contnua Una varable casuale X s dce contnuase esste una funzone non negatva f, defnta per ogn x IR, tale che per ogn sottonseme B IR P{ X B } = f(x)dx B La funzone fè chamata funzone d denstà d probabltàd X PROPRIETA Supponamo che B = [a,b] avremo allora che: 1) f(x) 0per ogn a X b 2) f(x) = 0per (X < a ) (X > b ) 3) [ ] + P X (, + ) = f(x)dx = 1 ATTENZIONE! Poché nel caso delle v. casual contnue la probabltà che la X assuma uno specfco valore è par a 0 allora le due scrtture P(a X b) P(a < X< b) sono d fatto equvalent

22 22 Esempo Un campone d schede madr per computer è stato raggruppate n class annual d durata: Durata Schede h Suddvdamo ora le class n sottoclass d ampezza untara: Durata Schede Durata Schede L stogramma sarà formato da rettangol d base uno e altezza par alla fr. relatva

23 23 Denstà d probabltà Supponamo ora d estendere la rlevazone all nfnto, con class par ad un nfntesmo dx: [ x, x + dx] ovvero l ntorno pù pccolo dverso dal punto sngolo L stogramma non è pù traccable e dventa smle ad un polgono d frequenza f(x) N.B. La f(x) non dà la probabltà d X, ma è proporzonale alla probabltà che X rcada n un ntervallo nfntesmale centrato su X P( a X b ) = b f(x)dx a a b x

24 24 Conseguenze della defnzone (replogo) (1) La probabltà che la v.c.assuma uno specfco valore è 0 x = = x P X x = P x X x = f(x)dx ( ) ( ) (2) La probabltà che la v.c.assuma un valore maggore d una sogla prefssata è data da P ( X < x ) ( ) ( ) ( ) 0 X x 0 = P X < x0 + P X x0 = 1 P X x = 1 P X < x ( ) ( ) 0 0

25 25 Funzone d rpartzone La defnzone d funzone d rpartzone per le v.c. contnue è smle al caso dscreto Data una v.c.contnua X, la funzone che fa corrspondere a valor x le probabltà cumulate P(X x) vene detta funzone d rpartzone x = = F ( x) P( X x) f ( t) dt La FdRpuò essere usata per calcolare la probabltà d un ntervallo: se ae bsono nfatt due possbl valor d X con a < b, la probabltà che X assuma valor tra a ebè par a P(a<X<b) = F(b) -F(a)

26 26 Propretà della funzone d rpartzone f(x) Per la funzone d rpartzone delle v. casual contnue valgono le stesse propretà gà vste per le v. dscrete: (1) In generale 0 F(x) 1per ogn x IR X (2) La funzone d rpartzone è non decrescente: F(x) se x 1 x 2 allora F(x 1 ) F(x 2 ) F(b) F(a) a b X (3) La funzone d rpartzone è contnua a destra: lm x x + 0 ( ) ( ) F x =F x La contnutà a destra sgnfca che la funzone rmane costante per tutt valor pù grand d X fno a che non s camba valore 0

27 27 Funzone d denstà e funzone d rpartzone In generale abbamo vsto come: Allo stesso tempo abbamo P(x < X< x+ x) = F(x+ x) F(x) x x+δx P(x < X< x+ x) = f(t)dt f(x) x F(x+ x) - F(x) F(x+ x) - F(x) f(x) x f(x) x Se calcolamo l lmte per x allora: lm x 0 F(x+ x) - F(x) F(X) = x x f(x) Concettualmente la f. d rpartzone è la dervata prma della funzone d denstà Qund se conoscamo la funzone d rpartzone non è necessaro svolgere l ntegrale per poter calcolare la probabltà che la X assuma valor n un certo ntervallo

28 28 Sntes della dstrbuzone d una v.c.contnua Le defnzon d valore atteso e varanza delle v.c. contnue, rcalcano quelle delle v. dscrete: E X = μ = x f(x)dx ( ) + ( ) 2 σ [ ] VAR X = = x - E(X) f(x)dx - Nella pratca, conoscendo l partcolare modello d probabltà seguto da una varable è d pù semplce calcolo sa l valore atteso sa la varanza Anche nel caso delle varabl casual è possble calcolare lo scarto quadratco medo o come pù comunemente è chamata la devazone standard SD( X ) = σ = σ 2

