Il moto uniformemente accelerato

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1 Il moto uniformemente ccelerto Viene detto uniformemente ccelerto un moto nel qule l ccelerzione rimng costnte in intensità e direzione. Alle volte esso viene distinto dl moto uniformemente vrio nel qule si richiede l ulteriore condizione che l ccelerzione si sempre prllel ll velocità: un ssso che lncito verticlmente segue un moto uniformemente vrio, uno lncito d un ngolo qulunque segue un moto uniformemente ccelerto proprimente detto. NIFOMEMENTE ACCELEATO NIFOMEMENTE VAIO Il moto uniformemente ccelerto si svolge sempre su di un pino, quello che contiene l ccelerzione e l velocità inizile, perché per uscirne dovrebbe improvvismente vere un componente di ccelerzione perpendicolre l pino e quindi non srebbe più uniforme. icordimo or che con triettori s intende l insieme delle posizioni ssunte dl punto mterile, mentre l legge orri esprime l ndmento col tempo di un vribile cinemtic. Nel cso in cui l ccelerzione si sempre prllel ll velocità (e quindi tngente ll triettori) il moto uniformemente ccelerto è descritto dlle leggi orrie seguenti: 1 xt () = x+ vt + t legge orri dello spzio vt () = v + t legge orri dell velocità Esempio 1 Si studi il moto uniformemente ccelerto lungo un rett: Anlizzimo l legge orri. Si deduce: xt () = t+ 4.t 1. Che un punto mterile è prtito dll posizione x = 5.m dove vev un velocità dirett nel verso scelto come positivo e con intensità: v = 3.5m/s. Inftti un confronto con l espressione simbolic fornisce immeditmente il vlore costnte di ccelerzione: che l su velocità vri, umentndo l intensità di: 8.4 m/s ogni secondo che pss. = 8.4 m/s il che signific. Che l velocità umenti non lo vedimo dl ftto che il segno dell ccelerzione è positivo: questo indic solo che ogni secondo vengono ggiunti ll velocità 8.4m/snel verso scelto d noi come positivo sull triettori. Questo verso non h legmi con il verso in cui il punto percorre l triettori: se d esempio il punto si stv movendo indietro, un ccelerzione positiv di 8.4 m/s corrisponde d un diminuzione del modulo dell velocità, se invece il punto si stv movendo 1

2 vnti, corrisponde d un umento del modulo. Che si trtti di un umento di velocità lo vedimo llor dl ftto che l velocità inizile h lo stesso segno dell ccelerzione. 3. Ess inoltre ument in modo uniforme, cioè d esempio fr dieci ed undici secondi l velocità crescerà di 8.4m/sproprio come fr cento e centouno secondi e non di un vlore differente di volt in volt. Questo può essere scritto sinteticmente trmite l legge orri dell velocità: vt () = t e quindi se volessimo clcolre l velocità e l posizione dopo. secondi bsterà sostituire il vlore dto l posto del tempo: x (.) = = 9m v (.) = = m/s v () = 3.5m/s v (.) = m/s.m x () = 5.m x (.) = 9m Esempio Si studi il moto rettilineo uniformemente ccelerto seguente: xt () = t+.6t 1. In questo cso il punto prte d x = 8.5m m con l velocità inizile v = 9.6m/s negtiv, cioè il punto st percorrendo l triettori nel verso opposto quello d noi scelto come positivo. L ccelerzione che si ricv dl confronto con l legge simbolic, = 1. m/s è positiv, cioè ll velocità vengono ggiunti ogni secondo 1. m/s nel verso scelto come positivo per l triettori. Quindi il punto, dpprim rllent, perché velocità inizile ed ccelerzione hnno verso opposto, poi si ferm, quindi cmbi verso di percorrenz dell triettori e d quel momento in poi ument l su velocità di 1. m/s ogni secondo che pss.. Se volessimo clcolre qundo si ferm bsterebbe scrivere l legge orri dell velocità: vt () = t ed imporre che l velocità si nnulli: 9.6 vt () = t= t= = 8.s 1. In quell istnte si trov nell posizione: x (8.) = = 3m Se invece volessimo spere con qule velocità scvlcherà l origine del sistem di riferimento, dovremmo prim clcolre l istnte in cui questo vviene, nnullndo l posizione: 4.8± xt () = t+.6t = t= t1=.94s t= 15s.6 le due soluzioni trovte indicno che ci sono due pssggi successivi sopr ll origine, il primo con velocità verso sinistr di