29 29 I modell probablstc Non è possble classfcare tutt possbl esperment casual ma esstono dvers element n comune tra quell utlzzat soltamente nella pratca Esstono degl schem standard per gl esperment e qund per le v. casual ad ess assocat: tal schem sono dett modell probablstc e sono descrtt medante famgle parametrche d varabl casual Una FAMIGLIA PARAMETRICAd v. casual è un nseme d varabl X f(x;θ) descrttedaun parametro θ(con f funzonedprobabltà), appartenentead un nseme Θ, detto spazo parametrco Le v. casual d una famgla parametrca s dstnguono esclusvamente per lo specfco valore numerco del parametro ϴ che le dstngue: non s hanno nformazon suffcent per determnare esattamente la dstrbuzone d probabltà, ma la struttura del fenomeno consente d fare delle potes che restrngono l nseme delle possbl dstrbuzon

30 30 La varable casuale UNIFORME DISCRETA Descrve le stuazon n cu non c sono ragon d rtenere un esto pù probable dell'altro Dremo che una varable casuale X segue una dstrbuzone unforme su {1, 2,, n}se ha una funzone d probabltà S ncontra quas sempre n stuazon artfcal come goch: n è l numero d event nclus nel domno ESEMPIO lanco d un dado ben equlbrato X {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X = x) = 1/6 = 0,167 f(x) 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, X

31 31 Funzone d rpartzone e sntes La f. d rpartzone assocata ad una dstrbuzone unforme è del tpo: ESEMPIO: lanco d un dado ben equlbrato X P(X) F(X) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 1,000 0,834 0,667 0,500 0,333 0,167 0,000 F(X) = per = 1, 2, 3,..., n n F(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/ X v. atteso varanza 1 1 E X = x P x = x = x ( ) ( ) n n 2 ( ) ( ) ( ) n n VAR X = E X - E X = x - x

32 32 Esempo Un meccanco effettua 5 dverse categore d ntervent ed ogn settmana rpete lo stesso numero d ntervent per ogn categora Gl ncass sono seguent: Servzo Incasso P(X) F(X) ,20 0, ,20 0, ,20 0, ,20 0, ,20 1,00 a) Qual è l'ncasso atteso per una settmana qualsas? 1 1 E( X ) = x = ( ) = 70 n 5 ncasso atteso b) Qual è la varanza dell'ncasso atteso? VAR ( X ) = E( X )- E( X ) = ( ) - 70 =

33 33 La varable casuale UNIFORME CONTINUA Le caratterstca prncpale è che le sue realzzazon sono equprobabl S applca nelle stuazon n cu l fenomeno: Assume valor n un ntervallo lmtato [a,b] La probabltà d ogn sottontervallo d [a, b] è proporzonale all'ampezza del sottontervallo La funzone d denstà è: 1 per a x b f( x ) = b a 0 altrove In cascuno de punt appartenent all ntervallo la probabltà è costante

34 34 Funzone d rpartzone 1 k a F( k ) =P(a X k)= dx= b-a b a ESEMPIO Gl autobus passano ne press dell'unverstà ogn ora fra le 8.30 e le 13.30: calcolare la prob. che una persona, captando a caso durante tale perodo, debba aspettare almeno un quarto d'ora La v.c. X "tempo mancante al prossmo bus segue un modello unforme dato che "captare a caso" sgnfca che può captare n uno qualsas de 60 mnut: k a

35 35 Sntes della dstrbuzone b 2 2 t 1 b -a b+a E( X ) = dt= = b-a b-a 2 2 a Nella v.c. UNIFORME l v. atteso concde con l v. centrale del suo supporto b -a a+b (b+a) V( X ) =E( X ) - E( X ) = - = b-a ESEMPIO Il tempo medo d attesa alle penslne è par a: ( ) 60 t 0+60 E X = dt= =30mn

36 36 Eserczo Consderamo una stazone d servzo con una csterna per la benzna da 1000 ltr, rempta ogn mattna prma dell apertura. L anals delle vendte passate ndca che non è possble prevedere la quanttà totale d benzna venduta n un dato gorno, ma l lmte nferore sarà 0 e l lmte superore 1000 ltr: la capactà della csterna. Inoltre l anals storca ndca che tutte le rcheste nell ntervallo da 0 a 1000 ltr, sono egualmente probabl X = ltr d benzna vendut n un dato gorno 0,001 se 0 x 1000 f( x ) = 0 altrove Es. la probabltà che le vendte sano tra 250 e 750 ltr, con f(x)=0.001 ordnata della funzone d denstà costante, è par a 0.50, coè l area sottesa sull ntervallo tra 250 e 750 f x 0.001, 0,0 0,50 0,