3 v (.94) = = 8.5 m/s ed il secondo, dopo che si è fermto e riprtito, con velocità verso destr di : v (15) = = 8.4m/s v (15) = 8.4m/s x (8.) = 3 m v (8.) =. m/s.m v (.94) = 8.5 m/s x (.) = 8.5m v (.) = 9.6m/s Esempio 3 n rgzz f jogging correndo ll velocità costnte di 4. m/s. Ad un certo istnte pss dvnti d un tizio seduto su di un pnchin e cominci rllentre costntemente di.4 m/s ogni secondo. Questo l docchi, riflette per 5. s e decide che vle l pen di bbordrl, quindi sctt con velocità inizile di 3. m/s ccelerndo il psso in mnier costnte con = 8. m/s. A qule distnz dll pnchin il tizio rggiunge l rgzz? Che velocità possiedono entrmbi in quell istnte? scirnno insieme quell ser stess? Scrivimo le leggi orrie, posizione e velocità, di entrmbe le persone. L prim cos d fre è scegliere un origine dell triettori (rettiline) che srà l posizione dell pnchin. Poi occorre uno stesso istnte inizile opportuno per entrmbi: qui conviene il momento in cui il tizio si lz per inizire l su cors. L legge orri dell posizione dell uomo si ottiene fcilmente considerto che = 8. m/s : x () t = 3.t+ 4.t x =.m, v = 3.m/s ed Più complesso è scrivere l legge orri dell rgzz, dell qule nel riferimento scelto è not soltnto l ccelerzione =.4 m/s : x () t = x + v t.t L posizione inizile dell rgzz x è lo spzio di cui si è llontnt dll pnchin in velocità inizile v quell che h dopo ver decelerto per stessi 5. s e l su 5. s. Per clcolre questi dti dobbimo scrivere dpprim un ltr equzione orri per l sol rgzz, che bbi però come istnte inizile quello del pssggio ll pnchin. In questo riferimento si h x =.m e v = 4.m/s, mentre l ccelerzione è sempre =.4 m/s : x () t = 4.t. t x (5.) = = 15m v () t = 4..4 t v (5.) = =.m/s 3

4 iscrivimo quindi l equzione orri dell rgzz usndo come istnte inizile quello in cui il tizio si lz dll pnchin, in modo d poterl confrontre con quest ultim. In questo secondo cso l posizione inizile dell rgzz srà llor x = 15m e l velocità inizile v =.m/s, d cui: x () t = 15+.t.t Nell istnte in cui si rggiungono, le due posizioni x() t e x() t devono essere uguli, pertnto imponimo quest condizione per trovre il tempo: 15+.t.t = 3.t+ 4.t 1.± ( 1.) t + 1.t 15= t= t1= 1.8s t =.s 8.4 dove l second soluzione mtemtic non h significto fisico perché l incontro vverrebbe prim del nostro istnte inizile. Il clcolo delle velocità d incontro si f trmite le reltive leggi orrie: v () t =..4 t v (1.8) = 1.3m/s v () t = t v (1.8) = 17m/s I due non uscirnno insieme quell stess ser perché il tizio h ccelerto troppo e così le sfrecci ffinco senz poterle dire nenche un prol vt () v icvndo il tempo dll legge orri dell velocità, t= ed inserendolo nell legge orri dell posizione si ottiene un ltr relzione fr velocità, ccelerzione e spzio: v v x= x+ v + 1 ( v v ) vv x x= v v x x= + v v v vv + + = + v v ( x x ) Quest relzione h un cert utilità prtic, m in reltà contiene le stesse informzioni fisiche delle leggi orrie, dto che è stt ricvt d esse. Esempio 4 n utomobile viggi ll velocità di m/s. Se d un certo istnte inizi decelerre costntemente di. m/s si dic qunto spzio deve percorrere perché dimezzi l su velocità e qunti secondi trscorrono. Si dic se questo spzio è mggiore o minore dell metà dello spzio necessrio per fermrsi e si giustifichi l rispost con il clcolo. Si ripetno il rgionmento ed il clcolo per il tempo. Per dimezzre l velocità deve percorrere un distnz x x tle che: 4

5 v 3 = v+ ( x x) ( ) 4 v + x x = 3 3.( x x) = x x= = 75m 4 4. Scrivendo l legge orri ponendo l origine nel primo istnte di decelerzione xt () = t 1.t, ed essendo x =.mbbimo: 1± ( 1) 75 t 1.t = 75 t= t1= 5.s t= 15s 1. Come vedremo il secondo vlore è privo di significto fisico perché è un tempo successivo quello di rresto. Poiché l diminuzione di velocità è uniforme nel tempo, cioè ogni secondo l uto perde. m/s di velocità, il tempo di dimezzmento dell velocità è esttmente l metà del tempo di rresto. Invece il moto non è uniforme nello spzio: nell prim metà dei secondi necessri per l rresto l uto è medimente più veloce che non nell second metà, quindi per fermrsi occorrono meno di 75 = 15m. Verifichimo il rgionmento con il clcolo dello spzio di rresto: e del tempo di rresto: v 4 = v+ ( x x) x x= = = 1m 4. 1± ( 1) 1 t 1.t = 1 t= t= 1s 1. Studire gli esempi svolti n 11 p. 4, 1 p.43, 13p. 45. Studire le crtteristiche del moto uniformemente ccelerto: punto si ferm mi, qunte volte pss per l origine e con quli velocità. Esercizi pg. 61 n. 4, 44, 45, 46 xt () = t.8t, in prticolre si dic se il 5